8. TEHNIKE INTEGRIRANJA
|
|
|
- Ποδαργη Πολίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 8 TEHNIKE INTEGRIRANJA Njjosiji igrli Igrirj spsicijo Prcijl igrcij Trigoorijski igrli Igrirj rciolih fkcij 6 Igrli koji s so igrl rciolih fkcij U oo pogllj jprij sso i jo js, okpljo s hik igrirj s koji so s o s pozli Zi oio ij o i jo jžij hik: igrirj spsicijo i prcijl igrcij N krj rjšo probl igrirj kih posbih kls fkcij Mogi igrli, koji s izrči oo ojljk, srsi s blic igrl oici kjig i ji ćo s sloboo korisii pri ljj igrirj 8 NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Norđi igrl rl fkcij f j jgo iricij F Dkl, f F, ko j F f, gj j kos sp Orđi s igrl, pr osoo or ifiizilog rč, lzi izrčj rijosi orđog igrl gric igrcij i jihoi ozij sp : OSNOVNI TEOREM b f f Njjosij orđ igrl izrčli so prhoi pogllji: b 9
2 TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo: INTEGRAL POTENIJE, l,, b, c,, Rjšj: c 6, b 6,,, l INTERGALI NEKIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJA si, si, g, cg si INTERGALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA rcg, l,, rcsi, < <, l l rsh rch
3 NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI INTERGALI EKSPONENIJALNIH FUNKIJA b, b lb Složij orđ igrl rčo prijjjći oso pril igrirj sp OSNOVNA PRAVILA INTEGRIRANJA [ f g ] f ± ± g, cf c f PRIMJER Izrčjo: 7, b, c Rjšj: Prijo osoih pril i forl z igrl pocij lzio: b c l 7l 9 7 l PRIMJER Izrčjo: si, b, c si si Rjšj: si si si
4 TEHNIKE INTEGRIRANJA b c g si si si si cg si PRIMJER Izrčjo:, b,z < 7 Rjšj: rcg rcsi b 7 7 rsh 7 PRIMJER Izrčjo:, b, c Rjšj:, b l 9, l9 9 c PRIMJER 6 Izrčjo: l, b si, c,,
5 NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Rjšj: Iz osoog or sliji: b si si c rcsi rcsi rcsi rcg rcg rcg 6 l l l l PRIMJER 7 Izrčjo: si, b Rjšj: si b PRIMJER 8 Izrčjo:
6 TEHNIKE INTEGRIRANJA l, b l, c l Rjšj: Prijo pril z ricij prok lzio: l l l l l b Iz sliji: l l, l l, l l c Iz b sliji: PRIMJER 9 l l Izrčjo log b Rjšj: l l l l INTEGRAL LOGARITAMSKE FUNKIJE l l 9 l Zbog l log b sp 6 io: lb PRIMJER lb lb log b l l Izrčjo porši porčj koj s irlo [, ] Rjšj: Porši porčj sl orđ j igrlo prož izđ si i si si si si
7 NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Slik 8 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Igrirj spsicijo j irzi, igrli oblik lčog riirj Ni, ko s F i g ribil fkcij, o lčo prilo kž sp j Fo g F g g To zči j Fg orđi igrl fkcij F gg, j F g g F g Ako o đrijos g, o o ožo zpisi oblik: F F Ako još i ricij F ozčio s f, šo zči j olzio o forl spsicij f F, o kočo f f D biso forl priijili, zoj poigrloj fkciji rbo očii izrz g, čij s ricij kođr pojljj poigrloj fkciji INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Fkcij o, koj srži pofkcij i jzi ricij, igriro ko j pišo oblik f, poo priijio forl spsicij f f K izrčo f, z spsiiro
8 TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: Uočio pofkcij bći s i jzi ricij igrl zi igrl pišio oblik pojljj po zko Prijo forl spsicij lzio: Uršj olzio o kočog rzl- PRIMJER Izrčjo si Rjšj: Iz si i PRIMJER, sliji: si si Izrčjo si Rjšj: Ako spsiiro obi ćo si T j si, p zo zi igrl pišio oblik si 6
9 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM PRIMJER Izrčjo Rjšj: Iz i sliji PRIMJER l l Izrčjo Rjšj: Spsicij s ij pogo, jr j Uočio li j, ć s spsicij koj z j PRIMJER 6 Izrčjo rcg rcg, b Rjšj: Ako spsiiro obi ćo T j, p zo zi igrl pišio oblik b Iz i sliji: l l 7
10 TEHNIKE INTEGRIRANJA si si PRIMJER 7 Izrčjo f b, b f, c f b, ko j f F Rjšj: Iz b i sliji f b f f F F b b Iz i sliji f f f f F F c Iz b i sliji f b f b f f F F b Rzl prhoog prijr ko jos i čs slčj igrirj spsicijo posbo isičo Ako j f F o j f b F b, f F, ili ssi općio f b F b PRIMJER 8 Izrčjo 8
11 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM 9 8, b, c,, Rjšj: 8 si 8 8, b, c l, l, g Prijo okirih forl lko ćo izrči i općiij igrl kih lgbrskih fkcij, go šo s oi jjosiji iz, ojljk: PRIMJER 9 Izrčjo, b, c,, Rjšj: rcg rcg, b, l l >, c, rcsi rcsi >, l l rsh, l l l >, l rch > INTEGRALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA rcg, l,
12 TEHNIKE INTEGRIRANJA rcsi, ± ± l U si igrli > PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: rcsi, b rcg rcg PRIMJER Izrčjo Rjšj: l l l, gj j l Igrl koji srži kri izrz bc ož s izlčij kos ssi igrl koji srži pq p b /, q c / Iz og s krog izrz, ogorjćo spsicijo ož liiiri liri čl: p q p q p k k p q p ± ± SVOÐENJE NA PUNI KVADRAT
13 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Ako igrl srži izrz pq, o s j izrz ož pisi oblik ± k, z k p q, šo olkš izrčj igrl p i PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: rcg rcg b Sio jprij pi kr: Dkl, rcsi rcsi Čso ij lko orii pr spsicij, čij ć s ricij kođr pojii zo igrl h T rbo pokši s ko spsicijo g, koj s čii pogoo Iz g forlo sliji j, p ršj g h obijo h h g Ako h g h spijo izrzii pooć f, spsicij j spjš i lj rčo g f
