ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη w w w. s t o o s o m i l o s. g r

2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω ευτέρ Ιουίου Λήξη µθηµάτω Πρσκευή 5 Ιουλίου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ Έρξη µθηµάτω Τρίτη Σεπτεµρίου. ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ Έρξη µθηµάτω ευτέρ 4 Σεπτεµρίου. Τµήµτ ολιγοµελή κι οµοιογεή Στ τµήµτ τω ποφοίτω πργµτοποιούτι επιπλέο ώρες του κοικού προγράµµτος. Οι µθητές που έχου κεά ή πορίες κλύπτοτι µε δωρεά ώρες εισχυτικής διδσκλίς. Προγρµµτισµέ τεστ στο τέλος κάθε εότητς. Προγρµµτισµέ 3ωρ διγωίσµτ κάθε δεύτερη Κυρική. Ειδική εηµέρωση γι συµπλήρωση Μηχογρφικού. Στις τελευτίες σελίδες υπάρχει λυτικά το πρόγρµµ τω θεριώ τµηµάτω.

3 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 5 ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝ. ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4 ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ 4 Στο φροτιστήριο στόος ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 6 ΛΑΤΙΝΙΚΑ 3 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ 3 ΣΥΝΟΛΟ 4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΟΡΓ. & ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΡΟΓΡ. - ΛΕΙΤΟΥΡ. ΣΥΝΟΛΟ 4 Οι µθητές που πρκολουθού τη θεριή προετοιµσί: δε γχώοτι ως προς τη κάλυψη της ύλης εξσφλίζου υψηλή θµολογί στις προφορικές κι γρπτές εξετάσεις Λειτουργού ολιγοµελή οµοιογεή τµήµτ, τ οποί λόγω άµιλς, τλλγής πόψεω κι κάλυψης όλω τω ποριώ υπερτερού πό τ ιδιίτερ µθήµτ. ιδάσκου έµπειροι κθηγητές, ειδικευµέοι ά µάθηµ. Ο προγρµµτισµός της ύλης κι η υπεύθυη εφρµογή του επιτρέπει πολλές επλήψεις µέχρι τη έρξη τω εξετάσεω. Τ προγρµµτισµέ διγωίσµτ προσφέρου εµπειρί κι υτοπεποίθηση στους µθητές µς. Το φροτιστήριο µς είι δίπλ στους µθητές του µέχρι κι τη τελευτί ηµέρ τω εξετάσεω, µε προγρµµτισµέ µθήµτ γι τις τελευτίες υποδείξεις κι τη κτάλληλη υποστήριξη. Πρέχοτι ιλί κι σηµειώσεις τω κθηγητώ µς σε κάθε µάθηµ, σύµφω µε το πρόγρµµ σπουδώ του Ειίου Λυκείου. Η εηµέρωση τω γοέω είι άµεση, διρκής κι ειλικριής. Οι επιδόσεις κι η συολική εικό του µθητή κτγράφοτι στο ηλεκτροικό υπολογιστή. Η τκτική εηµέρωση τω γοέω γίετι: τη τελευτί εδοµάδ της θεριής περιόδου το πρώτο δεκήµερο του εκεµρίου το πρώτο δεκήµερο του Απριλίου Τ µθήµτ γίοτι σε σύγχροες κι άετες κλιµτιζόµεες ίθουσες. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί

4 w w w. s t o o s o m i l o s. g r Κετρικά γρφεί Αϊστάι 30 Αµφιάλη Τηλ.: F: 0 43 Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη Αϊστάι 30 Αµφιάλη Π. Τσλδάρη 6 Αµφιάλη

5 Περιεχόµε ΜΕΡΟΣ Ο Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡ. 4 ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΘΕΙΑ 7 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 38 ΜΕΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 4 3 Ο

6 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; Θεριή Προετοιμσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~~

7 φροτιστήρι στόος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στη Άλγερ Γεικής Πιδείς Πρόσημο τριγωομετρικώ ριθμώ γωίς ω Τετρτημόρι I II III IV ημω συω εφω σφω ω (μοίρες) 0 ο 30 ο 45 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 360 ο ω (rd) 0 π π π π π 3π π ημω συω εφω σφω Πίκς τριγωομετρικώ ριθμώ σικώ γωιώ Τυτότητ Με τη προϋπόθεση ηµ ω+ συ ω= ω R ηµω εϕω = συω ω R, συω 0 Βσικές τυτότητες συω σϕω ηµω εϕω σϕω = ω R, ηµω 0 = ω R, ηµω συω 0 εϕ ω εϕ ω ηµ ω= + ω R, συω 0 συ ω= + εϕ ω ω R, συω 0 Αγωγή στο ο τετρτημόριο ημ συ εφ σφ ηµ συ συ εϕ σϕ σϕ εϕ π π + π 3π 3π π + + π π συ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ ηµ ηµ συ συ ηµ ηµ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ σϕ εϕ συ σϕ εϕ εϕ εϕ σϕ σϕ ~ 3 ~

8 φροτιστήρι στόος Περιοδική συάρτηση * Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγετι περιοδική, ότ υπάρχει T R + τέτοιος ώστε γι κάθε A ισχύου: i. + T A, T A, κι ii. f ( + T) = f ( T) = f ( ) Ο ριθμός Τ λέγετι περίοδος της συάρτησης f. Η συάρτηση ημίτοο Η συάρτηση με τη οποί κάθε πργμτικός ριθμός τιστοιχίζετι στο ηµ ( rd) λέγετι συάρτηση ημίτοο κι τη συμολίζουμε με: ηµ = ηµ ( rd) = f ( ) = ηµ 0 π π Η συάρτηση ημίτοο είι περιοδική με περίοδο π διότι: ( ) Μοοτοί ηµ ± π = ηµ, γι κάθε R 0 π π 3π π ηµ μέγιστο ψ = γι χ = π ελάχιστο ψ = - γι χ = 3 π Αυτό σημίει ότι η γρφική της πράστσης επλμάετι σε κάθε διάστημ πλάτους π. Η μοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστημ [ 0,π ] φίετι στο πρπάω πίκ. Η συάρτηση συηµίτοο Η συάρτηση µε τη οποί κάθε πργµτικός ριθµός τιστοιχίζετι στο συ ( rd ) λέγετι συάρτηση συηµίτοο κι τη συµολίζουµε: συ = συ( rd) Η συάρτηση υτή είι περιοδική µε περίοδο π, διότι: συ( ± π) = συ γι κάθε R ~ 4 ~

9 φροτιστήρι στόος = f ( ) = συ 0 π π π Αυτό σηµίει ότι η γρφική πράστση επλµάετι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. Η µοοτοί της συάρτησης υτής στο διάστηµ [ 0,π ] φίετι στο πρκάτω πίκ: 0 π π 3π π συ 0-0 µέγιστο ψ= γι χ=0 Ελάχιστο ψ=- γι χ=π µέγιστο ψ= γι χ=π Η συάρτηση εφπτοµέη Η συάρτηση εφπτοµέη ορίζετι ως το πηλίκο του ηµιτόου προς το συηµίτοο. ηµ Είι: f ( ) = εϕ = µε πεδίο ορισµού το A= { R : συ 0} συ εϕ ± π = εϕ, γι κάθε A. Άρ η γρφική Η συάρτηση εφ είι περιοδική µε περίοδο π διότι: ( ) της πράστση επλµάετι η ίδι σε κάθε διάστηµ πλάτους π. π π Ότ το πλησιάζει («τείει») στο µε < η εφ τείει στο + οπότε, λέµε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f µε f ( ) = εϕ π = 3π π π 0 π π 3π = f ( ) = εϕ ~ 5 ~

10 φροτιστήρι στόος Οι συρτήσεις f ( ) = ρηµ ( ω), όπου ρ, ω > 0 κι g( ) = ρσυ ( ω), όπου ρ, ω > 0 Επειδή ηµ έχουµε ηµ ( ω) επειδή ρ > 0 είι: ρ ηµ ( ω) ρ ρ f ( ) ρ Άρ η µέγιστη τιµή της f είι το ρ κι η ελάχιστη τιµή της είι το ρ. Α το ρ < 0 µε πρόµοιο τρόπο ελάχιστο το ρ κι µέγιστο το ρ. Το ω κθορίζει τη περίοδο Της της f που είι: Τριγωοµετρικές εξισώσεις T π = ω Βσικές τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµ = ηµθ = κπ + θ ή = κπ + π θ, κ Ζ συ = συθ = κπ ± θ, κ Ζ εϕ = εϕθ = κπ + θ, κ Ζ σϕ = σϕθ = κπ + θ, κ Ζ Τριγωοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος κι διφοράς συ ( + ) = συσυ ηµηµ συ ( ) = συσυ + ηµηµ ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ ηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ εϕ εϕ εϕ( + ) = εϕ( ) = εϕεϕ + εϕεϕ σϕσϕ σϕσϕ + σϕ( + ) = σϕ( ) = σϕ+ σϕ σϕ σϕ Τριγωοµετρικοί ριθµοί του. ηµ = ηµσυ. συ = συ ηµ. συ = συ γ. συ = ηµ εϕ σϕ εϕ 3. εϕ = 4. σϕ = 5. ηµ = εϕ σϕ +εϕ εϕ εϕ συ συ συ = 7. εϕ = 8. ηµ = + + συ + συ 3 3 συ = 0. ηµ 3 = 3ηµ 4ηµ. συ 3 = 4συ 3συ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ συ ( ) = συσυ + ηµηµ Χωρίς πόδειξη ~ 6 ~

