ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β α f (t)dt =G (β) G(α) Μονάδες 7 A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο κλειστό διάστημα α,β Μονάδες 4 Α3. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α4. Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κ ο λ ο υ θ ο ύ ν, γ ρ ά φ ο ν τ α ς σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς δ ί π λ α σ τ ο γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τ α σ η τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό, α ν η π ρ ό τ α σ η ε ί ν α ι σ ω σ τ ή ή Λ ά θ ο ς, α ν η π ρ ό τ α σ η ε ί ν α ι λ α ν θ α σ μ έ ν η. i) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, όταν f() f( ) για κάθε A -συν lim lim f (), τότε f () > για τα κοντά στο o. ii) iii)αν o iv) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. β β β v) f()g ()d=[f()g()] α f ()g()d α α, όπου f,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες

2 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R f f f με, R. Α. Να δείξετε ότι f ln Β. Να βρείτε τα όρια lim f Μονάδες 6 f lim f Μονάδες 6 Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 6 έχει μια τουλάχιστον πραγματική λύση. Μονάδες 8 f Δ. Να υπολογίσετε το όριο lim 4 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, R με f ln f f R Α. Να δείξετε ότι. f ln Μονάδες 5 Β. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία να βρείτε τις ασύμπτωτες το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση Δ. Να δείξετε ότι 6 έχει μια ακριβώς θετική ρίζα. Μονάδες 5 f ln 4 f 6 6 Ε. Να δείξετε ότι f d Μονάδες 5 f d Μονάδες 4

3 Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ Δ f ln με g ln Α. Να τις μελετήσετε ως προς τα κυρτά κοίλα. Μονάδες 4 Β. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο Γ. Για κάθε Δ. Να λύσετε στο R,της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Μονάδες 5 να δείξετε ότι την εξίσωση ln 4 ln Μονάδες 5 Ε. Αν E είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτόμενη ευθεία να δείξετε ότι Μονάδες 5 C g του Β ερωτήματος την ευθεία,,την 5 E 4ln Μονάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο τα φωτοαντίγραφα, τα οποία θα καταστραφούν με τά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Α Θεωρία Α3 Θεωρία Σ, Σ, Σ, Σ, Λ Α3 Α. Έχουμε Θέτουμε ΘΕΜΑ Β f f f f f f f f,οπότε η g Από την προκύπτει φανερά ότι πράξεις συνεχών,θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Όμως g f,οπότε Έτσι από την προκύπτει γράφεται g g επειδή η g είναι συνεχής στο R,ως g,για κάθε R. f f g,οπότε f f ln ln f ln σχόλιο Μπορούμε να εργαστούμε με αντικατάσταση στην εξίσωση Β. για τα όρια έχουμε : f y y καταλήγουμε στο συμπέρασμα. lim f lim ln Ομως lim... lim Έτσι με αντικατάσταση y,οπότε με διακρίνουσα u,το όριο στην γράφεται lim f lim ln u u

5 lim f lim ln Ομως 3 lim lim lim lim Έτσι με αντικατάσταση γράφεται u (θέλει απόδειξη),το όριο στην 3 lim f Γ. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα lim ln u u f f f 6 6 ln ln 6 f ln 6 f ln 6 Έτσι θεωρούμε την συνάρτηση Είναι ακόμη : g f ln 6,προφανώς συνεχής στο R (πράξεις συνεχών). B lim g lim f ln 6 ln 6 Κατά συνέπεια θα υπάρχει (κοντά στο ) ώστε B lim g lim f ln 6 ln 6 g. Κατά συνέπεια θα υπάρχει (κοντά στο ) ώστε g Έτσι έχουμε gg,δηλαδή για την g ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο, R κατά συνέπεια η εξίσωση f g 6 έχει μια τουλάχιστον πραγματική λύση. Δ. για το όριο είναι lim f f lim Όμως : f lim lim lim lim lim lim

6 lim lim το ζητούμενο όριο είναι 4 Έτσι από την σχέση Α. Είναι ΘΕΜΑ Γ f f : f f : f f f f f ln ln f,οπότε ln ln c για παίρνουμε f ln ln c ln 4 ln c ln ln c c,άρα f f ln ln ln f ln f ln f ln ln,οπότε f ln ln ln, οπότε f ln, γιατί : Β. Είναι Α τρόπος Από την γνωστή ανισότητα ln με το να ισχύει μόνο για,θέτοντας αντί το είναι παίρνουμε ln ln ln Η σχέση γράφεται Β τρόπος ln ln f ln αυτό βέβαια μας παραπέμπει σε ΘΜΤ. Εφαρμόζοντας λοιπόν ΘΜΤ για την συνάρτηση ht ln t στο, με προκύπτει

