Transmitter Channel Receiver. (modulated signal ) s(t) + r(t) (received signal ) n(t) (noise) G n (f)

Transcript

1 Ψηφιακές Επικοινωνίες Ανίχνευση εδοµένων σε Βασική Ζώνη Θεωρία Θορύβου (additive white Gaussia Noise/AWGN) υαδική (Biary) Μετάδοση Σήµατος Ανίχνευση (Detectio) Biary Σήµατος σε Gaussia Θόρυβο Προσαρµοσµένο Φίλτρο (Matched Filter), Συσχετιστής (Correlator), Πιθανότητα Σφάλµατος

2 Μαθηµατική Περιγραφή Θορύβου Trasmitter Chael Receiver (modulated sigal ) s(t) + r(t) (received sigal ) (t) (oise) Στο κανάλι, το σήµα υφίσταται µείωση ισχύος (atteuatio), χρονική καθυστέρηση (time delay) και προσθετικό θόρυβο (additive oise) Οι περισσότερες αλλοιώσεις, παρεµβολές, κτλ., συνήθως κατηγοριοποιούνται σαν θόρυβος Ο σηµαντικότερος τύπος θορύβουπου συµβαίνει στα συστήµατα επικοινωνιών χαρακτηρίζεται ως white oise, (t) Συνήθως (t)θεωρείται προσθετικός, white και Gaussia oise (AWGN) µε φασµατική πυκνότητα ισχύος (power spectral desity) G (f)

3 White Noise White Noise είναι µία τυχαία διαδικασία (radom process) µε επίπεδη (σταθερή) power spectral desity G (f), σε όλο το φάσµα συχνοτήτων white σε αναλογία µε το white φως Θεωρείται ως µία Gaussia radom process συνήθως από τη φύση της προσθετική G (f) N -sided power spectral desity of oise f Εποµένως αυτός ο τύπος θορύβου ονοµάζεταιαθροιστικός, White και Gaussia (AWGN) µε power spectral desity που δίνεται ως G ( f ) = N

4 White Noise Εποµένως, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, και λαβαίνοντας υπόψη ότι ο θόρυβος είναι ένα σήµα ισχύος, αφού N P = df = η συνάρτηση αυτοσυσχετισµού του λευκού θορύβου δίνεται από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της φασµατικής συνάρτησης πυκνότητας G ( f ) ηλαδή: 1 N R ( τ ) = E[ ( t) ( t+ τ )] = F { G ( f )} = δ ( τ ) R ( ) τ N o / τ Αυτό σηµαίνει ότι δύο διαφορετικά δείγµατα θορύβου (t)όσο κοντά και αν είναι στο χρόνο, έχουν µηδενική συσχέτιση

5 Additive White Gaussia Noise f ( x) a 67. a µ - 3 σ µ -σ µ µ+ σ Variace σ =Average power 1 a = πσ µ +3σ ~ G (µ, σ ) x (Amplitude) N σ =

6 AWGN i time domai Στο πεδίο του χρόνου το σήµα rv = rad(1, N)µπορεί εύκολα να γίνει plot. Παρακάτω δίνονται 1 δείγµατα του σήµατος του Gaussia θορύβου: plot(rv(1:1))

7 PDF of white Gaussia oise ( x mea) 1 Gauss pdf : f ( x mea, σ ) = e σ σ π proailit ty desity fuctio a amplitude 1 = =.3989 π

8 Geeratio of Gaussia radom variale clear; N=5; is=; rv = rad(1,n); % white Gaussia oise [ xout]=hist (rv,is); val_max = max(as(xout)); %fid max i order to determie i width ar(xout, (/N)*(is/(*val_max)) ) %!!!!! axis ([-3 3.5] ) xlael('amplitude') ylael('proaility desity fuctio') h = fidoj (gca, 'Type', 'patch' ) ; set (h, 'FaceColor', 'r', 'LieStyle', ':', 'EdgeColor', 'w' ) hold o y = pdf('normal',-3:.1:3,, 1) ; x=-3:.1:3; plot (x, y, '*' )

9 Filtered Noise Αν είσοδος σε ένα γραµµικό σύστηµα µε απόκριση συχνότητας H(f) είναι µία τυχαία διεργασία,όπως για παράδειγµα θόρυβος,µε power spectral desity εισόδου, G X (f),τότε η power spectral desity της εξόδου, G Υ (f), δίνεται απόσχέση: G ( f ) = G ( f ) H ( f ) Y X Η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερη χρήσιµη για να βρούµε την ισχύ µίας τυχαίας διεργασίας θορύβου (π.χ. Gaussia oise) στην έξοδο ενός φίλτρου!! Η θόρυβος στην έξοδο του φίλτρου θα είναι επίσης Gaussiaαλλά µε διαφορετική φασµατική πυκνότητα ισχύος,η οποία θα δίνεται από την παραπάνω σχέση.

10 Basead Σύστηµα Σε συστήµατα asead, το σήµα εκπέµπεται χωρίς φέρον. Αυτός ο τρόπος επικοινωνίας χρησιµοποιείται σε συνδέσειςµέσα από ζευγάρι καλωδίων ή οµοαξονικό καλώδιο (coax). Η µελέτη του είναι πολύ σηµαντική επειδή πολλές από τις βασικές αρχές/παραµέτρουςχρησιµοποιούνται στα συστήµατα διέλευσης ζώνης (διαµόρφωση µε φέρον). Επίσης, asead συστήµαταχρησιµοποιούνται ωςβάση σύγκρισης της επίδοσης των αναλογικών συστηµάτων. m(t) iput LPF S T Chael LPF H p ( f ) H C ( f ) ( f ) + S i N i H d S o N y D (t) limits m(t) (t) Noise elimiates outof-ad oise A asead Commuicatio System Model Page 335

11 Matched Filter Receivers Ένα matched filter είναι ένα γραµµικό φίλτρο που µεγιστοποιεί το SNR για κάθε σύµβολο εκποµπής δηλαδή, µεγιστοποιεί το SNR στην έξοδο για µία δεδοµένη κυµατοµορφή συµβόλου εκποµπής εδοµένου ότι r(t) = s(t) + (t) στην είσοδο, θέλουµε να βρούµε το h(t) ή H(f) που µεγιστοποιεί το SNR στην έξοδο!! Ένα φίλτρο προσαρµοσµένο στη κυµατοµορφή s(t), έχεικρουστική απόκριση (impulse respose) h(t) = s(t -t), t T!!! s( t) + ( t) r( t) h( t) = s( T t) z( t) z( T) t= T s ( t) i Αυτή η κρουστική απόκριση h(t),είναι µία καθυστερηµένη αντιγραφή του mirror image (γύρω από t = ) του σήµατος Page 381

12 Π.χ., s( t) s( t) h( t) = s( T t) t T T t T t sigal image sigal delayed y T Αυτό είναι ένα αιτιατό σύστηµα Σηµειώστε ότι ένα σύστηµα είναι αιτιατό αν πριν το excitatio τη στιγµή t = T, η απόκριση είναι για - < t < T Η κυµατοµορφή σήµατος στην έξοδο του matched filter είναι t z( t) = r( τ ) h( t τ ) dτ covolutio t = r( τ ) s( T t+ τ ) dτ Αν δειγµατοληπτήσουµε το z(t)τη στιγµή t = T, παίρνουµε: T z( T ) = z( t) t= T = r( τ ) s( τ ) dτ Page 38

13 Εποµένως το sampled output του φίλτρου τη στιγµή t = T είναι ακριβώς το ίδιο µε ενός correlator του r(t) µε το σύµβολο s(t)!!! Ένα φίλτρο µε impulse respose h(t) = s(t -t), t T ονοµάζεται matched filter στο σήµα s(t) Σηµαντική Ιδιότητα του Matched Filter: Αν ένα σήµα s(t)παραµορφώνεατιαπό AWGN, το φίλτρο µε impulse respose h(t)µεγιστοποιεί τη SNR!! Page 383

14 υαδική Ανίχνευση σε Θόρυβο Σε ένα δυαδικό (iary) commuicatio system, iary data ( s, 1 s) εκπέµπονται µε χρήση δύο κυµατοµορφών s (t)και s 1 (t) s (t), t T όπου T = 1/R 1 s 1 (t), t T Υποθέσεις: data its & 1 είναι ισοπίθανα (equally proale) (κάθε ένα µε πιθανότητα.5) και 1 είναι ανεξάρτητα (mutually idepedet) Το κανάλι αλλοιώνει (corrupts) το σήµα µε την πρόσθεση θορύβου, που εκφράζεται ως (t) (t)θεωρείται ως Additive White Gaussia Noiseµε PSD N / Watt/Hz Η κυµατοµορφή λήψης µπορεί να εκφραστεί ως r(t) = s i (t) + (t), i =, 1; t T Ο δέκτης πρέπει να αποφασίσει αν το ή το 1 είχε σταλεί Η ανάλυσή µας υποθέτει ότι η διαδικασία φιλτραρίσµατος είναι liear liear iput Gaussia iput liear output Gaussia output Page 348

15 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L x( t) A s (t), t T -A s 1 (t), t T Εκπεµπόµενη ενέργεια: Εκπεµπόµενο φάσµα: T T [ ] ( ) [ ] = o = 1( ) = E s t dt s t dt A T δίνεται στο lecture_ µε πρώτο ull στο 1/Τ Αν θεωρήσουµε ότι s (t)= s(t), s 1 (t)= -s(t), τότε το σήµα λήψης σε AWGN κανάλι δίνεται από την r( t) =± s( t) + ( t)

16 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L Η ανάκτηση του σήµατος στο δέκτη αποτελείται από δύο µέρη: Το πρώτο υλοποιείται είτε ως Correlator: ±s(t) + (t) x s(t) zts () dt r(t) z(t) z(t s ) t = T s si (t) είτε ως Matched Filter: s( t) + ( t) r( t) h( t) = s( T t) z( t) z ( T) t = T ( ) s t i Το δεύτερο: Ανιχνευτής (Detector) (ή decisio circuit) συγκρίνει το z(t)µε κάποιο κατώφλι (threshold)γ, > z( T ) γ ( γ = for atipodal) < Page 349

17 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L Ο Correlator δίνει: Το Matched Filter δίνει: t z( t) = r( t) s( t) dt z( t) t= T = z( T ) = s( τ ) r( τ ) dτ T Αλλά z = z t z'( t) = r( t) h( t) = r( τ) h( t τ) dτ r( τ) h( t τ) dτ h ( t ) = s ( T t ) h ( t τ ) = s [ T ( t τ )] = s ( T + τ t ) = zt z'( t) r( τ) s( τ+ T t) dτ Τη στιγµή t = T,έχουµε Εποµένως: ' ' T T z ( t ) = z ( T ) = r ( τ ) s ( τ + T T ) dτ = r ( τ ) s ( τ ) dτ t= T z( T) = z'( T) Page 349

18 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L Έστω ότι εκπέµπεται το s (t)= s(t). Τότε έχουµε: { } { T } { T z( T ) = r( τ ) s( τ ) dτ = [ A+ ( τ )] Adτ} { T τ τ} = A T+ A( ) d = A T+ ( T ) = E+ ( T ) Επειδή η τυχαία διαδικασία του θορύβου (t)έχει µέση τιµή µηδέν, προκύπτει ότι Ε[(T)] =. H διακύµανση (variace) της συνιστώσας θορύβου στη στατιστική z(t) είναι: σ T T [ ( T )] [ ( τ ) ( t) ] = E = E A dtdτ N T T = ( ) δ t τ N T = A dt N N = A T = E A dtd τ Page 349

19 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L Έστω ότι εκπέµπεται το s (t)= s(t). Σύµφωνα µε τα προηγούµενα η στατιστική z(τ) θα έχει πυκνότητα πιθανότητας: ( z E) 1 p( z s was trasitted) = exp σ π σ Έστω ότι εκπέµπεται το s 1 (t)= -s(t). Σύµφωνα µε τα προηγούµενα η στατιστική z(τ) θα έχει πυκνότητα πιθανότητας: 1 p( z s 1 was trasitted) = exp z+ E σ π σ Regio 1 Regio Likelihood of s 1 Likelihood of s ( ) P[z s 1 set] Decisio Lie P[z s set] -Ε γ o Ε P e (s ) Page 349

20 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: -PAM ή NRZ-L Η συνιστώσα θορύβου (T), που προέρχεται από τη τυχαία διεργασία (t), παραµορφώνει το σήµα προκαλώντας λάθη στον ανιχνευτή. Η πιθανότητα σφάλµατος υπολογίζεται εύκολα, ως εξής: Έστω ότι εκπέµπεται το s (t)= s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλµατος ισούται µε τη πιθανότητα ότι z(t) <, δηλαδή [ ( )] = P[ z( T ) < ] P error s t y = ( r E ) / σ 1 d y = d r σ o = 1 σ π e ( r E) σ y 1 E / σ = e dy π E E = 1 Q Q = σ σ E = Q N o dr

21 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: Atipodal ή NRZ-L Ακριβώς ανάλογα: έστω ότι εκπέµπεται το s 1 (t)= -s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλµατος ισούται µε τη πιθανότητα ότι z(t) >, δηλαδή [ ( )] = P[ z( T ) > ] P error s t y = ( r + E ) / σ 1 d y = d r σ 1 = 1 σ π 1 = π E = Q σ e y E / σ e E = Q N o ( r+ E) σ dy dr

22 Η συνάρτηση Q(x) Ορίζεται ως 1 u Q( x) = exp x π du Eίναιτο εµβαδό από x έως για την κανονική Gaussia κατανοµή µε µέση τιµή και διακύµανση 1 Q ( x ) Όλες οι πιθανότητες σφάλµατος επιλογής συµβόλου λόγω AWGN µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει της συνάρτησης Q( ) x x

23 Παράδειγµα δυαδικής σηµατοδοσίας: Atipodal ή NRZ-L Όταν τα δύο σήµατα, s (t)και s 1 (t), είναι ισοπίθανα, δηλαδή P[s ] = P[s 1 ] =.5, τότε η πιθανότητα ψηφιακού σφάλµατος δίνεται από: 1 1 Perror = P[ error s( t) ] + P[ error s1 ( t) ] = 1 E 1 E = Q + Q 1 No No Othogoal E = Q N o Proaility of Bit Error Q o I HG o K J Q E N Atipodal E/No (db) F F HG I E N K J 3-dB

24 -PAM or BPSK detectio Matched filter detector is equivalet to correlator with referece s1!!! s i ( t) x r( t) h(t) z( t) z( T) H 1 s i ( t) ( t) (AWGN) t = T H BPSK: s ( ), 1 t = E t T s ( ), t = E t T h(t) = s 1 (T t) % MATCHED FILTER The test statistic z(t) has the value ad it is a RANDOM variale z( T ) z( T ) = E+ ( T ), for a iary = z1( T ) = E+ ( T ), for a iary 1 σ = E ( T ) = N E

25 -PAM or BPSK detectio Regio Regio 1 Likelihood of s Likelihood of s 1 P[z s set] Decisio Lie P[z s 1 set] -Ε g o Ε P e (s ) p( z s trasmitted) = 1 exp ( z+ E ) σ σ π p( z s trasmitted) = 1 exp ( z E ) 1 σ σ π

26 Maximum Likelihood Detector (MLD) The sigal detector for the case of -PAM (or equivaletly BPSK) should decide which symol was set, ased o the criterio This criterio is kow as maximum likelihood test L z p ( z s ) p( z s ) p( z s) > p( z s1 ) < > < 1 ( ) = 1 max likelihood ratio test If L(z) >1 we decide (detect) s1 ad if L(z) <1 we decide (detect) s

27 MLD implemeted as Threshold Detector 1 ( z E ) exp p( z s 1) σ πσ ( ) = > 1 > 1 p( z s) < 1 ( z+ E ) < exp πσ σ L z ( ) ( ) z E z E > + + = exp 1 σ < z + E z E + z + E z+ E > = exp 1 σ < 4E z > E z > > = exp 1= exp 1 z σ < σ < < Threshold detector

28 Proaility of Error Έστω ότι εκπέµπεται το s 1 (t)= s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλµατος ισούται µε τη πιθανότητα ότι z(t) <, δηλαδή όπου Q(x) ορίζεται ως [ ] P z( T ) P error s1 ( t) = < 1 = e σ π E / σ ( r E ) 1 E E E dy= dr = 1 Q = Q = Q σ σ σ N είναι η συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος και σ dr y r E 1 y= = e dy σ σ π 1 Q( x) = exp x π u du