14 TEHNIKE INTEGRIRANJA Zirsiro čilj pokzjo j š forli rč s ifrcijli kork Ni, iz h h g sliji h f g f gg, p forl h zpro ij rgo g o kork forl spsicij f g g f INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM RAČUNANJE S DIFERENIJALIMA Igrl h rjšo spsicijo slijći či: Obro o rijbl g Driiro g, rijšio po i rsio zi igrl: g h h g No poigrl fkcij izrčo f h g pokšo izrzii pooć, h g f, i poo Ako h g spijo izrzii pooć, pokšo s ko rgo spsicijo Dobii rzl izrzio pooć, ršjći g PRIMJER Izrčjo Rjšj: Pokšjo spsicijo, jr ć ziik posi oo Iz sliji, p ršj igrl obio Iz obiog igrl lko liiiro j igrl izržo so pooć :
15 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Uršj olzio o kočog rzl: PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: Iz sliji, p j Dkl, b Iz sliji, p j Dkl, / PRIMJER Izrčjo l, b ϕ ϕ ϕ si Rjšj: Iz l sliji, p j Dkl, l l b Iz si ϕ sliji ϕ ϕ, p j ϕ ϕ Dkl,
16 TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ ϕ ϕ siϕ ϕ l l siϕ PRIMJER 6 Izrčjo sil, b Rjšj: Iz l sliji, p j Dkl, sil si si l b Iz sliji, p j Dkl, l l PRIMJER 7 Izrčjo, b l Rjšj: Pokšo li s spsicijo, ij ćo o ij spjš pokšj No očio li j l l, iio j š igrl zpro Iz l sliji, p l j i l l l l b Iz sliji, p j Dkl,
17 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM PRIMJER 8 Izrčjo ϕϕ, b
18 TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšj: Igrl ožo pisi oblik ϕϕ ϕ ϕϕ - si ϕϕ ϕ Uz spsicij si ϕ, iz koj sliji ϕ ϕ j ϕϕ, io lj: - si ϕϕϕ ϕ si siϕ b Uz spsicij si j rcsi, iz koj sliji io:, j, si si si si si Iz si, j si, sliji rcsi i sl Slik Dkl, rcsi Ako rčo orđi igrl k fkcij o, pr osoo or, jprij izrčo jzi orđi igrl, zi jg rsio gric igrcij obij rijosi ozo Eo jog prijr, koj orđi igrl lzio spsicijo PRIMJER 9 Izrčjo 6
19 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Rjšj: Njprij rčo orđi igrl Iz sliji, p j rcg rcg Pr osoo or, s j Uočio s gric orj rsii rcg rcg6 rcg rcg 6 jr j i, rcg Mogć j i ršj rcg, li rg i 6 T bi šo krć rč izglo oko: rcg 6 SUPSTITUIJA U ODREÐENI INTEGRAL Ako igrl h spsicijo g prlzi f, o j PRIMJER 8 Izrčjo Rjšj: Iz sliji p j b g b 6 h f g rcg6 rcg si si si PRIMJER Izrčjo 7
20 TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšj: Iz sliji, p j l l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Iz sliji, p j PRIMJER 8 Izrčjo Rjšj: Iz sliji, p j rcg rcg rcg Vć so pozorili čso ij lko ći spjš spsicij, koj zi igrl soi igrl koji zo izrči Općio, igrirj j pospk pokšj i pogršk, p s kk si pr spsicij đo k ko iš pokšj Dpč, igrli ogih lrih fkcij koj s slož o polio, rigoorijskih i kspocijlih fkcij, i jihoih irz is lr fkcij N prijr, i si is lr fkcij Zbog sg og slj hik igrirj ogo j gorjiji i ži poso o slj hik riirj i zhij po iš jžb 8
21 PARIJALNA INTEGRAIJA 8 PARIJALNA INTEGRAIJA Prcijl igrcij j irzi, igrli oblik ricij ošk Ni, ko s f i g ribil fkcij, o prilo z ricij ošk sp srđj j [f g] f gf g To zči j f g orđi igrl o f gf g j O sliji forl prcijl igrcij: [ f g f g ] f g f g f g f g orđi igrl soj sri i soj kos, p j zo rb polji Ako o pokr f i g, o j f i g, p forl prcijl igrcij ožo zpisi ifrcijlo oblik koji s lko pi i i jos gorijsk irprcij sp sl; f i g prrski zj krilj koj porši prokik ijli ijl: f g Slik PARIJALNA INTEGRAIJA Igrl f g rčo ko g prikžo oblik: f f f g g g g p zi priijio forl prcijl igrcij: f g g f 9
22 TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: PRIMJER Izrčjo Rjšj: si Pro prcijlo igrcijo lzio: si si si si si si Još jo prcijlo igrcijo lzio: Dkl, PRIMJER Izrčjo si l, b Rjšj: si si si si si
23 PARIJALNA INTEGRAIJA l l l l b PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: si si si si b PRIMJER Izrčjo l, b Rjšj:
24 TEHNIKE INTEGRIRANJA l l l 9 l l b s s s s s PRIMJER 6 Izrčjo, prijjjći spsicij i prcijl igrcij:, b Rjšj: si Ni, prijo spsicij, lzio: si si si si si si si si b si Ni, prijo spsicij lzio:
25 PARIJALNA INTEGRAIJA si si si si si si si si PRIMJER 7 Dosrko prijo prcijl igrcij izrčjo si Rjšj: si si si si si si si si s s s s s Dkl, si si si, okl sliji si si, si si PRIMJER 8 Izrčjo rcsi, b rcg Rjšj: rcsi rcsi rcsi rcsi rcsi rcsi
26 TEHNIKE INTEGRIRANJA b rcg rcg rcg rcg rcg rcg rcg rcg PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Uz spsicij sliji i, j Dkl, rcg rcg Uočio s i iz prhoog prijr đsobo irz fkcij Prcijl igrcij, kobiir s spsicijo, oogćil j pozi igrl fkcij so pozi igrl joj irz fkcij To riji ssi općio Ako s f i f đsobo irz fkcij o j, f f f f f f f f f f INTEGRAL INVERZNE FUNKIJE
27 PARIJALNA INTEGRAIJA Igrl fkcij f ožo izrči pooć igrl joj irz fkcij f, korisći s forlo: f f f U rzl igrcij soj sri rb rsii f Forl z igrl irz fkcij ožo zpisi i josij oblik: Forl s lko pi jr j iič forli z prcijl igrcij, li s i is fkcij rć rijbl go s fkcij j rg, f i f PRIMJER Korisći s forlo z igrl irz fkcij izrčjo l, b rc Rjšj: l l l l l b rc rc rc rc si rc D j si, lko očo sl Iz sliji si Slik PRIMJER Izrčjo, b
28 TEHNIKE INTEGRIRANJA 6 Rjšj: Rijšio li po, ći ćo fkcij irz fkciji Dkl,,,, 6 Prijo forl z igrl irz fkcij lzio: b Iz sliji,,, Dkl, Orđ igrl, i z prcijl igrcij, rčo ko priijio osoi or: [ ] b b b b PRIMJER Izrčjo Rjšj: 8