11 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ συ ( + ) = συσυ ηµηµ Α στο τύπο συ ( ) = συσυ + ηµηµ τικτστήσουµε το µε έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) συ = συ + συ = συσυ + ηµηµ = συσυ ηµηµ ΘΕΩΡΙΑ 3 ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ π π Επειδή συ = ηµ κι ηµ = συ έχουµε: π π ηµ ( + ) = συ ( + ) = συ = π π = συ συ+ ηµ ηµ = ηµσυ συηµ ΘΕΩΡΙΑ 4 ηµ ( ) = ηµσυ συηµ Α στο τύπο ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ τικτστήσουµε το µε το έχουµε: [ ] [ ] ηµ + ( ) = ηµ ( ) ηµ + ( ) = ηµσυ ( ) + συηµ ( ) = ηµσυ συηµ εϕ+ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 5 εϕ( + ) =, συ ( + ) 0 εϕεϕ κι συ 0. ηµ ( + ) ηµσυ + συηµ εϕ( + ) = = = συ ( + ) συσυ ηµηµ ηµσυ συηµ + συσυ συσυ εϕ+ εϕ = = συσυ ηµηµ εϕεϕ συσυ συσυ ( ιιρούµε µε συσυ 0 ) εϕ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 6 εϕ( ) = εϕεϕ εϕ+ εϕ Α στο τύπο εϕ( + ) =, τικτστήσουµε το µε το έχουµε: εϕεϕ εϕ( ) = εϕ + ( ) [ ] εϕ+ εϕ( ) εϕ εϕ εϕ[ + ( )] = = εϕεϕ( ) + εϕεϕ ~ 7 ~

12 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 7 ηµ = ηµσυ ηµ = ηµ ( + ) = ηµσυ + συηµ = ηµσυ ΘΕΩΡΙΑ 8 συ = συ ηµ = συ = ηµ = ( + ) = = συ συ συσυ ηµηµ συ ηµ = ( ) = + = συ ηµ συ συ συ συ συ = = συ ηµ ηµ ηµ ηµ εϕ ΘΕΩΡΙΑ 9 εϕ = εϕ εϕ+ εϕ εϕ εϕ = εϕ( + ) = = εϕεϕ εϕ + συ ΘΕΩΡΙΑ 0 συ = Από το τύπο του διπλσίου τόξου έχουµε: + συ συ = συ συ + = συ συ = συ ΘΕΩΡΙΑ ηµ = συ συ = ηµ ηµ = συ ηµ = ΘΕΩΡΙΑ συ εϕ = + συ συ εϕ = = = + + ηµ συ συ συ συ Η γώση είι δύµη. Φργκίσκος Βάκω, 56-66, Άγγλος φιλόσοφος ~ 8 ~

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµοί Μοώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής όπου R, N * κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το R. Μοώυµο του λέµε επίσης κι κάθε πργµτικό ριθµό. Συτελεστής Μοώυµο του : Κύριο µέρος Χρκτηριστικά µοώυµ Μηδεικό µοώυµο λέγετι κάθε µοώυµο µε συτελεστή µηδέ, π.χ ,0. Μοώυµο µηδεικού θµού λέγετι κάθε µοώυµο του οποίου ο θµός είι µηδέ, π.χ = 7, 9= 9. Πολυώυµο του οοµάζουµε κάθε πράστση της µορφής , όπου 0 0,,...,, R, κι µι µετλητή που µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή πό το σύολο R. Έ πολυώυµο του το συµολίζουµε συήθως µε P( ), Q( ), f ( ), ϕ ( ) κ.λπ. Γράφουµε λοιπό: P( ) = Βθµός 0 Γι πράδειγµ: 3 Η πράστση Q( ) = είι πολυώυµο του. Χρκτηριστικά πολυώυµ Στθερά πολυώυµ Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί δηλδή τ πολυώυµ της µορφής Μηδεικό πολυώυµο: Λέγετι το στθερό πολυώυµο 0. P( ) = 0 0 Στοιχεί πολυωύµου P( ) = , 0 0 Όροι: Λέγοτι τ µοώυµ,..., 0 Στθερός όρος: Είι ο όρος 0 που δε περιέχει Συτελεστές: Λέγοτι οι πργµτικοί ριθµοί,,...,, 0 Βθµός: Είι ο εκθέτης Αριθµητική τιµή γι = ξ : Λέγετι ο ριθµός P( ξ ) = ξ ξ + 0 που προκύπτει στο P( ) τικτστήσουµε το µε το ριθµό ξ. Ρίζ: Ές ριθµός ρ R λέγετι ρίζ του P( ), κι µόο, P( p ) = 0 Σχόλιο Βθµός µηδεικού πολυωύµου δε ορίζετι εώ ο θµός κάθε στθερού µη µηδεικού πολυωύµου είι µηδέ. ~ 9 ~

14 φροτιστήρι στόος Ισότητ πολυωύµω ύο πολυώυµ του λέγοτι ίσ, κι µόο είι του ίδιου θµού κι οι συτελεστές τω οµοάθµιω όρω τους είι ίσοι. Έτσι P( ) = κι µ µ µ µ 0 Q( ) = είι δύο πολυώυµ του µε µ, έχουµε: 0 = 0, =,..., = P( ) = Q( ) + = + =... = µ = 0 Θεώρηµ (Τυτότητ της διίρεσης) Γι κάθε ζεύγος πολυωύµω ( ) κι δ ( ) µε δ ( ) 0 υπάρχου δύο µοδικά πολυώυµ π ( ) κι υ ( ) τέτοι ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου το υ ( ) είι το µηδεικό πολυώυµο ή έχει θµό µικρότερο πό το θµό του δ ( ). ( ) δ ( ) υ ( ) Σηµείωση π ( ) Ισχύει ( ) = δ ( ) π ( ) + υ( ) όπου: ( ) διιρετέος δ ( ) διιρέτης π ( ) πηλίκο υ ( ) υπόλοιπο κι είι θµού µικρότερου πό το θµό του δ ( ), ή υ ( ) = 0. Η διίρεση ( ) : δ ( ) λέγετι τέλει υ ( ) = 0. Τότε η τυτότητ της διίρεσης γράφετι: ( ) = δ ( ) π ( ) κι το δ ( ) λέγετι πράγοτς του ( ). Οι εκφράσεις: - το δ ( ) είι πράγοτς του ( ), το δ ( ) διιρεί το ( ), η διίρεση ( ) : δ ( ) είι τέλει, υπάρχει π ( ) ώστε: ( ) = δ ( ) π ( ) είι ισοδύµες. ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Θεώρηµ Το υπόλοιπο της διίρεσης εός πολυώυµου P( ) µε το p είι ο ριθµός P( p ). Η τυτότητ της διίρεσης: P( ) p υ = P( p) π ( ) είι: P( ) = ( p) π ( ) + P( p) Από τυτότητ διίρεσης του P( ) µε το p έχουµε P( ) = ( p) π ( ) + υ, π ( ) είι το πηλίκο της διίρεσης κι το υ το υπόλοιπο που είι στθερό πολυώυµο επειδή το p είι πρώτου θµού. Α θέσουµε = p, έχουµε P( p) = ( p p) π ( p) + υ= 0 π ( p) + υ, δηλδή P( p) = υ. ~ 0 ~

15 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 3 Έ πολυώυµο P ( ) έχει πράγοτ το p, κι µόο, το p είι ρίζ του P ( ). Έστω το p είι πράγοτς του P ( ) τότε P( ) = ( p ) π ( ). Από υτή τη ισότητ γι = p, έχουµε P ( p) = ( p p ) π ( p ) = 0, δηλδή το p είι ρίζ του P ( ). Ατίστροφ: Έστω ότι το p είι ρίζ του P ( ) δηλδή P ( p ) = 0, το υπόλοιπο της διίρεσης του P ( ) µε το p είι: υ = P ( p ) = 0 Έχουµε: P( ) = ( p ) π ( ) + P( p) P( ) = ( p ) π ( ) + 0 P( ) = ( p ) π ( ), δηλδή το p είι πράγοτς του P ( ). ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω πολυωυµική εξίσωση: = 0, µε κέριους συτελεστές. Α ο κέριος p 0 είι ρίζ της εξίσωσης τότε ο p είι διιρέτης του στθερού όρου. Α p 0, είι ρίζ της εξίσωσης έχουµε: p + p p + 0 = 0 p ( p + p ) + 0 = 0 0 = p ( p + p ). λ Z Επειδή λ Z το p διιρεί το στθερό όρο 0. Σηµείωση Τις κέριες ρίζες τις ζητούµε µέσ στο σύολο τω διιρετώ του 0 ~ ~

