ELECTROCARDIOGRAFIA Definiţia, utilitatea şi geneza electocardiogramei
|
|
- Ὀδυσσεύς Αναγνώστου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ELECTROCARDIOGRAFIA Definiţia, utilitatea şi geneza electocardiogramei Ca şi alte ţesuturi, miocardul generează un câmp electric (variaţii de potenţial electric) care se propagă până la suprafaţa pielii. De aici, câmpul electric poate fi înregistrat prin plasarea unor electrozi în anumite puncte ale corpului uman. Graficul care rezultă din această înregistrare se numeşte electrocardiogramă (ECG) Electrocardiograma reprezintă înregistrarea grafică a variaţiilor de potenţial electric care iau naştere în timpul activităţii cardiace. ECG reprezintă o investigaţie de bază pentru orice pacient care se adresează medicului sau pentru screening-ul stării de sănătate şi oferă informaţii valoroase despre modul în care funcţionează inima. O electrocardiograma oferă informaţii despre: Ritmul inimii Originea impulsului şi propagarea (conducerea) acestuia prin masa miocardului Mărimea cavităţilor cordului Poziţia inimii Extensia şi localizarea unui infarct acut de miocard (IMA) Efectele modificării concentraţiei electroliţilor asupra proprietăţilor miocardului Efectele unor medicamente asupra activităţii cordului Funcţionarea unui pace-maker artificial implantat unui pacient NU oferă date despre contractilitatea miocardului şi despre funcţia de pompă. Aceste informaţii se pot obţine prin cateterism cardiac sau prin ecocardiografie Reprezintă standardul de aur pentru diagnosticul tulburărilor de ritm şi de conducere Bazele teoretice şi practice ale ECG au fost puse de Einthoven, care a luat premiul Nobel pentru acest lucru. În elaborarea teoriilor sale, el a plecat de la următoarele premise: cordul este un dipol; cordul este situat în centrul toracelui, iar acesta este situat în centrul corpului; toracele este sferic; articulaţiile radio-carpiene şi tibio-tarsiene sunt echidistante faţă de cord; rezistenţele electrice ale ţesuturilor sunt egale în orice direcţie. Dintre acestea, singura premisă adevărată, exactă, este aceea că inima este un dipol, suficientă totuşi, pentru a putea explica formarea undelor ECG. Pentru înţelegerea bazelor teoretice ale ECG este necesară cunoaşterea proceselor electrofiziologice care determină geneza potenţialului de acţiune şi conducerea impulsurilor în peretele cardiac. De aceea, trebuie să revedeţi fenomenul electric de la nivelul cordului, din cursul predat, sau din cărţile recomandate la bibliografie!. 1
2 Geneza electrocardiogramei Pentru a înţelege geneza undelor ECG, amplitudinea şi durata acestora este important să fie cunoscute şi înţelese câteva teorii şi principii preluate din fizică şi matematică. Este vorba despre teoria dipolului, teoria vectorială şi cea a unghiului solid. 1. Teoria dipolului constituie un mod extrem de simplu de a explica fenomenele electrice cardiace. Prin dipol se înţelege un cuplu de sarcini electrice: una pozitivă şi alta negativă. Această teorie a fost enunţată de Waller şi Craib şi compară câmpul electric creat de un dipol artificial într-un mediu conductor, cu câmpul electric generat de miocard. La nivelul ţesutului miocardic, excitaţia este iniţiată într-un punct, în condiţii fiziologice în nodulul sino-atrial şi se propagă cu rapiditate de la o celulă la alta. Porţiunea din miocard activată sau depolarizată devine electronegativă, iar cea neactivată, aflată încă în repaus rămâne electropozitivă, creânduse astfel un dipol care se propagă pe masură ce se desfăşoară ciclul cardiac. Figura X.1. Câmpul electric creat de un dipol artificial. Curba de profil a dipolului. (după P. Dumitru,1985, modificat). Diferenţele de potenţial în câmpul electric creat sunt mai mari în apropierea polilor dipolului şi scad pe măsură ce ne îndepărtăm de ei. La egală distanţă între cei doi poli ai dipolului, diferenţa de potenţial este neglijabilă, iar în electrocardiografie se consideră a fi 0 (linia de 0 zero potenţial). Linia imaginară care trece prin cei doi poli se numeşte axa dipolului. Pe ea înregistrăm cele mai ample diferenţe de potenţial, de un sens sau altul, după semnul plus sau minus al celor doi poli (figura X.1.). Se observă că un electrod plasat în câmpul (polul) pozitiv va înregistra o undă pozitivă, iar cel plasat în campul (polul) negativ, o undă negativă, a cărei amplitudine scade pe măsură ce ne îndepărtăm de polul respectiv. Prin comparaţie, dacă se reduce activitatea electrică a inimii la numai două sarcini (una pozitivă şi alta negativă) deci, un dipol, acesta se mişcă, se deplasează în torace odată cu depolarizarea progresivă a miocardului, în faţa unor electrozi exploratori plasaţi în puncte fixe. Dipolul electric se formează între segmentul depolarizat (negativ) şi cel aflat în repaus (pozitiv). Se observă că, dacă plasăm 2 electrozi cuplaţi la un galvanaometru pe suprafaţa unei fibre miocardice aflată în depolarizare, aceştia vor înregistra o diferenţă de potenţial de sens pozitiv, care se va inscrie pe un traseu ECG ca o undă pozitivă (condiţia A pe imagine). Dacă fibra miocardică este complet depolarizată sau complet repolarizată, cei 2 electrozi nu vor înregistra nicio diferenţă de potenţial. Pe ECG se va înscrie o linie izoelectrică (care 2 Figura X.2. Înregistrarea diferenţei de potenţial la nivelul unei fibre miocardiace unice. (După Guyton and Hall, 2006, modificată).
