III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe"

Transcript

1 III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig. 1a) am reprezentat un sistem de forțe oarecare. Dacă forțele au același punct de aplicație, sistemul de forțe se numește sistem de forțe concurente, Fig. 1b). Două sisteme de forțe oarecare se numesc sisteme de forțe echivalente dacă produc același efect asupra corpului. Teoreme: 1. Două sisteme de forțe, echivalente cu un al treilea, sunt echivalente între ele. 2. Dacă un sistem de forțe este echivalent cu o singură forță, atunci această forță este rezultanta sistemului de forțe. Rezultanta sistemului de forțe se obține prin operația de compunere a vectorilor, vezi Noțiuni de calcul vectorial. 2. Mișcările simple ale solidului rigid. Condiții de echilibru. Corpul solid rigid este un corp ale cărui dimensiuni nu se neglijează, iar distanțele reciproce dintre punctele sale materiale rămân neschimbate. Mișcarea de translație a unui corp solid rigid este mișcarea pentru care orice dreaptă care unește oricare două puncte își păstrează orientarea (rămâne paralelă cu ea însăși) pe toată durata mișcării, Fig. 2. Acest lucru presupune că, în mișcare de translație, toate punctele care alcătuiesc solidul au traiectorii, viteze și accelerații identice. Din această cauză, pentru a determina mișcarea de translație a unui solid rigid este suficient să determinăm mișcarea de translație a unui punct material ce aparține corpului. Echilibrul corpurilor în raport cu mișcarea de translație. Corpurile sunt în echilibru în raport cu mișcarea de translație dacă se află în repaus relativ sau se află în mișcare rectilinie și uniformă față de sisteme de referințe inerțiale. Se obișnuiește să se spună că echilibrul static dacă corpul este în repaus și echilibru dinamic dacă corpul efectuează mișcare rectilinie și uniformă. Deoarece toate sistemele de referință inerțiale sunt echivalente, rezultă, în mod logic, că dacă alegem convenabil sistemul de referință echilibrul dinamic poate fi convertit în echilibru static. În conformitate cu principiul fundamental al dinamicii, un corp este în echilibru, în raport cu mișcarea de translație, dacă rezultanta sistemului de forțe care acționează asupra lui este zero. R = F 1 + F 2 + F F n = 0 (1) În urma proiectării pe cele două axe de coordonate Ox și Oy se obține: { R x = F 1x + F 2x + F 3x +F nx = 0 R y = F 1y + F 2y + F 3y +F ny = 0 (1 ) Mișcarea de rotație a unui corp solid rigid este mișcarea în care toate punctele sale descriu cercuri ale căror centre sunt situate pe o dreaptă perpendiculară pe planurile cercurilor descrise. Această dreaptă se numește axă de rotație, Fig. 3. Echilibrul corpurilor în raport cu mișcarea de rotație. Corpul rigid este în echilibru față de mișcarea de rotație dacă se află în repaus relativ, sau se rotește uniform în jurul axei de rotație. 3. Momentul forței. Momentul forței în raport cu un punct. Să presupunem că un corp este constrâns să se miște în jurul unui punct fix, numit și pol, Fig. 4. De exemplu, anumite articulații ale unor mașini, sau articulațiile noastre. Momentul forței în raport cu un pol se definește ca produsul vectorial dintre vectorul de poziție al 1