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΙΟ 3 ο ΠΡΟΟ ΟΙ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ακολουθίες Ακολουθί οοµάζουµε κάθε συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Ν * τω θετικώ κερίω. Μι κολουθί συµολίζετι συήθως µε το γράµµ κι η τιµή της στο συµολίζετι µε κι διάζετι «µε δείκτη». Οι τιµές της,, 3 κ.τ.λ. λέγοτι κτά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της κολουθίς. Ο όρος λέγετι ιοστός όρος ή γεικός όρος της κολουθίς. Μι κολουθί είι πλήρως ορισµέη ότ µπορούµε ρούµε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συµίει ότ γωρίζουµε: i. Το γεικό όρο της κολουθίς ii. π.χ. Α ο γεικός όρος είι ο =, τότε =, = 3, 3 = 5, είι η κολουθί τω περιττώ ριθµώ Έ δροµικό τύπο της κολουθίς π.χ. Α =, = 3 κι + = + + Έχουµε: 3 = + = + = 4 = 3+ = + = 3 5 = 4+ 3 = 3+ = 5 Μειοέκτηµ του δροµικού τύπου είι ότι γι ρούµε π.χ. το 00 πρέπει γωρίζουµε τους 99 προηγούµεους όρους. Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθµητική πρόοδος (Α.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο του µε πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθµού. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε ω κι το λέµε διφορά της προόδου. Εποµέως µι κολουθί είι ριθµητική πρόοδος, κι µόο, ισχύει: + = + ω + = ω, Ν * Η διφορά δύο διδοχικώ όρω είι στθερή. Ιδιότητες της ριθµητικής προόδου i. Ο ιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο κι διφορά ω δίετι πό το ii. iii. i. τύπο: = + ( ) ω Αριθµητικός µέσος τω ριθµώ, γ λέγετι ο ριθµός, κι µόο, + γ Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Α.Π., κι µόο, = Το άθροισµ τω πρώτω όρω Α.Π. µε διφορά ω το συµολίζουµε µε: S... ~ ~ + γ = = κι δίετι πό τους τύπους: S = ( + ) ή = + ( ) S ω

17 φροτιστήρι στόος Γεωµετρική πρόοδος Γεωµετρική πρόοδο (Γ.Π.) οοµάζουµε µι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεό του µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό ριθµό. Το ριθµό υτό το συµολίζουµε συήθως µε λ κι το οοµάζουµε λόγο της προόδου. Σε µι γεωµετρική πρόοδο υποθέτουµε πάτ ότι 0 οπότε φού είι κι λ 0 ισχύει 0, γι κάθε Ν * Εποµέως µι κολουθί ( ) είι γεωµετρική πρόοδος κι µόο ισχύει = =, δηλδή το πηλίκο δύο διδοχικώ όρω είι στθερό. + + λ λ Ιδιότητες της Γεωµετρικής Προόδου i. Ο ιοστός όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ δίετι πό το τύπο: = λ ii. Γεωµετρικός µέσος τω, γ 0 λέγετι ο θετικός ριθµός, κι µόο, = γ iii. Οι,, γ, είι διδοχικοί όροι µις Γ.Π., κι µόο, = γ i. Το άθροισµ τω πρώτω όρω Γ.Π., µε διφορά λ το συµολίζουµε S = κι ΘΕΩΡΙΑ λ δίετι πό το τύπο S = γι λ κι S = γι λ=. λ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Ο ος όρος µίς ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο Από το ορισµό της ριθµητικής προόδου έχουµε: = = + ω 3 = + ω 4 = 3+ ω... = + ω = + ω ΘΕΩΡΙΑ Με πρόσθεση κτά µέλη πίρουµε: = + ( ) κι διφορά ω είι: = + ( ) ~ 3 ~ ω ω (Αριθµητικός µέσος). Τρείς ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι µόο + γ ισχύει: = + γ ή = Έστω,, γ τρείς διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Τότε ισχύει: + γ = ω κι γ = ω = γ + = γ + = + γ =

18 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Ο ος όρος µίς γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ είι: Από το ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε: = = λ 3 = λ 4 = 3λ Με πολλπλσισµό κτά µέλη πίρουµε: = λ... = λ = λ = λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωµετρικός µέσος). Τρείς µη µηδεικοί ριθµοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι µόο : = γ Έστω,, γ 0 τρεις διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Τότε ισχύει: ΘΕΩΡΙΑ 5 λ = κι γ γ = λ = = γ Άθροισµ διδοχικώ όρω γεωµετρικής προόδου. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς γεωµετρικής λ προόδου µε λόγο λ είι: S = λ. Έστω: S = + λ+ λ λ + λ () Πολλπλσιάζοτς τ µέλη της () µε λ έχουµε: Αφιρούµε κτά µέλη τις, κι έχουµε: λs S λ λ κι επειδή λ ισχύει: S = λ Πρτήρηση: λs = λ+ λ + λ λ + λ () 3 = ή S ( λ ) Α λ= τότε όλοι οι όροι είι ίσοι µε το πρώτο όρο οπότε S =. Ν είστε ρελιστές Ν ζητάτε το δύτο (σύθηµ τω Γάλλω φοιτητώ το Μάιο του 968) ~ 4 ~

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΥΣΗ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ιδιότητες τω δυάµεω Έστω, > 0 κι,, R, τότε: i. = + i. ( ) = Επίσης ισχύου: 0 * =, R µ ii.. µ * =, µ N, N,, R * = Ν Α > 0 ορίζουµε: 0 = 0. Εκθετική συάρτηση = iii. ( ) = = Ορισµός Οοµάζουµε εκθετική συάρτηση µε άση τη συάρτηση: f : R R µε f ( ) Πρτήρηση: Α =, τότε έχουµε τη στθερή συάρτηση f ( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού: A= R Σύολο τιµώ: Το διάστηµ ( 0,+ ) Μοοτοί i. Α > είι γησίως ύξουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε <. Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο το ρητικό ηµιάξο O ' ii. Α 0< < είι γησίως φθίουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε > Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύµπτωτη στο + το θετικό ηµιάξο O φροτιστήρι στόος =, όπου 0 <. Γι τη συάρτηση f ( ) = µε 0< κι R ισχύει = = γι κάθε, R. ' = ' A ( 0,) > 0< < O ' A ( 0,) ' O = ~ 5 ~

20 Επίσης η γρφική της πράστση τέµει το άξο το άξο ' φού > 0 γι κάθε R. φροτιστήρι στόος ' στο σηµείο ( 0, ) εώ δε έχει κοιά σηµεί µε Πρτήρηση Γι τις συρτήσεις f ( ) = κι g( ) = πρτηρούµε ότι γι κάθε R ισχύει: g( ) = = = = f ( ) ηλδή οι γρφικές πρστάσεις είι συµµετρικές ως προς το άξο ' όπως φίετι στο σχήµ µε >. g( ) = ' A ( 0,) ' O f ( ) = Ο ριθµός e Κθώς το υξάει περιόριστ, οι όροι της κολουθίς που το συµολίζουµε µε e κι είι e,78. = + προσεγγίζου έ άρρητο ριθµό Συµολικά γράφουµε e= lim +. Γι τη συάρτηση µε τύπο f ( ) = e ισχύου όσ φέρµε πρπάω γι τη συάρτηση f ( ) =, > (φού = e=,78... > ). Ο όµος της εκθετικής µετολής ct Μι εκθετική συάρτηση µε άση το ριθµό e είι η Q( t) = Q0 e που είι γωστή κι ως όµος της εκθετικής µετολής κι χρησιµοποιείτι γι τη µελέτη µεγεθώ τ οποί µετάλλοτι συρτήσει του χρόου στη Φυσική, στη Βιολογί κλπ. Το Q 0 είι θετικός ριθµός κι ποτελεί τη τιµή της συάρτησης Q γι t= 0. Α c> 0 η συάρτηση Q είι γησίως ύξουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής ύξησης. Α c< 0 η συάρτηση Q είι γησίως φθίουσ κι δηλώει το όµο της εκθετικής πόσεσης. Η έοι του λογάριθµου Έστω η εξίσωση = θ, > 0, θ > 0. Η εξίσωση υτή έχει µοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f ( ) = είι γησίως µοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιµώ της. Τη µοδική υτή λύση τη συµολίζουµε µε log θ κι τη οοµάζουµε λογάριθµο του θ ως προς άση το. Είι δηλδή: = θ = log θ, > 0, θ > 0 Ισοδύµ υτό διτυπώετι ως εξής: Ο log θ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουµε το γι ρούµε το θ. Συέπειες του ορισµού γι > 0, R κι θ > 0 log = κι log θ = θ Αφού είι = τότε log = 0 Αφού είι = τότε log 0 = Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 6 ~

21 φροτιστήρι στόος Ιδιότητες λογρίθµω Α > 0 τότε γι οποιουσδήποτε,, 0 log θ θ = log θ + log θ. ( ) θ. log = logθ logθ θ κ 3. log θ = κ log θ Πρτήρηση θ θ θ > κι Επειδή γι κάθε θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: Πρτήρηση ~ 7 ~ κ R ισχύου: Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθµούς θ, θ,..., θ. log θ θ... θ = log θ + log θ log θ. ηλδή: ( ) Πρτήρηση 3 Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: log logθ θ =. εκδικοί λογάριθµοι Οι λογάριθµοι µε άση το 0 οοµάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθµοι. Είι δηλδή 0 = θ = log θ, θ > 0. Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. log0 log = κι 0 θ = θ. log0= κι log= 0 log θ θ = logθ + logθ 3. ( ) θ 4. log = logθ logθ θ κ 5. logθ = κ logθ 6. log θ = logθ = log θ. log θ = logθ = logθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν Φυσικοί λογάριθµοι Στ µθηµτικά είι πολύ χρήσιµοι κι οι λογάριθµοι µε άση το ριθµό e. Οι λογάριθµοι υτοί οοµάζοτι φυσικοί ή επέριοι λογάριθµοι. Ο επέριος λογάριθµος εός θετικού ριθµού θ, συµολίζετι µε lnθ κι όχι µε log e θ. Είι δηλδή: e = θ = ln θ, θ > 0 Γι υτούς τους λογρίθµους ισχύου τ εξής:. ln e ln = κι e θ = θ. ln e= κι ln= 0 ln θ θ = lnθ + lnθ 3. ( ) θ 4. ln = lnθ lnθ θ κ 5. lnθ = κ lnθ 7. ln θ = lnθ = lnθ όπου θ, θ, θ > 0 κι κ R κι Ν

