ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

Transcript

1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με (. ( h ( Αν θέσουμε όπου - h τότε + ( lim h h Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρουν στο R τα όρια: ( ( lim, lim + και είναι ίσα. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(,( την ευθεία που διέρεται από το Α και έει κλίση την παράγωγο της στο, δηλ. την: ψ ( ( (. Aν μια συνάρτηση είναι συνεής στο σημείο και ισύει: lim ( + ή τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο Α(,( την κατακόρυφη ευθεία:. 3. Aν μια συνάρτηση είναι συνεής στο σημείο και τα παρακάτω όρια ( ( lim, lim + είναι διαφορετικά και ανήκουν στό, τότε το σημείο Α(,( λέγεται γωνιακό σημείο της. ΘΕΩΡΗΜΑ: Aν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεής στο σημείο αυτό.

2 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεής σε ένα σημείο, τότε σύμφωνα με τη προηγούμενη πρόταση δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο. ΘΕΩΡΗΜΑ: Aν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η g είναι παραγωγίσιμη στο u(, τότε η συνάρτηση go είναι παραγωγίσιμη στο και ισύει: ( g( g ( Θέτοντας: u( και yg(u έουμε: dy d dy du du d KANONEΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΩΣ ( ± g ± g ( g g + g, ( c c g g g [ g ] ( g o g ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ c ( ημ ( συνχ ( εφ ( ( ( συνχ ημ συν, ( σφχ, κ π, με κ Ζ ημ, κ π + π, κ ( ln ( e e ( α Ζ α lnα ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

3 ν ([ ( ] ν [ ( ] ( ( εφ ( ( (, ( > σφ ( ( ημ ( συν ( ( e ( συν ( ημ ( ( α ( ln ( ln (, > ( συν ημ ( e ( α lnα τ τ ([ ] τ [ ] ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση είναι: α συνεής στο διάστημα [α,β] β παραγωγίσιμη στο (α,β και ισύει: γ (α(β τότε υπάρει τουλάχιστον ένα ξ (α,β τέτοιο ώστε: (ξ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Αν μια συνάρτηση είναι: α συνεής στο διάστημα [α,β] β παραγωγίσιμη στο (α,β τότε υπάρει τουλάχιστον ένα ξ (α,β τέτοιο ώστε: ( ξ ( β ( α β α Δηλ. υπάρει τουλάχιστον ένα ξ (α,β τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της στο Μ(ξ,(ξ να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ, όπου Α(α,(α και Β(β,(β. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Αν μια συνάρτηση είναι: α συνεής σε ένα διάστημα Δ β ισχύει ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.. Αν δύο συναρτήσεις και g, α είναι συνεείς σε ένα διάστημα Δ και β (g ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε Δ να ισύει: (g(+c 3

4 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω μια συνάρτηση συνεής σε ένα διάστημα Δ. α Αν ( > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα (αύξουσα σε όλο το Δ. β Αν ( < για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα (φθίνουσα σε όλο το Δ. ΧΡΗΣΙΜΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω : A R. Aν για κάθε A και η ισότητα ( ισχύει για πεπερασμένο πλήθος τιμών του, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Α και όχι απλώς αύξουσα. Απόδειξη: Έστω για κάθε. Tότε σύμφωνα με γνωστό προηγούμενο θεώρημα η είναι αύξουσα στο Α δηλ. για κάθε:, A με < ( (. Θα δείξουμε τώρα ότι η ισότητα δέν ισχύει ποτέ. Έστω ότι υπάρχουν, A με < κκαι ( ( κ. Όμως η σστο, εείναι αύ ουσα άρα ( γγια κάθε ππεπερασ [, ] ττοπο γατ ε νο πλήθ ος η ισότητα τιμών του [ ] ( ( ( κ ( κ ( κ για κάθε [, ]. Ε Ετ ( ιισχ.υει από υπόθεσ η. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Αν μια συνάρτηση είναι: α συνεής σε ένα διάστημα β ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.. Αν δυο συναρτήσεις και g α είναι συνεείς σε ένα διάστημα Δ και β ( g ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε Δ να ισύει: ( g( + c ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ όνο για Έστω μια συνάρτηση συνεής σε ένα διάστημα Δ. α Αν ( > ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα (αύξουσα σε όλο το Δ. β Αν ( < ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα (φθίνουσα σε όλο το Δ. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρει δ>, τέτοιο ώστε: 4

