ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΟ SCILAB: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΑΚΕΤΟΥ ΓΙΑ ΕΥΡΩΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ.

Transcript

1 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΟ SCILAB: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΑΚΕΤΟΥ ΓΙΑ ΕΥΡΩΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑΣ: ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΠΚΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Ρ ΣΤΑΥΡΟΣ ΒΟΛΟΓΙΑΝΝΙ ΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 1

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλά συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου βγαίνουν από µοντελοποίηση. Όλα τα µοντέλα περιέχουν παραµέτρους που από την φύση τους αλλάζουν έτσι εµφανίστηκε η ανάγκη να κάνουµε έλεγχο ευστάθειας σε µοντέλα που οι παράµετροι τους αλλάζουν. Η µελέτη της ευστάθειας των πολυωνύµων είναι βασική για την ανάλυση πολλών προβληµάτων αυτόµατου ελέγχου. H ευστάθεια ενός συστήµατος καθορίζεται από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ή ισοδύναµα του παρανοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς. Αν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι γνωστοί τότε η ευστάθεια του µπορεί εύκολα να ελεγχθεί µε τη βοήθεια διαφόρων κριτηρίων και µεθόδων όπως αυτά των Routh, Hurwtz και πολλών άλλων. Η δυσκολία παρουσιάζεται όταν δεν γνωρίζουµε µε ακρίβεια τους συντελεστές δηλαδή όταν οι συντελεστές είναι σε διάστηµα. Η πτυχιακή αυτή έχει σαν στόχο να παρουσιάσει τρόπους µε τους οποίους θα επιλύονται τέτοιου είδους δυσκολίες. 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο... 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΒΕΒΑΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΒΕΒΑΙΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΝΟΡΜΕΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο 8 ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΡΙΖΩΝ ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο... 2 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΒΕΒΑΙΗ ΟΜΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΟΠΟΥ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ KHARITONOV ΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΤΟΥ KHARITONOV ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΠΟΦΥΓΗΣ ΤΟΥ ΜΗ ΕΝΟΣ ΟΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ

4 3.7 ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ OVERBOUNDING ΓΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ. 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ KHARITONOV ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕ ΒΑΘΜΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΤΟΥ ΠΕΝΤΕ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ H ( ω ) ΕΥΡΩΣΤΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ TSYPKIN ΚΑΙ POLYAK ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ KHARITONOV ΓΙΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ TO ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SCILAB ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΛΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV ΜΕ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ KHARITONOV ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ KHARITONOV ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ HURWITZ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ HURWITZ

5 5.9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Q + max ΚΑΙ Q m ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ KRONECKER ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ KRONECHER ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ r max ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ... 7 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 Κεφάλαιο 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΒΕΒΑΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Τα εύρωστα προβλήµατα αναφέρονται σε συστήµατα τα οποία οι περιγραφές τους περιέχουν συναρτήσεις µε αβέβαιες παραµέτρους. Στα περισσότερα βιβλία µια συνάρτηση µεταφοράς P( s ) ή ένα πολυώνυµο p( s ) έχουν την µεταβλητή s ως ένα µόνο όρισµα. Εδώ ωστόσο χρησιµοποιούµε δύο ορίσµατα στις συναρτήσεις και τις γράφουµε µε την µορφή P( s, q ). Γράφοντας P( s, q ) δείχνουµε την εξάρτηση της συνάρτησης µεταφοράς από το διάνυσµα της αβέβαιης παραµέτρου q. Χρησιµοποιούµε την µεταβλητή q για να ορίσουµε το διάνυσµα της πραγµατικής αβέβαιης παραµέτρου q. Συχνά αναφέρουµε την µεταβλητή q ως αβεβαιότητα. Αν η αβεβαιότητα είναι λ-διαστάσεων είναι πιο εύκολο περιγράψουµε το q γράφοντας ως q= ( q1, q2, q3kk q λ ) σε αντίθετες µε περιπτώσεις το q ορίζεται ως διάνυσµα στήλης. Αν ο αριθµητής και ο παρανοµαστής µιας συνάρτησης µεταφοράς είναι πολυώνυµα µε αβεβαιότητα, τότε η συνάρτηση µεταφοράς γράφεται ως: ( s, q) P( s, q) = (1.1.1) D( s, q) όπου τα πολυώνυµα ( s, q) και D( s, q ) εξαρτώνται από την µεταβλητή q. Αντίστοιχα και τα πολυώνυµα ( s, q) και D( s, q ) µπορούν να οριστούν µε βάση την µεταβλητή q και να έχουν την µορφή: να και m ( s, q) = a ( q) s (1.1.2) = D( s, q) = b ( q) s (1.1.3) = 6

7 Αν ένα γραµµικό σύστηµα περιγράφεται στο χώρο των καταστάσεων ως x( t) = Ax( t), µπορούµε να δείξουµε την εξάρτηση που έχει από το q γράφοντας το ως x( t) = A( q) x( t). Με την λέξη αβεβαιότητα περιγράφονται όλες οι µεταβλητές οι οποίες εξαρτώνται από την µεταβλητή q. Μπορούµε να ορίσουµε µια αβέβαιη συνάρτηση µεταφοράς γράφοντας την ως P( s, q ), ένα αβέβαιο πολυώνυµο ως ( s, q) και τέλος ένα αβέβαιο πίνακα ως A( q ). Αν ο αριθµητής και ο παρονοµαστής µιας συνάρτησης µεταφοράς εξαρτούνται από διαφορετικές αβέβαιες µεταβλητές, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και µια δεύτερη µεταβλητή για να περιγράψουµε την αβεβαιότητα. Σε αυτές τις περιπτώσεις η σχέση (1.1.1) γράφετε ως ( s, q) P( s, q, r) = (1.1.4) D( s, r) όπου ( s, q) και D( s, r ) είναι αβέβαια πολυώνυµα. Όταν οι αβέβαιες παραµέτρους q και r παίρνουν συγκεκριµένες τιµές, θα γράφονται q και r. Όταν ένα αβέβαιο πολυώνυµο έχει συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων αβεβαιότητας θα γράφεται ως ενώ η αντίστοιχη αβέβαιη συνάρτηση µεταφοράς ως p( s, q) q q s q s 2 = όπου το q 3 R, P( s, q, r) = m = q s r s = (1.1.5) όπου το m 1 q R + και το 1. r R ΑΒΕΒΑΙΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΝΟΡΜΕΣ. Σε πολλά προβλήµατα που έχουν να κάνουν µε την ευστάθεια συχνά χρησιµοποιούµε το όρο q Q για να δηλώσουµε το όριο αβεβαιότητας των διανυσµάτων µε τις αβέβαιες παραµέτρους q. Οι δυο πιο σηµαντικές νόρµες που χρησιµοποιούµε στα αβέβαια συστήµατα είναι η µέγιστη νόρµα νόρµαl 2.Η µέγιστη νόρµα (max orm) δίνεται από την σχέση q = max q (1.2.1) ενώ η ευκλείδεια νόρµα (Euclda orm) δίνεται από την σχέση l και η ευκλείδεια 7

8 q = q 2 = 1 l (1.2.2) σχέση Με 1 l ορίζουµε την νόρµα διαµάντι (damod orm) η οποία δίνεται από την q 1 = l q (1.2.3). = 1 Σε µερικές περιπτώσεις µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και βάρη αντί για νόρµες. Για παράδειγµα έστω ότι έχουµε τα βάρη w1, w2, KK, τα οποία είναι θετικά, µε βάση την ευκλείδεια νόρµα προκύπτει η σχέση w l 2 2 l w q 1 (1.2.4) = 1 οπού µπορεί να απεικονιστεί γραµµικά σαν έλλειψη. 1.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΩΝ. Μια αβέβαιη συνάρτηση µαζί µε το όριο αβεβαιότητας ορίζουν µια οικογένεια συναρτήσεων. Έστω ότι έχουµε το αβέβαιο πολυώνυµο P( s, q ) µε όριο αβεβαιότητας Q τότε η οικογένεια του πολυωνύµου ορίζεται ως P= { p(., q) : q Q}. Αντίστοιχα αν έχουµε µια συνάρτηση µεταφοράς, που δίνεται από την σχέση P( s, q) = ( s, q) όπου ( s, q) και D( s, q ) είναι πολυώνυµα τότε ορίζουµε τις D( s, q) σχέσεις = { (., q) : q Q} και D= { D(., q) : q Q} για να δηλώσουµε τις οικογένειες του ( s, q) και D( s, q) αντίστοιχα. Αν το A( q) είναι πίνακας ο οποίος εξαρτάται από την µεταβλητή q η οικογένεια του πίνακα δίνεται από την σχέση A= { A( q) : q Q}. Είναι σηµαντικό να γίνει διαχωρισµός µεταξύ των αβέβαιων µεταβλητών και των οικογενειών. Το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q ) και η οικογένεια πολυωνύµων P= { p(., q) : q Q} είναι διαφορετικές έννοιες. Το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q ) είναι συνδυασµός του αβέβαιου ορίου Q και της οικογένειας πολυωνύµων P. 8

9 Κεφάλαιο 2 ο ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουµε τα προβλήµατα που προκύπτουν προσπαθώντας να ορίσουµε την έννοια της εύρωστης ευστάθειας. Θα εισάγουµε κάποιες βασικές έννοιες οι οποίες αφορούν οικογένειες πολυώνυµων ή πινάκων οι οποίες περιγράφονται από µία µόνο αβέβαιη παράµετρο καθώς και θα παρουσιαστούν αρκετά παραδείγµατα. 2.1 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ. Πολλές οικογένειες πολυωνύµων αλλά και πινάκων περιγράφονται µε µία µόνο παράµετρο. Οι λόγοι για τους οποίους γίνεται από είναι τρεις. Πρώτον για λόγους κατανόησης, καθώς η χρήση µιας µόνο παραµέτρου διευκολύνει κάποιον να κατανοήσει πιο γρήγορα τις πράξεις που γίνονται και τον τρόπο µε τον οποίο προκύπτουν τα αποτελέσµατα. εύτερον η χρήση µιας µόνο παραµέτρου παράγει πιο έγκυρα αποτελέσµατα σε σχέση µε αυτά των δύο ή και περισσότερων παραµέτρων. Τέλος υπάρχουν περισσότερα θεωρητικά αποτελέσµατα για την εύρωστη ευστάθεια πολυωνύµων µε µια αβέβαια παράµετρο. Αρχίζουµε µε κάποιους βασικούς ορισµούς. Πολυώνυµο (Polyomal): Μια συνάρτηση p : R R ονοµάζεται πολυώνυµο ή πολυωνυµική συνάρτηση αν υπάρχει πεπερασµένη ακολουθία ( a, a,, a ) R LL τέτοια ώστε να ισχύει k= 1 k p( x) = a + a x, x R k= 1 k. Η ταυτότητα k p( x) = a + a x ονοµάζεται αναπαράσταση του πολυωνύµου p και τα k a, a1, LL, a συντελεστές του πολυωνύµου. Η αναπαράσταση του πολυωνύµου είναι µοναδική. Ευστάθεια (Stablty): Ένα πολυώνυµο p( s ) είναι ευσταθές όταν όλες οι ρίζες του βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. 9