3 exprimă situaţia de 0 potenţial) sau deflexiunea coboară către linia izoelectrică (condiţia B). 2. Teoria vectorială Un dipol poate fi reprezentat printr-un vector, orientat dinspre zona electronegativă înspre zona electropozitivă şi având o mărime determinată de diferenţa de potenţial dintre cei doi poli ai dipolului. Există vectori cardiaci care corespund dipolului unei fibre miocardice, numiţi vectori elementari, alţii sunt vectorii instantanei, care reprezintă grafic însumarea unor vectori elementari dintr-un anumit moment, din timpul activităţii cardiace. Toţi aceşti vectori, se supun legilor matematice putând fi însumaţi, deplasaţi sau măsuraţi, prin proiecţiile lor ortogonale pe anumite axe, numite derivaţii ECG sau conduceri ECG. Un vector, este caracterizat de modul (mărime), punct de aplicare, direcţie şi sens. Fiind expresia grafică a unor forţe, vectorii se pot însuma, astfel: doi vectori de sens contrar şi de mărimi diferite se însumează algebric (scăzând vectorul mai mic din cel mai mare), rezultanta având sensul vectorului mai mare (fig. X.3.a); doi vectori egali, dar de sens opus, prin însumare se anulează, rezultanta fiind zero (fig. X.3.b); doi vectori cu punct de origine comun, dar cu direcţii diferite, se însumează după regula paralelogramului forţelor, construit prin ducerea din capetele lor a unor paralele la vectori. Diagonala paralelogramului astfel format reprezentă rezultanta R (fig. X.4. a, b). Fig. X.3. Compunerea a doi vectori coliniari, de direcţii opuse a) de mărime diferită; b) de mărime egală. În consecinţă, orice modificare a unui vector elementar (adică a procesului de depolarizare a unei fibre miocardice) va afecta şi vectorul instantaneu. Diferenţa de potenţial dintre două puncte, în câmpul creat de un dipol electric, este proporţională cu proiecţia momentului dipolar pe acea direcţie. Astfel, fluctuaţiile de potenţial care apar între diverse puncte (în cazul EKG între punctele de aplicare ale electrozilor) de măsură sunt în directă legătură cu variaţiile (direcţie şi modul) ale vectorului dipol electric. 3 Fig. X.4. Exemple de compunere a vectorilor. a) aplicarea regulii paralelogramului pentru doi vectori; b) compunerea a patru vectori de direcţii diferite; c) compunerea a doi vectori ce nu au origine comună.
4 Înregistrarea vectorilor instantanei de depolarizare şi repolarizare în spaţiu reprezintă o vectocardiogramă. Prin unirea vârfurilor vectorilor multipli instantanei, în spaţiu, se obţine o buclă spaţială de vectocardiografie. Proiecţia desfăşurată a acestei bucle, în funcţie de timp, pe o dreaptă din corpul omenesc, corespunzătoare unei derivaţii, reprezintă electrocardiograma (ECG) înregistrată în aceea derivaţie. Inima, organ cu fibre musculare orientate în toate sensurile, cu pereţi inegali şi diferit orientaţi în spaţiu, aflat permanent în activare (depolarizare) sau repolarizare, într-o anumită succesiune şi nu simultan, va genera o multitudine de vectori care, însumaţi, vor da câţiva vectori rezultanţi. La formarea ECG participă vectorii finali: de depolarizare atrială; de depolarizare septală; de depolarizare ventriculară şi de repolarizare ventriculară. Aceştia vor fi exploraţi prin ECG. Figura X5. Vectorul rezultant al depolarizarii ventriculare: este orientat de sus în jos şi de la dreapta la stânga. Urmareşte axul anatomic, longitudinal al cordului. Teoria vectorială ne ajută să înţelegem relaţia dintre unde şi derivaţiile ECG, precum şi amplitudinea şi sensul undelor. 3. Teoria unghiului solid Unghiul solid este o noţiune matematică utilizată în ECG, pentru a ajuta înţelegerea mai bună a reprezentării fenomenelor electrice în conducerile unipolare, toracice. Figura X.6. Unghiul solid (după Kleinerman, 1968). În punctul E, unghiul solid este mai mic decât cel determinat din E, deci unda înregistrată din E va avea o amplitudine mai mică decât cea din E. Semnalul cules dintr-o anumită regiune este invers proporţional cu pătratul distanţei de la sursă la electrod). Relaţia de definiţie este: S Ω = 2 r unde Ω este unghiul solid, S este suprafaţa considerată, iar r distanţa dintre punctul de observaţie şi suprafaţa explorată. 4
5 Presupunem o suprafaţă S explorată dintr-un punct E care este centrul unei sfere. Suprafaţa tăiată din sferă de conul unei suprafeţe "S" este unghiul solid, conceput în spaţiu, deci tridimensional. Potenţialul electric cules din E are sensul polarităţii feţei care este orientată spre E (de exemplu: dacă E este orientat spre faţa pozitivă, se va înregistra un potenţial electric pozitiv, adică unde pozitive). Amplitudinea potenţialului înregistrat din E, va fi cu atât mai mare cu cât unghiul solid va fi mai mare. Cu cât punctul E din care explorăm suprafaţa S este mai aproape de S (punctul E 1 ), cu atât unghiul solid va mai mare şi invers, cu cât punctul E va fi mai îndepărtat de S (punctul E 2 ), unghiul solid va fi mai mic, deci amplitudinea undei va fi mai mică (figura X.6). Acestă teorie ne ajută să înţelegem modul în care, electrozii plasaţi pe torace privesc inima. Prin electrozii aşezaţi