2 punctului de aplicație al forței față de pol și vectorul forță: M = r F (2) Vectorul M este perpendicular pe planul vectorilor r și F, Fig. 4. Modulul vectorului M este: M = M = r F sin α = b F (3) Unde am notat cu b = r sin α brațul forței. Se observă că efectul produs de un moment al forței (sau pe scurt moment) este un efect de rotație. Corpul va suferi o mișcare de rotație în jurul polului. Efectul produs de moment este rotația corpului în jurul polului. Efectul produs de forță este același (deci momentul forței are aceeași valoare) indiferent de poziția punctului de aplicație al forței pe suport. Unitatea de măsură pentru momentul forței este: [M] SI = [r] SI [F] SI = 1N m (4) ATENȚIUNE! În acest caz 1N m nu se transformă în Jouli. Teorema lui P. Varignon. Dacă asupra corpului solid acționează un sistem de forțe concurente, F = F 1 + F 2 + F 3 + +F n, atunci: M = r F = r (F 1 + F 2 + F 3 + +F n ) = r F 1 + r F r F n (5) sau, M = M 1 + M 2 + M n (6) Momentul rezultantei unui sistem de forțe concurente, în raport cu un pol, este egal suma vectorială a momentelor forțelor concurente, în raport cu același pol, rel. (6). OBSERVAȚIE: În cazul unui solid rigid, condiția de echilibru, în raport cu mișcarea de rotație, cere ca suma vectorială a momentelor forțelor aplicate solidului să fie zero: M = M 1 + M 2 + M n = 0 (6 ) Evident, dacă corpul execută și mișcare de translație și mișcare de rotație, condiția de echilibru impune ca rel. (1) și (6 ) să fie îndeplinite concomitent: { R = n i=1 F 1 = 0 (6 ) M = n M i = 0 i=1 4. Compunerea forțelor. 4.1 Metoda analitică de compunere a forțelor. Considerăm un sistem de două forțe concurente, Fig. 5. Pentru simplitate, considerăm că una dintre forțe acționează dea lungul unei axe, de ex. F 1 de-a lungul axei Ox. Observați că rezultanta R, forțelor F 1 și F 2, am obținut-o grafic, în conformitate cu regula de paralelogramului, de compunere a vectorilor, R = F 1 + F 2, Fig. 5. În continuare procedăm la descompunerea celor două forțe în sistemul de axe perpendiculare xoy. { F 1x = F 1 F 1y = 0 și { F 2x = F 2 cos α F 2y = F 2 sin α (7) Am stabilit deja, în capitolul Noțiuni de calcul vectorial, că proiecția unei sume de vectori este egală cu suma proiecțiilor vectorilor. În consecință: { R x = F 1x + F 2x = F 1 + F 2 cos α R y = F 1y + F 2y = F 2 sin α (8) Sistemul inițial de forțe concurente F 1 și F 2 a fost înlocuit cu rezultanta acestora. Din Fig. 5 observăm că, dacă efectuăm calculele algebrice: 2

