Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00).

Transcript

1 Μάθηµα 8 ο, 9 Νοµβρίου 008 (9:00-0:00) Άσκηση 4 Θωρούµ κβαντικό σύστηµα ύο πιπέων, ηλαή έχουµ ύο ιιοκαταστάσις της νέργιας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίς ν γνωρίζουµ Ενώ για τον τλστή Α, γνωρίζουµ τις ιιοκαταστάσις του, ηλαή Α ˆ a Α ˆ Γνωρίζουµ ακόµα ότι ˆ + () ˆ + () (α) Να βρθούν οι ιιοκαταστάσις της νέργιας (β) Να βρθί πως ξλίσσται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τλστή Α, αν το σύστηµα προέρχται αρχικά από µια µέτρηση στην οποία το φυσικό µέγθος που πριγράφι ο τλστής Α, έχι τιµή (γ) Να βρθί πως ξλίσσται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τλστή Α, 0 + αν η αρχική κατάσταση ίναι ( x) Λύση (α) Χρησιµοποιούµ τις ιιοσυναρτήσις, του τλστή Α, για να κάνουµ την αναπαράσταση του τλστή της Χαµιλτονιανής Έτσι βρίσκουµ (, ) (, ) (, ) (, ) Καθώς,, +, +,, +, + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) (, + ) (, ) + (, ) ( ) ( ),, +, +,, +, + 0,, +, +,, +, 0+, +, 0+ Αν βρούµ τις ιοσυναρτήσις του τλστή της Χαµιλτονιανής θα βρθούν µ ιαγωνοποίηση Ο ιαγώνιος πίνακας βρίσκται από την συνθήκη det(η-λι)0 Αφού, λ 0 λ 0 λ Η σχέση det( A -λι)0 (-λ) - 0 (-λ-)(-λ+)0 λ + ή λ ιιοτιµές

2 λ άρα ο καινούριος ιαγώνιος πίνακας ίναι: 0 λ 0 και Η λ (+) Η λ (-) Τώρα θα βρω τις ιιοσυναρτήσις και Οι ιιοσυναρτήσις αυτές θα ίναι γραµµικός συνυασµός των ιιοσυναρτήσων της νέργιας, ηλαή d +d d +d Έτσι υπό µορφή στήλης τα ζητούµ ιιοιανύσµατα (ώ έχουµ αναπαράσταση των d d ιιοιανυσµάτων µ στήλη) ίναι d και d Άρα για το πρώτο ιιοιάνυσµα, χριάζται να λύσω το αλγβρικό σύστηµα: λ d λ + λ d d 0 (3) d 0 Ενώ για το ύτρο ιιοιάνυσµα, χριάζται να λύσω το αλγβρικό σύστηµα: λ d λ λ d 0 d (4) d 0 d + d o (3): d d d d Αν θέλουµ να ίναι και ορθοκανονικές οι ιιοσυναρτήσις, θα πρέπι να ισχύι ότι: (, ) (d +d,d +d ) d + d άρα d d και d +d + o (4): d +d 0 d +d 0 d d Αλλά αφού (, ) έχουµ d d άρα d +d (β) Αφού το σύστηµα προέρχται αρχικά από µια µέτρηση στην οποία το φυσικό 0 µέγθος που πριγράφι ο τλστής Α, έχι τιµή, έχουµ ( x) + Αλλά έχουµ και, οπότ αφαιρώντας τις υο αυτές σχέσις βρίσκουµ, έτσι βρίσκουµ c c 0 3 c για ( )

3 Έτσι η κυµατοσυνάρτηση που πριγράφι το σύστηµα ανα πάσα χρονική στιγµή ίναι Et Et e e ( xt, ) Α ˆ a Ενώ από τις σχέσις βρίσκω τα στοιχία του πίνακα Α m, τώρα όµως µ Α ˆ αναπαράσταση ως προς τις ιιοσυναρτήσις της νέργιας Για παράιγµα + + Α (, A ), A (, ) (, ) (, ) (, ) A + A + A + A (, a ) (, ) (, a ) (, ) a+ a(, ) + (, ) + a(, ) + (, ) Ανάλογα βρίσκουµ a, a, a + Α Α Α Οι παραπάνω τιµές ίναι ανµνόµνς καθώς έχουµ Α ˆ a Αˆ ( + ) a( + ) Α ˆ Αˆ a, ( ) ( ) και από την προσθαφαίρση των παραπάνω σχέσων βρίσκουµ ˆ a+ a Α + ˆ a a+ Α + Έτσι βρίσκουµ a+ a+ a a A () t ( A + A ) ( Ae + Ae ) + e + e a+ a + cos ωt 0 + (γ) Καθώς η αρχική κατάσταση ίναι ( x), έχουµ µία στάσιµη κατάσταση και ω ω ω ω t t t t Et ( x, t) e Τώρα έχουµ c, νώ όλοι οι άλλοι συντλστές µηνίζονται Έτσι έχουµ a+ A () t A

4 Συµβολισµός Drac Πολλές φορές για την αναπαράσταση των ιιοιανυσµάτων χρησιµοποιίται ο φορµαλισµός του Drac Στα πλαίσια αυτού του φορµαλισµού έχουµ τις ξής αντιστοιχίς: φ ( x) και φ ( x), όπου φ (x) ιιοιανύσµατα κάποιου τλστή που πριγράφι φυσικό µέγθος Το ονοµάζται ket-ιιοιάνυσµα και το ονοµάζται ra-ιιοιάνυσµα Το σωτρικό γινόµνο ορίζται ως: raket) φ (x) (x)dx j φj (το j ονοµάζται Η συνθήκη ορθοκανονικότητας ύο ιιοσυνάρτησων µ τη χρήση του συµβολισµού Drac παίρνι τη µορφή j j Ενώ η πληρότητα των ιιοκαταστάσων ίνται από την έκφραση ˆ, όπου ˆ ίναι ο µοναιαίος τλστής Η ανάπτυξη της αυθαίρτης κατάστασης (καθώς και η κυµατοσυνάρτηση (x) έχι ανάλογη αντιστοιχία (x) (x) ) σ ιιοκαταστάσις κφράζται ως c [ ], όπου c Οπότ, γνικύοντας τα στοιχία αναπαράστασης µ πίνακα του τλστή Α, A (x) A (x) dx A j υπολογίζονται από την σχέση: j φ ( φj ) Τέλος, µ την βοήθια των ιιοιανυσµάτων αυτών ορίζουµ και τλστές, όπως ο προβολικός τλστής, ο οποίος «προβάλι» την κυµατοσυνάρτηση πάνω στην ιιοκατάσταση Επίσης ( c ) ψ ( x, t) C ψ ( x) e E t Et ψ ( x, t) ψ 0 e

5 Άσκηση 5 Έστω ότι έχω ˆ + + +, όπου τα ιανύσµατα,ίναι τα ιιοιανύσµατα του τλστή Α, Α ˆ α Α ˆ α Να βρθούν οι ιιοτιµές και τα ιιοιανύσµατα του τλστή της νέργιας Λύση Ο τλστής της νέργιας σ µορφή πίνακα ίναι Οπότ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ ] Οµοίως για, Λόγω ορθοκανονικότητας, βρίσκουµ Ιιοιανύσµατα του Η, ˆ Ε φ και ˆ Ε φ λ ιαγωνοποιώ τον det οπότ λ + Ε και λ Ε Για λ + 0 λ ( λ)( λ) 0 d d d d d d Οπότ φ d + και φ d + Έτσι d d + φ και φ