pe torace în dreapta sau stânga inimii, se explorează două mase miocardice (dreapta mai mică şi stânga mai mare) ale căror suprafeţe endocardice au o polaritate diferită faţă de cele epicardice. Derivaţiile ECG Câmpul electric produs de inimă, poate fi înregistrat prin plasarea unor electrozi în diferite puncte ale corpului: pe membre şi pe torace. Din aceste puncte, electrozii ECG privesc inima din unghiuri diferite şi traduc activitatea electrică a inimii în unde care se înregistrează pe o hârtie specială. Linia imaginară de-a lungul căreia se înregistrează diferenţa de potenţial dintre 2 electrozi plasaţi în puncte diferite se numeşte derivaţie. Din punct de vedere grafic, fiecărei derivaţii îi corespunde un ax, căruia i se atribuie convenţional un sens. Axul unei derivaţii sau linia derivaţiei este o dreaptă care uneşte cele 2 puncte de înregistrare. Orice derivaţie are un sens pozitiv şi unul negativ. Axul unei derivaţii unipolare este dreapta care uneşte punctul de plasare al electrodului explorator cu centrul electric al inimii, acesta fiind situat în centrul de greutate al masei miocardului. Anatomic, acesta se găseşte plasat lateral dreapta de centrul cavităţii ventriculului stâng. Derivaţiile ECG sunt standardizate şi sunt grupate în sisteme de derivaţii. În practică se folosesc în mod curent 3 sisteme de derivaţii: derivaţiile standard, bipolare, notate DI, DII, DIII; derivaţiile unipolare ale membrelor, notate cu avr, avl şi avf; derivaţiile unipolare toracice sau precordiale, notate de la V1.la V6. După numărul electrozilor exploratori utilizaţi, în ECG se disting: derivaţii bipolare, în care ambii electrozi sunt exploratori (culeg diferenţa de potenţial) şi derivaţii unipolare, în care doar un electrod este explorator. După planul în care sunt plasaţi electrozii, cele 3 sisteme sunt grupate: v În plan frontal: o 3 derivaţii bipolare standard, (DS) ale membrelor (DI, DII şi DIII) o 3 derivaţii unipolare ale membrelor (DUM) (avr, avl şi avf) v În plan orizontal se utilizează, cel mai frecvent tot 6 derivaţii. Se numesc derivaţii unipolare precordiale sau toracice şi se notează cu V1, V2, V3, V4, V5 şi V6. 5
6 standardizate. ü Electrozii pentru derivaţiile membrelor se plasează pe membrele superioare deasupra articulaţiei pumnului, iar pe membrele inferioare deasupra gleznei, evitându-se planul osos (fig. X7). ü În caz de amputaţii electrozii se plasează cât mai aproape de torace, la originea membrului respectiv. ü În total pe membre se plasează 4 electrozi: doi pe membrele superioare şi doi pe picioare. Piciorul drept este folosit pentru împământare (potenţial constant). ü Cei 6 electrozi precordiali se plasează pe torace în puncte Figura X7. Înregistrarea unei electrocardiograme. Se vizualizează modul de plasare al electrozilor. Aceştia sunt conectaţi de aparatul propriu-zis prin fire conductoare (cabluri) 1. Derivaţiile standard. Sunt derivaţii bipolare ale membrelor, imaginate de W. Einthoven, care explorează activitatea inimii în planul frontal. În aceste derivaţii, electrozii sunt plasaţi în 3 puncte: membrul superior drept (braţ drept: BD); electrodul plasat în acest punct se leagă întotdeauna la borna negativă a galvanometrului; membrul superior stâng (braţ stâng: BS); electrodul plasat aici se poate leaga la borna pozitivă sau negativă a galvanometrului, în funcţie de derivaţie; membrul inferior stâng (picior stâng: PS) care se leagă întodeauna la borna pozitivă a galvanometrului. 6
7 Cele 3 derivaţii explorează activitatea electrică a cordului prin două puncte situate la egală distanţă faţă de cord, un electrod legându-se la polul negativ, celălalt electrod la polul pozitiv al galvanometrului. Cele 3 derivaţii se construiesc conform schemei de mai jos: Derivaţia I: BD (-) BS (+); Derivaţia II: BD (-) PS (+); Derivaţia III: BS (-) PS (+). Conform acestei scheme construite de Einthoven, suma amplitudinii undelor obţinute în DI şi DIII = DII (DI + DIII = D II). Linia derivaţiei bipolare este o linie imaginară care uneşte cei doi electrozi exploratori. Figura X.8. Derivaţiile bipolare ale membrelor formează un triunghi echilateral, numit triunghiul lui Einthoven (după Bensen, 1992) Cele trei linii delimitează un triunghi echilateral (Einthoven), în centrul căruia se găseşte inima. Fiecare latură a triunghiurilor are o jumătate negativă şi una pozitivă, în legătură cu sensul polarităţii derivaţiei respective (vezi figura de sus şi X8). 