29 PARIJALNA INTEGRAIJA PRIMJER Izrčjo l sil, b l Rjšj: Iz spsicij l sliji i Dkl, sil si si sp 7 prijr si si b Iz spsicij sliji, p j l l l sp prijr l l l PRIMJER Izrčjo l, b l Rjšj: l l sp prijr l l l l b l PRIMJER l sp prijr l Izrčjo porši ispo rćg lk o si sl l 7
30 TEHNIKE INTEGRIRANJA 8 Slik Rjšj: Porši j orđ igrlo si si si PRIMJER 6 Dokžio rkrzi forl, p pooć j izrčjo Rjšj:
31 PARIJALNA INTEGRAIJA 9 PRIMJER 7 Dokžio rkrzi forl, p pooć j izrčjo z,, i Rjšj: Z io: Z, pr rkrzioj forli, io: Z, pr rkrzioj forli, io:! Z, pr rkrzioj forli, io:! Igrl iz prhoog prijr j fkcij o koj s zo "g fkcij" i ozč s s Γ Γ
32 TEHNIKE INTEGRIRANJA Iz Γ i iz rkrzi forl okz prhoo prijr sliji j Γ!, z N Dkl, g fkcij proširj fkorijl s priroih rl čk i koplks broj GAMA FUNKIJA Γ Γ Z N, Γ! Npo: Čso s oo šo so i fiirli ko Γ fiir ko Γ T j Γ! PRIMJER 8 Izrčjo
33 PARIJALNA INTEGRAIJA Rjšj: K Γ!!!!! - s - s s s s PRIMJER 9 Dokžio rkrzi forl -, p korisći s rzoj fkcij rcsi r pocij: K rcsi 9 7 sp 7 prijr izrčjo rcsi Rjšj: - - rcsi Dkl,, šo so i rbli okzi O, iz rzoj fkcij rcsi r pocij, sliji: [] rcsi 7 K K K
34 TEHNIKE INTEGRIRANJA S rg sr, 8 rcsi rcsi Dkl, K Priijio lj j 8 6 K K okl sliji j 8, 6 8 Uspori općiiji izrč s p, z ski pri p, 77 prijr PRIMJER Dokžio rkrzi forl si, p pooć j izrčjo i Rjšj: si si si si si si Dkl, si, okl sliji si, si
35 PARIJALNA INTEGRAIJA Prijjjći posljj forl lzio: 8 si si si si si si si si Sličo ožo ći rkrzi forl z si i si : INTEGRALI TRIGONOMETRIJSKIH POTENIJA si si si si si si si si si PRIMJER Dokžio rkrzi forl si si si p pooć jih izrčjo si Rjšj: si si
36 TEHNIKE INTEGRIRANJA si si si 6 6si 6 6 si si si 8 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI U oo ojljk pokzjo kko s lz igrli kih rigoorijskih fkcij, kih lgbrskih fkcij koj s rigoorijski spsicij so rigoorijsk fkcij U prhoo ojljk šli so rkrzi forl z izrčj igrl rigoorijsk pocij oblik si sp okir prhooj srici I bz rkrzi forl k j igrl lko izrči spsicijo, ko j ili : si si si z ; ko j rzl j l si si si z ; ko j rzl j l Ako j ili pr, o š igrl z pooć ii si ožo ssi j o pro rzor ip PRIMJER Izrčjo si Rjšj:
37 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI si si si si si Ako s i pri, j i k, o s korisio rigoorijski forl sp : Ni, j si, si j k si j j k k j k l K obio pocirj i ožj olzio o igrl oblik z l o o jk Z pr l pospo kko j objšjo, z pr l još jo priijio forl Pospk s polj ok go j o porbo PRIMJER Izrčjo si Rjšj: si si si z si z 6 si si si si z 6 z z si z si si si si si 6 6
38 TEHNIKE INTEGRIRANJA si si si si 6 6 PRIMJER Izrčjo si si Rjšj: si si si si si si si si si si PRIMJER si g Izrčjo Rjšj: Izrzio s pooć si i : si g si si si si si 6 6 U prij s o ži rigoorijski igrli oblik si b, si si b, Njih rčo korisći s rigoorijski forl sp: si b si si b b si bsi b, b b, 6
39 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI PRIMJER Izrčjo b si, b si si b b Rjšj: si si si b si si 8 si si8 8 PRIMJER 6 Izrčjo b Rjšj: b b b si b si b, b b si, z ± b, z ± b Uočio bi rzlik izđ slčj ± b, pri koj j rjšj oscilirjć ođ fkcij, i slčj ± b, pri koj j rjšj fkcij koj ogričo rs jr i oscilirjći io Ako ss lsi frkcij jlj oscilirjć sil frkcij b, o ć s gibi skl s ši rjšj To zči ć slčj rzocij, k j b, oći o ogričo likih gibj i kočo rzrj ss Mogi igrli koji srž fkor oblik, i og s ssi josij igrl rigoorijski spsicij Njih j jlkš orii iz ogorjćg prokog rok: Proki rok s srico or ii k i, hipoz sp sl 7
40 TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ Slik g ϕ Pokšjo spsiiri g ϕ, jr j i ϕ ϕ ϕ Proki rok s srico or ii hipoz i j k, ok j rg k spsl si ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri si ϕ, jr j ϕ i ϕϕ Proki rok s srico or ii hipoz i j k, ok j rg k spsl ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri siϕ gϕ, jr j g ϕ i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ PRIMJER 7 Izrčjo, b, c 8
41 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k, spsl si ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri si ϕ, jr j ϕ i ϕϕ: si ϕ ϕϕ ϕ si ϕϕ ϕ ϕ ϕ si ϕ ϕ siϕ ϕ rcsi b Proki rok s srico i k i, spsl gϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri g ϕ, jr j ϕ i ϕ : ϕ ϕ siϕϕ ϕ ϕ gϕ ϕ siϕϕ ϕ ϕ Uočio so isi igrl još josij ogli izrči spsicijo : c Proki rok s srico i hipoz i k spsl6 9
42 TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ ϕ Slik 6 Pokšjo spsiiri ϕ, jr j siϕ gϕ i ϕ siϕϕ : ϕ ϕ siϕϕ siϕ ϕ ϕ l gϕ ϕ ϕ l l Uočio zi igrl ožo izrči ko igrl oblik ojljk ; sp D prhoo prijr isi riji izrčo PRIMJER 8 ϕ l gϕ, ožo projrii ko ϕ ϕ l gϕ ϕ ϕ ϕ Slič forl riji i z ϕ si ϕ INTEGRALI REIPROČNIH VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJA ϕ ϕ l cgϕ l g, siϕ siϕ ϕ ϕ l gϕ l g ϕ ϕ Izrčjo Rjšj: Iz si ϕ sliji ϕ i ϕϕ, Dkl, 6
43 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI ϕϕ siϕ ϕ ϕ ϕ l l siϕ siϕ siϕ PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k spsl7 ϕ ϕ Slik 7 Pokšjo spsiiri, jr j o g ϕ i ϕ siϕϕ gϕϕ ϕ ϕ gϕϕ gϕ ϕ ϕ gϕ ϕ ϕ Uočio j igrl ožo još josij izrči ko 8 prijr PRIMJER Izrčjo Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k spsl8 ϕ si ϕ Slik 8 Dkl, si ϕ, ϕ i ϕϕ j: 6
44 TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕϕ ϕ siϕ ϕ rcsi ϕ si ϕ ϕ ϕ Igrl koji srži fkor oblik ili spsicijo sh ili ch, jr j ooso ch i sh PRIMJER Izrčjo kk j josij izrči hiprbolo sh sh ch i ch, b Rjšj: Pokšjo spsicijo sh jr j ch i ch : ch ch sh sh ch rsh sp 76 l b Iz ch sliji sh i sh Dkl, sh ch sh sh ch sp 76 l rch INTEGRALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA 6
45 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI ± ± rcsi ± l, >, ± PRIMJER Izrčjo porši krg rijs Rjšj: Jžb krg rijs, s sriš ishoiš j 9, spsl9 Slik 9 Gorj poloic ođ j grfo fkcij 9 i irlo Dkl, 9 P 9 9 rcsi 9 8 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Kko s rč igrl polio obro j pozo U oo ćo ojljk pokzi kko s rč igrl kocij j polio P / Q, j kko s rč igrl rciol fkcij Priijio jprij s rciol fkcij S / Q, kojoj j spj polio S ći ili jk spj polio Q, ož ijljj ssi zbroj polio R i rciol fkcij P / Q, kojoj j spj o P ji o spj o Q: P S : Q R Q Bći polio R zo igriri, jii j probl igrirj rciol fkcij P / Q, kojoj j spj brojik ji o spj ziik PRIMJER 6
46 TEHNIKE INTEGRIRANJA Izrčjo Rjšj: Dijljj lzio: Dkl, : rcg Rzorio s probl igrirj rciol fkcij P / Q, kojoj j spj o P ji o spj o Q Njjosij igrl rs rčo slijć prijr PRIMJER Izrčjo, b b Rjšj: l,, z, z b b b l b,, z, z PRIMJER Izrčjo, b, c 8 6
47 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rjšj: Pr prhoo prijr:, b c 9, l 8 8 I složij rciol fkcij P / Q, koji j Q ožk lirih fkor, ijk ožo igriri sri pospko To ilsriro s koliko prijr, prij go općio opišo j pospk PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik A B gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io A, j A, z io B Dkl, l l l Koficij A i B ogli so ći i ko A B, j AB A B izjčio ogorjć koficij polio lijoj i soj sri: AB, A B 6
48 TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšjći j ss op biso šli A, B b Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik: B gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: B Z io B, j B, z io, j l l l 66
49 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik: A B, gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io A, j A, z io B, j B Dkl, l l l Koficij A, B i oj p ožo izrči iz A B, j AB A B, izjčj ogorjćih koficij: AB, A B Rjšjći j ss op obijo A i B PRIMJER 6 Izrčjo Rjšj: Mogli biso očkii s i s ko i prhoi prijri poigrl fkcij ož prikzi oblik A / B / No, o ij očo Zbog rg pocij lirog fkor,, rb oi i rći prcijli rzlok / Dkl, A B, gj s A, B i kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io, j Z io A Z io AB, j B7, j B 67
50 TEHNIKE INTEGRIRANJA Izjčj ogorjćih koficij AB A BAB, obili biso ss AB, A B, AB, koji j is rijosi A, B i Dkl, l l l PRIMJER 7 Izrčjo, b - Rjšj: Fkor, ziik poigrl fkcij, ogor prcijli rzlok A /, ok fkor ogorj prcijli rzloci B / i / Poigrl fkcij jk j zbroj ih prcijlih rzlok: A B Možj s lzio: Z io: Z io: A B,, 9 A, A, A Koficij B lzio ršj bilo koj rijosi, pr : A 6B, 6 67 B, 6 B, B 68
51 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Dkl, l 67 l 67 b Poigrl fkcij ži z i, p porčj igrcij sij srži ij o ih očk Irl [, ] ih srži p ožo rči, korisći s Nwo Libizoo forlo: PRIMJER 8 - l l Izrčjo Rjšj: l 67 l 67 l 7 Fkor ogorj prcijli rzloci A /, B / i /, ok fkor ogor prcijli rzlok D / Poigrl fkcij jk j zbroj ih prcijlih rzlok: A B D Možj s lzio: A B D Z io, j Z io D Prosl koficij orđjo ko gorj jžb rsio još ij rijosi z, pr i : zbog i D : Dkl, AB D, A6B 8D, A B, A 6B 8, A B, A B, A B 69
52 TEHNIKE INTEGRIRANJA l l l Mđi, ož s ski polio prikzi ko prok lirih fkor N prijr, s ož prikzi ko prok lir fkor osi ko s korisio koplksi broji Općio, polio s koplksi koriji α ± β i, α ± β i,, i kr fkor α α β, α α β, Ni αβi αβi α α β, šo s lko projr ožj Kri fkori oblik pq, ko ij koplks korij j ko j p < q, ogorj prcijli rzloci oblik AB/ pq Njihoi pocij pq ogorj prcijli rzloci A B / pq, A B / pq,, A B / pq Rciol fkcij čiji j ziik prok kih fkor i rij rzorih lirih fkor, ož s prikzi ko zbroj sih ji ogorjćih prcijlih rzlok To ćo ilsriri s pr prijr PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Kri fkor ož s lj fkoriziri lir fkor jr i koplks korij p < q, p j zo poigrl fkcij jk zbroj slijćih prcijlih rzlok: A B Možj s lzio: AB Z io, j Z io B B, j B Usporio li koficij z lijoj sri posljj jžb, koji j, i oj soj sri, koji j A, io A, j A Dkl, Pri o obij igrl zo izrči: l 7
53 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA 7 Drgi igrl, s kri ziiko, rsforiro ko s brojik poji ricij og krog ziik:
54 TEHNIKE INTEGRIRANJA 7 S j lko izrči posljj igrl Pri lzio spsicijo, l l, ok rgi lzio sođj pi kr sp 8: rcg rcg Dkl, rcg l 6 l rcg l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Njprij oro fkoriziri ziik J jgo rli korij j, p j zo jgo liri fkor Drgi fkor lzio ijljj: : Dkl, Kri fkor ož s lj fkoriziri jr i koplks korij Dkl,, j so igrl izrčli 9 prijr