5 ( για κάθε A I ( δ, δ + To λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το ( τοπικό μέγιστο της. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λεμε ότι παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάιστο, όταν υπάρει δ>, τέτοιο ώστε: ( για κάθε A I ( δ, δ + To λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαίστου, ενώ το ( τοπικό ελάιστο της. ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Αν μια συνάρτηση : Δ R παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο τότε: ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι πιθανές θέσεις (κρίσιμα σημεία των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ είναι: α Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται. β Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται. γ Τα άκρα του Δ (αν υπάρουν στο πεδίο ορισμού της. ΘΕΩΡΗΜΑ ( ης παραγώγου: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα (α,β και (α,β ένα κρίσιμο σημείο της, στο οποίο αυτή είναι συνεχής. α Αν ( > στο (α, και ( < στο (,β τότε το ( είναι τοπικό μέγιστο της. β Αν ( < στο (α, και ( > στο (,β τότε το ( είναι τοπικό ελάχιστο της. γ Αν η ( διατηρεί πρόσημο στα (α, και (,β, τότε το ( δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (α,β. ΘΕΩΡΗΜΑ ( ης παραγώγου: Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος αυτού ώστε ( και να υπάρχει η ( τότε: Αν ( <, το ( είναι τοπικό μέγιστο. Αν ( >, το ( είναι τοπικό ελάχιστο. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο ε- σωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι: α η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. β η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω μια συνάρτηση συνεής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη. α Αν (> για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο Δ. 5

6 β Αν ( < για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο Δ. ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα σημείο Α(,( ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της όταν ισχύουν: α συνεχής στο β η C έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(,(, γ η στρέφει τα κοίλα άνω αριστερά του και κάτω δεξιά του ή αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Aν το Α(,( είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της τότε ( ή δεν υπάρχει η (. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: α Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ είναι: α Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδενίζεται. β Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρει η. β Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα (α,β και (α,β είναι μια πιθανή θέση σημείου καμπής. Αν: α η '' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και β ορίζεται η εφαπτομένη της C στο Α(,(, τότε το Α(,( είναι σημείο καμπής. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Αν ένα τουλάιστο από τα όρια lim, lim + + είναι ή τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της. Αν lim β lim β, + ή τότε η ευθεία ψβ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + (αντιστοίως στο -. 3 Η ευθεία ψλ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ή στο - lim + lim +, αν [ ( ( ] ή [ ( ( ] + 4 Η ασύμπτωτη ψλ+β είναι οριζόντια αν λ, ενώ αν λ διάφορο του λέγεται πλάγια ασύμπτωτη. 5 Η ευθεία ψλ+β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + ή στο -, αν και μόνο αν lim λ R και lim [ λχ ] β R + + ή lim λ R και lim [ λχ ] β R 6

7 Παρατηρήσεις. g( Δίνεται η ρητή συνάρτηση: (, h( h(. Aν ο βαθμός του αριθμητή g( είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή h(, τότε η ευθεία ψ δηλ. ο άξονας ' είναι οριζόντια ασύμπτωτη.. Aν ο βαθμός του αριθμητή g( είναι ίσος από το βαθμό του παρανομαστή h(, τότε η ευθεία ψα είναι οριζόντια ασύμπτωτη, όπου α ο λόγος του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του αριθμητή προς το συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του παρανομαστή. 3. Αν ο βαθμός του αριθμητή g( είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερος από το βαθμό του παρανομαστή h(, τότε η ευθεία ψα+β είναι πλάγια ασύμπτωτη, όπου α+β το πηλίκο της διαίρεσης g( : h( 4. Aν ο βαθμός του αριθμητή g( είναι κατά δυο ή περισσότερες μονάδες μεγαλύτερος από το βαθμότου παρανομαστή, τότε δεν υπάρχει ούτε πλάγια ούτε οριζόντια ασύμπτωτη. ΚΑΝΟΝEΣ DE L' HOSPITAL ( ή ±, lim g ( ή ±, R Aν lim και υπάρχει το lim lim g g lim g πεπερασμένο ή άπειρο τότε ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. β Εξετάζουμε αν η είναι άρτια, περιττή ή περιοδική. γ Εξετάζουμε τη συνέεια της στο πεδίο ορισμού της. δ Βρίσκουμε τις παραγώγους και και κατασκευάζουμε τους πίνακες προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω και τα σημεία καμπής. ε Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες. στ Βρίσκουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες. ζ Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σε ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται πίνακας μεταβολών της (που εμπεριέει και τον πίνακα τιμών της και με τη βοήθεια του σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της. 7

8 8