2. Derivaţiile unipolare au un singur electrod explorator, iar cel de-al 2-lea este indiferent. Reguli generale de formare a derivaţiilor unipolare: electrodul explorator se leagă întotdeauna la borna pozitivă a galvanometrului electrodul indiferent se leagă la borna negativă şi este plasat la distanţă faţă de cord, cât mai la periferia câmpului electric. Derivaţiile unipolare sunt: unipolare ale membrelor şi precordiale sau toracice Derivaţiile unipolare ale membrelor. Aceste derivaţii culeg diferenţele de potenţial în plan frontal. Pentru formarea electrodului indiferent, Wilson a luat drept bază teoretică legea I a lui Kirchoff, conform căreia suma algebrică a intensităţilor curenţilor dintr-un nod de circuit este egală cu zero. Pentru a simula nodul, Wilson a construit o bornă centrală, din conductorii membrelor neexplorate şi apoi a făcut legătura acesteia la polul negativ al galvanometrului. Se consideră că, la nivelul bornei centrale, potenţialul electric este apropiat de zero. Reguli de formare: electrodul explorator este plasat pe rând pe braţul drept (R), pe bratul stâng (L) şi pe piciorul stâng (F) şi se leagă intotdeauna la borna pozitivă a galvanometrului; electrodul indiferent este plasat în borna centrală, unde potenţialul electric este apropiat de zero şi se formează prin unirea membrelor neexplorate în acea derivaţie şi scurtcircuitarea membrului explorat (fig. X.9). Orice derivaţie unipolară care utilizează borna centrală pentru electrodul indiferent este notată cu V. Deci, derivatiile unipolare ale membrelor sunt: VR, VL, VF. Deoarece derivaţiile unipolare ale membrelor sunt amplificate (potenţialele culese sunt prea mici), denumirea prescurtată a acestor derivaţii include un a. Prin urmare, cele 3 derivaţii unipolare ale membrelor sunt: avr (derivaţie amplificată cu bornă centrală a braţului drept); avl (derivaţie amplificată cu bornă centrală a braţului stâng); avf (derivaţie amplificată cu bornă centrală a piciorului). 7
8 Figura X.9. Formarea derivaţiilor avr, avl şi avf Linia derivaţiei unipolare este o linie imaginară care uneşte centrul electric cardiac (cu borna centrală). electrodul explorator cu Dacă plasăm liniile celor trei DUM în triunghiul lui Einthoven, ele reprezintă bisectoarele unghiurilor din triunghiul echilateral. În triunghiul lui Einthoven, centrul electric cardiac este considerat a fi centrul triunghiului. Fiecare linie de derivaţie are o polaritate pozitivă între punctul de plasare al electrodului şi centrul electric cardiac şi o jumătate negativă pe prelungirea derivaţiei, dincolo de centrul electric. Liniile derivaţiilor unipolare ale membrelor, împreună cu cele ale derivaţiilor bipolare se pot reprezenta într-un cerc, în care liniile derivaţiilor bipolare se aduc în centrul acestuia, prin mişcare de translaţie. Se obţine astfel un cerc tăiat de 6 axe din 30 în 30 de grade (sistemul hexaxial al lui Bayley, Pallares, Cabrerra). Semicercul inferior (corespunzător părţilor pozitive ale derivaţiilor) este notat cu grade pozitive. Semicercul superior (corespunzător părţilor negative ale derivaţiilor) este notat cu grade negative (figura din stânga.x.10). 8
9 Sistemul hexaxial este util pentru proiecţia vectorilor rezultanţi şi pentru calculul axului electric al unei unde Derivaţiile unipolare precordiale Derivaţiile unipolare precordiale înregistrează activitatea electrică a inimii, în plan orizontal. Electrodul explorator se plasează în anumite puncte standardizate ale regiunii precordiale şi se leagă la borna pozitivă a galvanometrului, iar electrodul indiferent se pune în centrul electric care se leagă la borna negativă a galvanometrului (fig. 4.15). Prin convenţie internaţională s-au stabilit şase puncte toracice de fixare a electrozilor în derivaţiile precordiale notate cu V1 V6, în care V înseamnă derivaţie unipolară cu bornă centrală, iar cifrele 1 6, reprezintă locul de plasare pe torace. V1 în spaţiul IV intercostal, parasternal dreapta V2 - în spaţiul IV intercostal, parasternal stânga V3 la mijlocul liniei care uneşte V2 cu V4 V4 - în spaţiul V intercostal, pe linia medioclaviculară stânga V5 pe o linie orizontală care trece prin V4 şi intersectează linia axilară anterioară V6 pe aceeaşi orizontală care trece prin V4 şi intersectează linia axilară medie Derivaţiile V1 şi V2 sunt situate în dreptul inimii drepte, V3 şi V4 în dreptul septului şi V5, V6 în dreptul inimii stângi (fig. X...). Linia derivaţiei precordiale este o linie imaginară care uneşte electrodul explorator cu centrul electric cardiac. În afara acestor derivaţii clasice, folosite curent, se mai cunosc: derivaţia V7 electrodul explorator este situat la intersecţia liniei axilare posterioare cu orizontala care trece prin V4; derivaţia V8 electrodul explorator este situat la intersecţia verticalei care trece prin vârful omoplatului stâng, cu aceeaşi orizontală care trece prin V4 ; conduceri precordiale drepte: V3R, V4R, V5R, V6R electrozii fiind plasaţi pe partea dreaptă a toracelui, simetric faţă de conducerile precordiale corespunzătoare de pe hemitoracele stâng; 9
