ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v. Αν 0 τότε ν ν ( ) = vi. = vii. Αν 0 τότε ν μ = νμ viii. Αν, β 0 τότε ν ν β = ν β. i. Κάθε πργμτικός ριθμός μπορεί ν γρφεί ως πηλίκο δύο κερίων ρι8μών.. Αν ν θετικός κέριος, τότε (, 1) ν + (, 1) ν+1 = 0 i. Η εξίσωση 4χ + χ = 5 είνι κλσμτική. ii. Οι νισώσεις (χ,) < 6 κι (, χ) =(1,χ) είνι ισοδύνμες iii. Η εξίσωση χ,7 =,4 είνι δύντη. iv. = v.,5 = 5, vi. Το τριώνυμο χ, χ, 1 είνι θετικό ότν χœ(,, 4) vii. Η εξίσωση χ + χ + = 0 έχει δύο ρίζες με άθροισμ κι γινόμενο. Μονάδες 10 viii. Η εξίσωση χ + β = 0, ν 0 κι β = 0 είνι δύντη. i. Ισχύει: -β = β-.. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: =. i. Αν 0 τότε μ ν μ+ν = ii. - = - iii. Û - ή ³ iv. > 1Û - 1ή ³ 1 v. + >-1Û >- vi. - 1 <-, δύντη

2 vii. ν ν ν β = β. viii. Αν 0 τότε η χ + β = 0 έχει μονδική λύση την χ = -. β i. Η εξίσωση χ - 7 =- 4 είνι δύντη = 5 i. ( 1- ) = 1,. ii. 6 = (-9) (-4) = ( 9) ( 4) - -. iii. Αν = β τότε ï, βï= - β iv. ïaï, a κι ïaï a v. ïcï= a Û c= a ή c =, a vi. ïabï = ïaïïbï vii. ïa + bï = ïaï + ïbï viii. ïc, 5c + 6ï = c, 5c + 6 γι κάθε c Î R. Ν ντιστοιχίσετε τ στοιχεί της Α στήλης με τ στοιχεί της Β στήλης. Στήλη Α- Εξίσωση A. χ, 1 = B. χ = χ C. χ + 5 = 0 D. χ, 5 = 5, χ Στήλη B Λύσεις 1. Κμί. Μί. Δύο 4. Τρεις 5. Άπειρες. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη B Λύσεις A. χ, = 5 B. χ = χ C. χ + 01 = 0 D. χ, =, χ

3 4. Ν γράψετε στην κόλλ σς το γράμμ που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση: 1. Αν οι εξισώσεις (λ,1)χ = λ κι λ χ + λ = χ + 1 είνι συγχρόνως δύντες το λ είνι: Α. λ = 1 Β. λ =,1 Γ. λ = 0 Δ. λ = Ε. λ =,. Η πράστση Κ = χ χ είνι ίση με: A χ B χ Γ χ Δ. 1 + χ Ε χ. Η πράστση Κ = χ- + χ -1 ορίζετι ότν: A.χ B. χ = 1 Γ. χ = Δ. χ =, Ε. χ = 0 4. Αν οι ρίζες της εξίσωσης χ, 5βχ + 4β = 0 είνι χ 1 = κι χ = 8 η τιμή του β είνι: A. β = 1 B. β = Γ. β = Δ. β = 4 Ε. β = 5 5. Η εξίσωση (λ 1)χ = λ + 1, όπου λ Î R, ( Επιλέξτε το σωστό πό τ πρκάτω) i. Είνι δύντη ότν λ = 1 ή λ = 1 ii. Έχει άπειρες λύσεις ότν λ = 1 iii. Έχει άπειρες λύσεις ότν λ = 1 iv. Έχει μι λύση ότν λ = 1 κι λ = 1. v. Έχει μι λύση ότν λ ¹ Επιλέξτε τη σωστή πάντηση: i. Η εξίσωση χ + β = 0, 0 έχει λύση την: Α. χ = β Β. χ = β Γ. χ = β Δ. χ = β ii. Η εξίσωση χ ν = έχει δύο ρίζες ότν: Α. ν άρτιος κι > 0 Β. ν άρτιος κι < 0 Γ. ν περιττός κι < 0 Δ. ν περιττός κι > Αντιστοιχήστε τις εξισώσεις με τις ρίζες τους: χ = 8 κι χ 4 = 64χ Αδύντη ½χ ½= 8 κι χ 4 = 16 0 κι 4 8. Έστω f(χ) = χ, χ, Ν εξετάστε ν κθεμί πό τις προτάσεις που κολουθούν είνι σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ). 1. f(, ) ; 0. f( 10,004 ) = 0. f( ) = 0