10 Εύρωστη Ευστάθεια (Robust Stablty): Μια οικογένεια πολυωνύµων P= { p(., q) : q Q} είναι εύρωστα ευσταθής εάν για όλα τα q Q οι ρίζες των p( s, q ) βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Στα παρακάτω παραδείγµατα θα εξετάσουµε την ευστάθεια µιας οικογένειας πολυωνύµων : ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Ευστάθεια πολυωνύµων ) 1 Έχουµε την συναρτήσεων µεταφορών P( s, q) = ( s q) όπου το q 2. Όταν το σύστηµα ισορροπεί συνδέεται µε µία ανάδραση C( s ) = 1 και αποκτά την εξής µορφή 1 H ( s, q) = p( s, q) όπου p ( s, q ) = s+ 1 q. + p( s, q) C( s) Από τον παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς H ( s, q ) προκύπτει ότι έχει µία µονή ρίζα την s ( q) 1 q 1 = +. Στο συµπέρασµα στο οποίο καταλήγουµε είναι ότι η οικογένεια H ( s, q ) δεν είναι εύρωστα ευσταθής επειδή για q 1 η ρίζα s 1 ( q ) βρίσκεται στο δεξί µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Εποµένως για τα όρια αβεβαιότητας που είναι q r, εύκολα µπορούµε να πούµε ότι η οικογένεια H ( s, q) είναι εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν ισχύει r< 1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Ευστάθεια πολυωνύµων ) 1

11 Έχουµε το αβέβαιο πολυώνυµο 2 p( s, q) = s + (2 q) s+ (3 q) του οποίου οι συντελεστές είναι θετικοί µε q Q= [, 4]. Χρησιµοποιώντας την διακρίνουσα βρίσκουµε τις εξής δύο ρίζες: 2 q q s1,2 = {( 1 + ) ± j( 8 ) αν q q 8 s j q ,2 = {( 1 + ) ± ( ) αν 2 2 q 4 Άρα το πολυώνυµο p( s, q) είναι εύρωστα ευσταθές όταν q ' Q = (, 2]. Στο συµπέρασµα το οποίο καταλήγουµε είναι ότι η οικογένεια πολυωνύµων P= { p(., q) : q Q} δεν είναι εύρωστα ευσταθή. 2.2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΡΙΖΩΝ. Το p( s, q) είναι ένα αβέβαιο πολυώνυµο το οποίο έχει µία µόνο αβέβαιη παράµετρο η οποία εισάγεται γραµµικά στους συντελεστές. Ένας γραφικός τρόπος για να ελέγξουµε την εύρωστη ευστάθεια σε ένα σύστηµα είναι ο γεωµετρικός τόπος ριζών. Έστω το παρακάτω σύστηµα ανάδρασης + K G( s) όπου G( s) = ( s) και K είναι συναρτήσεις µεταφοράς δύο συστηµάτων. Η D( s) συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος θα είναι 11

12 G( s) K ( s) T ( s) = = 1 + G( s) K D( s) + ( s) K όπου K είναι ο συντελεστής κέρδους. Οι ρίζες της εξίσωσης D( s) + ( s) K = µας δίνει τους πόλους του συστήµατος.η θέση των πόλων στο µιγαδικό επίπεδο αλλάζει καθώς µεταβάλλουµε το K. Αν θέσουµε K πολύ κοντά στο τότε οι πόλοι του κλειστού συστήµατος θα είναι πολύ κοντά µε τους πόλους του ανοιχτού συστήµατος G(s). Όταν το K λαµβάνει πολύ µεγάλες τιµές τότε οι πόλοι του κλειστού συστήµατος τείνουν να συµπέσουν µε τα µηδενικά του ανοιχτού συστήµατος όταν αυτά είναι αρκετά, αλλιώς πάνε στο άπειρο. Εποµένως το Κ ανήκει στο διάστηµα K [,1). Το γράφηµα που δείχνει πως µεταβάλλονται οι πόλοι του κλειστού συστήµατος στο µιγαδικό επίπεδο όταν αυξάνεται το K ονοµάζεται γεωµετρικός τόπος ριζών. Γεωµετρικός τόπος (Root Locus): Είναι µια τροχιά σηµείων στο µιγαδικό επίπεδο, πάνω στην οποία κινούνται οι ρίζες ενός συστήµατος καθώς µεταβάλλεται κάποια συγκεκριµένη παράµετρος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Γεωµετρικός τόπος) Έχουµε το αβέβαιο πολυώνυµο 2 p( s, q) = s + (2 q) s+ (3 q) το οποίο µπορεί να γραφεί και µε την µορφή 2 p( s, q) = ( s + 2s+ 3) q( s+ 1). Θεωρούµε το σύστηµα ( s+ 1) P( s, q) = 2 s + 2s+ 3 όπου q είναι το κέρδος και το οποίο συνδέεται µε µία µοναδιαία ανάδραση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. 12

13 + q ( s+ 1) 2 s + s+ 3 Αν το αβέβαιο όριο Q έχει διαστάσεις [ q, q + ] µας ενδιαφέρει το µέρος του γεωµετρικού τόπου που αντιστοιχεί στο q που είναι µεταξύ του q και του q +. 2 Root Locus 1.5 Imagary Axs System: ll Ga: 1 Pole: Dampg:.357 Overshoot (%): 99.9 Frequecy (rad/sec): Real Axs Γενικεύοντας την έννοια του γεωµετρικού τόπου υποθέτουµε ότι το πολυώνυµο p( s, q) έχει βαθµό για όλα q Q και αβέβαιους συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται γραµµικά από την αβέβαιη παράµετρο q, ο συντελεστής a ( q) του p( s, q) είναι της µορφής s του 13

14 όπου a και a ( q) = a q+ β β είναι πραγµατικοί συντελεστές. Λαµβάνοντας υπόψη την µορφή του a ( q) το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q ) γράφεται p( s, q) = p ( s) + qp ( s) 1 όπου το πολυώνυµο p ( ) s είναι ευσταθές µε θετικούς συντελεστές. Μπορούµε να µελετήσουµε την εύρωστη ευστάθεια γεωµετρικού τόπου για το σύστηµα P( s) = p1 ( s) p ( s) χρησιµοποιώντας το διάγραµµα του το οποίο συνδέεται µε την µοναδιαία ανάδραση και το κέρδος q όπως φαίνεται στο σχήµα. + q p1( s) p ( s) Κάτι τέτοιο είναι δυνατόν καθώς το κλειστό σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς µε παρονοµαστή p( s, q ). Η βασική συνθήκη που πρέπει να ισχύει για τον εύρωστη ευστάθεια είναι ότι κάθε ρίζα του πολυωνύµου που είναι µέσα στο διακεκριµένο σύνολο του γεωµετρικού τόπου πρέπει να βρίσκεται στο αριστερό µιγαδικό επίπεδο. Ωστόσο αυτή η ερµηνεία δεν είναι και η καλύτερη γιατί αφορά τα συστήµατα των οποίων οι συντελεστές εξαρτώνται γραµµικά από µια παράµετρο q. Αν οι συντελεστές εξαρτώνται από την µεταβλητή q και είναι µη γραµµικοί δεν υπάρχει σύστηµα ανάδρασης που να σχετίζεται µε προβλήµατα και µε τους κανόνες του γεωµετρικού τόπου. 2.3 ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΒΑΘΜΟΣ. 14

15 Υποθέτουµε ότι το πολυώνυµο p( s, q) έχει βαθµό για όλα τα q Q. Το αντικείµενο αυτής της παραγράφου είναι να ορίσουµε την έννοια του σταθερού βαθµού για το πολυώνυµο p( s, q ). Σταθερός Βαθµός (Ivarat Degree): Μια οικογένεια πολυωνύµων η οποία περιγράφεται από την σχέση P= { p(., q) : q Q} λέγεται ότι είναι σταθερού βαθµού αν ισχύει η εξής σχέση 1 2 deg p( s, q ) deg p( s, q ) = για κάθε 1 2 q, q Q. Αν το αβέβαιο πολυώνυµο περιγράφεται από την σχέση p( s, q) = a ( q) s τότε η = οικογένεια P είναι σταθερού βαθµού αν και µόνο αν το a( q) για όλα τα q Q. 2.4 ΚΡΙΤΗΡΙΟ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ ΓΙΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ. Θεωρούµε το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q) = p( s) + qp1 ( s) µε αβέβαια όρια τα οποία κυµαίνονται Q= [ q, q + ]. Στην παράγραφο αυτή αντί να χρησιµοποιήσουµε το γεωµετρικό τόπο ριζών, θα παρέχουµε άλλους τρόπους λύσεων για να αντιµετωπίσουµε τα προβλήµατα που αφορούν την εύρωστη ευστάθεια. Χρησιµοποιούµε τους συντελεστές p ( s ) και p ( ) 1 s για να ορίσουµε πίνακες των οποίων οι ιδιοτιµές µας λένε τι πρέπει να γνωρίζουµε σχετικά µε την εύρωστη ευστάθεια. Υποοικογένειες (Subfamles): Θεωρούµε το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q) = p ( s) + qp ( s). Το πολυώνυµο p ( ) s είναι ευσταθές. Το αβέβαιο όριο 1 δίνεται από το διάστηµα Q= [ q, q ] όπου q και q +. Ορίζουµε τις υποοικογένειες και + + P( q ) = { p(., q) : q q } P( q ) = { p(., q) : q q } οι οποίες προέρχονται από την πολυωνυµική οικογένεια P= { p(., q) : q Q}. Μέγιστο ευσταθές διάστηµα (Maxmal Stablty Iterval ): Με βάση την υποοικογένεια P( q + ) το θετικό (δεξί) όριο ευστάθειας της οικογένεια δίνεται από τον τύπο 15

16 + + + P( q ) = sup{ q : P( q ) είναι εύρωστα ευσταθές}, Αντίστοιχα µε βάση την υποοικογένεια P q _ ( ) το αρνητικό (αριστερό) εύρωστο όριο δίνεται από τον τύπο _ P( q ) = f{ q : P( q ) είναι εύρωστα ευσταθές } Τέλος το διάστηµα Q = ( q, q ) (2.4.1) + max m max µας δίνει το µέγιστο διάστηµα της εύρωστης ευστάθειας. Ο Πίνακας του Hurwtz ( Hurwtz Matrx): Έστω το πολυώνυµο p( s) = a s + a s + LL + a s+ a όπου a >, ο πίνακα ορίζεται ως H ( p) a 1 a 3 a a 2 M M a O 1 = a a M M a a 1 a 2 ο οποίος ονοµάζεται Πίνακας Hurwtz που αντιστοιχεί στο πολυώνυµο p( s ) Κριτήριο ευστάθειας Hurwtz (Hurwtz Stablty Crtero): Το πολυώνυµο p( s ) είναι ευσταθές εάν και µόνο αν όλες οι πρωταρχικές ελάσσονες ορίζουσες του πίνακα H ( p ) είναι θετικές. Η πρώτη πρωταρχική ελάσσονα (frst prcpal mors) δίνεται από την σχέση 1 = α 1ενώ η δεύτερη (secod prcpal mors) από την σχέση 2 = det a a 1 3 a a 2 Και η τελευταία πρωταρχική ελάσσονα ορίζουσα (last prcpal mor) ισούται = det H ( p) 16