10 Direcţia propagării excitaţiei în cord. Depolarizarea şi repolarizarea cordului Depolarizarea atrială este declanşată de stimulii fiziologici porniţi din nodulul sinusal. Atriul drept este mai aproape de nodulul sinusal, deci se va depolariza înaintea atriului stâng, cu 0,02 sec. Unda de depolarizare se împrăştie treptat în masa atrială, având o direcţie de sus în jos. Vectorul final al depolarizării atriului drept va fi orientat conform poziţiei lui în torace: de la dreapta la stânga (de la NSA către NAV); de sus în jos; dinapoi înainte (NSA este situat pe peretele posterosuperior al atriului drept). Vectorul depolarizării atriului stâng este mai tardiv decât cel drept şi este orientat aproape orizontal de la dreapta la stânga şi dinainteînapoi. Considerând că cei doi vectori se proiectează în plan frontal şi au aceeaşi origine, putem afla, aplicând regula de însumare a paralelogramului, vectorul rezultant al depolarizării celor două atrii. Acesta este reprezentat de diagonala paralelogramului format din cei doi vectori şi şi este orientat de la dreapta la stânga şi de sus în jos (fig. 4.7). Depolarizarea atrială este reprezentată pe ECG de unda P, pozitivă rotunjită, în care prima jumătate (panta ascendentă) este dată de depolarizarea atriului drept, iar cea de a doua jumătate (panta descendentă), de depolarizarea atriului stâng. Depolarizarea atrială curge de la endocard prima porţiune depolarizată, spre epicard, încă pozitiv, sub formă de dipoli. Un electrod plasat pe epicard (torace) va privi partea pozitivă (va fi plasat în câmp electric pozitiv), deci va inregistra o undă pozitivă unda P. Repolarizarea atrială începe din acelaşi loc de unde a început şi depolarizarea, adică de la endocard, care se va pozitiva, în timp ce epicardul este încă negativ. Electrodul plasat pe epicard se află în câmp electric negativ (priveşte partea negativă), prin urmarea, unda înscrisă este negativă. Unda negativă de repolarizare atrială este notată cu T - NU APARE PE ECG, deoarece este mascată de complexul qrs. Depolarizarea ventriculară începe cu depolarizarea septului, de la endocard către mijloc pentru septul stâng (vectorul fiind orientat de la stânga la dreapta) şi de la dreapta la stânga pentru septul drept. Vectorul rezultant al depolarizarii septale va fi orientat de la stânga la dreapta (vector 1, fig. X 12). Pe ECG se va înscrie unda q Urmează depolarizarea ventriculară, mai întâi vârful (unda R pe ECG), apoi pereţii laterali şi în final se depolarizează baza ventriculilor unda s pe ECG. Depolarizarea pereţilor ventriculari se face de la endocard la epicard, cu vectori orientaţi astfel: 10 Sursa: ck-guide-to-ecg.html Figura X12. Direcţia de depolarizare ventriculară.
11 de la stânga la dreapta şi de sus în jos pentru ventriculul drept (vector 2) de sus în jos şi de la dreapta la stânga pentru ventriculul stâng (vector 3). vectorul mediu rezultant al depolarizarii ventriculare este orientat de la dreapta la stânga şi de sus în jos (săgeata roşie). depolarizarea ventriculară este reprezentată pe ECG de complexul qrs. În plan frontal, depolarizarea ventriculară este reprezentată de complexul qrs în care: q reprezintă depolarizarea septală; R reprezintă depolarizarea vârfului ventriculilor; s depolarizarea marginilor laterale şi baza ventriculilor. În plan orizontal semnificaţia undelor din complexul qrs este determinată de sensul vectorilor de depolarizare (septal, al ventriculului drept şi stâng), de mărimea lor şi de poziţia electrodului explorator faţă de direcţia vectorului respectiv. în V 1, V 2 se înregistrează complexul de tip epicardic drept rs (r/s<1) în care: r este dat de depolarizarea septului şi ventriculului drept; S este dat de depolarizarea ventriculului stâng. în V 5, V 6 se înregistrează complexul de tip epicardic stâng qr sau qrs (raportul R/s>2) în care: q este dat de depolarizarea septală; R de depolarizarea ventriculului stâng; Figura X13. Înregistrarea complexelor epicardice în derivaţiile planului orizontal. s de depolarizarea bazei ventriculului drept şi conul arterei pulmonare. În V 3, V 4 se înregistrează un complex RS de tip echidifazic (R/S=1) (fig. X13). Repolarizarea ventriculară Repolarizarea ventriculară se face de la epicard la endocard (în sens invers depolarizării). Un electrod plasat pe membre, torace se află în camp electric pozitiv, deci va înscrie o undă pozitivă. Unda de repolarizare ventriculară se notează cu T. Reguli de înscriere a undelor în funcţie de poziţia vectorilor faţă de electrodul explorator: când un vector de depolarizare vine către electrod, acesta va înscrie o unda pozitivă (priveşte fața pozitivă, încă nedepolarizată); când un vector de depolarizare are direcţie opusă ( fuge de electrodul explorator) se va înregistra o undă negativă. În fapt, electrodul explorator priveşte acum faţa depolarizată, negativă a miocardului.. Sensul şi amplitudinea undelor în ECG depind de proiecţia vectorilor rezultaţi pe derivaţiile ECG ale planului frontal şi orizontal. 11