29 MLD is equivalet to miimum Euclidea distace ( z E ) exp p( z s 1) σ ( ) = > 1 > 1 p( z s) < ( z+ E ) < exp σ L z ( z E ) ( z+ E ) log ( L( z) ) = log exp > + log ( 1) = σ < σ ( z E ) ( z+ E ) log ( L( z) ) = + > σ < σ σ ( z E ) ( z+ E ) < ( z E ) < ( z+ E ) σ > > ( ) If Euclidea distace of z from s1 E is smaller tha Euclidea distace of z from s ( E ) the p( z s1 ) > p( z s )

30 MLD is equivalet to Threshold Detector Take Log Likelihood Test: ( z E ) ( z+ E ) log ( L( z) ) = log exp > + log ( 1) = σ σ < ( z E ) ( z+ E ) log ( L( z) ) = + > σ < σ σ ( z E ) ( z + E ) < ( z E ) ( z+ E ) < σ > > z ze+ E z ze E < 4zE < > > z < > Therefore, MLD is equivalet to threshold detector with threshold for BPSK etwee ( E ) ad ( E ), that is,

31 ιάγραµµα Αστερισµού Υπάρχουν δύο ισοδύναµαδιαγράµµατα αστερισµού για τον υπολογισµό της πιθανότητας σφάλµατος λόγω θορύβου αυτό που αναπαριστά γεωµετρικά τα εκπεµπόµενα σύµβολα και N τον αρχικό AWGN θόρυβο µε ισχύ σ = r( t) = s ( t) + ( t), m= 1,,..., M m αυτό που αναπαριστά την είσοδο στον detector (µετά το matched filter), δηλαδή την τυχαία µεταβλητή z(t),η οποία είναι Gaussiaµε s m µέση τιµή που δίνεται από την τιµή του συµβόλου s m πολλαπλασιασµένη µε E s και διακύµανση N σ = E s E s = eergy of sigal h ( t ) ( )

32 ιάγραµµα Αστερισµού N σ = Regio Regio 1 Likelihood of s Likelihood of s 1 N σ = E s P[z s set] Decisio Lie P[z s 1 set] -Ε g o Ε P e (s )

33 Simulatio of -PAM with AWGN (1/7) ηµιουργούµε το σήµα εκποµπής Pulse Amplitude Modulatio (PAM) µε πλάτη σε βασική ζώνη s ( t) A A Η συγκεκριµένη προσοµοίωση χρησιµοποιεί τετραγωνικό παλµό εκποµπής, ο οποίος δηµιουργείται µε 8 δείγµατα (εποµένως το samplig rate είναι 8 φορές µεγαλύτερο από το data rate). Πολλές φορές σε προσοµοιώσεις για εύρεση της επίδοσης symol error rate (SER) ή it error rate (BER) χρησιµοποιούµε 1 δείγµα ανά σύµβολο εκποµπής, δηλαδή δεν έχουµε παλµό εκποµπής. Η τιµή του δείγµατος δίνει το σύµβολο εκποµπής, samplig rate = data rate.

34 Simulatio of -PAM with AWGN (/7) clear s1 = [ ]; % τετραγωνικός παλµός εκποµπής x = [ ]; x =.*x -1; % από its σε Pulse Amplitude Modulated (PAM) sigal y = upsample(x, legth(s1)); % δηµιουργούµε χώρο για τον παλµό figure(1) stem(y) xlael('sample umer') r = filter(s1, 1, y); figure() stem(r) xlael('sample umer')

35 Simulatio of -PAM with AWGN (3/7) sample umer

36 Simulatio of -PAM with AWGN (4/7) sample umer

37 Simulatio of -PAM with AWGN (5/7) s i ( t) x r( t) h(t) z( t) z( T) H 1 s i ( t) ( t) (AWGN) t= T H >> h = [ ]; % Matched Filter: h(t) = s1(t -t)=s1(t) >> z = cov(r, h); % εδώ θα µπορούσαµε να έχουµε και τη filter >> stem(z)

38 Simulatio of -PAM with AWGN (6/7)

39 Simulatio of -PAM with AWGN (7/7) delay=7; z = z(delay+1:ed-delay); zt = dowsample(z, 8) >> zt = shat = real(zt)> % ένα threshold detector µε threshold = ; >> shat s i ( t) x r( t) h(t) z( t) z( T) H 1 s i ( t) ( t) (AWGN) t= T H

40