Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Transcript

1 Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους (000), f, α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι: i συνεχής στο 0 ii παραγωγίσιμη στο 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A, (Εσπερινά 008) Δίνεται η συνάρτηση f: α,β με α 0 β, η οποία είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο α,β Αν ισχύει f α 5β και f β 5α, να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β β) Υπάρχει σημείο Mξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της f ε : 5y 00 0 γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 4 Δίνεται η συνάρτηση f:, με f στο 0 α) Να αποδείξετε ότι β β α και ότι α α,β και C είναι κάθετη στην ευθεία 5 α β (Εσπερινά 00) α, α,β β, η οποία είναι συνεχής β) Αν α f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να βρείτε τα α και β 5 δ) Αν α και β να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 4,f (Ε 0), να αποδείξετε η εξίσωση ΘRolle ΘΜT Συνέπειες ΘΜΤ 5 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει f 0 για κάθε 0, f 0 και f 4, να δείξετε ότι: C σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0, α) Η ευθεία y τέμνει τη f β) υπάρχει 0,, τέτοιο ώστε f 4 f f f f Αν

2 γ) υπάρχει 0,, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο M,f να είναι παράλληλη στην ευθεία y 000 (000) α,β, παραγωγίσιμη στο α,β και 6 Έστω η συνάρτηση f: α,β η οποία είναι συνεχής στο f α β, f β α α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β τέτοια ώστε : f ξ f ξ 4 α,β (00) 7 Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f 0 για κάθε α) Να δείξετε ότι η f είναι - β) Αν η C f διέρχεται από τα σημεία A,005 και B,, να λύσετε την εξίσωση f 004 f 8 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία ε: y 005 (005) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι: f f ημ για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f συν είναι σταθερή στο β) Να αποδείξετε ότι f συν, 0 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν ημ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,π τέτοιο, ώστε ξημξ συνξ ξ π π π, (0) Μονοτονία - Ακρότατα 9 Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια, ώστε: κάθε με f 0 α) Να αποδείξετε ότι e f, f f e για β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f (000) 0Tη χρονική στιγμή t 0 χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του φαρμάκου αt στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f t,t 0, α,β και t ο χρόνος t β σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α) Να βρείτε τις τιμές των α, β

3 β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά (000) Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά Έστω ft η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή 8 του, όπου t 0 Αν ο ρυθμός μεταβολής της ft είναι t α) Να βρείτε τη συνάρτηση ft β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 0 η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί (Δίνεται ln,4 ) (000) Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει f βf γf 6 για κάθε, ότι: όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β γ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0 στο ανοικτό διάστημα (0,) (00) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ημ,, είναι γνησίως αύξουσα β) Η εξίσωση ημ έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0, (00) 4Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι - α) Να δείξετε ότι η g είναι - g f g f έχει ακριβώς δύο θετικές και β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: μία αρνητική ρίζα (00) 5 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι f f f 0 για κάθε σχέσεις: και α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική ρίζα f γ) Έστω η συνάρτηση g Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης f της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο k,, της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής 4 παράστασης στο σημείο O0, 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ α) Να αποδείξετε ότι k 4 6 Δίνεται η συνάρτηση f β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ, στο οποίο η (00)

4 εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου 7 Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, > 0 ln ln, > 0 ii Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, α) i Να αποδείξετε ότι: β) Να υπολογίσετε το lim ln A,f και B 4,f 4 (Εσπερινά 005) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α0, τέτοιος ώστε α α α α 8 ίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της g ln στο σημείο γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Aα,ln α με α 0 β h e και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο B β,e με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α (006) είναι ρίζα της εξίσωσης f 0 δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες (006) 9 Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση f k 0, α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα β) Για k = i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα,0 iii για κάθε α4,5 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα 0, (Εσπερινά 006) 0 Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει: f f 8 8 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - f 0 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο γ) Αν για τη συνάρτηση g: ισχύει ότι f g f 0,, για κάθε, να βρείτε το 0 στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο (Εσπερινά 007) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f ημ για κάθε 0 α) Να βρείτε το f0 β) Να αποδείξετε ότι f για κάθε π 0, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο π,π (Εσπερινά 007) 4