12 Înălţimea deflexiunii în orice conducere, depinde de mărimea vectorului şi de înclinarea sa faţă de derivaţia respectivă. Reguli de înscriere a undelor în funcţie de mărimea şi poziţia vectorilor faţă de o derivaţie: dacă vectorul este paralel cu derivaţia, unda este cea mai amplă. dacă vectorul se proiectează pe partea pozitivă a unei derivaţii, sensul undei va fi pozitiv, iar dacă se va proiecta pe partea negativă a derivaţiei, se va înregistra o undă negativă, mare sau mică, în funcţie de mărimea acestei proiecţii. dacă vectorul este perpendicular pe o derivaţie, se va înregistra un complex echidifazic (o fază pozitivă şi una negativă de valori egale) pentru un vector mare. dacă vectorul perpendicular este mic, mărimea undei este zero şi se înregistrează o linie izoelectrică.. Electrocardiograful Biopotenţialele generate de celulele şi ţesuturile vii, ca orice curenţi electrici, se produc prin faptul că între două puncte ale unui conductor electric există la un moment dat o diferenţă de potenţial electric. Această diferenţa de potenţial se poate înregistra cu ajutorul unui galvanometru. Un electrocardiograf este un galvanometru modificat care înregistrează cu viteză mare variaţiile de curent electric generate de inimă, pe care le amplifică şi le transformă în deplasări mecanice. În principiu, un astfel de aparat este alcătuit din: electrozi şi cabluri care stabilesc legătura dintre câmpul electric cardiac şi aparat; sistemul de amplificare electronic; sistem de filtrare a zgomotelor ; comutatori de derivaţii; sistemul de înregistrare care diferă după tipul aparatului: pe hârtie termosensibilă, mecanosensibilă, cu cerneală, pe un tub catodic, pe ecranul unui computer; un sistem de derulare a hârtiei. În funcție de numărul de canale, electrocardiografele pot fi: cu 3 canale cu 6 canale cu 12 canale Procedura de înregistrare a unei electrocadiograme 1. Pregăteşte aparatul: conectează-l la sursa de energie electrică, pune hârtie, verifică calibrarea, curăţă electrozii, dacă aceştia nu sunt de unică folosinţă. 2. Asigură condiţii optime de înregistrare: linişte, temperatură de confort (20 gradec), evitându-se temperaturile scăzute (determină contracţii musculare) sau temperaturile ridicate (transpiraţiile determină modificări de conductibilitate), care pot produce erori de înregistrare. 3. Spală-ţi mâinile 4. Prezintă-te pacientului, explică-i ce în ce constă procedura, obţine acordul şi cooperarea acestuia. 5. Introdu datele pacientului în aparat: numele complet, data naşterii, înălţimea, greutatea, medicaţia, numele examinatorului, precum şi data şi ora efectuării 12
13 înregistrării. Dacă aparatul nu permite acest lucru, toate aceste date vor fi scrise pe înregistrare, la finalizarea acesteia*. 6. Aşează pacientul pe pat în decubit dorsal cu toracele şi membrele descoperite, în stare de relaxare fizică şi psihică. 7. Degresează cu alcool tegumentele, în locurile de plasare a electrozilor şi pune pe tegumente o pastă bună conducătoare de electricitate. 8. Plasează electrozii astfel: Pe braţul drept electrodul cu clema roşie Pe braţul stâng electrodul cu clema galbenă Pe piciorul stâng - electrodul cu clema verde Pe piciorul drept - electrodul cu clema neagră. V1 - spaţiul IV i.c., parasternal dreapta. V2 - spaţiul IV i.c., parasternal stânga. V4 - spaţiul V i.c. stâng, pe linia medioclaviculara (vârful inimii). V3 - la mijlocul distanţei dintre V2 şi V4 V5 - la intersecţia dintre planul orizontal care trece prin V4 şi linia axilară anterioară V6 - la intersecţia dintre planul orizontal care trece prin V4 şi linia axilară mijlocie** Toţi paşii descrişi până acum sunt valabili pentru orice tip de aparat. În continuare, înregistrarea propriu-zisă va fi descrisă pentru electrocardiograful aflat în dotarea disciplinei: Cardiovit Schiller AT-1, care are 3 canale de înregistrare. 9. Apasă butonul START (verde). Se vor aprinde mai multe leduri. Dacă apare un sunet şi avertizarea electode lose trebuie să verificaţi fixarea electrozilor (sau a cablurilor). 10. Alege filtrele necesare butonul FILT 11. Apasă butonul AUTOSTART, dacă doreşti o înregistrare cu timp presetat (derivaţiile se succed automat, 3 câte 3 până la final) sau MANUAL dacă doreşti o înregistrare mai lungă. În acest caz, derivaţiile se comută prin apăsarea butoanelor cu săgeată. Aparatul permite înregistrarea simultană a 3 derivaţii grupate. După înregistrarea primului grup de derivaţii DI, DII, DIII se comută pe următoarele 3: avr, avl şi avf şi tot aşa până la ultimul grup: V4, V5, V6. După înregistrarea tuturor derivaţiilor se apasă pe butonul STOP. 12. Se îndepărtează electrozii. Se şterg tegumentele cu hârtie. Se spune pacientului să se ridice şi să se îmbrace 13. Se scoate înregistrarea din aparat, se noteză datele pacientului şi se trece la interpretare. * O înregistrare ECG reprezintă un document medico-legal, deci datele de identificare sunt obligatorii. ** Dacă electrozii sunt de unică folosinţă se plasează mai întâi ei şi apoi se conectează cablurile, respectându-se strict codul culorilor. Traseul ECG Un traseu ECG este format din unde, segmente şi intervale: unda P segmentul Pq complexul qrs segmentul S-T unda T intervalul qt; +/- unda U 13