3 R 2 = R x 2 + R y 2 = F F F 1 F 2 cos α (9) Unghiul φ pe care-l face rezultanta R cu axa Ox este dat de relația: tg φ = R y R x Rel.(8) se poate generaliza pentru un sistem de n forțe concurente. În acest caz: { R x = F 1x + F 2x + + F nx R y = F 1y + F 2y + + F ny (11) Tot ce ne rămâne de făcut este să determinăm componentele fiecărui vector pe fiecare axă. 4.2 Compunerea forțelor paralele. a) Compunerea forțelor paralele de același sens. Considerăm un solid rigid, asupra căruia acționează un sistem de două forțe paralele, de același sens, Fig. 6a). În acest caz, modulul rezultantei are valoarea: R = F 1 + F 2 (12) Rezultanta are direcția forțelor, iar punctul de aplicație se află pe dreapta ce unește punctele de aplicație ale celor două forțe, între cele două forțe, mai aproape de forța mai mare, cu condiția: momentul rezultant al celor două forțe să fie zero: M 1 = M 2. Acest lucru este echivalent cu relația: b 1 F 1 = b 2 F 2 (13) b) Compunerea forțelor paralele de sens contrar. Considerăm un solid rigid, asupra căruia acționează un sistem de două forțe paralele, de sens contrar, Fig. 6b). În acest caz, modulul rezultantei are valoarea: R = F 1 F 2 (14) Rezultanta are direcția forței mai mari, iar punctul de aplicație se află pe dreapta ce unește punctele de aplicație ale celor două forțe, în afara forțelor, de partea forței mai mari, cu aceeași condiție (13). Această relație este, de asemenea, echivalentă cu condiția (6 ), momentul rezultant al celor două forțe să fie zero. 5. Cuplul de forțe. Ansamblul de două forțe paralele, de module egale, de sens contrar și de suporturi diferite formează un cuplu de forțe, F 1 = F 2 = F, Fig.7. Planul definit de cele două forțe se numește planul cuplului. Distanța dintre suporturile celor două forțe se numește brațul cuplului, r. Deoarece cele două forțe sunt egale și de sens contrar rezultanta lor este nulă, R = F 1 + F 2 = 0 și nu există mișcare de translație, totuși efectul cuplului este un efect de rotație, rotația efectuându-se în jurul unei axe perpendiculare pe planul cuplului. TEOREMĂ. Momentul cuplului în raport cu orice punct din spațiu este constant. Conform teoremei lui Varignon: M = r 1 F 1 + r 2 F 2 = (r 1 r 2 ) F = r F (15) Unde r = r este brațul cuplului, care este constant. OBSERVAȚII: 1. Sensul momentului cuplului coincide cu sensul de înaintare al unui șurub drept, a cărui axă coincide cu suportul momentului, pe care îl rotim în sensul în care cuplul tinde să rotească corpul. (Regula șurubului.) 2. Punctul de aplicație al momentului cuplului poate fi în orice punct din spațiu. 3. Două sau mai multe cupluri sunt echivalente dacă, aplicate aceluiași corp, produc același efect. 4. Toate cuplurile echivalente au același efect. (10) 3

4 5. În cazul solidului rigid cuplul poate fi rotit, deplasat în propriul său plan, sau într-un plan paralel fără ca efectul produs de cuplu să se modifice. 6. Centrul de greutate. Orice corp poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-un număr foarte mare de particule mici, de mase: m 1, m 2, m 3, m n, Fig. 8. Asupra fiecărei particule acționează câte o forță de greutate G k = m k g. Considerând corpul suficient de mic, toate aceste forțe sun paralele și de același sens. Rezultanta tuturor acestor forțe este forța de greutate a corpului, sau greutatea corpului, iar punctul ei de aplicație este centrul de greutate. Centrul de greutate, al unui corp, este un punct fix în raport cu celelalte puncte ale corpului, prin care trece linia de acțiune a greutății corpului, indiferent de orientarea și locul în care se află corpul. Dacă corpul este omogen, centrul de greutate coincide cu centrul de masă al corpului. Centrul de masă este o noțiune mai generală decât centrul de greutate, deoarece se poate determina independent de acțiunea forțelor gravitaționale. Acest fapt este deosebit de practic în spațiul cosmic, de exemplu, unde forțele gravitaționale pot fi neglijabile. OBSERVAȚII: 1. Dacă corpul are un punct de simetrie, centrul de greutate se va afla în acel punct. 2. Dacă corpul are o axă de simetrie, centrul de greutate se va afla pe acea axă. 3. Dacă corpul are mai multe axe de simetrie, centrul de greutate se va afla la intersecția acestor axe. 4. Dacă corpul are un plan de simetrie, centrul de greutate se va afla în acel plan. 5. Centrul de greutate nu trebuie să fie neapărat în interiorul corpului, el poate fi și în afara corpului, ca în cazul unui inel. Determinarea centrului de greutate al unui sistem de două puncte materiale. Ne propunem să determinăm coordonatele centrului de greutate al unui corp, solid rigid. Pentru aceasta vom împărți corpul în două puncte materiale, de mase m 1 și m 2, de coordonate x 1 și y 1, respectiv y 1 și y 2 raportate le un sistem arbitrar de axe perpendiculare xoy. Obținem astfel, un sistem de două forțe paralele și de același sens: G 1 = m 1 g și G 2 = m 2 g, Fig. 9. Pentru un sistem de două forțe paralele și de același sens trebuie să se respecte rel. 13, scrisă: b 1 G 1 = b 2 G 2 (16) b 1 sau = G 2 (16 ) b 2 G 1 În Fig. 9, observăm că, din construcția geometrică, sau format mai multe triunghiuri asemenea. Din asemănarea triunghiurilor ADC și CFB putem scrie: x C x 1 x 2 x C = b 1 b 2 sau, ținând cont de rel. (16 ) x C x 1 = G 2 x 2 x C G 1 și y C y 1 y 2 y C = b 1 b 2 și y C y 1 y 2 y C = G 2 G 1 (17) (17 ) Din rel. (17 ) determinăm x C și y C : x C = x 1 G 1 + x 2 G 2 G 1 + G 2 și y C = y 1 G 1 + y 2 G 2 G 1 + G 2 ACTIVITĂŢI DE FIXARE A CUNOŞTINŢELOR ŞI EVALUARE. Probleme rezolvate și comentate: 1. De mijlocul unui fir este legat un inel ușor O, considerat un punct material, a cărui greutate este neglijabilă, în raport cu forțele cer acționează asupra lui, Fig. 10. Capetele firului, care susțin două corpuri cu greutățile G 1 = 6N și G 2 = 8N, sunt trecute peste doi scripeți mici. De inel se leagă un al 4 (18)