22 φροτιστήρι στόος 6. Αλλγή Βάσης Α > 0 κι > 0 τότε γι κάθε θ > 0 ισχύει: Πρτήρηση 4 lnθ Είι logθ = κι ln0 logθ lnθ = log e log logθ θ = log ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Α > 0 κι τότε γι οποιδήποτε,, 0 ΘΕΩΡΙΑ θ θ θ > κι ( ) κ R ισχύει: log θθ = log θ + log θ Έστω log θ = κι log θ =. Από το ορισµό του λογρίθµου έχουµε: = θ κι = θ Οπότε πολλπλσιάζοτς: Από το ορισµό έχουµε: ( ) + = θθ ή = θθ log θθ = + = log θ + log θ ΘΕΩΡΙΑ θ = Έστω log θ = κι log θ = έχουµε πό ορισµό: log logθ logθ θ Οπότε διιρώτς: θ θ = θ κι θ = ή = θ = θ θ Από το ορισµό έχουµε: log = = log θ logθ θ ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω log θ = κι πό ορισµό έχουµε έχουµε: ( ) κ κ θ k = ή = θ κ κι πό ορισµό ισχύει: log θ = κ = κ log θ κ κ log θ = κ log θ = θ υψώσουµε κι τ δύο µέλη της ισότητς εις τη κ οπότε Πρτήρηση: Επειδή γι θ > 0 κι Ν ισχύει θ = θ έχουµε: log θ = logθ = log θ ~ 8 ~

23 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις Στ Μθηµτικά Κτεύθυσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έοι διύσµτος Πράξεις Ισότητ ιυσµάτω uu uu ΑΒ=Γ ότ είι οµόρροπ κι έχου ίσ µέτρ. uu uu uu uu uu uu uu uu ΑΒ=Γ ΑΓ=Β Β=ΓΑ Γ=ΒΑ Α,, r γ διύσµτ µε λ, µ R τότε:. + = + r = r r 5. + γ = + γ = r r r 7. + = 0 = r r. ( + ) + γ = + ( + γ) r 4. + ( ) = 0 r r r 6. + = = 0 8. ( + ) = ( ) + ( ) uu ΑΒ = uu ΟΒ -ΟΑ uu 9. Α Ο στθερό σηµείο του χώρου Ειδικές περιπτώσεις: + = + = = + r r r. 0 = 0, λ 0= 0. λ( + ) = λ+ λ 3. ( λ + µ ) = λ+ λ 4. λ ( µ) = ( λµ ) r r 5. = 6. λ = 0 λ= 0 ή = 0 7. ( λ) = λ( ) = ( λ) 8. λ( ) = λ λ 9. ( λ µ ) = λ µ 0. Α λ = λ κι λ 0 τότε =. Α λ = µ r κι 0 τότε λ = µ Γ Α Β Ισχύου επίσης: r / / = λ γι λ R, 0 r Α κι το γ ήκει στο διυσµτικό επίπεδο τω, τότε υπάρχου µοδικοί r r λ, µ R ώστε γ = λ + µ. Τότε το γ λέγετι γρµµικός συδυσµός τω κι. uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ Α Μ είι το µέσο του ΑΒ τότε: ΟΜ= (Ο σηµείο φοράς). ~ 9 ~

24 φροτιστήρι στόος Συτετγµέες στο επίπεδο Α Ο έ ορθοκοικό σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι έ διάυσµ σ υτό, τότε γράφουµε = (, ), όπου τ, είι οι µοδικοί πργµτικοί ριθµοί γι τους οποίους r r r = i+ j. Κι ισχύου:. Έστω = (, ), = (, ) τότε = = κι =. Α = (, ), = (, ) τότε + = ( +, + ) 3. Γι R =, λ = λ, λ λ κι ( ) είι ( ) A(, ), (, ) uu AB= (, ) 4. Α uu B δύο σηµεί του κρτεσιού επιπέδου τότε: AB = ( ) + ( ) + + Α M (, ) το µέσο του ΑΒ τότε: =, = =, =, τότε: 5. Α ( ), ( ) 0 0 = = λ =, λ = γι 0, 0 λ = λ, εφόσο, λ, λ ορίζοτι Εσωτερικό γιόµεο διυσµάτω r r r r r r r r r,,, 0. Α = 0 ή = 0, τότε = 0 r = + λυτική έκγρση r r =,, =, τότε: r + συ(, ) = r = + + = συ( ) ( ) Α ( ) ( ) Ιδιότητες του εσωτερικού γιοµέου ~ 0 ~ r r r r r. =. ( λ) = λ( ) = ( λ) r r r r r 3. ( + γ) = + γ r r r 4. = =. Η ιδιότητ υτή µς µετφέρει πό διύσµτ σε µέτρ κι τίστροφ. 5. = 6. = 7. = = 0 9. λ λ = εφόσο ορίζοτι οι συτελεστές λ, λ r r 0. = (όπου = προ ) Ο r

25 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω δύο διύσµτ r κι κι τυχίο σηµείο Ο. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ τω διυσµάτω r κι είι εξάρτητο της επιλογής του σηµείου Ο. Περιγράψτε το κό του πρλληλογράµµου. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε διάυσµ ΟΑ= κι στη συέχει µε ρχή το Α πίρουµε διάυσµ ΑΜ=. uuuu uuuu Έστω Ο ' είι έ άλλο σηµείο κι ς θεωρήσουµε τ διύσµτ Ο' Α ' = κι Α' Μ=. Επειδή uu uuuu uuu uuuuu uuu uuu uuu uuuu uuu uuuu ΟΑ=Ο ' Α ' = κι ΑΜ=Α ' Μ ' =, προκύπτει ΟΟ ' =ΑΑ ' κι ΑΑ ' =ΜΜ '. Εποµέως, ΟΟ ' =ΜΜ ', uuu uuuuu που σηµίει ότι κι ΟΜ=Ο ' Μ '. O r A r + r M A ' r + M ' O ' Το άθροισµ δύο διυσµάτω ρίσκετι κι µε το κό του πρλληλογράµµου, ο οποίος περιγράφετι ως εξής: Α Α µε ρχή έ σηµείο Ο θεωρήσουµε τ uu uu ιύσµτ ΟΑ= κι ΟΒ=, τότε το + άθροισµ + ορίζετι πό τη διγώιο ΟΜ του πρλληλόγρµµου που έχει Ο προσκείµεες πλευρές τις ΟΑ κι ΟΒ. Μ ΘΕΩΡΙΑ Β Αποδείξτε τις επόµεες ιδιότητες γι το άθροισµ διυσµάτω.. + = + (Ατιµετθετική ιδιότητ) r r + + γ = + + γ (Προσετιριστική ιδιότητ). ( ) ( ). Σύµφω µε το διπλό σχήµ έχουµε: uu uuu uuu + =ΟΑ+ΑΜ=ΟΜ κι uu uuu uuu + =ΟΒ+ΒΜ=ΟΜ. Άρ + = +. Ο Β Α + Μ ~ ~

26 . Από το διπλό σχήµ έχουµε: r uu uu uu uu uu uu + + = ΟΑ+ΑΒ +ΒΓ=ΟΒ+ΒΓ=ΟΓ r uu uu uu uu uu uu + + =ΟΑ+ ΑΒ+ΒΓ =ΟΑ+ΑΓ=ΟΓ r r. ( ) γ ( ) ( γ) ( ) Άρ ( + ) + γ = + ( + γ) ΘΕΩΡΙΑ 3 κι φροτιστήρι στόος ) Τι οοµάζουµε διάυσµ θέσεως σηµείου Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Αποδείξτε ότι: Κάθε διάυσµ στο χώρο είι ίσο µε τη διυσµτική κτί του πέρτος µείο τη διυσµτική κτί της ρχής. ) Έστω Ο έ στθερό σηµείο του χώρου. Γι κάθε σηµείο Α του χώρου ορίζετι έ διάυσµ ΟΑ uu, το οποίο λέγετι διάυσµ θέσεως του Α ή διυσµτική κτί του Α. ) Έστω Ο έ σηµείο φοράς. uu Τότε γι οποιοδήποτε διάυσµ ΑΒ ισχύει uu uu uu uu uu uu ΟΑ+ΑΒ=ΟΒ κι ισοδύµ ΑΒ=ΟΒ ΟΑ. Ο Α + r + + γ Ο Β r + γ Α γ r Γ Β ΘΕΩΡΙΑ 4 Αποδείξτε ότι γι οποιδήποτε διύσµτ κι ισχύει + + Στο διπλό σχήµ, στο τρίγωο ΟΑΒ πό τη τριγωική ισότητ γωρίζουµε ότι: ( ΟΑ) ( ΑΒ) ( ΟΒ) ( ΟΑ ) + ( ΑΒ ) κι συεπώς + + Ο Α + Β ΘΕΩΡΙΑ 5 r Αποδείξτε ότι, είι δύο διύσµτ, µε 0, τότε // = λ, λ R. Α δύο διύσµτ κι r, µε 0, συδέοτι µε τη σχέση = λ, τότε τ διύσµτ υτά είι πράλληλ. (εξ ορισµού του γιοµέου ριθµού µε διάυσµ). Ισχύει όµως κι το τίστροφο. ηλδή, τ διύσµτ κι r είι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει µοδικός ριθµός λ τέτοιος ώστε: = λ Α τώρ θέσουµε κ =, πίρουµε = κ κι συεπώς: r Α, τότε = κ Α, τότε = κ Α = 0, τότε = 0 Άρ σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ κι µάλιστ µοδικός τέτοιος ώστε = λ ~ ~