14 Undele. Sunt deflexiuni pozitive sau negative cu parametri bine definiţi: morfologie, sens, amplitudine, durată, ax electric. undele situate deasupra liniei izoelectrice sunt numite unde sau deflexiuni pozitive. Cele situate sub linia izoelectrică sunt denumite unde negative undele de pe o ECG sunt: o unda P semnifică depolarizarea atrială; o undele complexului qrs - semnifică depolarizarea ventriculară o unda T - semnifică repolarizarea ventriculară; o unda U (apare rar) - semnifică repolarizarea finală ventriculară Segmentul este o linie izoelectrică şi reprezintă porţiunea de la sfârşitul unei unde până la începutul undei următoare. Pe un traseu ECG se înscriu 3 segmente: segmentul Pq de la sfârşitul undei P până la începutul undei q sau R, dacă q lipseşte. Se mai numeşte şi segment PR. Semnifică conducerea atrio-ventriculară segmentul ST - de la sfârşitul undei S până la începutul undei T. Semnifică începutul repolarizării ventriculare, faza pasivă, lentă. segmentul TP diastola generală. Este considerat linia izoelectrică, de referinţă! Intervalul: cuprinde segmente şi unde. intervalul Pq sau PR cuprinde unda P şi segmentul Pq. Se mai numeşte şi atriograma. Semnifică depolarizarea atrială şi conducerea atrio-ventriculară. intervalul qt cuprinde complexul qrs, segmentul ST şi unda T. Semnifică depolarizarea şi repolarizarea ventriculară. Se mai numeşte şi ventriculograma; intervalul RR constituie un ciclu cardiac. Caracteristicile normale ale undelor, segmentelor si intervalelor ECG sunt prezentate schematizat în tabelul numărul X1. Hârtia ECG. De regulă, hârtia ECG are un caroiaj caracteristic, standardizat. Fiecare casuţă mică este un pătrat cu latura de 1 mm. Căsuțele mari (care au 5 căsuțe mici) au 5 mm. Există şi hârtie la care o căsuţă are 2 mm. Pentru calculul duratei unei unde sau a unui segment trebuie să cunoaştem viteza de derulare a hârtiei. De cele mai multe ori, aceasta este de 25 mm/secundă, mai rar de 50 mm/sec. Dacă: într-o secundă se înscriu 25 mm, atunci unui milimetru îi corespunde o durată de 0,04 secunde. În această situaţie, o undă care se înscrie pe 2 căsuţe va avea o durată de 0,08 secunde. Pentru o viteză de 50 mm/sec., unui mm îi corespund 0,02 secunde. Pentru calculul amplitudinii unei unde trebuie să ştim etalonarea aparatului, adică, care este relaţia dintre voltaj şi amplitudinea în mm a unei unde. Standard, în ECG, la 1 mv corespunde o amplitudine de 10 mm. Deci, 1 mm = 0,1 mv O căsuţă mică va avea: - pe verticală (amplitudinea): 1 mm = 0,1 mv - pe orizontală (durata): 0,04 secunde 14
15 Citirea şi Interpretarea unei electrocardiograme. Presupune parcurgerea unor etape obligatorii. Aceste etape sunt: I. Stabilirea ritmului cardiac II. Stabilirea FC (frecvenţei cardiace) III. Stabilirea axului electric IV. Analiza undelor, segmentelor şi a intervalelor de pe traseul ECG I. Citirea ECG începe cu stabilirea ritmului. În condiţii fiziologice, ritmul inimii trebuie să fie sinusal. Criteriile ECG ale ritmului sinusal sunt: 1. Unda P: să existe, să preceda qrs şi să fie pozitivă în cel puţin două dintre derivaţiile standard ale planului frontal; Explicaţie: dacă există undă P înseamnă ca se depolarizează atriile; dacă precede complexul înseamnă ca se depolarizează mai întâi atriile şi apoi ventriculele; dacă este pozitivă înseamnă ca vectorul de depolarizare atrială are o direcţie normală, deci vine din nodulul sinusal 2. Distanţele R-R şi să fie egale de la un ciclu la altul; Criterii facultative: Intervalul Pq sau PR (dacă nu există undă q) să fie cuprins între 0,12 0,21 sec.; Frecvenţa cardiacă să fie cuprinsă între bătăi/min; Dacă toate criteriile sunt prezente, dar frecvenţa cardiacă este mai mare de 100 b/min, vorbim de tahicardie sinusală. Dacă toate aceste criterii sunt prezente, dar frecvenţa cardiacă este mai mică de 60 b/min vorbim de bradicardie sinusală. II. Se stabileşte apoi, alura ventriculară sau frecvenţa cardiacă (heart rate). Se determină distanţa în milimetri parcursă între două unde R apropiate (un ciclu cardiac). Dacă viteza de derulare a hârtiei este de 25 mm/sec, un milimetru este parcurs în 0,04 sec. Să presupunem, de exemplu că intervalul, R-R = 18 mm. Distanţa R-R reprezintă un ciclu cardiac. Această distanţă este parcursă deci în 18 x 0,04 sec = 0,72 sec. Ca să aflăm care este frecvenţa cardiacă, trebuie să vedem de câte ori această distanţă R-R se cuprinde într-un minut. Deci, împărţim 60 de secunde la 0,72 secunde = 83 cicluri cardiace/minut sau bătăi/min. Frecvenţa cardiacă se poate aprecia şi printr-o metodă mai rapidă, dar mai imprecisă. o Se identifică o undă R care se suprapune peste o linie verticală groasă a traseului ECG. o Apoi se numără 300, 150, 100, 75, 60, 50 pentru fiecare dintre liniile groase care urmează. o Frecvenţa se determină în funcţie de unda R imediat următoare, care se suprapune peste una dintre liniile groase ale graficului sau între acestea. 15