5 ln, 0 4 α) Να αποδείξετε ότι f 0 5, f 5 0 και f e 0 e 4 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M,f Δίνεται η συνάρτηση f γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f f 0 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο Δίνεται η συνάρτηση f λ, λ, 0, (Ομογενείς 007) α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να βρείτε την τιμή του λ β) Για λ 0 i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στην ευθεία y 9 iii να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 0, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0, (Εσπερινά 009) 4 Δίνεται η συνάρτηση f συν, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο f 0 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 f 6 0, π f δ) Να βρείτε το όριο lim (Εσπερινά 00) 0 5 Δίνεται η συνάρτηση f 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να βρείτε την παράγωγο της f: i στο διάστημα, ii στο 0 γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f (Εσπερινά 00) 6 Δίνεται η συνάρτηση f α, όπου α,β ακέραιοι αριθμοί Η γραφική παράσταση β 5 της f στο σημείο της A, δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι 5 8 α) Να αποδείξετε ότι α και β 4 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f k 4k 4 0 () είναι ισοδύναμη με την δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f k, k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης () για τις διάφορες τιμές του k (Εσπερινά 0) 5

6 7Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο f ημ f, lim και f 0 f α) Να αποδείξετε ότι και - 6 για την οποία ισχύουν: β) Αν η α, και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,, να βρείτε τον αριθμό α γ) Για ανα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ξ 0, τέτοιο ώστε ξ - ξ δ) Για ανα αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου ερωτήματος (Εσπερινά 0) 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση f: με τύπο f α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη f f β)η εξίσωση Να αποδείξετε ότι: έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, γ) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης,,, και, και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχουν Τιμής στα διαστήματα και ξ, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: f ξ f ξ f ξ ξ,, ξ, (Εσπερινά 0) 9 Έστω f: μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f f 0 για κάθε χ και f 0 0 α) Να βρείτε την f β) Αν f, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 4 f f έχει μία τουλάχιστον ρίζα γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση στο 0, και μια τουλάχιστον ρίζα στο, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 Δίνεται η συνάρτηση f, 0,4 (Επ Εσπερινά 0) α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία: i είναι παράλληλη προς την ευθεία y 4 και ii η τετμημένη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος αριθμός g f, έχει δύο θέσεις τοπικών γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου (Εσπερινά 04) Δίνεται η συνάρτηση f α,, α 0 α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία ε: y 4 να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f Στη συνέχεια, για α β) i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f

7 f 0 ii Να λύσετε στο την ανίσωση f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim ημ 0 (Επ Εσπερινά 04), α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να αποδείξετε ότι f f για κάθε Δίνεται η συνάρτηση f f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim 0 δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο,0 (Εσπερινά 05) f, 0, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της Δίνεται η συνάρτηση β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g f γ) Να λύσετε την εξίσωση f f, 0, δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης 5 της f στο σημείο,f να διέρχεται από το σημείο 0, (Επ Εσπερινά 05) Κυρτότητα 4 Έστω η συνάρτηση f συνα συν α ημ α,,α Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή (00) 5 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο α β 0 γ α,β, δ α,β, έτσι ώστε (α,β) Αν ισχύει και υπάρχουν αριθμοί f γf δ 0, να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f 0 στο διάστημα β)υπάρχουν σημεία ξ,ξ α,β τέτοια ώστε f ξ 0και f ξ 0 α,β γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f (00) 6 Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f (004) 7

8 ln, 0 0, 0 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της 7 Δίνεται η συνάρτηση f α γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης e για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού α f f f για κάθε 0 (008) δ)να αποδείξετε ότι 8 Δίνεται η συνάρτηση f α ln α) Αν f για κάθε,, α 0 με α, να αποδείξετε ότι α e β) Για α e, i να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή ii να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,0 και γνησίως αύξουσα στο 0, f β f γ iii αν β,γ,0 0,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, (009) 9 Δίνεται η συνάρτηση f ln e, R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη γ) Να αποδείξετε ότι: f f ln, για κάθε 0, 40 Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα, (Ομογενείς 0) συνάρτηση f με f 0 και η συνάρτηση g f,, με g() β -,,,όπου β Δίνεται επιπλέον ότι η παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό σημείο με τετμημένη 0 =0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό g 0 β και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων β) Να δείξετε ότι των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0 =0 είναι η y β,,, για κάθε, γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f β δ) Να δείξετε ότι f β 4 Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0, έχει μοναδική ρίζα το 0 (Εσπερινά 0) α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ως προς τη κυρτότητα 0, και να μελετήσετε την f β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα α,α 4 f f 4 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την ανίσωση η εξίσωση ln Ομογενείς 0 8