5 doilea fir, care susține un corp de greutate G 3 = 10N. Să se determine unghiurile α și β pentru poziția de echilibru a punctului O. REZOLVARE: În Fig. 10 am reprezentat toate forțele care acționează asupra sistemului și am efectuat descompunerea lor în sistemul de axe perpendiculare. Punctul material O este liber, astfel încât poziția lui de echilibru în spațiu va fi determinată numai de forțele care acționează asupra lui. Condiția de echilibru, rel. (1) se va scrie: T 1 + T 2 + T 3 = 0 (19) Această condiție o vom rescrie scalar, proiectată pe cele două direcții, Ox și Oy. Semnul proiecțiilor îl vom alege conform sistemului cartezian de axe perpendiculare: + spre dreapta și în sus și la stânga și în jos. { T 1x + T 2x + T 3x = 0 T 1y + T 2y + T 2y = 0 (19 ) Observăm, din figură că, în modul, T 1 =G 1, T 2 =G 2, T 3 =G 3. Identificăm forțele care acționează asupra punctului O. Ținând cont de egalitățile de mai sus, proiectăm forțele pe direcțiile Ox și Oy: { T 1x = G 1 sin α T 1y = G 1 cos α { T 2x = G 2 sin β T 2y = G 2 cos β { T 3x = 0 (20) T 3y = G 3 Și acum înlocuim rel. (17) în rel. (16 ): { G 1 sin α + G 2 sin β = 0 (21) G 1 cos α + G 2 cos β G 3 = 0 G sau: { 2 sin β = G 1 sin α (21 ) G 2 cos β = G 3 G 1 cos α Ridicăm la pătrat rel. (21 ), adunăm membru cu membru cele două ecuații și ținem cont că, totdeauna sin 2 α + cos 2 α = 1, indiferent de valoarea lui α, obținem: cos α = G G G 2 = 0,6 2G 1 G sau α 53 (22) 2 În mod asemănător: cos β = G G 2 2 G 1 2 2G 1 G 2 = 0,8 sau β 37 (22 ) 2. Pentru a menține în repaus un corp pe un plan înclinat de unghi α = 30 trebuie aplicată o forță minimă în sus, de-a lungul planului F 1 =3,5N, iar pentru a-l trage uniform în sus de-a lungul planului trebuie aplicată o forță în sus de-a lungul planului F 2 = 6,5N, Fig. 11. Să se afle coeficientul de frecare la alunecare, µ. REZOLVARE: În Fig. 10 am reprezentat toate forțele care acționează asupra sistemului și am efectuat descompunerea lor într-un sistem de axe perpendiculare, pentru fiecare caz în parte. Sesizați, de asemenea, că în fiecare caz avem câte o situație de echilibru. În cazul 1, Fig. 11a) este vorba de echilibrul static, iar în cazul 2, Fig. 11b) echilibru dinamic. Acest fapt este esențial de sesizat, pentru că de aici deducem sensul forței de frecare! În cazul 1, corpul este menținut în repaus cu ajutorul forței F 1, altfel corpul ar aluneca în jos. Deci F 1 este un supliment la forța de frecare și va avea același sens cu F f. În cazul 2, lucrurile sunt clare. Corpul alunecă în sus cu viteză constantă. Forța de frecare este orientată în sens invers mișcării, deci în jos. 5