7 ότι υπάρχει, με f Όμως ln ln ln ln λόγω έχουμε ln ln ln ln ln f, Κατά συνέπεια η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Για τις ασύμπτωτες lim f lim ln,αφού Άρα η ευθεία,οπότε lim lim ln lim ln u u (άξονας yy) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτος της DH lim lim ln lim f lim ln lim lim... lim lim,οπότε Για το σύνολο τιμών η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτος της Η f είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο,,οπότε έχουμε : Γ. για την εξίσωση έχουμε : f A lim f, lim f, ln ln ln ln ln 6 ln ln ln ln 6 ln 6 ln 6 f 6 Όμως η f είναι συνεχής στο 6 f A,,οπότε, το υπάρχει, ώστε f 6 C f C f

8 Δ. Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται, Όμως : f ln 4 f f ln f f f f ln f f f f Το παραπάνω μας οδηγεί σε εφαρμογή του ΘΜΤ. Έτσι λοιπόν εφαρμόζοντας το γνωστό θεώρημα στα διαστήματα, f ( ) υπάρχουν, f f f f d, Όμως f f, f f ώστε για τα,., Κατά συνέπεια η f είναι γν. αύξουσα στο f f f f f f f f f f f f f d d οπότε f ln 4 f Ε. Είναι f f f θεωρούμε την διαφορά f ln Όμως, 6 οπότε : ln ln, οπότε με πολ/σμό προκύπτει ότι αφού έχει μια τουλάχιστο μη μηδενιζόμενη τιμή (πχ ) θα είναι d f f d f d f d 6 6 οπότε f d f d

9 Α. για την f f ln οπότε Είναι f για την g ΘΕΜΑ Δ f για κάθε,, δηλαδή η f είναι κυρτή στο Είναι g ln g ln 4 ln g g Β. Είναι : f ln, δηλαδή η g είναι κοίλη στο. οπότε g ln 4 ln ln 4 ln 4 έτσι έχουμε f Από τις σχέσεις, f g g f g έτσι έχουμε συμπεραίνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο για την οποία εύκολα βρίσκουμε ότι έχει εξίσωση y. Γ. C f ε C g Από το ερώτημα Α το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι f y g 3 άρα f g οπότε ln ln 4 ln ln ln ln 4

10 ln ln ln 4 Δ. Η εξίσωση ln 4 γράφεται ισοδύναμα ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f g όπου από το σχήμα εύκολα προκύπτει ότι Ε. Για το εμβαδό έχουμε ότι 3 E y g d y g d ln d ln d Όμως από την γνωστή ανισότητα ln,θέτοντας αντί το ln ln ln ln... ln d d,άρα d για το ολοκλήρωμα E d Αλλά d έχουμε Θέτουμε u u u τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι d du d du d du d du u u,οπότε 4 4 παίρνουμε u u d du du u u u u 5

11 Για το ολοκλήρωμα u A B A u Bu u u u u u u 5 χρησιμοποιούμε την μέθοδο ολοκλήρωσης ρητής συνάρτησης έτσι : τιμών παίρνουμε,οπότε Au Bu u με αντικατάσταση A 5 Έτσι το ολοκλήρωμα B γράφεται du ln u ln u ln ln ln ln u u ln έτσι από την παίρνουμε 5 E ln E 4ln E 4ln 4 ΣΧΟΛΙΑ Το πνεύμα του ερωτήματος Ε είναι βέβαια η παραπάνω λύση με χρήση ανισοτήτων,μεθόδων ολοκλήρωσης κλπ. 5 Υπήρξε αναφορά από συνάδελφο ότι ο αριθμός 4ln είναι αρνητικός. Σε αυτή την περίπτωση βέβαια που υπάρξει αλγεβρική απόδειξη 5 ότι 4ln τότε η ζητούμενη ανισότητα 5 E 4ln είναι προφανής!!!, αφού : E y g d > 5 4ln η αλγεβρική απόδειξη αποτελεί η λύση