9 4 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f e f για κάθε και f e α) Να αποδείξετε ότι f, e β)να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα 0, γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματικών αριθμών e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των δ) Δεδομένου ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα,0 της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f f e e 0 για κάθε 0, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης και να αποδείξετε ότι Ασύμπτωτες- De l Hospital Ομογενείς 05 4 Έστω f,g : συνεχείς συναρτήσεις με f g 4 για κάθε Έστω ότι η ευθεία y 7 είναι ασύμπτωτη της C f στο g g ημ α) Να βρείτε τα όρια: i lim και ii lim f () β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C g στο (000) α β f, -,α,β Αν η ευθεία ε: y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, να βρείτε τα α,β (00) 44 Έστω η συνάρτηση α, f,α - - e ln,, e α) Να υπολογίσετε το όριο lim β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 γ) Για α ξ, τέτοια, ώστε η 45Δίνεται η συνάρτηση να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο A ξ,f ξ να είναι παράλληλη στον άξονα (00), 0 f α β, 0 όπου α,β ln, α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: α και β 0, τότε: 46 Δίνεται η συνάρτηση i Να υπολογίσετε το f lim 9

10 ii Να υπολογίσετε τα όρια: f f lim, f f lim (004) 47 Δίνεται η συνάρτηση f α k, α,k και α) Αν η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο, να αποδείξετε ότι α και k β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ,, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι παράλληλη στον άξονα γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0 48 Δίνεται η συνάρτηση f 0 (Εσπερινά 005) λ, 4 με λ 8 4, 4 α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 β) Για λ 0 i να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ii να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο, 8 5 6, α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 0,f 0 49 Δίνεται η συνάρτηση f γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 50 Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 α) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 0 y είναι ασύμπτωτη της C f στο β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ln, 0 γ) Έστω η συνάρτηση g f k, 0 i Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής ii Αν k, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 5 Δίνεται η συνάρτηση f k, k α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο παράλληλη στον άξονα, να βρείτε το k M,f είναι (006) (Εσπερινά 007) 0,e (008)

11 γ) Για k, i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα, (Εσπερινά 008) 5 Δίνεται η συνάρτηση f ln λ ln, α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο, λ lim f και να είναι πραγματικός αριθμός β) Έστω ότι λ i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f iii να αποδείξετε ότι η εξίσωση f α 0 έχει μοναδική λύση για κάθε α 0 (009) α β, α,β, α) Αν η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι α β 5 β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι α και β 4 γ) Για α και β 4, να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της 5Δίνεται η συνάρτηση f f συνάρτησης g, 0 (Εσπερινά 009) α 54 Δίνεται η συνάρτηση f e, α α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A 0,f 0 να είναι παράλληλη στην ευθεία y e β) Για α, i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο 55 Δίνεται η συνάρτηση f, 0 Να βρείτε: α) Τα τοπικά ακρότατα της f β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A,f δ) Το σημείο Mξ,f ξ, ξ 0, της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A,f και 56 Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 B,f (Εσπερινά 00) α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f f,e γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (Ομογενείς 00) 57Δίνεται η συνάρτηση f:, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f 0 f 0 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: e f f f f για κάθε

12 α) Να αποδείξετε ότι: f ln e, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής ln e συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση π 0, (0) 58 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:,για την οποία ισχύει: f e, για κάθε e, 0 α) Να αποδείξετε ότι f, 0 β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0,f 0 Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, έχει ακριβώς μία λύση δ) Να βρείτε το lim ln ln f 0 59 Δίνεται η συνάρτηση (Επαναληπτικές 0) f α β, 0 με α,β α) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, β) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f: έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και β, την οποία και να βρείτε δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0 τοπικό ακρότατο, το f 7 Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού 0 (Εσπερινά 0) 4 f α,, α α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A,f να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): y Δίνεται η συνάρτηση Αν α, τότε: β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f f 6 δ) να βρείτε το όριο lim (Εσπερινά 0) 6 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f f f για κάθε f α) Να αποδείξετε ότι f, και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

13 στο β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του προηγούμενου ερωτήματος γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: f 5 8 f 8 δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε 6 Δίνεται η συνάρτηση α lim f κ 5 (Επ Εσπερινά 0) h,, α Αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, τότε α) Να αποδείξετε ότι α β) i Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο ii Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 h 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,0 (Εσπερινά 04) 6 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f f για κάθε 0, f 0 α) Να αποδείξετε ότι 9 f, 0 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f f 0 f για κάθε δ) Να αποδείξετε ότι, για την οποία ισχύουν: (Επ Εσπερινά 04) 64 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει ότι f για κάθε 0 α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε την παράγωγο, 0 f, 0 f της συνάρτησης f για κάθε 0 γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, (Εσπερινά 05) 4 65 Δίνεται η συνάρτηση f 4,, όπου α είναι πραγματικός αριθμός Αν η f παρουσιάζει στο 0 τοπικό ακρότατο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές του f για κάθε, ώστε γ) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

14 f g, 0 δ) Να υπολογίσετε το όριο f lim για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν (Επ Εσπερινά 05) Στέλιος Μιχαήλογλου 4