27 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 Αποδείξτε ότι γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu του µέσου Μ ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ ισχύει: uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ= uu Α Θεωρούµε διάυσµ ΑΒ κι έ σηµείο φοράς Ο. Γι τη διυσµτική κτί ΟΜ uuu // του µέσου Μ του Μ τµήµτος ΑΒ έχουµε: uuu uu uuu uuu uu uuu // ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ () κι ΟΜ=ΟΒ+ΒΜ () Εποµέως, µε πρόσθεση κτά µέλη τω () κι () πίρουµε: uu uu uuu uu uuu uu uuu uu uu uuu ΟΑ+ΟΒ ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ+ΟΒ+ΒΜ=ΟΑ+ΟΒ. Άρ ΟΜ= Ο Β ΘΕΩΡΙΑ 7 Αποδείξτε ότι το οποιοδήποτε διάυσµ, έστω, του επιπέδου γράφετι ως γρµµικός συδυσµός τω µοδιίω διυσµάτω r i κι r j κι µάλιστ κτά µοδικό τρόπο. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι έ διάυσµ του επιπέδου. uu r. Με ρχή το Ο γράφουµε το διάυσµ OA= Α A κι A είι οι προολές του Α στους άξοες uu uu uuu ' τιστοίχως, έχουµε: OA= OA+ OA () Α, είι οι συτετγµέες του Α, τότε uu r uuu r ισχύου: OA = i κι OA = j. Εποµέως η ισότητ () γράφετι r r r = i+ j () ' κι Αποδείξµε δηλδή ότι το είι γρµµικός συδυσµός τω i r κι j r. Οι ριθµοί κι στη πρπάω γρφή είι µοδικοί. Θ ποδείξουµε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρµµικού συδυσµού τω r i κι r j είι µοδική. Πράγµτι, έστω ότι το διάυσµ r r r γράφετι κι ως εξής: = ' i+ ' j (3) r r r r Τότε πό () κι (3) ισχύει: i+ j= ' i+ ' j r r ( ') i= ( ') j r ' r Α υποθέσουµε ότι ', δηλδή ότι ' 0, τότε θ ισχύει i= j ' r r r r Η σχέση υτή, όµως, δηλώει ότι i / / j, που είι άτοπο, φού τ i κι j δε είι συγγρµικά. Εποµέως = ', που συεπάγετι ότι κι = '. A r j O i r r r A A Θεριή Προετοιµσί στ Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

28 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 8 Α γωρίζετε τις συτετγµέες δύο διυσµάτω κι του κρτεσιού επιπέδου, τότε ρείτε τις συτετγµέες του θροίσµτος +, του γιοµέου λ, λ R κι εκφράσετε τις συτετγµέες κάθε γρµµικού συδυσµού τω κι συρτήσει τω συτετγµέω τω διυσµάτω κι. Α = (, ) κι = (, ), τότε έχουµε: r r r r r r + = ( i+ j) + ( i+ j) = ( + ) i+ ( + ) j r r r r λ = λ( i+ j) = ( λ) i+ ( λ ) j + = +, + λ = λ, λ Εποµέως ( ) κι ( ) ή ισοδύµ (, ) + (, ) = ( +, + ) κι λ(, ) = ( λ, λ ) ~ 4 ~ Γεικότερ, γι το γρµµικό συδυσµό λ + µ έχουµε: λ + µ = λ, λ + µ, µ = λ + µ, λ + µ ΘΕΩΡΙΑ 9 Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) ( ) ( ) ( ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι + (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι ισχύει = κι + =. Ας θεωρήσουµε δύο σηµεί (, ) B του κρτεσιού επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι Γωρίζουµε ότι: B(, ) uuu uu uu uu uu OM = ( OA+ OB), κι OM = (, ), OA= (, ), OB= (, ) M(, ) + + Εποµέως (, ) = (, ) + (, ) =, A, + + ηλδή = κι =. O ΘΕΩΡΙΑ 0 A κι (, ) (, ) είι οι συτετγµέες του µέσου Μ του ΑΒ. Αποδείξτε ότι οι συτετγµέες (, ) δίοτι πό τις σχέσεις: Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι (, ) επιπέδου κι ς υποθέσουµε ότι (, ) του διύσµτος µε άκρ τ σηµεί (, ) = κι =. B του κρτεσιού uu uu ΑΒ= (, ), ΟΒ= ( ) έχουµε: (, ) (, ) (, ) (, ) A κι B(, ) B(, ) (, ) A είι οι συτετγµέες uu του διύσµτος ΑB. uu uu uu uu Επειδή, ΑΒ=ΟΒ ΟΑ,,, κι ΟΑ= (, ), O = = Εποµέως: = κι =. ( )

29 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ r =, Έστω ( ) είι ίσο µε: έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου. Αποδείξτε ότι το µέτρο του διύσµτος r = +. r Έστω = (, ) έ διάυσµ του κρτεσιού επιπέδου r κι Α το σηµείο µε διυσµτική κτί OA=. Έστω κόµη A κι A οι προολές του Α στους άξοες ' κι ' τιστοίχως. Επειδή το σηµείο Α έχει τετµηµέη κι τετγµέη, = κι ( OA ) =. θ ισχύει ( OA) Έτσι πό το τρίγωο OA A µε εφρµογή του πυθγορείου θεωρήµτος έχουµε: r = ( OA) = ( OA) + ( A A) = ( OA) + ( OA) = + = +. r Εποµέως: = + A O A(, ) A r ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η πόστση τω σηµείω (, ) ( AB) ( ) ( ) = +. A κι (, ) B είι ίση µε Θεωρούµε δύο σηµεί A(, ) κι B(, ) του κρτεσιού επιπέδου. Επειδή η πόστση ( ) σηµείω Α κι Β είι ίση µε το µέτρο του διύσµτος AB = (, ) θ ισχύει: uu AB = AB = + ( ) ( ) ( ) Εποµέως: Η πόστση τω σηµείω (, ) A κι B(, ) είι ίση µε ( AB) = ( ) + ( ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι r, είι δύο διύσµτ, = (, ), = (, ) διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως τότε: / / λ = λ Γι τ διύσµτ = (, ) κι = (, ) έχουµε τις ισοδυµίες: O (, ) A AB τω, σύµφω µε γωστό τύπο (, ) B, χ, χ 0 µε συτελεστές µε συτελεστές διεύθυσης λ κι λ τιστοίχως, // = 0 = 0 = = = λ λ. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 5 ~

30 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 4 Πως µπορούµε εκφράσουµε το εσωτερικό γιόµεο δύο διυσµάτω = (, ) συρτήσει τω συτετγµέω τους. Με ρχή το Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uu ΟΑ= κι ΟΒ=. Από το όµο τω Συηµίτοω στο τρίγωο ΟΑΒ έχουµε τη ισότητ: ( ΑΒ ) = ( ΟΑ ) + ( ΟΒ) ( ΟΑ)( ΟΒ ) συ AOB η οποί ισχύει κι στη περίπτωση που τ σηµεί Ο, Α, Β είι συευθεικά. (, ) B κι = (, ) (, ) A θ r O Όµως είι: ( AB) = ( ) + ( ), ( ) OA = + κι ( ) OB Εποµέως, έχουµε διδοχικά: ( ) + ( ) = ( )( ) συ OA OB AOB ( )( ) συ = OA OB AOB r OA OB συ AOB =, έχουµε τελικά: = + κι επειδή ( )( ) = +. ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι ισχύου οι επόµεες ιδιότητες: λ = ( λ) = λ( ), λ R r r ( + γ) = + γ λλ =, όπου λ = λ κι λ = λ,, / // ( ' ) Α r = ( ), r = (, ) κι γ = ( 3, 3), τότε έχουµε: ( ) (, )(, λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ) κι ( ) (, )(, r λ = λ λ ) = ( λ) + ( λ ) = λ( + ) = λ( ). λ = λ = λ Άρ: ( ) ( ) ( ) r ( + γ) = (, )( +, + ) = ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = r r r = + γ. = 0 + = 0 = = λλ = ~ 6 ~

31 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 6 =, Α ( ) κι = (, ) γωί θ. Αποδείξτε ότι: συθ = r r Είι = συθ κι εποµέως συθ =. Είι όµως Εποµέως, r = +, είι δύο µη µηδεικά διύσµτ του επιπέδου που σχηµτίζου συθ = r = + + κι + + = + ΘΕΩΡΙΑ 7 r r r r r r r r Έστω, δύο διύσµτ του επιπέδου µε 0. Αποδείξτε ότι = προ.. Με ρχή έ σηµείο Ο πίρουµε τ διύσµτ uu uuu r ΟΑ= κι ΟΜ=. Από το Μ φέρουµε κάθετο στη διεύθυση του ΟΑ uu κι έστω Μ το ίχος της κθέτου. Ο θ r Μ Μ Α Το διάυσµ ΟΜ uuuu το λέµε προολή του r στο το συµολίζουµε µε uuuu r ΟΜ = προ προr κι γράφουµε: (Η προολή του r πάω στο είι εξάρτητη πό τη επιλογή του σηµείου Ο). Γι το εσωτερικό γιόµεο τω κι r έχουµε: uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu r = ( ΟΜ +ΜΜ ) = ΟΜ + ΜΜ= ΟΜ = προ r r Εποµέως: = προ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ; ~ 7 ~

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΥΘΕΙΑ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εξίσωση ευθείς. Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ είι: ε : 0 = λ( 0 ). Η εξίσωση ευθείς (ε) η οποί διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(, ) µε είι: ε : = ( ), όπου = λε = λuu AB ή = = 3. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που τέµει το άξο ' ο συτελεστής διεύθυσης της (ε) στο σηµείο ( ) 0, είι ε : = λ+, όπου λ 4. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο Ο ( 0,0) κι δε είι ο άξος ' είι: ε : = λ 5. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 6. Η εξίσωση της ευθείς (ε) που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0) κι είι πράλληλη στο άξο ' είι: ε : = 0 7. Η εξίσωση A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 Κάθε ευθεί έχει εξίσωση της µορφής: A+ B+Γ= 0, µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Πρτηρήσεις: Α B 0 τότε:. Η ευθεί µε εξίσωση () έχει συτελεστή διεύθυσης: A λ =. B. Η ευθεί µε εξίσωση () είι πράλληλη στο µη µηδεικό διάυσµ δ = ( Β, Α) ή στο u δ = ( Β, Α). u u 3. Η ευθεί µε εξίσωση () είι κάθετη στο µη µηδεικό διάυσµ κ = ( Α, Β ) ή κ = ( Α, Β) u Απόστση σηµείου πό ευθεί. Η πόστση d εός σηµείου (, ) ευθεί µε εξίσωση: Μ πό µί (ε) A+ B+Γ= 0, A+ B 0 ε d Μ (, ) δίετι πό το τύπο: A0+ B0+Γ d = d( M 0, ε) = Α +Β O ~ 8 ~

33 φροτιστήρι στόος Εµδό τριγώου. Α είι γωστές οι κορυφές τριγώου ΑΒΓ, το εµδό του δίετι πό το τύπο: ( ) uu uu ΑΒΓ = det ( AB, AΓ) uu uu uu uu είι η ορίζουσ τω συτετγµέω τω διυσµάτω AB κι AΓ. όπου det ( AB, AΓ) Ισοδύµ ισχύει: ( ) uu uu det (, ) uu uu ΑΒΓ = ΒΑ ΒΓ = det ( ΓΑ, ΓΒ) ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». Έστω διάυσµ δ πράλληλο σε µι ευθεί ε. Α φ κι ω είι οι γωίες που σχηµτίζου το διάυσµ δ κι η ευθεί ε µε το άξο ' τιστοίχως, τότε θ ισχύει ϕ = ω ή ϕ= π+ ω. Εποµέως εϕϕ = εϕω. Άρ: «Ότ µι ευθεί κι έ διάυσµ είι πράλληλ, έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης». ε ε δ Ο ϕ ω ω ϕ Ο ω ω ϕ = ω δ ϕ= π+ ω ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι: ο συτελεστής διεύθυσης λ µις ευθείς που διέρχετι πό τ σηµεί (, ) (, ) B, µε είι λ=. Έστω Α (, ) κι (, ) B δύο σηµεί της ευθείς ε. ~ 9 ~ Α κι Τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς ε είι ίσος µε το συτελεστή διεύθυσης του διύσµτος uu AB= (, ), δηλδή ίσος µε.

34 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 3 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το A κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι (, ) Α έ σηµείο του επιπέδου. Ζητάµε τη 0 0 εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό το σηµείο Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ. Έ σηµείο (, ) M διφορετικό του (, ) Α 0 0 ήκει στη ε, κι µόο, το διάυσµ uuu AM είι πράλληλο στη ευθεί ε, δηλδή κι µόο, το διάυσµ uuu AM κι η ευθεί ε έχου το ίδιο συτελεστή διεύθυσης. 0 0 ϕ Ο A( 0, 0) ε M (, ) uuu 0 0 0, έχουµε λuuu = A Μ. 0 0 Εποµέως το σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο, ισχύει: Επειδή AM = (, ) Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σηµείο ( 0, 0) Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είι: = λ( ) 0 0 Α. 0 = λ ή λ( ) =. 0 0 ΘΕΩΡΙΑ 4 Έστω O έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο κι Α (, ) κι B(, ) δύο σηµεί του επιπέδου. Ν ρείτε τη εξίσωση της ευθείς ε που διέρχετι πό τ σηµεί Α (, ) κι (, ) Έστω ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί, B,. Α ( ) κι ( ) Α, τότε ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς είι λ= γράφετι: = ( ) κι εποµέως η εξίσωση = λ( ) Ότ = = 0 δηλδή η ευθεί ε είι κτκόρυφη, δε ορίζετι ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείς. Τότε η εξίσωση της κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο Α ( 0, 0) είι: = 0 γιτί κάθε σηµείο της Μ έχει τετµηµέη Ο A(, ) ε B(, ) B. Το στρό δεδρύλλιο το ισιώεις. Το στρό δέτρο ποτέ. ~ 30 ~

35 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ 5 Αποδείξτε ότι: Κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 () κι τιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () πριστάει ευθεί γρµµή. Έστω ε µι ευθεί στο κρτεσιό επίπεδο. Α η ευθεί ε τέµει το άξο ' εξίσωση = λ+, η οποί γράφετι: στο σηµείο ( 0,) Σ κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, τότε θ έχει λ+ ( ) + = 0 Α η ευθεί ε είι κτκόρυφη κι διέρχετι πό το σηµείο P( 0, 0), τότε θ έχει εξίσωση = 0, η οποί γράφετι ισοδύµ: ( ) = 0. 0 Βλέπουµε, δηλδή, ότι κι στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς ε πίρει τη µορφή A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 ε P( 0, 0) Ο Ατιστρόφως, έστω η εξίσωση: A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 A Α B 0, τότε η εξίσωση γράφετι = Γ B B, που είι εξίσωση ευθείς µε συτελεστή Α Γ διεύθυσης λ= κι η οποί τέµει το άξο ' στο σηµείο 0, Β Β. Γ Α Β= 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είι A 0 κι η εξίσωση γράφετι =, που είι Α εξίσωση ευθείς που είι κάθετη στο άξο Γ ' στο σηµείο του P,0 Α. Έτσι σε όλες τις περιπτώσεις η εξίσωση A+ B+Γ= 0 µε A 0 ή B 0 πριστάει ευθεί. Ολοκληρωµέη εκπίδευση Οργάωση - Προγρµµτισµός Φροτιστήρι στόoς = 00% Επιτυχί ~ 3 ~

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ορισµός Κύκλος είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό στθερό σηµείο του επιπέδου στθερή πόστση. Το στθερό σηµείο λέγετι κέτρο κι η στθερή πόστση κτί του κύκλου. ρ ρ Α (, ) Ο ( 0,0) Ο ( 0,0) Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Ο (0,0) κι Εξίσωση εφπτοµέης κύκλου µε κτί ρ : + = ρ κέτρο Ο (0, 0) κι κτί ρ στο σηµείο Α (, ) : + = ρ Κ (, ) 0 0 ρ Εξίσωση κύκλου µε κέτρο Κ ( 0, 0) κι = ρ κτί ρ: ( ) ( ) Ο Η εξίσωση A B Γ= 0 (), A, B, Γ R Α Α Α Α +Β 4Γ> 0 : η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο το σηµείο: Α, Β Κ κι κτί Α +Β 4Γ ρ = Α Β Α +Β 4Γ= 0 : η () πριστάει το σηµείο Κ,. Α +Β 4Γ< 0 : η εξίσωση () είι δύτη. Β. ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισµός Προλή είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχου πό µι στθερή ευθεί (δ) που λέγετι διευθετούσ της προλής κι πό έ στθερό σηµείο Ε που λέγετι εστί της προλής. Τ σηµεί που ικοποιού τη προηγούµεη ιδιότητ ήκου σε µι κµπύλη που φίετι στ επόµε σχήµτ. ~ 3 ~

37 φροτιστήρι στόος Εξίσωση προλής κι γρφική πράστση p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε,0, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι 0) ( ρ<0 τότε κι 0) ρ Εστί: Ε(,0) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) p. Με κορυφή Ο (0,0), εστί Ε 0,, κι διευθετούσ : p δ = = p Εξίσωση προλής: = ρ (ρ > 0 κι ψ 0) ( ρ<0 τότε κι ψ 0) ρ Εστί: Ε(0, ) ρ ιευθετούσ δ: = - Εξίσωση εφπτοµέης: = ρ( + ) Ακλστική ιδιότητ προλής Η κάθετη στη εφπτοµέη µις προλής στο σηµείο επφής Μ διχοτοµεί τη γωί που σχηµτίζου η ηµιευθεί ΜΕ κι η ηµιευθεί Μt, που είι οµόρροπη της ΟΕ, όπου Ε η εστί της προλής. M (, ) ϕ ϕ t E Ο Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισµός Έλλειψη µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος C τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω το άθροισµ τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερό κι µεγλύτερο του ΕΕ '. Το στθερό υτό άθροισµ το συµολίζουµε µε, εώ τη εστική πόστση ΕΕ ' µε γ. ηλδή Μ ΜΕ ' + ΜΕ = σηµείο της έλλειψης: ( ) ( ) Εξίσωση έλλειψης κι γρφική πράστση ψ Εξίσωση: + = Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = Μεγάλος άξος: Α Α= Μικρός άξος: Β Β= ~ 33 ~