6 Sensul proiecțiilor îl alegem cu +, pe axa Ox în sensul de mișcare, sau sens invers forței de frecare, iar pe axa Oy vertical în sus pe planul de mișcare. Celelalte proiecții vor avea semnul. Am stabilit că în fiecare caz avem câte un tip de echilibru, vom scrie condiția de echilibru la translație, condiția (1). Pentru cazul 1: F 1 + F f + G + N = 0 (22) sau, pe componente: { G t F 1 F f = 0 N G n = 0 (22 ) Pentru cazul 2: F 2 + F f + G + N = 0 (23) Respectiv, pe componente: { F 2 G t F f = 0 N G n = 0 (23 ) Unde { G t = mg sin α G n = mg cos α iar F f = μ N = μ G n = μmg cos α (24) Cu acestea putem scrie: { mg sinα F 1 µ mg cosα = 0 (25) F 2 mg sinα µ mg cosα = 0 Sistemul de ecuații se mai poate scrie: { F 1 = mg sinα µ mg cosα (25 ) F 2 = mg sinα + µ mg cosα Am obținut un sistem de două ecuații cu necunoscutele m și µ. Dăm factor comun pe mg, în fiecare ecuație și raportăm cele două ecuații membru la membru, pentru a scăpa de m, necunoscuta care nu ne interesează. Rezolvând sistemul obținem: µ = tg α F 2 F 1 = 0,17. (26) F 2 + F 1 Răspundeți următorilor itemi: 1. Ce este un sistem de forțe? 2. Ce sunt de forțele concurente? 3. Ce este un solid rigid? 4. Definiți mișcarea de translație. Condiția de echilibru în raport cu mișcarea de translație. 5. Definiți mișcarea de rotație. Condiția de echilibru în raport cu mișcarea de rotație. 6. Enunțați condiția de echilibru în raport cu mișcarea de translație și rotație. 7. Momentul forței. Definiție, formulă, simbol, unitate de măsură. 8. Enunțați regula șurubului. 9. Enunțați teorema lui Varignon. 10. Cuplul de forțe. Definiție. 11. Momentul cuplului în raport cu un punct oarecare din spațiu. 12. Ce este centrul de greutate? 13. Care sunt proprietățile centrului de greutate? Rezolvați următoarele probleme: 1. De un fir, fixat într-un punct A, se suspendă un corp cu masa m=2kg. Un al doilea fir este legat de primul în punctul B, Fig. 11. În punctul B se exercită o forță orizontală F. Care trebuie să fie valoare forței F, pentru ca unghiul α dintre firul AB și verticală să fie 45. (g=10 m/s 2 ) R: F = G tgα = 20N. 2. Trei forțe paralele F 1 = 1N, F 2 = 4N și F 3 = 7N sunt aplicate în trei puncte A, B și C, așezate în linie dreaptă, astfel ca AB=BC=10cm. A treia forță este de sens contrar celorlalte două. a) Să se deseneze sistemul de forțe. b) Să se determine intensitatea și punctul de aplicație D, al rezultantei celor trei forțe. R: R = 2N, AD=50cm. 3. Un corp poate fi menținut în echilibru pe un plan înclinat cu forța F 1 = 3N, paralelă cu planul, sau cu forța F 2 = 5N orizontală (paralelă cu baza planului. Neglijând frecările, să se determine: a) greutatea corpului; b) unghiul planului; c) reacțiunea normală în cele două cazuri. R: a) G = 3,75N; α = arcsin 0,8 53 ; c) N 1 = 2,25N și N 2 = 6,25N. 6

7 4. Pârghia unei balanțe are brațele inegale. Dacă se așează un obiect pe platanul din stânga el cântărește 36N, iar dacă îl așezăm pe platanul din dreapta el cântărește 49N. Care este greutatea reală a obiectului? R: G = F 1 F 2 = 42N 5. Care este poziția centrului de greutate al plăcii omogene din Fig. 13, dacă greutățile porțiunilor de placă sunt proporționale cu suprafețele lor? R: x c = 9,58 cm ; sau, față de fiecare centru x 1 = 1,58 cm; x 2 = 8,42 cm 6. Dintr-o tablă în formă de triunghi isoscel ABC, cu baza AC = 20cm și înălțimea AD = 30cm, se taie o bucată în formă de triunghi isoscel având aceeași bază AC, Fig. 14. Cât de mare trebuie să fie înălțimea triunghiului AOC astfel încât centrul de greutate al porțiunii rămase ABCO să se găsească în vârful O al triunghiului tăiat. Indicație: Notăm cu x înălțimea ΔAOC. Vom considera că greutățile triunghiurilor de tablă sunt proporționale cu suprafețele lor, iar triunghiul tăiat, bucata lipsă) reprezintă o greutate negativă. În final se aplică teorema Varignon față de punctul O. R: x = 15 cm BIBLIOGRAFIE: A. Hristev, V. Fălie, D. Manda FIZICA, Editura Didactică și Pedagogică, București 1984 O. Rusu, M. Chiriță FIZICĂ, manual pentru clasa a IX-a, Editura NICULESCU, 2004 A. Hristev și colectiv Probleme de FIZICĂ pentru clasele IX-X, Editura Didactică și Pedagogică, București, T. Crețu FIZICĂ. Teorie și probleme, EDITURA TEHNICĂ, București

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale.

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale. Tipuri de forţe 127. Un corp cu masa m = 5 kg se află pe o suprafaţã orizontalã pe care se poate deplasa cu frecare (μ= 0,02). Cu ce forţã orizontalã F trebuie împins corpul astfel încât sã capete o acceleraţie

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor. Dinamica 1 Dinamica Masa Proprietatea corpului de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma cand asupra lui nu actioneaza alte corpuri se numeste inertie Masura inertiei este masa

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1 CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide........... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 9.1. Generalităţi. Legături intermediare...2

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1.

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1. II. Dinamica 1. Principiile mecanicii clasice (sau principiile mecanicii newtoniene, sau principiile dinamicii). 1.1 Principiul I, (al inerției): Un corp își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE

UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE 70 Metodica fizicii UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE Mircea COLPAJIU, UTM, Chişinău Stefan TIRON, USM, Chişinău În articolul precedent (Revista de fizică, nr. 2, 1995) s-a fost menţionat că atunci

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1. . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE Scopul lucrării În lucrarea de faţă se determină valoarea coeficientului de frecare la rostogolire, utlizând un dispozitiv ce permite găsirea expresiei

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)

7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

x 1 = x x 2 + t, x 2 = 2 x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul

x 1 = x x 2 + t, x 2 = 2 x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul Seminar mecanică 1. Să se găsească soluţiile următoarelor probleme Cauchy şi să se indice intervalul maxim de existenţă a soluţiei: (a) x = 1 x, t 0, x(1) = 0; t (b) (1 t x) x = t + x, t R, x(0) = 0; (c)

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα