18. listopada listopada / 13

Transcript

1 18. listopada listopada / 13

2 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x). Definicija Kažemo da je funkcija f neprekidna u točki x 0 ako je lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je: 1 f definirana na nekoj okolini točke (x 0 δ, x 0 + δ), 2 lim x x0 f (x) postoji, 3 lim x x0 f (x) i f (x 0 ) su jednaki. Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kažemo da f ima prekid u točki x listopada / 13

3 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x). Definicija Kažemo da je funkcija f neprekidna u točki x 0 ako je lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je: 1 f definirana na nekoj okolini točke (x 0 δ, x 0 + δ), 2 lim x x0 f (x) postoji, 3 lim x x0 f (x) i f (x 0 ) su jednaki. Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kažemo da f ima prekid u točki x listopada / 13

4 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x). Definicija Kažemo da je funkcija f neprekidna u točki x 0 ako je lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je: 1 f definirana na nekoj okolini točke (x 0 δ, x 0 + δ), 2 lim x x0 f (x) postoji, 3 lim x x0 f (x) i f (x 0 ) su jednaki. Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kažemo da f ima prekid u točki x listopada / 13

5 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x). Definicija Kažemo da je funkcija f neprekidna u točki x 0 ako je lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je: 1 f definirana na nekoj okolini točke (x 0 δ, x 0 + δ), 2 lim x x0 f (x) postoji, 3 lim x x0 f (x) i f (x 0 ) su jednaki. Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kažemo da f ima prekid u točki x listopada / 13

6 Definicija Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj točki x 0 (a, b). { } C(D) = f : D R f je neprekidna na D Vrste prekida funkcije Uklonjivi prekid Kažemo da funkcija f ima prekid prve vrste u točki x 0 ako lim x x0 f (x) postoji, ali 1 f nije definirana u točki x 0 ili 2 lim x x0 f (x) f (x 0 ). U tom slučaju možemo definirati proširenje funkcije po neprekidnosti u točki x 0 sa f (x), x x 0, f (x) = L, x = x 0 gdje je L = lim x x0 f (x). 18. listopada / 13

7 Definicija Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj točki x 0 (a, b). { } C(D) = f : D R f je neprekidna na D Vrste prekida funkcije Uklonjivi prekid Kažemo da funkcija f ima prekid prve vrste u točki x 0 ako lim x x0 f (x) postoji, ali 1 f nije definirana u točki x 0 ili 2 lim x x0 f (x) f (x 0 ). U tom slučaju možemo definirati proširenje funkcije po neprekidnosti u točki x 0 sa f (x), x x 0, f (x) = L, x = x 0 gdje je L = lim x x0 f (x). 18. listopada / 13

8 Definicija Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj točki x 0 (a, b). { } C(D) = f : D R f je neprekidna na D Vrste prekida funkcije Uklonjivi prekid Kažemo da funkcija f ima prekid prve vrste u točki x 0 ako lim x x0 f (x) postoji, ali 1 f nije definirana u točki x 0 ili 2 lim x x0 f (x) f (x 0 ). U tom slučaju možemo definirati proširenje funkcije po neprekidnosti u točki x 0 sa f (x), x x 0, f (x) = L, x = x 0 gdje je L = lim x x0 f (x). 18. listopada / 13

9 Definicija Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj točki x 0 (a, b). { } C(D) = f : D R f je neprekidna na D Vrste prekida funkcije Uklonjivi prekid Kažemo da funkcija f ima prekid prve vrste u točki x 0 ako lim x x0 f (x) postoji, ali 1 f nije definirana u točki x 0 ili 2 lim x x0 f (x) f (x 0 ). U tom slučaju možemo definirati proširenje funkcije po neprekidnosti u točki x 0 sa f (x), x x 0, f (x) = L, x = x 0 gdje je L = lim x x0 f (x). 18. listopada / 13

10 Primjer Funkcija ima uklonjivi prekid u točki x = 0. f (x) = sin(x) x listopada / 13

11 Pokažimo da je sin(x) lim = 1. x 0 x 18. listopada / 13

12 Prekid prve vrste Kažemo da funkcija f ima prekid prve vrste u točki x 0 ako jednostrani limesi u x 0 postoje, ali lim x x 0 f (x) lim f (x). x x + U tom slučaju promjena funkcije u točki x 0 je dana sa f = lim f (x) lim x x + 0 x x 0 f (x). 18. listopada / 13

13 Primjer Funkcija x, x < 0, f (x) = x 2 + 1, x > 0, ima prekid prve vrste u točki x = listopada / 13

14 Prekid druge vrste Kažemo da funkcija f ima prekid druge vrste u točki x 0 ako barem jedan od limesa ne postoji. lim f (x) ili lim x x 0 + x x 0 f (x) Racionalna funkcija f (x) = p(x) može imati prekid druge vrste u nultočkama polinoma q(x). q(x) 18. listopada / 13

15 Primjer Funkcija f (x) = x + 2 x 2 1 ima prekid druge vrste u točkama x = 1 i x = listopada / 13

16 Naprekidnost funkcije je očuvana kod algebarskih operacija na funkcijama. Teorem Neka su funkcije f i g neprekidne u točki x 0. Tada su funkcije 1 f (x) + g(x), 2 cf (x), c R, 3 f (x)g(x), 4 f (x) g(x) gdje je g(x 0) 0 neprekidne u x 0. Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija) Neka je f neprekidna u točki x 0, i neka je g neprekidna u točki f (x 0 ). Tada je kompozicija funkcija (g f )(x) = g(f (x)) neprekidna u točki x 0. Ovaj teorem implicira da je ako je f neprekidna funkcija. lim g(f (x)) = g( lim f (x)), x x 0 x x listopada / 13

17 Naprekidnost funkcije je očuvana kod algebarskih operacija na funkcijama. Teorem Neka su funkcije f i g neprekidne u točki x 0. Tada su funkcije 1 f (x) + g(x), 2 cf (x), c R, 3 f (x)g(x), 4 f (x) g(x) gdje je g(x 0) 0 neprekidne u x 0. Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija) Neka je f neprekidna u točki x 0, i neka je g neprekidna u točki f (x 0 ). Tada je kompozicija funkcija (g f )(x) = g(f (x)) neprekidna u točki x 0. Ovaj teorem implicira da je ako je f neprekidna funkcija. lim g(f (x)) = g( lim f (x)), x x 0 x x listopada / 13

18 Naprekidnost funkcije je očuvana kod algebarskih operacija na funkcijama. Teorem Neka su funkcije f i g neprekidne u točki x 0. Tada su funkcije 1 f (x) + g(x), 2 cf (x), c R, 3 f (x)g(x), 4 f (x) g(x) gdje je g(x 0) 0 neprekidne u x 0. Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija) Neka je f neprekidna u točki x 0, i neka je g neprekidna u točki f (x 0 ). Tada je kompozicija funkcija (g f )(x) = g(f (x)) neprekidna u točki x 0. Ovaj teorem implicira da je ako je f neprekidna funkcija. lim g(f (x)) = g( lim f (x)), x x 0 x x listopada / 13

19 Koristeći prethodna dva teorema i neke elementarne nejednakosti može se pokazati da su elementarne funkcije neprekidne na svojim prirodnim domenama. 1 Svaki polinom je neprekidan na R. 2 Svaka racionalna funkcija p(x) je neprekidna na R osim u točkama gdje je q(x) = 0. q(x) 3 Eksponencijalna funkcija e x je neprekidna na R. 4 Logaritamska funkcija ln(x) je neprekidna na (0, ). 5 Funkcije sin(x) i cos(x) su neprekidne na R. { } 6 Funkcija tg(x) je neprekidna na R \ π 2 + nπ n Z. { } 7 Funkcija ctg(x) je neprekidna na R \ nπ n Z. 18. listopada / 13

20 Koristeći prethodna dva teorema i neke elementarne nejednakosti može se pokazati da su elementarne funkcije neprekidne na svojim prirodnim domenama. 1 Svaki polinom je neprekidan na R. 2 Svaka racionalna funkcija p(x) je neprekidna na R osim u točkama gdje je q(x) = 0. q(x) 3 Eksponencijalna funkcija e x je neprekidna na R. 4 Logaritamska funkcija ln(x) je neprekidna na (0, ). 5 Funkcije sin(x) i cos(x) su neprekidne na R. { } 6 Funkcija tg(x) je neprekidna na R \ π 2 + nπ n Z. { } 7 Funkcija ctg(x) je neprekidna na R \ nπ n Z. 18. listopada / 13

21 Svojstva neprekidnih funkcija Definicija Funkcija f : I R je ograničena na intervalu I ako postoje M 1, M 2 R takva da je M 1 f (x) M 2 x I. (1) Promotrimo sljedeći problem: Neka je funkcija f ograničena na intervalu I. Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum na I? Teorem o ekstremnim vrijednostima Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x 1, x 2 [a, b] takvi da je f (x 1 ) = max f (x) i f (x 2) = min f (x). (2) x [a,b] x [a,b] 18. listopada / 13

22 Svojstva neprekidnih funkcija Definicija Funkcija f : I R je ograničena na intervalu I ako postoje M 1, M 2 R takva da je M 1 f (x) M 2 x I. (1) Promotrimo sljedeći problem: Neka je funkcija f ograničena na intervalu I. Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum na I? Teorem o ekstremnim vrijednostima Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x 1, x 2 [a, b] takvi da je f (x 1 ) = max f (x) i f (x 2) = min f (x). (2) x [a,b] x [a,b] 18. listopada / 13

23 Svojstva neprekidnih funkcija Definicija Funkcija f : I R je ograničena na intervalu I ako postoje M 1, M 2 R takva da je M 1 f (x) M 2 x I. (1) Promotrimo sljedeći problem: Neka je funkcija f ograničena na intervalu I. Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum na I? Teorem o ekstremnim vrijednostima Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x 1, x 2 [a, b] takvi da je f (x 1 ) = max f (x) i f (x 2) = min f (x). (2) x [a,b] x [a,b] 18. listopada / 13

24 Korolar Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervaluj [a, b], onda je f ograničena na [a, b]. Teorem o neprekidnosti inverzne funkcije Ako je f : [a, b] [c, d] bijektivna i neprekidna funkcija, tada je inverzna funkcija f 1 : [c, d] [a, b] neprekidna. 18. listopada / 13

25 Korolar Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervaluj [a, b], onda je f ograničena na [a, b]. Teorem o neprekidnosti inverzne funkcije Ako je f : [a, b] [c, d] bijektivna i neprekidna funkcija, tada je inverzna funkcija f 1 : [c, d] [a, b] neprekidna. 18. listopada / 13