55 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA 7 Vijli so kri fkori ziik poigrl fkcij o igrl ip Zo ćo slijć prijr izrči j ip igrl, z,,, općio bilo koji PRIMJER Izrčjo, b, c, Rjšj: rcg b Priijio pospk prcijl igrcij pozi igrl Dkl, okl sliji j zbog, rcg c Priijio pospk prcijl igrcij pozi igrl b:
56 TEHNIKE INTEGRIRANJA 7 Dkl,, okl sliji, j zbog b, rcg 8 Pospk pro z b i z c ož s priijii općio, z ski : Dkl,, okl sliji Posljj rkrzi forl oogć sizjo kspo poigrl fkcij, ok ođo o pozog igrl Kokr prij rkrzi forl lzi s slijć prijr PRIMJER Izrčjo
57 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rjšj: Prijo rkrzi forl, o koj so ošli krj prijr, lzio: rcg Poslij sih oih prijr ožo opisi opći pospk z igrirj rciol fkcij INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rciol fkcij P / Q, gj s P i Q polioi, igriro slijći či: Ako j P jkog ili ćg spj o Q, o poijlio P s Q, či ćo P / Q prikzi ko zbroj SR / Q, gj j R spj jg o Q Zo lj prposio j P jg spj o Q Nziik Q fkoriziro lir fkor oblik c, gj j c rli korij o Q, i kr fkor oblik pq, gj j p α i q α β, α ± βi s koplksi koriji o Q Ako s fkorizciji o Q pojljj fkor c, priržjo zbroj prcijlih rzlok A A A c c K, c ko s joj pojljj fkor pq, koji i koplks korij, priržjo zbroj prcijlih rzlok: B B B p q p q K p q Rciol fkcij P / Q jk j zbroj sih prcijlih rzlok iz očk Koficij A i, B j i j orđjo ko j zbroj izjčio s P / Q, zi s koficij orio sporđij lij i s sr obi jkosi ili pk ršj pojiih rijosi o Igriro zbroj prcijlih rzlok iz očk ko i prijr 7
58 TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: : Fkor priržjo Dkl, A A, fkor priržjo A A B B Možći s lzio: A A B Z io A, j A Z io B Koficij z lijoj sri j, soj A B Dkl, A B, j A B Iz i sliji l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Brojik j spj jg o spj ziik Mđi, ziik ij o krj fkorizir, jr j Dkl, 76
59 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA A B A B, A A B B Z io 8B, j B Z io 8A, j A Usporđjći koficij z i lzio: Zbog A B sliji A B, A A B B A B, A B, A B, A, A, B Dkl, l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Kri fkor i koplks korij p s ož lj fkoriziri Dkl, A B B, A B B Usporđjći koficij z is pocij i ili ršjći kokr rijosi z šli biso A, B,, B i projri Dkl, 77
60 TEHNIKE INTEGRIRANJA 78 Izrč ćo ski o ih igrl: l rcg l l [ ] rcg rcg b prijr sp Ursio li rijosi olzio o kočog rzl: 8rcg l l Igrli rciolih fkcij koji ziik srž so j fkor oblik c og s izrči gor opisi pospko, li ih j ogo josij izrči spsicijo c Eo jog prijr koji o ilsrir PRIMJER 6 Izrčjo Rjšj:
61 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA Pogoi spsicij ogi s igrli so igrl rciolih fkcij Eo jprij pr prijr koji poigrl fkcij srži rzlolj pocij j korij PRIMJER Izrčjo 7 Rjšj: D biso s rijšili korij spsiiro ;, i : Slijći j prijr šo složiji PRIMJER Izrčjo Rjšj: Uočio jprij j:
62 TEHNIKE INTEGRIRANJA 8 D biso s rijšili rzloljog kspo spsiiro / : : Nziik posljj poigrl fkcij,, i korij, p j j jgo fkor, rgi lzio ijljj: : Fkor i koplks korij, p s ož lj fkoriziri Dkl, A B Možj s / lzio: A B Z io A, j A Z io 6, j / Usporđjći koficij z io AB, j B A Dkl, Dkl,
63 INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 6 l 6 l l l 6 rcg l 6 l Ursio li j rzl poč jžb, kočo lzio: l 8 l rcg 6 6 PRIMJER Izrčjo Rjšj: Možj brojik i ziik s igrl ć s bio pojosii: 6 6 rcg l l 8 prijr 9 i sp rcg l l
64 TEHNIKE INTEGRIRANJA Igrl oblik R siϕ,ϕ ϕ, gj j R rciol fkcij o si ϕ i ϕ, soi s igrl rciol fkcij spsicijo Ni sp prijr, j si g ϕ ϕ ϕ ϕ, p j ϕ, Rsi,ϕϕ R, šo j igrl rciol fkcij PRIMJER Izrčjo ϕ ϕ Rjšj: Korisći s spsicijo lzio: PRIMJER ϕ Izrčjo ϕ Rjšj: g ϕ, iz koj sliji siϕ, ϕ i ϕ, ϕ ϕ ϕ rcg rcg g Iz g ϕ sliji ϕ i ϕ Osi og z ϕ i z Dkl, ϕ 8
65 INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 l l ϕ ϕ Igrl oblik ϕ ϕ ϕ, si R ož s izrči i slijći josiji spsicij: ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ, si ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ, g ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ Eo koliko prijr koji o ilsrirj PRIMJER 6 Izrčjo si si Rjšj: Bći j si si si si, j Rsi, Rsi,, priiji ćo spsicij : si si si si si si l l PRIMJER 7 Izrčjo si si Rjšj: Bći j
66 TEHNIKE INTEGRIRANJA, si si si si j R si, Rsi,, priiji ćo spsicij si : si si si si si si l l si si PRIMJER 8 Izrčjo si si Rjšj: Bći j Rsi, Rsi, :, si si si si priiji ćo spsicij g, iz koj sliji : si si g g g l l g l g PRIMJER 9 Izrčjo g Rjšj: Priiji ćo spsicij g : 8
67 INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 g rcg rcg g g
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 30ής ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2004 ΑΙΟΙΚΗΤΪΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
K.AJI. 75/2004 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΤ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ Αρ. 906 της 0ής ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΥ 2004 ΑΙΙΚΗΤΪΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΡΣ Ι Κννιστικές Διικητικές Πράξεις Αριθμός 75 Ι ΠΕΡΙ ΦΑΡΜΑΚΩ ΑΘΡΩΠΙΗΣ ΡΗΣΗΣ (ΕΛΕΓΣ
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Chapter 1 Fundamentals in Elasticity
D. of o. NU Fs s ν ss L. Pof. H L ://s.s.. D. of o. NU. Po Dfo ν Ps s - Do o - M os - o oos : o o w Uows o: - ss - - Ds W ows s o qos o so s os. w ows o fo s o oos s os of o os. W w o s s ss: - ss - -
/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24
!! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
ο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! "c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U3
I co f - bu. EH T ft Wj. ta -p -Ρ - a &.So f I P ω s Q. ( *! C5 κ u > u.., TJ C φ Γί~ eg «62 gs ftffg «5.s LS ό b a. L κ5 =5 5 W.2 '! "c? io -Ρ ( Β Φ Ι < ϊ bcp «δ ι pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U (Ν φ ra., r
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Naizmjenična komponenta struje troplnog kratkog spoja. Trenutna vrijednost struje tropolnog kratkog spoja neopterećenog generatora u fazi a:
Nizmjič mp sruj rplg rg spj ru vrijs sruj rplg rg spj prćg grr u fzi : q E E i θ θ ω θ ω cs cs 0 cs 0 ipič izgl scilgrm sruj rplg rg spj u fzm sihrg grr i i i AC DC Nizmjič i AC i jsmjr i DC mp sruj rg
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ υπ Άρ. 62 τής 19ης ΜΑΙΥ 1961 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ III ΚΙΝΤΙΚΙ ΝΜΙ ΤΥΡΚΙΚΗΣ ΚΙΝΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕΛΕΎΣΕΩς Ό κττέρ νόμς της Τυρκικής Κιντικής Συνελεύσεις όστις υπεγράφη
AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((
? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b
ΓΗΣ ΕΠΙΣΗΜΟΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΟΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ύττ* *Αρ. 870 της 23ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 1971 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΓΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ ύττ* *Αρ. 87 της 2ης ΑΠΡΙΛΙΥ 1971 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ Ι Ό περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες ('Επιβλή και Επιστρφή τύταιν) (Τρππιητικός) (Άρ. 2) Νόμς
3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,
E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen
PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟΝ. ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΟΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΟΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ υπ* Άρ. 932 της 14ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 1972 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ
Ν. 17/72 ΠΑΑΤΜΑ ΠΩΤΝ ΤΣ ΕΠΙΣΜΥ ΕΦΜΕΙΔΣ ΤΣ ΔΜΚΑΤΙΑΣ υπ* Άρ. 92 της 14ης ΑΠΙΛΙΥ 1972 ΝΜΘΕΣΙΑ Ό περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Επιβλή και 'Επιστρφή τύτν) (Τρππιητικός) Νόμς τυ 1972 εκίεται ια
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci
3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 3253, Ν. 30(ΙΙ)/98
E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 3253,10.7.98 1608 Ν. 30(ΙΙ)/98 περί Ειδικεύσεως Συμπληρωματικής Πιστώσεως (Ταμεί Αναπτύξεως) Νόμς (Αρ. 2) τυ 1998 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA. DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA Viale Risorgimento n BOLOGNA (ITALIA) FOR THE CURRENT DISTRIBUTION
UVERSÀ DEG SUD D BOOGA DPAREO D GEGERA EERCA Vl Rogo - 36 BOOGA (AA AAYCA SOUOS FOR HE CURRE DSRBUO A RUHERFORD CABE WH SRADS. F. Bch Ac h gocl o of h ol co coffc og h of Rhfo cl vg. h olo fo h gl l c
!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*
!"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"
Florida State University Libraries
Florida State University Libraries Electronic Theses, Treatises and Dissertations The Graduate School 2005 A New Examination of Service Loyalty: Identification of the Antecedents and Outcomes of an Attitudinal
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
E.E., Παρ. I, 767 Ν. 39/83 Αρ. 1871,
E.E., Πρ. I, 767 Ν. 9/8 Αρ. 1871, 24.6.8 περί Ειδικεύσεως Συμπληρωμτικής Πιστώσεως (Τμείν Ανπτύξεως) Νόμς (Αρ. 4) τυ 198 εκδίδετι διά δημσιεύσεως εις την επίσημν εφημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς συμφώνως
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
&+, + -!+. " #$$% & # #'( # ) *
! &+,+-!+. "#$$%&##'( 0 1 2 #$$% 3! 4 4 &5 -! 3 &-! 4 &5 -!63 &-!6 41 7+ 8 " : 4 ; 4( & 4 # < 4/45 45 4 &- 4= 4 6 % 8 " 8 ' : "#$$%&/#'( > #$$% 8 8 4! " 4 3!??? - "#$$%&=#'( ( #..1@+A >+." (% &+.*+1+.B1.1>6+!#$$=A#$$%(%
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2001
Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.4, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.1.
tel , version 1-7 Feb 2013
!"## $ %&' (") *+ '#),! )%)%' *, -#)&,-'" &. % /%%"&.0. )%# "#",1 2" "'' % /%%"&30 "'' "#", /%%%" 4"," % /%%5" 4"," "#",%" 67 Y% !"!"# $ %& & # &$ ' '#( ''# ))'%&##& *'#$ ##''' "#$ %% +, %'# %+)% $
1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985
E.E., Παρ. I, Αρ. 214, 24.10.6 147 Ν. 151/6 περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Τρππιητικός) Νόμς τυ 196 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ
..,..,.. ! " # $ % #! & %
..,..,.. - -, - 2008 378.146(075.8) -481.28 73 69 69.. - : /..,..,... : - -, 2008. 204. ISBN 5-98298-269-5. - -,, -.,,, -., -. - «- -»,. 378.146(075.8) -481.28 73 -,..,.. ISBN 5-98298-269-5..,..,.., 2008,
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,
E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje str. 1.
INENE TNSFOMCIJE. prdavaj 7..6. sr.. FUNKCIJE, TNSFOMCIJE S U, OPETOI N Fukija j pravilo f koj svako lu skupa pridružuj jda i sao jda l skupa B. ko f lu a pridružuj l b, oda s piš f ( a) b i kaž s da j
www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
381 Κ.Δ.Π. 124/77. ir = > > ^ dodo" CL. g ω. (χωρ.) 1/42 (χωρ.,ν. 1/38 (χωρ.) > (χωρ) < β ><ΧΧΧΧΧ «XX. χχχχχχυχχ. χχχχχχ»χχ. I >d < 3. ΙΊ d" 'ο.
1 Ε.Ε. Πρ. Ill (I) *Ap. 15, 20.5.77 81 Κ.Δ.Π. 124/77 ΓΛ 01 N fn ^ TJ ON 0 ι 00 Φ υ β UJ W υ 1. ' Η Ι _ UI Ύ LU ' W ι ι ν τ 7 ιι LU Ι. Γ (Ν ^.. i 1 1 Ι 5 Ι ι_ *. *- * I f 5 " LP O _. θt,_ Q η * 25. s? Q
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
ZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector
s MICROMASTER Vector MIDIMASTER Vector... 2 1.... 4 2. -MICROMASTER VECTOR... 5 3. -MIDIMASTER VECTOR... 16 4.... 24 5.... 28 6.... 32 7.... 54 8.... 56 9.... 61 Siemens plc 1998 G85139-H1751-U553B 1.
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov
Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 22ας ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II
Ν. 7()/22 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤ ΤΗΣ ΠΣΗΜΗΣ ΦΗΜΡΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΑΣ Αρ. 366 της 22ς ΝΜΡΥ 22 ΝΜΘΣΑ ΜΡΣ περί Συμπληρωμτικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 13) τυ 22 εκδίδετι με δημσίευση στην πίσημη φημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς
E.E. Παρ. Ill (I) 429 Κ.Δ.Π. 150/83 Αρ. 1871,
E.E. Πρ. ll () 429 Κ.Δ.Π. 50/ Αρ. 7, 24.6. Αρθμός 50 ΠΕΡ ΤΑΧΥΔΡΜΕΩΝ ΝΜΣ (ΚΕΦ. 0 ΚΑ ΝΜ 42 ΤΥ 96 ΚΑ 7 ΤΥ 977) Δάτγμ δνάμ τ άρθρ 7() Τ Υπργκό Σμβύλ, σκώντς τς ξσίς π πρέχντ Κ»>. 0. σ' τό δνάμ τ δφί τ άρθρ
Αέρια υψηλής Καθαρότητας 2000. Ο συνεργάτης σας για Αέρια, Εξοπλισµό και Υπηρεσίες
Αέρια υψηλής Καθαρότητας 2000 Ο συνεργάτης σας για Αέρια, Εξοπλισµό και Υπηρεσίες Αέρια Υψηλής Καθαρότητας από την MESSER Αέρια Υψηλής Καθαρότητας Το παρόν κεφάλαιο δείνει ένα πανόραµα των αερίων υψηλής
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Ε.Ε. Παρ. I(II) Αρ. 3887,
.. Π. I() Α. 887, 2.7.2004 402 Ν. 25(ΙΙ)/2004 εί Συμλμτικύ Πϋλγισμύ Νόμς (Α. ) τυ 2004 εκδίδετι με δμσίευσ στν ίσμ φμείδ τς Κυικής Δμκτίς σύμφν με τ Αθ 52 τυ Συντάγμτς. Πίμι. 75() τν 200. Συντικός τίτλς.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
". / / / !/!// /!!"/ /! / 1 "&
! "#$ # % &! " '! ( $# ( )* +# ),,- ". / / /!"!0"!/!// /!!"/ /! / 1 "& 023!4 /"&/! 52! 4!4"444 4 "& (( 52! "444444!&/ /! 4. (( 52 " "&"& 4/444!/ 66 "4 / # 52 "&"& 444 "&/ 04 &. # 52! / 7/8 /4 # 52! "9/
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
(α) Στη στήλη «Θέσεις 1993» ο αριθμός «36» αντικαθίσταται. (β) Στη στήλη των επεξηγήσεων αναγράφεται η ακόλουθη
E.E. Παρ. Ι(Π) 1197 Ν. 63(11)/93 Αρ. 2842,10.12.93 Ο περί Πρϋπλγισμύ (Τρππιητικός) (Αρ. 6) Νόμς τυ 1993 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Kinetička energija: E
Pime 54 Za iem pikazan na lici odedii ubzanje eea mae m koji e keće naniže kao i ilu u užeu? Na homogeni doboš a dva nivoa koji e obće oko zgloba O dejvuje, zbog neidealnoi ležaja konanni momen opoa M
pi r p p c i i c i (0) i c i (x) i c i, av i c i i C i i C i P i C i W i d d D i i D i p i D in D out e e F F = I c j i i J V k i k b k b = K ic i K id i n P m P Pe i i r si i r p R R = R T V W i x x X
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr
Περικλέους Σταύρου 31 34100 Χαλκίδα Τ: 2221-300524 & 6937016375 F: 2221-300524 @: chalkida@diakrotima.gr W: www.diakrotima.gr Προς: Μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου / Κάθε ενδιαφερόμενο Αγαπητοί Φίλοι Όπως σίγουρα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1.1. ΤΡΟΧΙΑΚΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1. Ποιες είναι οι πιθανές τιµές : α) του l για : i) n = 1, ii) n = 3, β) του m l για : i) n = 2, ii) l = 2. 1.2. Να βρείτε
VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.
VILJUŠKARI 1. Viljuškar e korii za uoar andardnih euro-pool palea na druko ozilo u ieu prikazano na lici. PALETOMAT a) Koliko reba iljuškara da bi ree uoara kaiona u koji aje palea bilo anje od 6 in, ako
ITU-R SA (2010/01)! " # $% & '( ) * +,
(010/01)! " # $% & '( ) * +, SA ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R 1 1 http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS BT F M P RA S RS SA SF SM SNG TF V
2G &:)* +HIJ LM=,ABCD 231 K= U b-u a 1 100% (1) U a T Q 1 )* +,- Q Fig.1 SketchmapoftheTarimRiverBasin - [) 398km,+%,+% <, `, 2, 2 #; + ( [ - ) 428km,
33 2G 2016> 3 = Y ARID ZOE RESEARCH Vol.33 o.2 Mar.2016 doi:10.13866/j.azr.2016.02.02 1 1,2, 1, 1, 3, 4 (1.,!"#$%&', 830011; 2., ( 100049;3.)* +,-. /01, 841000; 4. + 234567, + 832000) :89 TM:;,
Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη
Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων
^= ο d ο cs. ce +> Γ* S «^ ς) ^ Λ "Λ Ο Ρ "3.5. ft s ft^o ce ο «Ο ο. ce +s.- ο ce tj 2 ^ ^ 2 δ. ο -^ c. TS ri. -^ a 00 -,-Η.
45 σ < ' < ΧΩ ω α U - ( " Γ «.2 β (U + -ρ Ν ρ π, w κ, V? ft CQ fc 8 % d ), li j -le. r c g 0
The q-commutators of braided groups
206 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. Jan. 206 : 000-564(206)0-0009-0 q- (, 20024) : R-, [] ABCD U q(g).,, q-. : R- ; ; q- ; ; FRT- : O52.2 : A DOI: 0.3969/j.issn.000-564.206.0.002
s.s a a e !* : Β 3 Β. t Β. ε= α Η S < is *? A1=3 a ** 5 * 5 .Π % ** 5. II sr ο. " f-s ο < go< (5) D ^ X s ti3i "ε Ρ 5 Ρ Η. θ δ δ .
Ε.Ε. Παρ. III(I) Κ.Δ.Π. /200 Αρ. 671,.1.200 Αριθμός ΠΕΡΙ ΠΛΕΔΜΙΑΣ ΚΑΙ ΧΩΡΤΑΞΙΑΣ ΝΜΣ (ΝΜΣ 90 ΤΥ 1972, 56 ΤΥ 1982, 7 ΤΥ 1990, 28 ΤΥ 1991, 91(1) ΤΥ 1992, 95(1) ΤΥ 199, 72(1) ΤΥ 1998, 59(1) ΚΑΙ 142(1) ΤΥ 1999)
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ)
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ
Θέματα Ανόργανης Χημείας Γεωπονικής ΓΟΜΗ ΑΣΟΜΩΝ
Θέματα Ανόργανης Χημείας Γεωπονικής 1 ΓΟΜΗ ΑΣΟΜΩΝ 1. α) Γχζηε ηζξ ααζζηέξ ανπέξ μζημδυιδζδξ ημο δθεηηνμκζημφ πενζαθήιαημξ ηςκ αηυιςκ Mg (Z=12), K (Z=19), ηαζ Ag (Ε=47). Δλδβήζηε ιε ηδ εεςνία ηςκ ιμνζαηχκ
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1857 Κ.Δ.Π. 312/9& ; Αριθμός 312 Ο ΠΕΡΙ ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΝΟΜΟΣ (ΝΟΜΟΙ 90 ΤΟΥ 1972 ΚΑΙ 56 ΤΟΥ 1982)
Ε.Ε. Πα. I(I) Α. 292, 1.12.98 1857.Δ.Π. 12/9& ; Αιθμός 12 ΠΕΙ ΠΛΕΔΜΙΑΣ ΑΙ ΩΤΑΞΙΑΣ ΝΜΣ (ΝΜΙ 90 ΤΥ 1972 ΑΙ 56 ΤΥ 1982) Διάταγμα Διατήησης σύμφνα με τ άθ 8(1) Ασκώντας τις εξυσίες πυ ηγύνται σ' αυτόν από