16 Fig. X 15. Modalitate rapidă de apreciere a frecvenţei cardiace, pentru viteza de derulare a hârtiei de 25 mm/sec. (după Dale Dubin, 2008) III. Calculul ÂqRs. În timpul activităţii inimi iau naştere o infinitate de dipoli electrici, orientarea lor în spaţiu putând fi reprezentată prin vectori. Rezultanta acestor vectori, constituie axul electric mediu sau rezultant. Există un ax electric rezultant al activării atriale, al activării ventriculare şi al repolarizării ventriculare. Axul electric, ca vector rezultant al depolarizării sau repolarizării, formează un unghi cu linia derivaţiei DI. Acesta este unghiul axului electric (ÂP, ÂqRs, ÂT). Determinarea axului electric ÂqRs se face prin mai multe metode: 1. Metoda sistemului hexaxial în care reprezentăm liniile derivaţiilor planului frontal în cerc. Se face suma algebrică a undelor complexului qrs în DI şi DIII sau în avl şi avf, apoi aceste mărimi se proiectează pe partea pozitivă sau negativă a celor 2 derivaţii sub formă de vectori. o Din vârful acestora se duc perpendiculare. Intersecţia acestor perpendiculare, unită cu centrul cercului constituie axul electric. Exemplu: complexul qrs în DI : q = - 1 mm, R = + 5,5 mm. Suma algebrică (5,5 1 = +4,5) = 4,5 mm; în DIII Rs; R = + 6 mm, s = - 2; suma algebrică (6 2 = 4) = + 4 mm. Se reprezintă aceste rezultate algebrice pe partea pozitivă a DI şi DIII. Din aceste puncte se ridică perpendiculare. Locul unde ele se intersectează se uneşte cu centrul cercului obţinându-se o săgeată, care este vectorul mediurezultant al depolarizării ventriculare, sau ÂqRs care formează cu DI un unghi (în cazul de faţă aproape de 60 grade). 2. Analizând ECG în derivaţiile planului frontal, căutăm acea derivaţie unde găsim qrs echidifazic. În această situaţie, ÂqRs este perpendicular pe această derivaţie. Exemplu: qrs este echidifazic în avl, ceea ce înseamnă că ÂqRs este perpendicular pe avl. În sistemul hexaxial avl este perpendicular pe DII. DII se află în cadranul de sus la 120 grade şi în cel de jos la + 60 grade. Pentru a stabili sensul corect al ÂqRs, vom analiza sensul qrs în DII. Dacă este pozitiv înseamnă că vectorul se proiectează pe partea pozitivă a DII deci în semicercul de jos la + 60 grade. Deci ÂqRs = + 60 grade. o În sistemul hexaxial există perechi de derivaţii perpendiculare, astfel: DI pe avf; DII pe avl şi DIII pe avr. o În cazul în care nu există complexe qrs echidifazice, se notează derivaţia în care qrs are amplitudinea maximă pozitivă sau negativă. În acest caz, ÂqRs va fi paralel cu jumătatea pozitivă sau respectivă negativă a acestei conduceri, în funcţie de sensul amplitudinii. 16
17 o Dacă qrs este echidifazic în mai mult de două din derivaţiile planului frontal, Â qrs este nedeterminabil, deoarece este perpendicular pe planul frontal. 3. Analizând sistemul hexaxial observăm că cercul este împărţit de către DI şi avf în 4 cadrane: o cadranul inferior stânga - între 0 şi + 90, corespunde ÂqRs normal; o cadranul superior stânga - între 0 şi - 90, arată devieri ale ÂqRs la stânga; o cadranul superior dreapta - între 90 şi 180 grade arată devieri ale ÂqRs extreme la dreapta; o cadranul inferior dreapta - între + 90 şi +180 arată devieri ale ÂqRs la dreapta. Figura X16. Axul qrs, amplitudinea şi sensul undelor în funcţie de cadranul în care se proiectează vectorul depolarizării ventriculare. DI şi avf împart cercul în 4 cadrane egale. IV. Analiza undelor, segmentelor şi a intervalelor de pe traseul ECG 17
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
CAPITOLUL X. ELECTROCARDIOGRAFIA
CAPITOLUL X. ELECTROCARDIOGRAFIA X.1.Definiţia, utilitatea şi geneza electrocardiogramei Ca şi alte ţesuturi, miocardul generează un câmp electric (variaţii de potenţial electric) care se propagă până
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
ELECTROCARDIOGRAMA (ECG)
ELECTROCARDIOGRAMA (ECG) Electrocardiograma reprezintă înregistrarea grafică a potențialelor electrice generate în inimă. Variația potențialelor este înregistrată prin intermediul unor electrozi amplasate
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
EPSICOM EKG SIMULATOR EP Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale
EPSICOM Ready Prototyping Colecția Idei și Aplicații interesante EP 0123... Cuprins Introducere 1. Funcționare 2 2. Schema 2 3. PCB 2 4. Tutorial Inima 3-14 EKG SIMULATOR Avantaj Pret/Calitate Livrare
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
EPSICOM EKG VIEWER EP Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale
EPSICOM Ready Prototyping Colecția Idei și Aplicații interesante EP 0063... Cuprins Introducere 1. Funcționare 2 2. Schema 2 3. PCB 3 4. Lista de componente 3 5. Tutorial Inima 4-13 EKG VIEWER Avantaj
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe
III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul
INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Lectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Lucrul mecanic. Puterea mecanică.
1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea
ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
BIOELECTROGENEZA DEFINIŢIEIE CAUZE: 1) DIFUZIA IONILOR PRIN MEMBRANĂ 2) FUNCŢIONAREA ELECTROGENICĂ A POMPEI DE Na + /K + 3) PREZENŢA ÎN CITOPLASMĂ A U
PROPRIETĂŢI ELECTRICE ALE MEMBRANEI CELULARE BIOELECTROGENEZA DEFINIŢIEIE CAUZE: 1) DIFUZIA IONILOR PRIN MEMBRANĂ 2) FUNCŢIONAREA ELECTROGENICĂ A POMPEI DE Na + /K + 3) PREZENŢA ÎN CITOPLASMĂ A UNOR MACROIONI
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale
Câmpul electric. Suprafețe echipotențiale Obiective Scopul aceste lucrări de laborator este determinarea experimentală a curbelor de echipotențial și reprezentarea linilor de câmp electric în cazul a două
Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului