Διαφορικές εξισώσεις

Transcript

1 Διαφορικές εξισώσεις Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικές εξισώσεις τεχνικές 73 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglys.gr 1 1 / 1 / εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τις Διαφορικές εξισώσεις Πλήρης διαφορικές : Έστω μορφή δ.ε. P(, y) d Q(, y) 0καλείται πλήρης αν Τότε θα υπάρχει σταθερή συνάρτηση Q(, y) P(, y) y u(, y) u(, y) u(, y) c : P(, y), Q(, y) y Οπότε με τα τελευταία δεδομένα ολοκληρώνοντας κάθε φορά ως προς μία μεταβλητή προσπαθώ να βρω τη συνάρτηση u(, y ) yd ye y ' y e y y 3. y d y 0 3. y y d 13 y 0 ye d e y y 5. 0 yd y d y y ysin y cs d sin

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Χωριζομένων μεταβλητών : Ότι πιο εύκολο σε διαφορική εξίσωση αρκεί να μπορείς να διαχωρίσεις τα με τα y και να πάρει τη μορφή P( ) d Q( y) 0 Τότε απλά ολοκληρώνεις και υπολογίζεις d y ' y ' y y 3 1 y 1 1. e d y 0, y(0) 1 d d y y ' 17. y y ' e y y y y y', y(3) 1 y cs6 d yy ' d 1 y 1 y 1 d 1 sin 3 0 d y 3. y y y , 1 d y y ' 0 y' 3 y e 3y 6. y ' e, y0 0 y1 7. y y 1 y ', 1 1

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις : Ομογενής συνάρτηση νιοστού βαθμού καλείται η συνάρτηση F, y: F, y v F, y Αν έχω μορφή y' f (, y) όπου f t, ty f, y τότε καλούνται ομογενείς διαφορικές Τότε θέτω y u, ' u u ' δηλαδή y u, y' u u ' και αντικαθιστώντας θα προκύψει μορφή d χωριζομένων μεταβλητών με 8. ' ' ' 35. u, Το νου σου : μην ξεχάσεις να ξαναγυρίσεις στην y Κολπάκι : όταν λύσεις ως προς y, βαθμός αριθμητή = βαθμό παρονομαστή y y y y ' y y ' y y y y y y ' y y ' y y y y y d y d 0 y y d 38. y d y y y ' 1, y 3 y y y d yy ' y 3 3 y ', 1. y y y 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Γραμμικές πρώτης τάξης : Αν έχω μορφή y' P( ) y Q( ) τότε καλείται γραμμική πρώτης τάξης Το ενδιαφέρον είναι ότι η λύση είναι έτοιμη : y e c Q( ) e d P( ) d P( ) d Προσοχή σα μέθοδο μπορείς να ακολουθήσεις την παρακάτω διαδικασία (με πολ/στη) : εφόσον έχεις φέρει τη διαφορική στη μορφή y' P( ) y Q( ) υπολόγισε τον πολ/στη : ( ) e P d οπότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη μ αυτή της ποσότητα το πρώτο μέλος θα πάρει τη μορφή K( ) y( ) ' L( ) και συνεχίζεις πολύ απλά 3. y' 3y6. y' y 5. y ' y 6. y ' 7y e 7. y' 7y 1 8. y' 7y sin 9. y ' y ', y' y, y(0) y y y 51. Bernulli: Μοιάζει με τη μορφή της γραμμικής αλλά δεν είναι.αν έχω μορφή y' P( ) y Q( ) y n τότε καλείται Bernulli Το ενδιαφέρον είναι ότι θέτω z 1 n y και η διαφορική μετατρέπεται σε γραμμική πρώτης τάξης 5. y ' y y 53. y ' y 6 y 5. y ' y y 9 5 με y( 1) Riccati: Μοιάζει με τη μορφή της γραμμικής αλλά δεν είναι.αν έχω μορφή καλείται Riccati Προφανώς αν το R ( ) 0 μετατρέπεται σε μία Bernulli με n. y' P( ) y Q( ) y R( ) 0 τότε

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Για να λυθεί η Riccati πρέπει να βρούμε μια ειδική της λύση την οποία θα τη συμβολίσουμε με ειδική λύση προσπάθησε να εμπνευσθείς από την 1 R ( ). Το ενδιαφέρον είναι ότι θέτω y 1.Για την 1 1 z ' z y y1& y ' y 1' και η διαφορική μετατρέπεται σε μία απλή γραμμική πρώτης y y z z τάξης 1 y ' y y y' y ( 1) y 1 y' 1 y (ειδική λύση της μορφής a y ) (ειδική λύση της μορφής y a ) a b (ειδική λύση της μορφής y ) Γραμμικές ομογενείς τάξης n με σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή n n1 y a y... a y ' a 0, ομογενείς, η τάξης n1 1 1 Τότε θα δημιουργώ την χαρακτηριστική εξίσωση a... a a 0 την οποία θα πρέπει να λύσω, είτε έχει πραγματικές ρίζες, είτε όχι. n1 1 1 Αν έχω ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους :,,... y c e c e... c e. Θυμίζω ότι στην 1 1 ( abi) a ( abi) a περίπτωση που οι ρίζες είναι μιγαδικοί τότε ισχύει : e e cs b, e e sinb 1 Αν έχω ρίζα λ με πολλαπλότητα κ τότε στη λύση θα εμφανίσω : e, e, e,..., e 58. y'' y' y y'' y' y y'' y y''' y'' 13 y' 0 6. y '' y'' y 0 6. y'' y' 30y y'' y' y y'' y' y y''' 6 y'' 11 y' 6y y''' 9 y'' 0y y''' 6 y'' y' 36y 0 5

7 τηλ. Οικίας : κινητό : y y''' 7 y'' y' 6y 0 5 y y y y y y ''' '' ' 0 7. y'' y' y y'' 7 y' 0 7. y'' 5y y'' y' y 0 Γραμμικές μη ομογενείς τάξης nμε σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή n n1 y a y... a y ' a f ( ),μη ομογενείς, η τάξης n1 1 Τότε η γενική λύση της είναι της μορφής : y y y Με Με y y η γενική λύση της ομογενούς n n1 y a y... a y ' a 0 (λύση όπως πριν) n1 1 η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Προσοχή : η μερική λύση θα προσδιορισθεί σύμφωνα με τον πίνακα που ακολουθεί : Τα πολυώνυμα P( ), Q( ) ίδιου βαθμού με P( ), Q( ) 1 η Τύπος f( ) Ρίζες χαρακτηριστικής εξίσωσης Μερική λύση P ( ) η P( ) e a 3 η P( ) b Q ( ) b, l βαθμού l, αντίστοιχα η ( ) ( ) P b Q b e l, βαθμού l, αντίστοιχα a Αν λ=0 δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής Αν λ=0 είναι ρίζα με πολλαπλότητα κ Αν το λ=α δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής Αν το λ=α είναι ρίζα με πολλαπλότητα κ Αν bi δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν bi είναι ρίζα P ( ) P( ) P( ) e a P( ) e a y P ( ) b Q ( ) b n n n a l, Pn( ) b Qn( ) b πολλαπλότητας κ Αν a bi δεν είναι ρίζα της n a l, n( ) n( ) χαρακτηριστικής εξίσωσης Αν a bi είναι ρίζα με P b Q b e n a l, n( ) n( ) πολλαπλότητα P b Q b e n a l, a a 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : y'' y' 3y 10e y'' y' y e y'' 10 y' 5y e 5 y y ''' y '' y ' 80. y'' 3 y' y y A B 81. y''' 3 y'' y' y A B 8. y'' y' 3y e y A B e 83. y'' 3 y' y e y A B C e 8. y'' 3 y' y 10 y A B 85. y'' y 10 y A B Συστήματα Διαφορικών : Η γενική μορφή ενός συστήματος δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με αγνώστους έχει τη μορφή: y ' ay bz r1, a, b, c, d z ' cy dz r y, z και η λύση θα είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων της μορφής : Κλασική μέθοδος επίλυσης είναι να μπορέσεις με αντικατάσταση να δημιουργήσεις διαφορικές εξισώσεις με έναν άγνωστο οπότε να λυθεί εύκολα. Π.χ. : Να λύσεις την πρώτη σχέση ως προς z οπότε θα μπορείς να βρεις και το z και να τα αντικαταστήσεις στη δεύτερη σχέση όπου προφανώς θα δημιουργηθεί διαφορική ης τάξης με μία μεταβλητή (του y). 86. Να λυθούν τα συστήματα διαφορικών : y ' y z 0 z ' 5y z 0 y ' y 3z 0, y 3 y z ' z 0 0 1, z 0 0 y ' 3y z z ' y z

9 τηλ. Οικίας : κινητό : Εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές : Θα έχω μορφή y a1 y 1... a 1y 1 a y g n n n n Τότε η γενική λύση της είναι της μορφής : y y y Με y η γενική λύση της ομογενούς y n a1 y n1... an 1y 1 an y 0. Τότε θα δημιουργώ την 1 χαρακτηριστική εξίσωση a... a a 0 την οποία θα πρέπει να λύσω. Αν έχω ρίζες 1 n1 n t t t διαφορετικές μεταξύ τους : 1,,... y c1 1 c... c. Αν έχω ρίζα λ με πολλαπλότητα κ t t t 1 t τότε στη λύση θα εμφανίσω :, t, t,..., t Με y η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Προσοχή : η μερική λύση θα προσδιορισθεί σύμφωνα με τη μορφή που έχει η συνάρτηση g. Δηλαδή : y 1 y 5 για μερική λύση θα θεωρήσω : y 1 y A A 5 οπότε με γενική λύση y c θα έχω λύση y c 5 y 1 y 1 για μερική λύση θα θεωρήσω : y 1 y A b A 1, B οπότε με γενική λύση y y c c θα έχω λύση Προσοχή : αν μια μερική λύση δε μπορείς να τη βρεις από την προφανή μορφή της αυτοσχεδιάσεις. y y 3y 7, y 0, y t t1 t 1 y 5y 6y 5, y 3, y 1 t 90. t t1 t y 3 y y, y 1, y y y 6, y t t1 t t t 1 y y y 1 y y y 8, y 3, y Να λυθούν οι εξισώσεις διαφορών : g μπορείς να 8