4 9. N γράψετε τις ισότητες στην κόλλ σς, συμπληρώνοντς σωστά το δεξί μέλος:. ( + β) = β. ( β) = γ. ( + β)( β) = δ. κ β κ = ε. κ λ = στ. ( κ ) λ = 10. Συμπληρώστε τις προτάσεις: Το τριώνυμο +β+γ, ¹ 0 γίνετι: i) Ετερόσημο του, μόνο ότν Δ. 0 κι γι τις τιμές του που βρίσκοντι...των ριζών ii) Mηδέν, ότν η τιμή του είνι κάποι πό τις.... του τριωνύμου iii) Oμόσημο του σε κάθε άλλη.. iv) Θετικό γι κάθε Î ότν κι μόνο ότν..0 κι Δ. 0 v) Αρνητικό γι κάθε Î ότν κι μόνο ότν..0 κι Δ.. 0 vi) Θετικό ή μηδέν γι κάθε Î ότν κι μόνο ότν...0 κι Δ.. 0 vii) Αρνητικό ή μηδέν γι κάθε Î ότν κι μόνο ότν.0 κι Δ 0 Η πράστση +β+γ διτηρεί στθερό πρόσημο γι κάθε Î ότν κι μόνο ότν.0 κι Δ Συμπληρώστε τ κενά: ΑΝΙΣΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (με άκρ, β) ΣΥΜ/ΣΜΟΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ β κλειστό διάστημ [, β] < <β νοικτό διάστημ (, β) νοικτό ριστερά, κλειστό δεξιά < β χ χ β β χ χ <β < β < β Î κλειστό ριστερά, νοικτό δεξιά κλειστό ριστερά, μη φργμένο άνω νοικτό ριστερά,μη φργμένο άνω μη φργμένο κάτω, κλειστό δεξιά μη φργμένο κάτω, νοικτό δεξιά το σύνολο των πργμτικών

5 1. Ν πργοντοποιήσετε (ν υτό είνι δυντόν ) τ πρκάτω τριώνυμ : ) f()= -+1 β) f()=9-6+1 γ) f()= N πλοποιήσετε τις πρστάσεις : i) ii) ( 1) - a+ +a -a. 14. i) Ν βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου: - -. ii) N λυθούν οι νισώσεις ) - - > 0 β) - - < 0 γ) Ν λυθούν οι νισώσεις: >0 κι > Ν κτσκευάσετε εξίσωση ου βθμού που οι ρίζες της έχουν άθροισμ 7 κι γινόμενο Ν βρείτε δύο ριθμούς που έχουν άθροισμ 9 κι γινόμενο N βρεθούν τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων με τύπους: 1 1. ) f()= p - 1 β) g()= γ) h()= ( - ). ) f()= β) f()= γ) f()= δ) f()= a +b, a> 0. )f()= + -1 β)f()= γ) f()= δ) f()= ε) f()= ) f()= - -1 β) f()= γ) g() = δ) f()= ì-1, an ) f() = í î +, an > 0 β) ì-1, an g() = í î +, an > ì γ) h()= 1, an rht ό V í î0, an άrrhtov Στη συνέχει ν βρεθούν οι τιμές: æ1ö f (-1),f ( 0 ),f ç è ø κι (- ), ( ), (- ), ( ), ( ), (- ) 0. N πλοποιηθεί ο τύπος των συνρτήσεων g g 0 g 1 g g g κι h(1,), h( ), h( 5 ), h(π).

6 ) f ( ) = β) g() = γ) f() = Ν βρείτε τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) f + = τέμνει τους άξονες Ν βρείτε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f()= +- κι g()= 6. Ν βρεθεί η τιμή του λ ώστε τ σημεί : i) Α ( λ, λ + ), Β ( -, 4-5λ ) ν είνι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο(0,0). ii) Α (λ, 4λ ), Β (λ +, λ ) ν είνι συμμετρικά ως προς την 1η διχοτόμο. iii) Α (-4, -), Β (-4, λ -1 ) ν είνι συμμετρικά ως προς τον άξον. 4. Ν ποδείξετε ότι η πράστση A = ότν 1< < είνι νεξάρτητη του. 5. Ν ποδείξετε την τριγωνική νισότητ : - y + y + y. 6. Αν 1 κι y ν ποδείξετε ότι: i. 7 y 11 ii y i) Ν ποδείξετε ότι ii) Ν υπολογίσετε τον ριθμό æ 4ö æ 4ö ç + - ç - = 16 è ø è ø - y - y 8. i) Ν ποδείξετε ότι: + y = ( + y) ii) Ν υπολογίσετε την πράστση:. æ 1 ö æ 1 ö = ç ç è 50 ø è 50 ø Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις: = = Α) Ν λύσετε την εξίσωση: + = Β) Αν d(,)<1, i) ν δείξετε ότι 1< < κι ii) ν πλοποιήσετε την πράστση K=

7 Γ) Αν γι τους πργμτικούς ριθμούς,β ισχύουν : > β κι +β > 0 ν δείξετε ότι > β. 1. Αν είνι f()=-6, ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός γι τον οποίο ισχύει: i) f()=8 κι ii) f(8)=.. Έστω η συνάρτηση f()= +5-1, ν ποδείξετε ότι γι τυχίο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της f () -f ( ) - = o ισχύει η σχέση: ( ) o. Aν γι την συνάρτηση f()= -β ισχύουν f(1)=- κι f()=0 ν υπολογίσετε το f(). o. ìa +b > 1 4. Aν f()= í ν υπολογίσετε τ, β ώστε ν ισχύει f()=1 κι f(1)=. î - β 1 5. Αν f()=-1 ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) f(+) ii) f(1- ) iii) f(+f(0)) iv) f(+f()) Αν f()= -, ν ποδείξετε ότι f()+ æ f 1 ö ç è ø =0. 7. Δίνετι η συνάρτηση f() = - +a, όπου aî κι f( - ) = 6 ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Ν βρείτε τη τιμή του a. γ) Ν εξετάσετε ν το 0 νήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f. 8. Δίνετι η συνάρτηση: ìï - < f() = í ïî 4, άν , άν ³ 1 ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Ν βρεθούν οι τιμές f (0),f (1),f (- ),f (). γ) Ν λυθεί η εξίσωση: f() = Δίνετι η συνάρτηση f() = ) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Ν βρεθεί το σημείο, στο οποίο η γρφική πράστση της f τέμνει τον άξον yy.

8 γ) Σε ποι σημεί η γρφική πράστση της f τέμνει τον άξον ; δ) Ν εξετάσετε ν γρφική πράστση της f διέρχετι πό τ σημεί S(, -) κι L- (,). ε) Ν πλοποιηθεί ο τύπος της f. 40. Δίνετι η συνάρτηση f ( ) -1 - = ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της κι β) Ν πλοποιήσετε τον τύπο της. 41. Δίνετι η συνάρτηση f() = Ν βρείτε το ώστε η γρφική πράστση της f ν διέρχετι πό το σημείο Β(, 1). 4. ίνετι η συνάρτηση f()= +β+γ. Αν η γρφική της πράστση περνά πό τ σηµεί Α(1,1), Β(-1,) κι ισχύει f(0)=1, ν βρείτε τ, β, γ. 4. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης f()=κ+1, κîr δεν µπορεί ν περνά συγχρόνως πό τ σηµεί Α(,-) κι Β(1,1). 44. Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f()=+1 κι g()= Βρείτε το σηµείο τοµής των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f()=-1 κι g()= Γι ποιες τιµές του χ οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()= -+1, g()= 1- -, βρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ ; 47. Αν f()= +κ+λ, ν δείξετε ότι : æa+bö f( a ) + f( b) f ç è ø, γι κάθε, βîr. 48. Δίνετι η συνάρτηση f()=. Ν δείξετε ότι : i) f(+β+γ)=f()+f(β)+f(γ) ii) f(+1)+f(+)+f(+)=f()+18 iii) f(κ)+f(λβ)+f(μγ)=κf()+λf(β)+μf(γ). 49. Γι τη συνάρτηση με τύπο : f()= 1 1- ν δείξετε ότι : f(f(f()))=. 50. Θεωρούμε τη συνάρτηση g :, γι την οποί ισχύει : g(+β)=g()+g(β) γι κάθε,βî. Ν δειχθεί ότι ισχύει : i) g(0)=0 κι ii) g(-)=-g().

9 51. Ν βρείτε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης συνάρτησης f() = i) με τον άξον χ χ, ii) με τον άξον y y 5. Ν βρείτε τ σημεί τομής (ν υπάρχουν) των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f() = + 1 κι g() = Έστω η συνάρτηση ìï -l + f() = í ïî 1, 1 (- l), ³ 1. Ν προσδιορισθεί ο λ. 54. Αν η εξίσωση ( λ 4) = λ + λ -, λî R είνι δύντη, τότε ν λύσετε την εξίσωση +λ - 5 = Έστω η εξίσωση ( l ) ( l ) )δύο πργμτικές ρίζες άνισες β)δύο ρίζες ντίθετες, γ) δύο ρίζες ντίστροφες. 56. Δίνετι η εξίσωση ( l ) = 0.Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες η εξίσωση έχει l = 0 όπου l Î R. )Ν βρεθεί το λ ότν το άθροισμ των ριζών της είνι διπλάσιο πό το γινόμενό τους κι β)αν λ= ν βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. 57. Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης -5 -=0 ν υπολογισθούν οι πρστάσεις 1 1 i) 1 + ii) 1 iii)(1+ 1 )(1+ ) iv) + v) vi) ) Ν βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου β) Ν γρφεί χωρίς πόλυτ ο τύπος της συνάρτησης f()= Ν προσδιορισθεί ο λ ώστε η εξίσωση: (λ+) -(λ-1)+4=0, λ ¹ - ν μην έχει πργμτικές ρίζες. 60. Δίνετι η εξίσωση (-)λ +(5-11)λ-(+)=0 ( ο άγνωστος). ) Ν γράψετε την εξίσωση στην μορφή =β β) Ν προσδιορισθεί ο λ ώστε η εξίσωση ν είνι τυτότητ. 61. Δίνετι η εξίσωση (λ+1)+λ(λ-1)=0 ) Ν βρεθεί η δικρίνουσ Δ

10 β) Γι τις διάφορες τιμές του λ ν βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης γ) Γι 1 λ =- ν λυθεί η εξίσωση 8 6. ) Ν προσδιορισθεί ο λ ώστε η εξίσωση λ -=λ+, λ ¹ 0 ν έχει ρίζ τον ριθμό 0, κι στην συνέχει ν βρείτε την άλλη ρίζ * β) Ν δείξετε ότι γι κάθε λî η εξίσωση έχει δύο ρίζες. 6. Ν λυθούν οι νισώσεις: ) (+1) <0 β) - > γ) + 1 δ) < Ν βρεθούν οι τιμές του λ ώστε κάθε μί πό τις πρκάτω εξισώσεις ν ληθεύει γι κάθε Î ) (λ-) +(λ-) +5λ-6>0 β) (λ-) +(λ-) +1-λ Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες η νίσωση (λ-1) +(λ+1)+λ+1>0 είνι δύντη γι κάθε Î. 66. Δίνετι η εξίσωση (λ -λ) +λ+λ(λ+1)(λ-1)=0 ) Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες β) Ν εξετάσετε ν υπάρχει τιμή του λ ώστε η εξίσωση ν έχει άπειρες ρίζες. 67. Οι ριθμοί -, +1 κι -5 είνι διδοχικοί όροι μίς ριθμητικής προόδου ( ) a n Β1) Ν ποδείξετε ότι =. Β) Ν βρείτε τη διφορά ω της προόδου. Β) Αν ο ριθμός - είνι ο έκτος όρος της πρόοδου, ν βρείτε: ) τον πρώτο όρο της προόδου β) το άθροισμ S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου. 68. Δίνοντι οι συνρτήσεις f( ) = - κι g( ) = - + Γ1) Ν βρεθούν τ πεδί ορισμού των πρπάνω συνρτήσεων. Γ) Ν λύσετε την εξίσωση g()= 4 Γ) Ν λύσετε την εξίσωση f()=g() 69. Δίνετι η εξίσωση l = 0, με l Î (1)

11 Γ1. Ν βρείτε τις τιμές του l Î ώστε η εξίσωση (1) ν έχει δύο άνισες πργμτικές ρίζες. Γ. Γι ποι τιμή τουl Î η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες 1, γι τις οποίες ισχύει: 1 + =. P Γ. Ν βρείτε τ y Î ώστε: y - S = S -y -, όπου, SPτο άθροισμ κι το γινόμενο, ντίστοιχ, των ριζών της εξίσωσης (1). 70. Δίνετι η συνάρτηση f ( ) = + l -15, με l Î R. Αν το σημείο Δ( -, -7) νήκει στη γρφική πράστση της συνάρτησης τότε: Α) Ν δείξετε ότι l = - Β) Ν βρείτε τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χ χ κι ψ ψ. Γ) Ν βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γρφικής πράστσης της συνάρτησης που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον χ χ. 71. Δίνοντι οι πρστάσεις A( ) = κι B( ) = Α) Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) B( ) = -4 κι ii) B( ) = 5 Β) Ν λυθεί η εξίσωση A( ) = 0 Γ) Ν λυθεί η νίσωση A () < () B. 7. Δίνετι η συνάρτηση f( ) = Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της Β)Ν πλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης Γ) Ν βρείτε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης της f με τους άξονες χ χ κι ψ ψ. Δ) Ν βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γρφικής πράστσης της f που βρίσκοντι πάνω πό τον χ χ. 7. Α) Δείξτε ότι το τριώνυμο l - 4l+ 4 έχει θετικό πρόσημο γι κάθε τιμή του λîâ. Β) Δείξτε ότι η εξίσωση c l c -( -) - 5= 0 (1) έχει γι κάθε τιμή του λîâ δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. Γ)Αν χ 1 κι χ οι ρίζες της πρπάνω εξίσωσης (1) τότε :

12 Ν βρείτε το άθροισμ S κι το γινόμενο P των ριζών της (1) με τη βοήθει του λ. Δ) Ν βρείτε την εξίσωση ου βθμού που έχει ρίζες τους ριθμούς l kai 8l,όπου λ>ο. f = , με l Î, 74. Θεωρούμε τη συνάρτηση τριώνυμο ( ) ( l ) τις πρστάσεις: a k - 6k + 9 k + k + 1 = - k - k + 1 με k - 1 <, κι ευθεί (ε) που έχει κλίση κι διέρχετι πό το σημείο K (- ad) Δ1. Ν βρείτε τις τιμές του κι του δ. Δ. Γι a =- κι d = 1,ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς (ε). 1 1 d = ,. Δ. Αν η γρφική πράστση της f βρίσκετι πάνω πό την ευθεί (ε) γι κάθε Î, ν δείξετε ότι: - < l < 1 Δ4. Αν υπάρχουν σημεί (, y ) κι (, ) 1 1 y της γρφικής πράστσης της f με ετερόσημες τετγμένες y = f ( ) κι y f ( ) 1 1 = ν δείξετε ότι: S > P, όπου SPτο, άθροισμ κι το γινόμενο, ντίστοιχ, των ριζών της εξίσωσης f ( ) = 0. ο ΓΕ.Λ. Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