17 Ορισµός των ιδιοτιµών λ+ ( M ) max και λ ( M ) m : Σε ένα πίνακα M διαστάσεων συµβολίζουµε µε λ+ ( M ) max την µέγιστη πραγµατική θετική ιδιοτιµή του M.Όταν ο πίνακας M δεν έχει κάποια µέγιστη πραγµατική θετική ιδιοτιµή τότελ + max ( M ) = +. Αντίστοιχα σε ένα πίνακα M διαστάσεων ορίζουµε µε λ ( M ) m την ελάχιστη πραγµατική αρνητική ιδιοτιµή του M. Όταν ο πίνακας M δεν έχει κάποια ελάχιστη πραγµατική αρνητική ιδιοτιµή τότε λ ( M ) m =. Κριτήριο Ιδιοτιµών (Egevalue Crtero): Θεωρούµε το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q) = p ( s) + qp ( s), το p( s,) = p ( s) είναι ευσταθές και έχει θετικούς 1 o συντελεστές και ισχύει η σχέση deg p( s) > deg p1 ( s).τότε τα όρια του διαστήµατος για την εύρωστη ευστάθεια δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις και q = 1 ( ( ) ( )) + max + 1 λmax H p H p1 (2.4.2) q = 1 ( ( ) ( )) m _ 1 λm H p H p1 (2.4.3). 2.5 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ. Για την παραγωγή αναλυτικότερων αποτελεσµάτων µερικές φορές είναι πιο εύκολο να περιγράψουµε το p( s, q) = p( s) + qp1 ( s) σαν ένα πολυώνυµο που έχει µια q µόνο παράµετρο αβεβαιότητας τηνλ. Αν αντικαταστήσουµε στην σχέση λ= q + το q= q λ= και q q λ 1 = = εποµένως το [,1] + q q + λ. Με Q= [ q, q + ] η οικογένεια πολυωνύµων έχει σαν ακραία όρια τα p( s, q ) και p( s, q + ). Εκφράζουµε το p( s, q ) σαν ένα γραµµικό συνδυασµό των p( s, q ) και p( s, q + ) και µε βάση την σχέση προκύπτει ότι q λ= q + q q + 17

18 p( s, q) = λ p ( s, q ) + (1 λ) p ( s, q ). + 1 Αντιστρόφως αν αντιστοιχίσουµε το [,1] ότι p( s, λ) = p( s, q). ίνοντας αυτή την σχέση µεταξύ q Q λ µε το q [ q, q + ] θα προκύψει και λ [,1] είναι πιο εύκολο είτε να δουλέψουµε µε την αυθεντική οικογένεια πολυωνύµων είτε µε τις ισοδύναµες οικογένειες [ ] P= { p(., λ) : λ,1 } που παράγει το πολυώνυµο p( s, q) = λ p ( s) + (1 λ) p ( s) 1 όπου p ( s) και p ( s) 1 είναι πολυώνυµα χωρίς αβεβαιότητα. Εποµένως ισχύει ότι P = P. Ένας τρόπος για να ελέγξουµε την ευστάθεια ενός πολυωνύµου είναι µέσα από το θεώρηµα του Balas [3]. Θεώρηµα Balas 1985 (Balas 1985): Θεωρούµε την οικογένεια των πολυωνύµων P η οποία περιγράφετε από την σχέση p( s, λ) = λ p( s) + (1 λ) p1( s) µε [,1] λ όπου p ( s) και p ( ) 1 s είναι πολυώνυµα. Το p ( s) είναι ευσταθές µε θετικούς o συντελεστές και το = deg p( s) > deg p1 ( s). H οικογένεια P είναι εύρωστα o ευσταθής αν και µόνο αν ο πίνακας ιδιοτιµές (µπορεί να περιέχει και το µηδέν). 1 H p H p1 ( ) ( ) δεν έχει πραγµατικές µη θετικές 2.6 ΠΙΝΑΚΕΣ. Στην παράγραφο αυτή παραθέτουµε τα βήµατα που απαιτούνται για να γενικεύσουµε το θεώρηµα των ιδιοτιµών της σελίδας 16 για τους πίνακες. Θεωρούµε το αβέβαιο πίνακα που έχει την µορφή A( q) = A + qa (2.6.1) 1 όπου A και A 1 είναι σταθεροί πίνακες διαστάσεων. Υποθέτουµε ότι το A είναι ευσταθής πίνακας. Ορίζουµε το αρνητικό (αριστερό) και το θετικό (δεξί) εύρωστο όριο όπως κάναµε και στις πολυωνυµικές οικογένειες. Οι υποοικογένειες των πινάκων δίνονται από τους ορισµούς : + + A( q ) = { A( q) : q q } (2.6.2) και 18

19 A( q ) = { A( q) : q q } (2.6.3) µε βάση τις παραπάνω σχέσεις τα όρια ορίζονται ως εξής και qmax = sup{ q : A( q ) είναι εύρωστα ευσταθές } q = q A q είναι εύρωστα ευσταθές }, _ m f{ : ( ) η οικογένεια A( q ) είναι ευσταθής αν κάθε A A( q) έχει όλες τις ιδιοτιµές του στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο ή ισοδύναµα αν το πολυώνυµο είναι ευσταθές για όλα τα A A. p ( ) det( ) A s = si A (2.6.3) Όταν οι διαστάσεις του πίνακα είναι και ανήκουν στην οικογένεια 2 2 A + + ο πίνακας της A ( q) έχει την µορφή A ( q) = A + qa όπου A + και A + 1 είναι πίνακες διαστάσεων. Τα µη µοναδιαία ορίσµατα που 2 2 δίνονται από τους πίνακες H ( p) + qh ( q1) αντικαθιστούνται τώρα τα ορίσµατα που + + περιλαµβάνουν A + qa1. Πράξεις Kroecker (Kroecker Operatos): Υποθέτουµε ότι A και B είναι τετραγωνικοί πίνακες µε διαστάσεις 1 και 2 αντίστοιχα. Ο πολλαπλασιασµός Kroecker A B είναι τετραγωνικός πίνακας µε διστάσεις 1 2.To άθροισµα Kroecker A B έχει και αυτό επίσης διαστάσεις 1 2 και δίνεται από τον τύπο A B= A I + I B (2.6.4) 2 1 όπου Ik δηλώνει την ταυτότητα του πίνακα. Τέλος η διαφορά Kroecker AΘ B δίνεται από τον τύπο AΘ B= A ( B) (2.6.5). Σε ειδικές περιπτώσεις όταν ο πίνακας A είναι διαστάσεων και έχει την µορφή A A. Χρησιµοποιώντας την σχέση A A= A I + I A (2.6.6) 19

20 είναι εύκολο να δούµε ότι το A A είναι διαστάσεων πίνακας και ότι για το 2 2 (,j)-στοιχείο έχουµε A+ aj I όταν = j και aj I για j. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Πράξεις Kroecher) Έχουµε τους παρακάτω πίνακες 1 2 A 5 6 = 3 4 και B= 7 8 να υπολογιστούν τα A B και A B οι οποίοι θα είναι πίνακες 4 4 διαστάσεων. Μετά από απλές πράξεις προκύπτει ότι A B= A B= + = Με την βοήθεια του κριτηρίου των ιδιοτιµών της σελίδας 16 και των πράξεων Kroecher µπορούµε να ορίσουµε τα όρια εύρωστης ευστάθειας της δεξιάς και αριστερής πλευράς µε µία διαφορετική µορφή. Αν αντικαταστήσουµε την σχέση H ( p ) ( ) o = qh p1 µε την σχέση A Ao = q A1 A1 δεξιάς πλευράς µπορούν να περιγραφούν ως εξής και q q = + max + 1 λmax A A A1 A1 = ( ) ( ) τα όρια της αριστερής και της 1 ( ( ) ( )) 1 ( ( ) ( )) m 1 λm A A A1 A1 (2.6.7) (2.6.8) 2

21 Κεφαλαίο 3 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ 3.1ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΒΕΒΑΙΗ ΟΜΗ. Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουµε την έννοια της ανεξάρτητης αβέβαιης δοµής. Το πιο συναρπαστικό κίνητρο για την µελέτη της ανεξάρτητης αβέβαιης δοµής προέρχεται από το ακόλουθο σενάριο : Ένας µηχανικός παράγει ένα σταθερό µοντέλο για ένα σύστηµα ελέγχου και αποκτά το πολυώνυµο p( s ). Παρόλο που η παρουσία της αβεβαιότητας είναι άγνωστη, η εξάρτηση από την µεταβλητή q είναι περίπλοκη. Η αβέβαιη δοµή είναι πολύ πολύπλοκη για να την αναλύσουµε µαθηµατικά, είναι ωστόσο σηµαντικό να γνωρίζουµε και το βαθµό ευστάθειας. Χρησιµοποιώντας την ανεξάρτητη αβέβαιη δοµή µπορούµε να βρούµε σε τι ποσοστό ανέρχεται η απόκλιση των συντελεστών του πολυωνύµου p( s ). Ανεξάρτητη αβέβαιη δοµή (Idepedet Ucertaty Structure): Θα λέγεται ότι το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q) = a ( q) s (3.1.1) = έχει µια ανεξάρτητη αβέβαιη δοµή εάν κάθε συντελεστή του πολυωνύµου. q από τα q υπάρχει σε ένα µόνο 3.2 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΟΠΟΥ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ. Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουµε τις πολυωνυµικές οικογένειες των οποίων οι συντελεστές είναι σε διάστηµα καθώς και την έννοια του lumpg. Με την έννοια του lumpg εννοούµε τον συνδυασµό αβέβαιων παραµέτρων q έτσι ώστε να προκύψει ένας µικρότερος αριθµός παραµέτρων που περιγράφουν την πολυωνυµική οικογένεια. Ορίζουµε P= { p(., q) : q Q} την lumpg εκδοχή της αρχικής οικογένειας P. Πολυωνυµικές οικογένειες όπου οι συντελεστές τους είναι σε διάστηµα (Iterval Polyomal Famly): Μια οικογένεια πολυωνύµων P= { p(., q) : q Q} λέγεται ότι 21

22 είναι πολυωνυµική οικογένεια µε συντελεστές σε διάστηµα εάν το p( s, q ) έχει µια ανεξάρτητη αβέβαιη δοµή σε κάθε συντελεστή. Ένα αβέβαιο πολυώνυµο που έχει την µορφή p( s, q) = q s όπου = q q q + µπορεί να συµβολιστεί και ως + p( s, q) = [ q, q ] s (3.2.1) = + όπου µε [ q, q ] δηλώνουµε το διάστηµα των ορίων για το -στοιχείο της αβεβαιότητας q. Το πολυώνυµο p( s, q ) ορίζεται σαν ένα πολυώνυµο όπου οι συντελεστές του είναι σε διάστηµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Απλό πολυώνυµο µε συντελεστές σε διάστηµα) Στο παράδειγµα αυτό θα δούµε µε πιο τρόπο µπορούµε να γράψουµε ένα πολυώνυµο που έχει συντελεστές σε διάστηµα. Μια πολυωνυµική οικογένεια P µε συντελεστές σε διάστηµα µπορεί να γραφτεί ως : p( s, q) = (5 + q ) s + (3 + q ) s + (2 + q ) s + (4 + q ) s+ (6 + q ) όπου τα αβέβαια όρια q 1 για κάθε = 1, 2,3, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Σταθεροί συντελεστές) Ο ορισµός του πολυωνύµου όπου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα δεν αποκλείει και την πιθανότητα ότι µερικοί συντελεστές του p( s, q ) µπορεί να είναι σταθεροί αριθµοί και να µην περιέχουν αβεβαιότητα. Παραδείγµατος χάριν το p( s, q) = (5 + q ) s + 3 s + (2 + q ) s + (4 + q ) s ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Lumpg για πολυώνυµα σε διάστηµα) Έχουµε το παρακάτω πολυώνυµο p( s, q) = s + (5+ q + 2 q ) s + (6+ 2q + 5 q ) s+ (3 + q ) µε όρια q.5 για κάθε = 1,2,3, 4. Παρατηρούµε ότι η αβέβαιη αναπαράσταση του πολυωνύµου περιέχει πλεονάζοντα στοιχεία. Εφαρµόζουµε «Lumpg» στις παραµέτρους του πολυωνύµου και υλοποιούµε τα εξής τρία βήµατα : 1 ο ΒΗΜΑ 22

23 Ορίζουµε τις νέες παραµέτρους: q2 = 5 + q2 + 2q3, q1 = 6 + 2q1 + 5q4 και q = 3 + q. 2 ο ΒΗΜΑ q Ορίζουµε τα νέα αβέβαια όρια : , και ο ΒΗΜΑ q q Το νέο αβέβαιο πολυώνυµο που προκύπτει είναι το 3 2 p ( s, q ) s q 2 s q 1 s q = ΘΕΩΡΗΜΑ KHARITONOV. Το 1978 ο Ρώσος µαθηµατικός Vladmr L. Khartoov απέδειξε ότι προκειµένου να αποφανθούµε για την ευστάθεια µιας οικογένειας πολυωνύµων, των οποίων οι συντελεστές είναι σε διάστηµα αρκεί να ελέγξουµε την ευστάθεια τεσσάρων µόνο πολυωνύµων των λεγοµένων πολυωνύµων Khartoov [5]. Πριν όµως αναφερθούµε στο θεώρηµα του Khartoov για την εύρωστη ευστάθεια θα πρέπει να ορίσουµε πρώτα τα τέσσερα πολυώνυµα µε βάση τον ορισµό της πολυωνυµικής οικογένειας της οποίας οι συντελεστές είναι σε διάστηµα. Πολυώνυµα Khartoov (The Khartoov Polyomals): Από το πολυώνυµο που περιέχει συντελεστές σε διάστηµα και περιγράφεται από την σχέση p( s, q) = + q, q s = προκύπτει ότι υπάρχουν τέσσερα σταθερά πολυώνυµα που µπορούν να το περιγράψουν τα οποία ονοµάζονται πολυώνυµα Khartoov και ορίζονται ως εξής: K ( s) = q + q s+ q s + q s + q s + q s + q s +L K ( s) = q + q s+ q s + q s + q s + q s + q s +L K ( s) = q + q s+ q s + q s + q s + q s + q s +L K ( s) = q + q s+ q s + q s + q s + q s + q s +L ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ( Πολυώνυµο Khartoov ) Έχουµε το παρακάτω πολυώνυµο [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) = 1, 2 s + 3, 4 s + 5, 6 s + 7,8 s + 9,1 s+ 11,12 23

24 σύµφωνα µε το παραπάνω ορισµό τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K ( s) = 11+ 9s+ 8s + 6s + 3s + s K ( s ) = s+ 7 s + 5 s + 4 s + 2 s K ( s) = 12+ 9s+ 7s + 6s + 4s + s K ( s ) = s+ 8 s + 5 s + 3 s + 2 s Θεώρηµα Khartoov 1978a (Khartoov 1978a): Μια πολυωνυµική οικογένεια σταθερού βαθµού µε συντελεστές σε διάστηµα είναι εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν και τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov είναι ευσταθή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ( Ευστάθεια του πολυώνυµου Khartoov ) ίνεται η οικογένεια πολυωνύµων 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,1.25. Θα εξετάσουµε αν είναι ευσταθής µε βάση το θεώρηµα του Khartoov. Τα τέσσερα πολυώνυµα του Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.25 s K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.25 s 2 3 Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Hurwtz αποδεικνύεται ότι και τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov είναι ευσταθή άρα και το αρχικό πολυώνυµο θα είναι ευσταθές. 3.4 ΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΤΟΥ KHARITONOV. Ορίζουµε µε p( jω, Q) το παραλληλόγραµµο Khartoov για τις συχνότητες ω= ω. Το p( jω, Q) είναι ένα παραλληλόγραµµο του οποίου οι κορυφές του εξαρτώνται από τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov K1( s), K2( s), K3( s ) και K ( s ) 4 24

25 όπου s= jω. Ορίζουµε τις κορυφές του παραλληλογράµµου p( jω, Q) µε την βοήθεια των τεσσάρων πολυωνύµων Khartoov: Im Im K ( jω ) 4 p( jω, Q) Im K ( jω ) 3 Re K ( jω ) 1 Re K ( jω ) 2 Re Κάνοντας απλές πράξεις υπολογίζουµε τις κορυφές: Νοτιοδυτική κορυφή: Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = K ( jω ) Βορειοανατολική κορυφή: Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = K ( jω ) Νοτιοανατολική κορυφή: Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = K ( jω ) Βορειοδυτική κορυφή: Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = Re K ( jω ) + j Im K ( jω ) = K ( jω )

26 Im K ( jω ) 4 K ( jω ) 2 p( jω, Q) K ( jω ) 1 K ( jω ) 3 Re Παρατηρούµε ότι όλες οι κορυφές του τετραγώνου αντιστοιχούν σε ένα µοναδικό πολυώνυµο Khartoov. Κίνηση του τετραγώνου Khartoov (Moto of Khartoov Rectagle) Μέχρι τώρα η συζήτηση για το τετράγωνο Khartoov ήταν στο πλαίσιο όπου η συχνότητα παραµένει σταθερή ω= ω. Τώρα όµως θα εισάγουµε την έννοια της κίνησης της συχνότητας. Η συχνότητα ξεκινάει µε αρχική τιµή µηδέν ω= και αρχίζει να αυξάνεται. Η αύξηση της συχνότητας οδηγεί το τετράγωνο σε κίνηση. Το τετράγωνο κινείτε στο µιγαδικό επίπεδο και οι κορυφές του αποκτούνται από τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov. Γενικά οι διαστάσεις του τετραγώνου αλλάζουν ανάλογα µε την συχνότητα ω. Το παρακάτω σχήµα δείχνει το τετράγωνο Khartoov σε κίνηση, το τετράγωνο προκύπτει από το πολυώνυµο 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,

27 3.5 ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΠΟΦΥΓΗΣ ΤΟΥ ΜΗ ΕΝΟΣ. Ένας γραφικός τρόπος για να ελέγξουµε την ευστάθεια των πολυωνύµων που οι συντελεστές τους είναι σε διάστηµα είναι µέσα από την συνθήκη αποφυγής του µηδενός. Συνθήκη αποφυγής του µηδενός (Zero excluso codto): Υποθέτουµε την οικογένεια πολυωνύµων P= { p(., q) : q Q} της οποίας οι συντελεστές είναι σε διάστηµα. Η οικογένεια αυτή είναι σταθερού βαθµού και έχει τουλάχιστον ένα ευσταθές µέλος p s q (, ). Τότε η οικογένεια P είναι εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν το µηδέν δεν υπάρχει στο εσωτερικό κανενός τετραγώνου Khartoov δηλαδή ισχύει p( jω, Q) για όλες τις συχνότητες ω. 3.6 ΟΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ. Το 1988 οι Fu και Barmsh [4] κατέληξαν ότι υπάρχει ένα µέγιστο r για το οποίο όλα τα µέλη της οικογένειας είναι εύρωστα ευσταθή. Θεωρούµε ότι η οικογένεια έχει ευσταθές µέλος το p ( ) s και µεταβλητό αβέβαιο όριο r και ορίζεται ως εξής 27

28 1 p ( s, q) = p ( s) + r [ ε, ε ] s (3.6.1) r = Ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε το µέγιστο r για το οποίο όλα τα µέλη οικογένειας είναι εύρωστα ευσταθή. της r max = sup{ r : Pr είναι εύρωστα ευσταθές }. Για να υπολογίσουµε το r max θα πρέπει µε βάση το θεώρηµα του Khartoov να µετατρέψουµε το πρόβληµα του εύρωστου ορίου σε τέσσερα διαφορετικά 4 προβλήµατα για τα αβέβαια πολυώνυµα{ p ( s) + qp ( s )} = όπου 1, 1 p ( s) = ε ε s+ ε s + ε s ε s ε s + ε s +L ; , p ( s) = ε + ε s ε s ε s + ε s + ε s ε s L ; , p ( s) = ε ε s ε s + ε s + ε s ε s ε s +L ; , p ( s) = ε + ε s+ ε s ε s ε s + ε s + ε s L ; , Με βάση το θεώρηµα των ιδιοτιµών της σελίδας 16 και θεωρώντας το = 1, 2,3,4 αποκτάµε την σχέση r = m 1 ( ( ) ( )) max 4 1 λ + max H p H p1, (3.6.2). για το οποίο όλα τα µέλη της οικογένειας είναι ευσταθή. 3.7 ΕΥΡΩΣΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ. Η συνθήκη αποφυγής του µηδενός προτείνει µια απλή γραφική διαδικασία για να ελέγξει κάποιος την εύρωστη ευστάθεια. Η ευστάθεια της οικογένειας εξαρτάται από το αν ικανοποιείται η συνθήκη p( jω, Q) για κάθε τετράγωνο Khartoov p( jω, Q) του οποίου η συχνότητα ω κυµαίνεται από Q ως +. Αυτό οδηγεί στην επόµενη ερώτηση : Μπορούµε να βρούµε µερικές συχνότητες αποκοπής ω c > τέτοιες ώστε p( jω, Q) για όλα τα ω> ωc? Άρα ισοδύναµα, µπορούµε να τερµατίσουµε την συχνότητα σάρωσης στο ω c αντί για το άπειρο? Η ύπαρξη του ωc είναι εύκολη να αποδειχθεί χρησιµοποιώντας την συνθήκη + του σταθερού βαθµού. Υποθέτοντας ότι p( s, q) = [ q, q ] s και ότι q > για =,1LL και δίνοντας οποιοδήποτε q R είναι εύκολο να δούµε ότι για ω το = o 28

29 1 + = p( jω, Q q ω q ω (3.7.1). Από την στιγµή που το δεξί όριο τείνει στο + για ω + προκύπτει ότι για οποιοδήποτε υπόδειξη β > υπάρχει ένα ω > τέτοιο ώστε p( jω, Q τα ω> ωc. Οπότε p( jω, Q) για όλα τα ω> ωc. c β για όλα Στην πραγµατικότητα είναι εύκολο να υπολογίσουµε ένα κατάλληλο ω c. Για παράδειγµα µπορούµε να πάρουµε ωc έτσι ώστε να είναι η µεγαλύτερη πραγµατική ρίζα του πολυωνύµου f ( ω ) 1 + = 1 f ( ω) = q ω q ω (3.7.2). Άλλοι τρόποι για να υπολογίσουµε το ω c προτείνονται από τα κλασικά όρια των ριζών του πολυωνύµου. Σύµφωνα µε τον Marde (1966) [7], οι ρίζες του σταθερού θετικού πολυωνύµου p( s, q) = α s ανήκουν όλες σε έναν δίσκο. Η ακτίνα του δίσκου δίνεται από την σχέση max( α, α1, KK, α 1) R = 1 + a = o (3.7.3). Από το πολυώνυµο p( s, q ) µε q > προκύπτει ότι η κατάλληλη συχνότητα αποκοπής δίνεται από την παρακάτω σχέση max( q, q, KK, q ) ω = + (3.7.4). c q ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Υπολογισµός του ω c ) Θεωρούµε την πολυωνυµίκη οικογένεια P= { p(., q) : q Q} µε συντελεστές σε διάστηµα η οποία περιγράφεται ως εξής p( s, q) = s + [3.95, 4.5] s + [3.95, 4.5] s + [5.95, 6.5] s [2.95,3.5] s [1.95, 2.5] s [.45,.55] Σύµφωνα µε τον ορισµό της συνθήκης αποφυγής του µηδενός το πρώτο βήµα στην γραφική αναπαράσταση της εύρωστης ευστάθειας απαιτεί ότι τουλάχιστον ένα πολυώνυµο της οικογένειας P να είναι ευσταθές. Χρησιµοποιώντας το µέσο της κάθε διάστασης αποκτάµε το πολυώνυµο p( s, q ) = s + 4s + 4s + 6s + 3s + 2s+.5 του οποίου οι ρίζες είναι 29

30 s , s.1328±.9473 j, s =.731±.719 j και s 6 =.321. Στην 1 2,3 4,5 συνέχεια σύµφωνα µε τον ορισµό της συχνότητας αποκοπής που δώσαµε παραπάνω υπολογίζουµε την µεγαλύτερη πραγµατική ρίζα του πολυωνύµου f ( ω ), f ω ω ω ω ω ω ω ( ) = , Με βάση τον τύπο της συχνότηταςω βρίσκουµε ότι το ω και την c θεωρούµε ως την αποδεκτή συχνότητα αποκοπής που απαιτείτε για να σχεδιάσουµε το τετράγωνο του Khartoov. c 3.8 OVERBOUNDING ΓΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ. Όπως αναφέραµε στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου η ανεξάρτητη αβέβαιη δοµή µας περιορίζει, καθώς συνήθως στην πράξη οι αβέβαιες παράµετροι εισάγονται σε περισσότερο από ένα συντελεστή. Για να εξετάσουµε αυτή την «εξάρτηση» των αβέβαιων παραµέτρων υπάρχουν δυο εναλλακτικές: Η πρώτη εναλλακτική είναι η γενίκευση των θεωριών σε προβλήµατα µε εξαρτηµένη αβεβαιότητα, κάτι που σαν πρόβληµα δεν έχει ακόµα λυθεί. Η δεύτερη εναλλακτική είναι αυτή που ονοµάζεται «overboudg method» η οποία περιγράφεται παρακάτω. 3

31 Έχουµε το πολυώνυµο p( s, q ) το οποίο δεν χρειάζεται να έχει περισσότερες από µία ανεξάρτητες αβέβαιες παραµέτρους και επιπλέον το Q δεν είναι απαραίτητο να είναι τετράγωνο. Ξεκινάµε µε το αβέβαιο πολυώνυµο p( s, q) = α ( q) s και το αβέβαιο όριο Q. Υποθέτουµε ότι οι συντελεστές της = o συνάρτησης a ( q) εξαρτώνται από το q. Προσπαθώντας να µετατρέψουµε την οικογένεια αυτή σε οικογένεια µε συντελεστές σε διάστηµα, τα όρια των συντελεστών του πολυωνύµου ορίζονται ως: q = m a ( q) (3.8.1) q Q και + q = max a ( q) (3.8.2). q Q Εποµένως η πολυωνυµική οικογένεια P µε βάση τα όρια που ορίσαµε παραπάνω µπορεί να περιγραφεί από τον παρακάτω τύπο + p( s, q) = [ q, q ] s (3.8.3) = Τα πολυώνυµα της οικογένειας P περιέχονται στην P.Άρα η εύρωστη ευστάθεια της P συνεπάγεται την εύρωστη ευστάθεια της P, χωρίς όµως να ισχύει το αντίστροφο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Επιτυχία του overboudg ) Θεωρούµε την οικογένεια πολυωνύµων P η οποία περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση p( s, q) = s + (5+.2q q +.1q.1 q ) s + (6+ 3q q 4 q ) s + (6+ 6q 8 q ) s+ (.5 3 q q ) και τα αβέβαια όρια q.25 για = 1, 2. Θα πρέπει να προσδιορίσουµε αν η οικογένεια P είναι εύρωστα ευσταθής. 1 ο ΒΗΜΑ Υπολογίζουµε τα όρια 31

32 q = m a ( q) = m (.5 3 q q ) =.3125; q Q q.25 q = max a ( q) = max (.5 3 q q ) =.6875; q Q q.25 q = m a ( q) = m (6+ 6q 8 q ) = 2.5; q Q q.25 q = max a ( q) = max (6+ 6q 8 q ) = 9.5; q q Q q.25 = m a ( q) = m (6+ 3q q 4 q ) = ; q Q q.25 q = max a ( q) = max (6+ 3q q 4 q ) = ; q Q q.25 q = m a ( q) = m (5+.2q q +.1q.1 q ) = ; q + + q Q q.25 = max a ( q) = max ( 5+.2q1q2 +.1q1.1 q2) = 5.375; q Q 3.25 q.25 2 ο ΒΗΜΑ Ορίζουµε την πολυωνυµική οικογένεια P που χρησιµοποιείται p( s, q) = s + [4.9475,5.375] s + [4.8125, ] s + [2.5,9.5] s+ [.3125,.6875]. 3 ο ΒΗΜΑ Τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K ( s) = s s s + s K ( s) = s s s + s K ( s) = s s s + s K ( s) = s s s + s Με βάση το θεώρηµα του Khartoov για την οικογένεια P,είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ότι και τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov είναι ευσταθή. Από την εύρωστη ευστάθεια της P καταλήγουµε ότι και η αρχική οικογένεια P είναι ευσταθής. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Αποτυχία του overboudg): Στο παράδειγµα αυτό θα δείξουµε πως µπορεί να αποτύχει η µέθοδος overboudg. Θεωρούµε την ευσταθή οικογένεια πολυωνύµων P όπως δίνεται από τους We και Yedavall (1989) [9], που περιγράφεται ως εξής p( s, q) = s + s + 2qs + s+ q µε το αβέβαιο όριο να είναι Q= [1.5,4]. Ξέρουµε ότι η P είναι εύρωστα ευσταθής, η overboudg οικογένεια που παράγεται από την P είναι η 32

33 4 3 2 p( s, q) = s + s + [3,8] s + s+ [1.5, 4]. Τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν οικογένεια είναι τα εξής: από την overboudg K ( s) = 1.5+ s+ 8s + s + s K ( s) = 4+ s+ 3s + s + s K ( s) = 4+ s+ 3s + s + s K ( s) = 1.5+ s+ 8s + s + s Ελέγχοντας την ευστάθεια των πολυωνύµων Khartoov βρίσκουµε ότι τα πολυώνυµα K ( s) και 2 K ( ) 3 s δεν είναι ευσταθή. 33

34 Κεφάλαιο 4 ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ KHARITONOV 4.1 ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕ ΒΑΘΜΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΤΟΥ ΠΕΝΤΕ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ. Το αντικείµενο αυτής της παραγράφου είναι να αποδείξουµε ότι λιγότερα από τέσσερα πολυώνυµα Khartoov χρειάζονται για να ελέγξουµε την εύρωστη ευστάθεια σε πολυώνυµα που έχουν βαθµό πέντε ή και µικρότερο. Σε αυτό το συµπέρασµα κατέληξαν οι Aderso, Jury και Masour το 1987 [1]. Απλοποιηµένο θεώρηµα του Khartoov για βαθµό =3 (Smplfed Khartoov Theorem for Degree =3 ): Θεωρούµε µια οικογένεια πολυωνύµων P σταθερού βαθµού µε = 3 και q >. Τότε το P είναι εύρωστα ευσταθές αν και µόνο αν το πολυώνυµο του Khartoov K 3 ( s) είναι ευσταθές. Αποτέλεσµα για = 4. Θεωρούµε την πολυωνυµική οικογένεια P η οποία έχει τους συντελεστές της σε διάστηµα µε σταθερό βαθµό = 4 και αρνητικό συντελεστή ορίου µεγαλύτερο του µηδενός q >.Για =4 το P είναι εύρωστα ευσταθές αν και µόνο αν τα δύο πολυώνυµα Khartoov K ( s ) και 2 K ( ) 3 s είναι ευσταθή. 4.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΙΑΣΤΗΜΑ. Στην εισαγωγή ορίσαµε συστήµατα τα οποία περιέχουν συναρτήσεις µεταφοράς µε αβεβαιότητα. Τώρα θα ορίσουµε συστήµατα τα οποία περιέχουν συναρτήσεις µεταφοράς µε συντελεστές σε διάστηµα. Σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς της οποίας οι συντελεστές είναι σε διάστηµα (terval plat): Μια οικογένεια συστηµάτων µε συνάρτηση µεταφοράς της οποίας οι συντελεστές είναι σε διάστηµα P περιγράφεται από την σχέση ( s, q) P( s, q, r) = (4.2.1) D( s, r) όπου ( s, q ) είναι ο αβέβαιος πολυωνυµικός αριθµητής ο οποίος ορίζεται ως m ( s, q) = q s και D( s, r) = είναι ο αβέβαιος πολυωνυµικός παρανοµαστής ο οποίος ορίζεται ως D( s, r) = r s.με Q και R ορίζουµε τα αβέβαια όρια των = q και r αντίστοιχα. Μπορούµε να ορίσουµε την σχέση (4.2.1) και ως 34

35 P( s, q, r) = m = = + q, q s + r, r s (4.2.2) Επίσης η πολυωνυµική οικογένεια P ορίζεται για την σχέση (4.2.2) ως P= { P(., q, r) : q Q; r R}. Όταν το m και έχοντας µια µοναδιαία ανάδραση µπορούµε να ορίσουµε όλες τις αβεβαιότητες για το πολυώνυµο του παρονοµαστή του κλειστού συστήµατος. Η σχέση που προκύπτει είναι η ακόλουθη m + + = = P( s, q, r) = q, q s + r, r s m + + +,, = = m+ 1 = q + r q + r s + r r s (4.2.3) 4.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ H ( ω ). Στην παράγραφο αυτή θα δούµε ότι µπορούµε να µελετήσουµε την εύρωστη ευστάθεια ελέγχοντας την θετικότητα της συνάρτησης H ( ω ). Αντί να εξετάσουµε το δυο διαστάσεων τετράγωνο του Khartoov µπορούµε να εξετάσουµε το σχήµα της συνάρτησης H ( ω ) και να καθορίσουµε αν η οικογένεια του πολυωνύµου P είναι εύρωστα ευσταθής. Το θεώρηµα του Barmsh [2] µας δίνει µια εναλλακτική στο θεώρηµα το Khartoov. Θεώρηµα Barmsh 1989 (Barmsh 1989): Ορίζουµε οικογένεια σταθερού βαθµού µε συντελεστές σε διάστηµα η οποία τουλάχιστον από ένα ευσταθές ως P µια πολυωνυµική αποτελείται µέλος και της αντιστοιχούν τα πολυώνυµα του Khartoov K ( s ), K ( s ), K ( s) και K ( ) s.τότε θεωρώντας την συνάρτηση H ( ω) = max{re K ( jω), Re K ( jω), Im K ( jω), Im K ( jω)} προκύπτει ότι η πολυωνυµική οικογένεια P είναι εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν για όλες τις συχνότητες ω. H ( ω ) > 35

36 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ( Υπολογισµός του H ( ω ) ) Στο παράδειγµα αυτό θα υπολογίσουµε την συνάρτηση µεταβολής συχνότητας H ( ω ). Θεωρούµε το παρακάτω πολυωνυµική οικογένεια µε συντελεστές σε διάστηµα 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.75,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.75,1.25. Για να εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Barmsh (1989) πρέπει η οικογένεια του πολυωνύµου να έχει τουλάχιστον ένα ευσταθές µέλος. Πράγµατι για q = q1 = q3 = 1.25 και q 2 = 3.25 η ευστάθεια επιβεβαιώνεται. Τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.75 s K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.75 s 2 3 Αντικαθιστώντας το s µε jω και κάνοντας υπολογισµούς βρίσκουµε ότι η συνάρτηση H ( ω ) ισούται µε H ( ω) = max{ ω, ω,.75ω ω, 1.25ω.75 ω }. Το παρακάτω σχήµα µας δείχνει το διάγραµµα της συνάρτησης H ( ω ) συναρτήσει της συχνότητας ω. 36

37 Η συνάρτηση παραµένει H ( ω) εύρωστα ευσταθής όσο είναι θετική για όλες τις συχνότητες ω. 4.4 ΕΥΡΩΣΤΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ. Στην εύρωστη ευσταθή οικογένεια πολυωνύµων υπάρχει ο πειρασµός να συσχετίζεις την απόσταση του τετραγώνου Khartoov και της αρχής των αξόνων µε το εύρωστο όριο. Όταν το p( jω, Q) παραµένει πολύ µακριά από για όλα τα ω υποψιαζόµαστε ότι η οικογένεια έχει µεγάλα εύρωστα όρια. Όταν p( jω, Q) είναι κοντά στο µηδέν για µερικές συχνότητες υποψιαζόµαστε ότι το εύρωστο όριο της οικογένειας είναι µικρό. Το βασικό αντικείµενο αυτής της παραγράφου είναι να αναλύσουµε τον παραπάνω τρόπο συλλογισµού µε την βοήθεια του θεωρήµατος Tsypk Polyak στην επόµενη παράγραφο. Η ιδέα είναι να µελετήσουµε την συµπεριφορά της απόστασης µεταξύ του και του τετραγώνου του Khartoov p( jω, Q). Θέλουµε να βρούµε το ελάχιστο της απόστασης αυτής σε σχέση µε την συχνότητα άρα να υπολογίσουµε την κοντινότερη απόσταση µεταξύ όλων των πιθανών τετραγώνων Khartoov και του. Για παράδειγµα δυο φυσικά µεγέθη για την ελάχιστη απόσταση είναι: 37

38 και το dm = m{ z : z p( jω, Q); ω } (4.4.1) m = m{ : ( ω, ); ω } (4.4.2). ' d z z p j Q 4.5 ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ TSYPKIN ΚΑΙ POLYAK. Παρακινούµενοι από την σύγκριση µεταξύ του dm και του rmax που έγινε στην προηγούµενη παράγραφο το βασικό αντικείµενο αυτής της παραγράφου είναι να περιγράψουµε την τεχνική του γραφήµατος του εύρωστου ορίου. Θέλουµε να παράγουµε ένα διάγραµµα το οποίο θα επιθεωρείται και µε το µάτι, παρέχοντας εύκολη κατανόηση του εύρωστου ορίου για την ευστάθεια. Αναγνωρίζοντας ότι το διάγραµµα του τετραγώνου του Khartoov δεν µας παρέχει τόσες πληροφορίες προχωράµε στο να κατασκευάσουµε την συνάρτηση G ( ω) όπως περιγράφεται από τους Tsypk Polyak(1991) [8]. Για να δώσουµε έµφαση στην εξάρτηση του αβέβαιου ορίου r γράφουµε 1 p ( s, q) = p ( s) + r [ ε, ε ] s όπου ε (4.5.1). r = Ονοµάζουµε p ( ) s το κεντρικό πολυώνυµο µε σταθερούς όρους και µελετάµε την πολυωνυµική οικογένεια που έχει συντελεστές σε διάστηµα P = { p (., q, r) : q Q } r r r TP ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Αβέβαιο όριο) Στο παράδειγµα αυτό θα δείξουµε το σχήµα ενός αβέβαιου ορίου. Έχουµε την παρακάτω πολυωνυµική οικογένεια το αβέβαιο όριο 2 (, ) = ( ) + ([ 3,3] + [ 1,1]) r p s q s s r s Q r φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. 38

39 q 1 3r r r q 3r Παρατηρούµε ότι τα βάρη ε = 1 και ε 1= 3 χρησιµοποιούνται για το σχεδιασµό του ορίου Q r ενώ το διάνυσµα r χρησιµοποιείται για µεγέθυνση. Σηµειώνουµε ότι στο θεώρηµα των Tsypk και Polyak (1991) χρησιµοποιείται η νόρµα z όπου z C και z max{ Re z, Im z }. = Θεώρηµα των Tsypk και Polyak 1991 (Tsypk ad Polyak 1991): Έχοντας r και θεωρώντας P r την πολυωνυµική οικογένεια µε συντελεστές σε διάστηµα, µε όρια 2, µε θετικά βάρηε, ε 1, L, ε 1 και p ( ) s το ευσταθές πολυώνυµο. Ορίζουµε την συνάρτηση ( ) Re p ( jω) Im p( jω) GTP ω = + j εω εω eve odd (4.5.2). Τότε εφαρµόζοντας την µέγιστη νόρµα στο C προκύπτει ότι η οικογένεια εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν Pr είναι p ( j) > rε (4.5.3) και για όλες τις συχνότητες ω. GTP ( ω) > r (4.5.4) 39

40 Γραφική οπτικοποίηση (Graphcal Vsualzato) Το θεώρηµα των Tsypk Polyak προτείνει µια φυσική διαδικασία για την γραφική οπτικοποίηση του εύρωστου ορίου η οποία περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση r max = sup{ r : Pr είναι εύρωστα ευσταθές }. Γενικεύουµε το διάγραµµα Nyqust για µιγαδικές συναρτήσεις G ( ω ) και φανταζόµαστε ένα τετράγωνο το οποίο κεντράρεται όταν z= όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. TP Το r είναι η ακτίνα του τετραγώνου η οποία είναι µικρή τόσο ώστε το τετράγωνο να χωράει µέσα στο G ( ω ) διάγραµµα. Στην συνέχεια επεκτείνουµε το r τόσο ώστε να TP φτάσουµε στην πρώτη επαφή η οποία φτιάχτηκε από GTP ( ω) διάγραµµα.σύµφωνα µε το θεώρηµα των Tsypk και Polyak (1991) δηλώνουµε την ακτίνα του τετραγώνου η οποία συσχετίζεται µε την πρώτη επαφή όπως το r max.παίρνοντας την µηδενική συχνότητα µέσα στο λογαριασµό για την περίπτωση που το r = p( j) / ε αποκτάµε την σχέση r = m{ r, r + }. max max ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (Εφαρµογή των Tsypk και Polyak ) Έχουµε την πολυωνυµική οικογένεια P r που έχει τους συντελεστές της σε διάστηµα, η οποία έχει ως κεντρικό πολυώνυµο 4

41 p s s s s s s = = ( s+ 1)( s+ 4)( s j)( s+ 2 3 j)( s j)( s+ 3 2 j) και ε ε1 ε 2 ε3 ε 4 ε5 = 676, = 682.5, = 59.5, = 21, = 52, = 15και ε 6 = 1. Η συνάρτηση G ( ω) που θα σχεδιαστεί είναι η TP GTP ω + 14ω 119ω ω 42ω ( ω) = + j ω + 52ω ω ω + 21ω Βλέποντας το σχέδιο η µέγιστη ακτίνα για την οποία η οικογένεια είναι ευσταθής είναι η r + max.2227 και το r max m{1,.2227} = Το διάγραµµα που προκύπτει είναι το παρακάτω: 4.6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ KHARITONOV ΓΙΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ. ίνεται ένα αβέβαιο πολυώνυµο µε µιγαδικούς συντελεστές. Χρησιµοποιούµε τις πραγµατικές αβέβαιες παραµέτρους q και r για να δηλώσουµε 41

42 την αβεβαιότητα στο πραγµατικό και στο φανταστικό µέρος των συντελεστών του αντιστοίχως και γράφουµε : s Τα Q και R είναι p( s, q, r) = ( q+ jr ) s (4.6.1). = τα αβέβαια όρια του q και r. Ειδικότερα ονοµάζουµε P= { p(., q, r) : q Q; r R} την µιγαδική πολυωνυµική οικογένεια όπου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα (complex coeffcet terval polyomal famly). Ανάλογα µε τους πραγµατικούς συντελεστές χρησιµοποιούµε τα όρια q q q + και r r r και το p( s, q, r) = ([ q, q + ] + j[ r, r + ]) s (4.6.2). = + Σε αντίθετη περίπτωση από τα πραγµατικά πολυώνυµα για αποδειχθεί η εύρωστη ευστάθεια των πολυώνυµων που περιέχουν µιγαδικούς συντελεστές απαιτούνται οχτώ πολυώνυµα Khartoov αντί για τέσσερα. Χρησιµοποιούµε τέσσερα επιπλέον πολυώνυµα Khartoov γιατί υπάρχει διαφορά ανάµεσα στους πραγµατικούς και στους µιγαδικούς συντελεστές. Η µεγαλύτερη διαφορά στους µιγαδικούς συντελεστές είναι ότι χρειάζεται να µελετήσουµε και γιαω και ω< χωριστά. Παρόλα αυτά µπορούµε ακόµα να δουλέψουµε µε το τετράγωνο Khartoov λαµβάνοντας υπόψη την διάκριση ανάµεσα στις κορυφές ω< και ω. Εποµένως τέσσερα πολυώνυµα Khartoov χρησιµοποιούνται γιαω και άλλα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov για ω<. Πολυώνυµα Khartoov µε µιγαδικούς συντελεστές (Complex Coeffcet Khartoov Polyomals) [6]: Από το µιγαδικό πολυώνυµο µε αβεβαιότητα που δίνεται από την σχέση P ( s, q, r ) ( q, q + j r, r + = ) s = + προκύπτει ότι υπάρχουν οχτώ σταθερά πολυώνυµα Khartoov. Τα τέσσερα πρώτα πολυώνυµα ορίζονται για ω : K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ;

43 K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; και για συχνότητες ω< τα επόµενα τέσσερα πολυώνυµα είναι K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; K ( s) = ( q + jr ) + ( q + jr ) s+ ( q + jr ) s + ( q + jr ) s +L ; Θεώρηµα Khartoov 1978b (Khartoov 1978b): Μια πολυωνυµική οικογένεια σταθερού βαθµού µε µιγαδικούς συντελεστές σε διάστηµα P= { P(., q, r) : q Q; r R} είναι εύρωστα ευσταθής αν και µόνο αν και τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov είναι ευσταθή. 43

44 Κεφάλαιο 5 ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 5.1 TO ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SCILAB. Το Sclab είναι ένα απλό περιβάλλον προγραµµατισµού που επιτρέπει την εύκολη χρήση µαθηµατικών συναρτήσεων, στατιστικών µεθόδων και πολλών άλλων αλγορίθµων αριθµητικής ανάλυσης. Από το 1994 ο κώδικας είναι ελεύθερος και µπορεί κάποιος να το βρει στο Αυτό ώθησε πολλές ερευνητικές οµάδες να συνεισφέρουν στην ανάπτυξή του. Η γλώσσα προγραµµατισµού του Sclab µοιάζει πολύ µε αυτή του Matlab. 5.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV. Η συνάρτηση khartoov _ polyomals( ) υπολογίζει τα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν από ένα πολυώνυµο που έχει συντελεστές σε διάστηµα. Κώδικας : fucto p=khartoov_polyomals() [lhs,rhs]=arg(); f rhs>1 the // η συνάρτηση έχει µόνο το '' ως όρισµα error('fucto have oly oe argumet') f type()~=1 the // το '' πρέπει να είναι πίνακας error('argumet must be matrx') f sze(,1)~=2 the //ο πίνακας πρέπει να έχει οπωσδήποτε 2 γραµµές error('argumet must be matrx 2*d') f ad(mag()==) the // ελέγχει αν όλοι οι συντελεστές του φανταστικού µέρους είναι ίσοι µε το µηδέν p=khartoov_poly(); else p=complex_poly(); ed edfucto Επεξήγηση Κώδικα: 44

45 Η συνάρτηση khartoov _ polyomals( ) παίρνει ένα όρισµα την µεταβλητή η οποία είναι ένα πολυώνυµο του οποίου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα. Αν το πολυώνυµο δεν έχει µιγαδικούς συντελεστές υπολογίζει τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov αν όµως έχει υπολογίζει τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov. Στο παράδειγµα µας για να ορίσουµε το διάστηµα ορίζουµε την µεταβλητή ως πίνακα. Ο πίνακας έχει διαστάσεις 2 d,η τιµή του d είναι ίση µε το βαθµό του πολυωνύµου συν ένα. Στη πρώτη γραµµή του πίνακα είναι τα q ενώ στην δεύτερη γραµµή τα q + του πολυωνύµου. Παράδειγµα 1 ο ίνεται το πολυώνυµο: 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,1.25. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[.25,.75,2.75,.25;1.25,1.25,3.25,1.25] //ορίζουµε τον πίνακα. = >khartoov_polyomals() // καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή khartoov _ polyomals( ) τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.25 s K ( s ) = s s s K ( s ) = s s +.25 s 2 3 Παράδειγµα 2 ο ίνεται το πολυώνυµο: [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q, r) 7 j,8 2 j 5 3 j,6 4 j s 3 5 j, 4 6 j s 1 7 j, 2 8 j s 2 3 =

46 Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[7+%,5+3*%,3+5*%,1+7*%;8+2*%,6+4*%,4+6*%,2+8*%] // ορίζουµε τον πίνακα = >khartoov_polyomals() // καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή khartoov _ polyomals( ) τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K(1) = (7 + j) + (5+ 4 j) s+ (4+ 6 j) s + (2+ 7 j) s 2 3 K(2) = (8+ 2 j) + (6+ 3 j) s+ (3+ 5 j) s + (1+ 8 j) s 2 3 K(3) = (8 + j) + (5+ 3 j) s+ (3+ 6 j) s + (2+ 8 j) s 2 3 K(4) = (7+ 2 j) + (6+ 4 j) s+ (4+ 5 j) s + (1+ 7 j) s 2 3 K(5) = (7 + j) + (6+ 3 j) s+ (4+ 6 j) s + (1+ 8 j) s 2 3 K(6) = (8+ 2 j) + (5+ 4 j) s+ (3+ 5 j) s + (2+ 7 j) s 2 3 K(7) = (8 + j) + (6+ 4 j) s+ (3+ 6 j) s + (1+ 7 j) s 2 3 K(8) = (7+ 2 j) + (5+ 3 j) s+ (4+ 5 j) s + (2+ 8 j) s ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΛΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV. Η συνάρτηση khartoov _ poly( ) υπολογίζει τα τέσσερα απλά (µη µιγαδικά) πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν από ένα πολυώνυµο που έχει συντελεστές σε διάστηµα σύµφωνα µε το ορισµό της σελίδας 22. Κώδικας : fucto p=khartoov_poly() [lhs,rhs]=arg(); f rhs>1 the // η συνάρτηση έχει µόνο το '' ως όρισµα error('fucto have oly oe argumet') f type()~=1 the // το '' πρέπει να είναι πίνακας 46

47 error('argumet must be matrx') f sze(,1)~=2 the//ο πίνακας πρέπει να έχει οπωσδήποτε 2 γραµµές error('argumet must be matrx 2*d') tmp=sze() deg=tmp(1,2)-1 //βρίσκουµε το βαθµό του πολυωνύµου for =1:deg+1 f (1,)>(2,) the //οι αριθµοί της πρώτης γραµµής πρέπει να είναι µικρότεροι από της δεύτερης error('umber of frst row must be smaller tha the umber of the secod row ') f (1,)< (2,)< the //οι συντελεστές του σταθερού όρου πρέπει να είναι θετικοί error('coeffcets must be postve') s=poly(,"s") K1=,K2=,K3=,K4= for =1:deg+1 mod=modulo ((-1),4) f (mod==) the //υπολογίζονται οι συντελεστές των,4,8 K1=K1+s^(-1)*(1,) K2=K2+s^(-1)*(2,) K3=K3+s^(-1)*(2,) K4=K4+s^(-1)*(1,) f (mod==1) the //υπολογίζονται οι συντελεστές των 1,5,9 K1=K1+s^(-1)*(1,) K2=K2+s^(-1)*(2,) K3=K3+s^(-1)*(1,) K4=K4+s^(-1)*(2,) f (mod==2) the//υπολογίζονται οι συντελεστές του 2,6,1 K1=K1+s^(-1)*(2,) K2=K2+s^(-1)*(1,) K3=K3+s^(-1)*(1,) K4=K4+s^(-1)*(2,) f (mod==3) the//υπολογίζονται οι συντελεστές του 3,7,11 K1=K1+s^(-1)*(2,) K2=K2+s^(-1)*(1,) K3=K3+s^(-1)*(2,) K4=K4+s^(-1)*(1,) 47

48 p=[k1 K2 K3 K4] edfucto; Επεξήγηση Κώδικα: Η συνάρτηση khartoov _ poly( ) παίρνει ένα όρισµα την µεταβλητή η οποία είναι ένα πολυώνυµο του οποίου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα και έχει την µορφή p( s, q) q, q s. Στο παράδειγµα µας για να ορίσουµε το διάστηµα = + = ορίζουµε την µεταβλητή ως πίνακα. Ο πίνακας έχει διαστάσεις 2 d, η τιµή του d είναι ίση µε το βαθµό του πολυωνύµου συν ένα. Στη πρώτη γραµµή του πίνακα είναι τα q ενώ στην δεύτερη γραµµή τα q + του πολυωνύµου. Το αποτέλεσµα που µας δίνει η συνάρτηση είναι τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov. Παράδειγµα ίνεται το πολυώνυµο: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) = 1, 2 s + 3, 4 s + 5, 6 s + 7,8 s + 9,1 s+ 11,12. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[11,9,7,5,3,1;12,1,8,6,4,2] //ορίζουµε τον πίνακα. = >khartoov_poly() //καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή khartoov _ poly( ) τα τέσσερα πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K ( s) = 11+ 9s+ 8s + 6s + 3s + s K ( s ) = s+ 7 s + 5 s + 4 s + 2 s K ( s) = 12+ 9s+ 7s + 6s + 4s + s K ( s ) = s+ 8 s + 5 s + 3 s + 2 s ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV ΜΕ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ. 48

49 Η συνάρτηση complex _ poly( ) υπολογίζει τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν από ένα πολυώνυµο που έχει µιγαδικούς συντελεστές σε διάστηµα σύµφωνα µε τον ορισµό της σελίδας 41. Κώδικας : fucto p=complex_poly() [lhs,rhs]=arg(); f rhs>1 the // η συνάρτηση έχει ένα όρισµα error('fucto have oly oe argumet') f type()>1 the // το όρισµα πρέπει να είναι πίνακας error('argumet must be matrx') f sze(,1)~=2 the //ο πίνακας πρέπει να έχει οπωσδήποτε 2 γραµµές error('argumet must be matrx 2*d') r=real() tmp=sze(r) deg=tmp(1,2)-1 for =1:deg+1 f r(1,)>r(2,) the error('frst argumet must be smaller tha secod ') r1=khartoov_poly(r) m=mag() tmp=sze(m) deg=tmp(1,2)-1 for =1:deg+1 f m(1,)>m(2,) the error('frst argumet must be smaller tha secod ') m1=khartoov_poly(m) p=[r1(1)+m1(4)*% r1(2)+m1(3)*% r1(3)+m1(1)*% r1(4)+m1(2)*% r1(4)+m1(1)*% r1(3)+m1(2)*% r1(2)+m1(4)*% r1(1)+m1(3)*%] edfucto Επεξήγηση Κώδικα: 49

50 Η συνάρτηση complex _ poly( ) παίρνει ένα όρισµα την µεταβλητή η οποία είναι ένα πολυώνυµο του οποίου οι µιγαδικοί συντελεστές είναι σε διάστηµα και έχει την µορφή P ( s, q, r ) ( q, q + j r, r + = ) s = +. Στο παράδειγµα µας για να ορίσουµε το διάστηµα ορίζουµε την µεταβλητή ως πίνακα. Ο πίνακας έχει διαστάσεις 2 d, η τιµή του d είναι ίση µε το βαθµό του πολυωνύµου συν ένα. Στη πρώτη γραµµή του πίνακα είναι τα q ενώ στην δεύτερη γραµµή τα q + του πολυωνύµου.το αποτέλεσµα που µας δίνει είναι τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov τα οποία προκύπτουν από τον συνδυασµό των τεσσάρων πολυωνύµων Khartoov. Παράδειγµα ίνεται το πολυώνυµο: (,, ) = [.25+.2, ] + [ , ] [.5.82 j,.1.93 j] s 2 [ j, j] s 3 p s q r j j j j s Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: --> =[.25+.2*%, *%,.5+.82*%, *%q *%, *%,.1+.93*%, *%] //ορίζουµε τον πίνακα = >complex_poly() //καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή complex _ poly( ) τα οχτώ πολυώνυµα Khartoov που προκύπτουν είναι τα εξής : K(1) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(2) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(3) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(4) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 5

51 K(5) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(6) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(7) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s 2 3 K(8) = ( j) + ( j) s+ ( j) s + ( j) s ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ KHARITONOV. Η συνάρτηση k _ sstable( ) ελέγχει αν ένα πολυώνυµο µε συντελεστές σε διάστηµα είναι ευσταθές. Κώδικας : fucto tmp=k_sstable() [lhs,rhs]=arg(); f rhs>1 the // η συνάρτηση έχει µόνο ένα όρισµα error('fucto have oly oe argumet') f type()~=1 the // το όρισµα πρέπει να είναι πίνακας error('argumet must be real or complex matrx') ed f sze(,1)~=2 the//ο πίνακας πρέπει να έχει οπωσδήποτε 2 γραµµές error('argumet must be matrx 2*d') f ad(mag()==) the // ελέγχει αν το φανταστικό µέρος του '' είναι ισο µε το µηδέν p=khartoov_poly(); tmp=%t; tmp1=%t; for =1:4 tmp=tmp & ad(coeff(p(1,))>); // οι συντελεστές του πολυωνύµου πρέπει να είναι θετικοί l=routh_t(p(1,)); td=sze(l); tmp1=tmp1 & ad(l(1:td(1),1)>); // η πρώτη στήλη του πίνακα Routh να είναι θετική ed else p=complex_poly(); tmp=%t; tmp1=%t; for =1:8 tmp1=tmp1 & ad(real(roots(p(1,)))<); //οι ρίζες των πολυωνύµων του πραγµατικού µέλους είναι µικρότερες του µηδέν ed ed 51

52 tmp = tmp & tmp1 edfucto Επεξήγηση Κώδικα: Η συνάρτηση k _ sstable( ) παίρνει ένα όρισµα την µεταβλητή η οποία είναι ένα πολυώνυµο του οποίου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα. Στο παράδειγµα µας για να ορίσουµε το διάστηµα ορίζουµε την µεταβλητή ως πίνακα. Ο πίνακας έχει διαστάσεις 2 d, η τιµή του d είναι ίση µε το βαθµό του πολυωνύµου συν ένα. Στη πρώτη γραµµή του πίνακα είναι τα q ενώ στην δεύτερη γραµµή τα q +. Βασικός έλεγχος που γίνεται είναι αν το πολυώνυµο που δώσαµε έχει µιγαδικούς συντελεστές ή όχι. Επιστρέφει την µεταβλητή true ( T ) αν πράγµατι το πολυώνυµο είναι ευσταθές ή false ( F ) αν δεν είναι. Παράδειγµα 1 ο ίνεται το πολυώνυµο: 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,1.25. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[.25,.75,2.75,.25;1.25,1.25,3.25,1.25] //ορίζουµε τον πίνακα = >k_sstable() //καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή k _ sstable( ) το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι T άρα το πολυώνυµο είναι ευσταθές. Παράδειγµα 2 ο ίνεται το πολυώνυµο: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) = 1, 2 s + 3, 4 s + 5, 6 s + 7,8 s + 9,1 s+ 11,12. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[11,9,7,5,3,1;12,1,8,6,4,2] //ορίζουµε τον πίνακα 52

53 = >k_sstable() //καλούµε την συνάρτηση Τρέχοντας την εντολή k _ sstable( ) το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι F άρα το πολυώνυµο δεν είναι ευσταθές. Παράδειγµα 3 ο ίνεται το πολυώνυµο: [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q, r) = 7 + j,8+ 2 j j,6+ 4 j s j, 4+ 6 j s j, 2+ 8 j s Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: >=[7+%,5+3*%,3+5*%,1+7*%;8+2*%,6+4*%,4+6*%,2+8*%] τον πίνακα = >k_sstable() // καλούµε την συνάρτηση //ορίζουµε Τρέχοντας την εντολή k _ sstable( ) το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι F άρα το πολυώνυµο δεν είναι ευσταθές. Παράδειγµα 4 ο ίνεται το πολυώνυµο: (,, ) = [.25+.2, ] + [ , ] [.5.82 j,.1.93 j] s 2 [ j, j] s 3 p s q r j j j j s Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: --> =[.25+.2*%, *%,.5+.82*%, *%; *%, *%,.1+.93*%, *%] //ορίζουµε τον πίνακα = >k_sstable() //καλούµε την συνάρτηση 53

54 Εκτελώντας την εντολή k _ sstable( ) το αποτέλεσµα που προκύπτει είναι F άρα το πολυώνυµο δεν είναι ευσταθές. 5.6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ KHARITONOV ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ. Η συνάρτηση k _ rec ta gle(, stp, wc) σχεδιάζει το τετράγωνο του Khartoov καθώς επίσης πραγµατοποιεί και την κίνηση του τετραγώνου µέχρι αυτό να φτάσει στην συχνότητα αποκοπής ω c. Κώδικας : fucto tmp=k_rectagle(,stp,wc) [lhs,rhs]=arg(); f rhs>3 the //η συνάρτηση έχει τρία ορίσµατα error('fucto have oly three argumet') f rhs<2 the error ('fucto eed at least two argumet to ru') f rhs==2 the sz=sze() sz=sz(2) f (1,sz)> the wc=(max((2,1:sz-1))/(1,sz))+1 // υπολογίζει το ωc µε βάση τον τύπο (3.7.4) της σελίδας 26 else error('q must be postve') ed f type()~=1 the // το όρισµα '' είναι πίνακας error('frst argumet must be matrx') f type(stp)~=1 the // το όρισµα 'stp' είναι αριθµός error('argumet stp must be umber ') f type(wc)~=1 the // το όρισµα 'wc' είναι αριθµός error('argumet wc must be umber ') p=khartoov_poly() plot2d([-1,2],[-1,1],[-1,-1],"33"); //ανοίγει το παράθυρο σχεδιασµού xm=; xmax=; 54

55 ym=; ymax=; for j=:stp:wc tmp=horer(p,%*j); // υπολογίζει την τιµή του p στο σηµείο (j,) x=real(tmp(1,1)); y=mag(tmp(1,4)); w=real(tmp(1,2))-real(tmp(1,1)); h=mag(tmp(1,4))-mag(tmp(1,3)); xm=m(x,xm); xmax=max(xmax,x+w); ym=m(ym,y-h); ymax=max(ymax,y); xrect(x,y,w,h); ed plot2d([xm,xmax],[ym,ymax],[-1,-1],"33"); //σχεδιάζει το τετράγωνο xgrd(3); edfucto Επεξήγηση Κώδικα: Η συνάρτηση παίρνει τρία ορίσµατα τις µεταβλητές, stp και wc. Η µεταβλητή είναι ένα πολυώνυµο του οποίου οι συντελεστές είναι σε διάστηµα και = + = έχει την µορφή p( s, q) q, q s. Στο παράδειγµα µας για να ορίσουµε το διάστηµα ορίζουµε την µεταβλητή ως πίνακα. Ο πίνακας έχει διαστάσεις 2 d, η τιµή του d είναι ίση µε το βαθµό του πολυωνύµου συν ένα. Στη πρώτη γραµµή του πίνακα είναι τα q ενώ στην δεύτερη γραµµή τα q +. Η µεταβλητή stp είναι το βήµα µε το οποίο θα κινείτε το τετράγωνο και τέλος η µεταβλητή wc είναι η συχνότητα αποκοπής δηλαδή το σηµείο µέχρι το οποίο θα κινείται το τετράγωνο. Η συχνότητα wc δίνεται από τον τύπο (3.7.4) της σελίδας 28. Το αποτέλεσµα που µας δίνει είναι ένα γράφηµα που δείχνει το τετράγωνο να κινείται. Υπάρχουν δύο τρόποι για να τρέξει η συνάρτηση ο πρώτος είναι να δώσουµε εµείς µια τιµή στην συχνότητα αποκοπής wc και ο δεύτερος είναι να αφήσουµε στην συνάρτηση να υπολογίσει µονή της την συχνότητα αποκοπής wc. Παράδειγµα 1 ο ίνεται το πολυώνυµο: 55

56 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,1.25. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[.25,.75,2.75,.25;1.25,1.25,3.25,1.25] //ορίζουµε τον πίνακα = >k_rectagle(,.2) // καλούµε την συνάρτηση Εκτελώντας την εντολή k _ rec ta gle(,.2) προκύπτει το παρακάτω σχήµα. Η συνάρτηση υπολογίζει µόνη την τιµή της συχνότητας wc. Παράδειγµα 2 ο ίνεται το πολυώνυµο: 3 2 [ ] [ ] [ ] [ ] p( s, q) =.25,1.25 s ,3.25 s +.75,1.25 s+.25,1.25. Στην γραµµή εντολών του Sclab πληκτρολογούµε: -->=[.25,.75,2.75,.25;1.25,1.25,3.25,1.25] //ορίζουµε τον πίνακα 56