38 φροτιστήρι στόος = γ γ > γ κι > Εκκετρότητ: ε = < ψ Εξίσωση: + = κι Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0, -) κι Α(0,) ψψ Εξίσωση εφπτοµέης + = = γ. ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισµός: Υπερολή µε εστίες τ σηµεί Ε ' κι Ε είι ο γεωµετρικός τόπος τω σηµείω του επιπέδου τω οποίω η πόλυτη τιµή της διφοράς τω ποστάσεω πό τ Ε ' κι Ε είι στθερή κι µικρότερη του Ε ' Ε. Το πόλυτο της διφοράς υτής το συµολίζουµε µε κι τη εστική πόστση µε γ. ηλδή Μ το σηµείο της υπερολής: ΜΕ ' ΜΕ = ( ) ( ) Εξίσωση υπερολής κι γρφική πράστση. ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (-,0) κι Α(,0) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = ψ Εξίσωση: =, γ = + Εστίες: Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) Κορυφές: Α (0,-) κι Α(0,) Ασύµπτωτες: =, = - γ Εκκετρότητ: ε = > ψψ Εξίσωση εφπτόµεης: = Ισοσκελής λέγετι η υπερολή = ή = ( = ) ~ 34 ~

39 φροτιστήρι στόος ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι ο κύκλος µε κέτρο το σηµείο Ο (0,0) κι κτί ρ έχει εξίσωση: Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω O στο επίπεδο κι το κύκλο C µε κέτρο O(0,0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο, πέχει πό το κέτρο του Ο πόστση ίση µε τη κτί ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: ( OM) ΟΜ = Επειδή ( ) + = ρ ή ισοδύµ, + η σχέση () γράφετι: + = ρ. = ρ () + = ρ. Ο ( 0,0) ρ Μ (, ) C ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εφπτοµέη του κύκλου ρ + =. Έστω ε η εφπτοµέη του κύκλου C: + = ρ σε έ σηµείο του Α (, ). Έ σηµείο M (, ) ήκει στη ε, κι µόο OA AM, δηλδή, uu uuu κι µόο ισχύει: OA AM = 0. () uu uuu Επειδή OA= (, ) κι AM = (, ). η () γράφετι διδοχικά: ( ) + ( ) = 0 ή + = + ή + = ρ φού + = ρ., + = ρ στο σηµείο του Α (, ) έχει εξίσωση (, ) A O Μ (, ) ΘΕΩΡΙΑ 3 Αποδείξτε ότι, ο κύκλος µε κέτρο ( 0, 0) Κ κι κτί ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) Θεωρούµε σύστηµ συτετγµέω Ο στο επίπεδο κι C το κύκλο µε κέτρο Κ( 0, 0) κι κτί ρ. Έ σηµείο M (, ) ήκει στο κύκλο C, κι µόο η πόστση του πό το κέτρο Κ του κύκλου, είι ίση µε ρ, δηλδή, κι µόο ισχύει: KM = ρ () ( ) Επειδή είι, ( ) ( ) ( ) η σχέση () γράφετι: ΚΜ = ( ) + ( ) = ρ ή, ισοδύµ, ( ) ( ) = ρ. ~ 35 ~ = ρ Κ (, ) Ο 0 0 ρ Μ (, )

40 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι, η εξίσωση ( ) ( ) + = ρ () γράφετι στη µορφή: () κι εξετάσετε πότε µι εξίσωση της µορφής () πριστάει κύκλο; A B Γ= 0 Απτύσουµε τις τυτότητες κι η εξίσωση () γράφετι: 0 0 ( 0 0 ρ ) δηλδή πίρει τη µορφή θέτοτς: Α= 0, B= 0 κι A B Γ= 0, Γ= + ρ = 0 Ατιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () γράφετι διδοχικά: ( A) ( B) A A B B A B = Γ = Γ A B A + B 4 Γ =. 4 ικρίουµε τις περιπτώσεις: Α Β Α A + B 4Γ> 0, η εξίσωση () πριστάει κύκλο µε κέτρο Κ, κι κτί A + B 4Γ A + B 4Γ ρ = =. 4 Α Β Α A + B 4Γ= 0, η εξίσωση () πριστάει έ µόο σηµείο, το Κ,. Α A + B 4Γ< 0, η εξίσωση () είι δύτη, δηλδή δε υπάρχου σηµεί Μ (, ) τω οποίω οι συτετγµέες τη επληθεύου. Αποδείξµε λοιπό ότι: Κάθε κύκλος έχει τη εξίσωση της µορφής + + A+ B+Γ= 0, µε A κι τιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) πριστάει κύκλο. + B 4Γ> 0 (Ι) ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της προλής µε άξο συµµετρίς το ' κι ποδείξτε ότι η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί της Ε. Η προλή µε άξο συµµετρίς το ' έχει εξίσωση: = p Από τη πρπάω εξίσωση προκύπτει ότι τ p κι (µε 0 ) είι οµόσηµ. Άρ, κάθε φορά η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξος ' κι η εστί Ε. Εποµέως η προλή ρίσκετι στο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε. ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξτε ότι η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής. Α το σηµείο M(, ) είι σηµείο της προλής M (, ) ~ 36 ~ = p, δηλδή, θ είι σηµείο της ίδις προλής, φού ισχύει: ( ) = p, τότε το σηµείο = = p. Αυτό σηµίει ότι ο άξος ' είι άξος συµµετρίς της προλής. Εποµέως, η κάθετη πό τη εστί στη διευθετούσ είι άξος συµµετρίς της προλής (κι λέγετι άξος της προλής).

41 φροτιστήρι στόος ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της έλλειψης κι ποδείξτε ότι η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. Η εξίσωση της έλλειψης είι + =. Από τη εξίσωση της έλλειψης, έχουµε 0 κι άρ. Οµοίως. = οπότε Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώιο που ορίζου οι ευθείες =, = κι =, =. ΘΕΩΡΙΑ ) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε έλλειψης; ) Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει ε =. Ποιες ελλείψεις λέγοτι όµοιες; ) Εκκετρότητ της έλλειψης είι µι πράµετρος που κθορίζει τη µορφή της έλλειψης. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της έλλειψης + = κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = <. ) Επειδή γ =, είι ε =, οπότε ε = = κι άρ ε =. Εποµέως, όσο µεγλώει η εκκετρότητ τόσο µικρίει ο λόγος κι συεπώς τόσο πιο επιµήκης γίετι η έλλειψη. Ότ η εκκετρότητ ε τείει στο µηδέ, τότε ο λόγος τείει στο κι εποµέως η έλλειψη τείει γίει κύκλος. Ότ, όµως, η εκκετρότητ ε τείει στη µοάδ, τότε ο λόγος τείει στο 0 κι εποµέως η έλλειψη τείει εκφυλιστεί σε ευθύγρµµο τµήµ. Όµοιες λέγοτι οι ελλείψεις που έχου τη ίδι εκκετρότητ, άρ ίδιο λόγο. ΘΕΩΡΙΑ Γράψτε τη εξίσωση της υπερολής µε εστίες στο άξο ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. Η εξίσωση της υπερολής είι Οπότε 0 κι άρ ~ 37 ~ ' κι ποδείξτε ότι η υπερολή =. Από τη εξίσωση της υπερολής, έχουµε: ή. Εποµέως, τ σηµεί της υπερολής ρίσκοτι έξω πό τη τιί τω ευθειώ πράγµ που σηµίει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. = +, = κι =,

42 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ i) ii) iii) i) Τι οοµάζουµε εκκετρότητ ε υπερολής; = ε. Ποι η σχέση της εκκετρότητς µε το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτης υτής; Πόση είι η εκκετρότητ µις ισοσκελούς υπερολής; Αποδείξτε ότι γι τη εκκετρότητ ισχύει i) Η πράµετρος που κθορίζει το σχήµ της υπερολής είι η εκκετρότητ. γ Οοµάζουµε εκκετρότητ της υπερολής =, κι τη συµολίζουµε µε ε, το λόγο ε = >. + Επειδή γ = +, είι ε =, οπότε ε = + κι άρ, = ε. ii) iii) Εποµέως, η εκκετρότητ ε προσδιορίζει το συτελεστή διεύθυσης της σύµπτωτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθογώιο άσης. Άρ κι τη µορφή της ίδις της υπερολής. Όσο η εκκετρότητ µικρίει κι τείει γίει ίση µε το, ο λόγος, άρ κι το, µικρίει κι τείει γίει ίσο µε το 0. Κτά συέπει, όσο πιο µικρή είι η εκκετρότητ της υπερολής τόσο πιο επίµηκες είι το ορθογώιο άσης κι κτά συέπει τόσο πιο κλειστή είι η υπερολή. i) Στη περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είι =, οπότε: ε = ε = ε =. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 38 ~

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ φροτιστήρι στόος ΤΥΠΟΙ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μθηµτική επγωγή Θεώρηµ Έστω P( ) ές ισχυρισµός που φέρετι στους θετικούς κερίους. Α ) ο ισχυρισµός είι ληθής γι το κέριο δηλδή ο P () είι ληθής κι ) η λήθει του P( ) συεπάγετι τη λήθει του P( + ) γι κάθε. Τότε ο ισχυρισµός P( ) ληθεύει γι όλους τους θετικούς κέριους. Ευκλείδει διίρεση Θεώρηµ Αποδεικύετι ότι γι οποιουσδήποτε κερίους κι, 0, ισχύει το πρκάτω θεώρηµ κι διτυπώετι ως εξής: Α κι κέριοι µε 0, τότε υπάρχου µοδικοί κέριοι κ κι υ τέτοιοι ώστε: = κ + υ, 0 υ< Η διδικσί εύρεσης τω κ, υ λέγετι ευκλείδει ή λγοριθµική διίρεση του µε το. Η ισότητ = κ + υ, µε 0 υ<, λέγετι τυτότητ της λγοριθµικής διίρεσης του µε το. Ο κ λέγετι πηλίκο κι ο υ υπόλοιπο της διίρεσης υτής, εώ ο διιρετέος κι ο διιρέτης. Η διίρεση λέγετι τέλει το υπόλοιπο είι ίσο µε 0. Βσικές προτάσεις Το άθροισµ ή η διφορά δύο άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ ή η διφορά δύο περιττώ είι άρτιος. Α η διφορά δύο κερίω είι άρτιος τότε κι το άθροισµ είι άρτιος τίστοιχ, η διφορά δύο κερίω είι περιττός τότε κι το άθροισµ είι περιττός. Το άθροισµ ή η διφορά εός άρτιου κι εός περιττού είι περιττός. Το γιόµεο δύο άρτιω είι άρτιος. Το γιόµεο δύο περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο εός άρτιου κι εός περιττού είι άρτιος. Το γιόµεο δύο διδοχικώ κέριω είι άρτιος. * Α άρτιος τότε, Ν είι άρτιος. Α περιττός τότε *, Ν είι περιττός. Το άθροισµ πεπερσµέου πλήθους άρτιω είι άρτιος. Το άθροισµ άρτιου πλήθους περιττώ είι άρτιος. Το άθροισµ περιττού πλήθους περιττώ είι περιττός. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κέριω είι άρτιος, κι µόο, ές τουλάχιστο πράγοτς είι άρτιος. Το γιόµεο δύο ή περισσοτέρω κερίω είι περιττός, κι µόο, όλοι οι πράγοτες είι περιττοί. ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΩΝ ~ 39 ~

44 φροτιστήρι στόος ιιρετότητ Ορισµός Έστω, δύο κέριοι µε 0. Θ λέµε ότι ο διιρεί το κι θ γράφουµε ότ η διίρεση του µε το είι τέλει. ηλδή ότ υπάρχει κέριος κ ώστε = κ. Στη περίπτωση υτή λέµε κόµη ότι: διιρείτι µε το πολλπλάσιο του είι διιρέτης του είι πράγοτς του δε διιρεί το τότε γράφουµε Επισήµση: Στο εξής ότ χρησιµοποιείτι ο συµολισµός οι ριθµοί, είι κέριοι κι 0, υτό δε φέρετι. Συέπειες του ορισµού Α τότε ±, Ζ, ±, Ζ 0 γι κάθε * Ζ τότε κ κ, κ Ζ Θεώρηµ Έστω,, γ κέριοι. Ισχύου τ πρκάτω: Α κι τότε: =± Α κι γ τότε: γ Α τότε λ γι κάθε λ Ζ Α κι γ τότε: ( + γ) Α κι 0 τότε: Σ συέπει του πιο πάω θεωρήµτος ισχύει: * * Α / κι / γ τότε / ( κ + λγ ), γι κάθε κ, λ Ζ δηλδή ότι «ές κέριος διιρεί δύο άλλους κερίους κι γ διιρεί κι έ οποιοδήποτε γρµµικό συδυσµό τω κι γ». Πρότση Θεωρούµε τη ευκλείδει διίρεση του µε το κι έστω κ κι υ το πηλίκο κι το υπόλοιπο τίστοιχ. i. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το τότε διιρεί κι το υ. ii. Α ές κέριος διιρεί κι το κι το υ τότε διιρεί κι το. Πρότση Έστω,,, κέριοι. Α γι /\ γ κι γ ( ) ± τότε γ. ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΑ ΣΥΓΡΑΜΜΑΤΑ ~ 40 ~

45 φροτιστήρι στόος Ερωτήσεις Θεωρίς µε πτήσεις - ποδείξεις ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Έστω,, γ κέριοι. Αποδείξτε τις κόλουθες ιδιότητες: i. Α κι, τότε = ή =. ii. Α κι γ, τότε γ. iii. Α, τότε λ γι κάθε κέριο λ. i. Α, κι γ, τότε ( + γ ).. Α κι 0, τότε. i. Επειδή κι, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι = λ, οπότε = κλ κι εποµέως, κλ = ή κ = λ =, δηλδή ότι = ή =. ii. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε γ = λκ δηλδή γ. iii. Επειδή υπάρχει κέριος κ, τέτοιος, ώστε = κ, οπότε λ = λκ δηλδή λ. i. Επειδή κι γ, υπάρχου κέριοι κ, λ τέτοιοι, ώστε = κ κι γ = λ, οπότε + γ = (κ + λ ) δηλδή ( + γ ). Επειδή κι 0, υπάρχει κέριος κ 0 µε = κ. Εποµέως, = κ, φού κ. ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ;; ~ 4 ~

46 φροτιστήρι στόος Απτήσεις στις ερωτήσεις κτόησης του σχολικού ιλίου. ~ 4 ~

47 φροτιστήρι στόος Σχεδισμός Επγγελμτικής Στδιοδρομίς Α θες είσι ευτυχισμέος γι μι ώρ, πάρε έ υπάκο, Α θες είσι ευτυχισμέος γι μί μέρ, πήγιε γι ψάρεμ, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ μή, πτρέψου, Α θες είσι ευτυχισμέος γι έ χρόο, κληροόμησε μι περιουσί, Α θες είσι ευτυχισμέος δι ίου, κάε μι δουλειά που τη γπάς. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ στόoς Στ πλίσι της διρκούς στήριξης τω μθητώ μς κι τιλμόμεοι τη δυσκολί του ορθού επγγελμτικού προστολισμού, τ φροτιστήρι στόος σε συεργσί με το Κέτρο Συμουλευτικής κι Επγγελμτικού προστολισμού ΣeΠ, πρέχου τη δυτότητ διερεύησης ορθής επγγελμτικής επιλογής. ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣeΠ. Στόχος μς είι, στηριζόμεοι σε επιστημοικά έγκυρες μεθόδους, κτευθύουμε σωστά κι με υπευθυότητ τους μθητές μς ώστε τους οηθήσουμε ετοπίσου τους κτάλληλους επγγελμτικούς τομείς που τους τιριάζου. Ο στόχος του προγράμμτος φορά: τη διάγωση τω εδιφερότω, τη διερεύηση της προσωπικότητς κι τη άλυση τω ικοτήτω του μθητή. ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ Με τομικά ρτεού με τους μθητές του φροτιστηρίου μς κι τους γοείς χρειστεί, οι υπεύθυοι σπουδώ οηθάε τους υποψήφιους συμπληρώσου το μηχογρφικό. Θεριή Προετοιµσί στ φροτιστήρι στόος = 00% Επιτυχί ~ 43 ~

48 φροτιστήρι στόος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ 4 ΑΛΓΕΒΡΑ 4 ΣΥΝΟΛΟ 8 ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΦΥΣΙΚΗ 4 ΣΥΝΟΛΟ 7 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΑ 4 ΛΑΤΙΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ 6 Οι µθητές που ρχίζου τη προετοιµσί πό τ θεριά τµήµτ: Έχου το χρόο κλύψου τ κεά προηγούµεω τάξεω. διάσου ουσιστικά, χωρίς το άγχος κι το φόρτο του σχολείου ώστε είι σε πλεοεκτική θέση έτι τω συµµθητώ τους το Σεπτέµρη. ποκτήσου τις άσεις, προσεγγίσου σωστά κι σε άθος, µεγάλο µέρος της ύλης της Β Λυκείου ώστε εξσφλίσου πό τη ρχή υψηλή θµολογί στις γρπτές κι προφορικές εξετάσεις. ποκτήσου πείρ κι ωριµότητ γι τις γρπτές εξετάσεις µε τ εδοµδιί διγωίσµτ, µάθου µελετού δηµιουργικά, υπεύθυ κι προγρµµτισµέ Ελάτε συζητήσουµε: τις λλγές του εξετστικού συστήµτος το κιοτόµο πρόγρµµ του φροτιστηρίου µς ώστε µπορέσετε προετοιµστείτε κτάλληλ µε στόχο: τις σχολές υψηλής ζήτησης. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΘΕΡΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΦΥΣΙΚΗ 3 ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΧΑΙΑ 3 ΝΕΑ ΣΥΝΟΛΟ 5 Στο Ειίο Λύκειο πρέχουµε τριετή κύκλο προετοιµσίς κλύπτοτς όλες τις κτευθύσεις σπουδώ προς το Εθικό Απολυτήριο. Η Α Λυκείου είι τάξη προστολισµού, στη διάρκειά της οποίς ο µθητής µε τη οήθει τω κθηγητώ διερευά τις κλίσεις του, ξιολογεί τις δυάµεις του ώστε η επιλογή κτεύθυσης είι η κλύτερη δυτή. Ο µθητής πρέπει κλύψει τ κεά που υπάρχου πό το Γυµάσιο κι ποκτήσει τις άσεις ώστε τποκριθεί µε επιτυχί στις πιτήσεις του Ειίου Λυκείου. ~ 44 ~