CURSUL AL VII-LEA. 1. Eşantion. 2. Eşantionare

Transcript

1 . Eşatio CURSUL AL VII-LEA Idicatorii statistici calculaţi petru u eşatio aume sut simple aproximări petru parametrii reali ai populaţiei di care provie eşatioul. De exemplu, coeficietul mediu de iteligeţă calculat la u eşatio de studeţi, este o aproximare foarte proastă a coeficietului mediu de iteligeţă al îtregii populaţii, deoarece u eşatio de studeţi u este reprezetativ petru îtreaga populaţie. Î schimb, coeficietul mediu de iteligeţă calculat la u eşatio mare de idivizi aleşi la îtâmplare di populaţie, va fi probabil o aproximare mai buă a coeficietului mediu de iteligeţă al îtregii populaţii. Se pue î mod atural problema de a stabili câtă îcredere se poate avea î aceste aproximări, sau cât de precise sut ele. Să îcercăm să precizăm codiţiile pe care trebuie să le avem îdepliite petru ca gradul de siguraţă î cocluziile pe care le tragem despre o populaţie pe baza rezultatelor obţiute pe u eşatio, să fie cât mai mare. Îaite de a preciza aceste codiţii, să stabilim de ce aprecierea acestei precizii de aproximare este importată. Deci, să plecăm de la faptul că avem media şi deviaţia stadard calculate petru u aumit parametru pe u eşatio. Dacă modul î care a fost ales eşatioul e dă posibilitatea să afirmăm că acestea sut bue aproximări ale mediei şi deviaţiei stadard petru îtreaga populaţie, atuci acesta este de fapt sigurul lucru pe care e putem baza, î afara, evetual, a uor medii sau deviaţii date î literatura de specialiate. De exemplu, dacă pe u eşatio bie ales, vom obţie coeficietul mediu de iteligeţă 0,5 şi o deviaţie stadard de 4,4, aceasta e îdreptăţeşte să spuem că media populaţiei este aproximativ 0,5, iar deviaţia stadard aproximativ 4,4. Media reală a îtregii populaţii şi deviaţia stadard a îtregii populaţii e sut chiar ecuoscute de multe ori. Î acest curs e vom pue problema de a stabili cât de bue sut aproximaţiile de acest ge. Vom îcerca să stabilim cât de aproape de realitate este media aproximativă, obţiută luâd î calcul doar idivizii eşatioului ales. Ueori, di surse bibliografice avem iformaţii despre media uei îtregi populaţii, dar î cazul î care u avem astfel de date di surse bibliografice, sau câd datele di mai multe surse u cocordă, atuci media îtregii populaţii u e va fi de fapt cuoscută decât pri aproximările obţiute pe eşatioae. De fapt, sursele bibliografice u e dau ici ele decât tot aproximări foarte bue ale adevăratei medii sau deviaţii stadard, obţiute tot pe işte eşatioae extrase di populaţia respectivă. Petru o discuţie ceva mai exactă, să itroducem câţiva termei: vom umi eşatio sau lot, o submulţime a uei populaţii statistice. Extrapolarea, sau geeralizarea uor rezultate obţiute pri măsurători pe u eşatio la îtreaga populaţie o vom umi ifereţă. De exemplu, dacă coeficietul mediu de iteligeţă pe u eşatio reprezetativ este 0,5, putem, î aumite codiţii foarte precise, să facem afirmaţia geeralizatoare, sau ifereţa, că media coeficietului de iteligeţă al populaţiei este de este 0,5.. Eşatioare Şi acum să trecem la modalităţile pri care se realizează ifereţa statistică. De la îceput trebuie precizat că u rol cetral îl joacă distribuţia Gauss care de fapt u este o distribuţie ca oricare alta ci, datorită proprietăţilor ei aturale, î special simetria, are u statut oarecum privilegiat. Petru a e da seama de acest lucru, să presupuem că e aflăm î faţa uei populaţii cu u umăr foarte mare de idivizi, ceea ce, di puct de vedere statistic se deumeşte ca practic ifiită. Să presupuem petru simplitate că media populaţiei respective î ceea ce priveşte u aumit parametru este m iar deviaţia stadard este s, valori care sut de obicei ecuoscute, iar distribuţia variabilei respective este

2 ormală. Să mai presupuem că, să aproximăm media m a populaţiei pri medii obţiute pe eşatioae de volum, adică eşatioae cu idivizi. Putem chiar să e imagiăm ce se îtâmplă dacă luăm foarte multe astfel de eşatioae, poate chiar pe toate. Vom obţie foarte multe medii aproximative, aproximaţii care sut, multe ditre ele mai departe de adevărata medie, altele mai apropiate. Vom umi aceste medii aproximative, medii de eşatioare de volum. Se aşte astfel o serie statistică, a acestor medii, care are o importaţă deosebită, deoarece are aumite proprietăţi pe care le vom descrie î cotiuare, care e vor ajuta î a estima cât de bue sut aproximările pri medii de eşatioare. Fie seria statistică M : m, m, m 3..., seria acestor medii de eşatioare de volum. Se poate demostra că: media seriei statistice M este aceeaşi cu a populaţiei, adică m. deviaţia stadard a seriei M este s s =, adică mai mică decât a populaţiei, care este s. distribuţia seriei M este Gauss. Afirmaţiile de mai sus s-ar traduce î termeii exemplului cu media coeficietului de iteligeţă aşa cum este descris mai jos. Media coeficietului de iteligeţă îtr-o populaţie este, sa zicem, 00, iar deviaţia stadard 5, dar oi u ştim aceste valori. O serie de cercetători, dorid să o aproximeze, iau fiecare câte u eşatio, şi calculează coeficietul de iteligeţă mediu, fiecare la eşatioul pe care şi l-a ales. Să mai presupuem că toţi cercetătorii iau eşatioae de volum egal, adică cu acelaşi umăr de idivizi, de exemplu, 44. Ei vor obţie aproximaţii mai bue sau mai proaste, căci mai joacă şi îtâmplarea rolul ei, uele vor da o medie de eşatioare sub 00, altele peste 00, etc. Dacă am lua TOATE eşatioaele de câte 44 de idivizi, fiecare eşatio e dă câte o medie aproximativă a coeficietului de iteligeţă de 00 al populaţiei. Media tuturor acestor aproximaţii va fi TOT 00!!! Cum aceste aproximaţii sut uele mai mici, uele mai mari, uele sub media reală, altele peste, ele au şi o deviaţie stadard. Deviaţia stadard va fi s 5 5 s 44 = = = =, 5, ceea ce e spue că aproximaţiile ar fi destul de 44 bue, dacă se abat de la medie cu o deviaţie stadard aşa de mică, de,5. Î plus, aceste aproximaţii se distribuie Gauss, ca şi coeficietul de iteligeţă, care se distribuie tot Gauss. Petru ce este buă o astfel de teorie? Ajută să e dăm seama cât de bue sut aproximaţiile. De exemplu, aproximaţiile pe aşatioae de 44 de idivizi, sut, cum se vede de mai sus, destul de bue. Pe eşatioae de 400 de idivizi, aproximarea care se obţie are o deviaţie stadard de s 5 5 s 400 = = = = 0, 75, deci aceste aproximaţii vor fi probabil mai bue. Î figura sut reprezetate histogramele corespuzătoare cazurilor câd luăm foarte multe medii pe loturi de câte sau 3 sau 4, pâă la 00 (, 3, 4, 9, 6, 5, 36, 00). Se observă toate cele trei afirmaţii puctate mai sus.

3 Figura Prima histogramă este executată pe seria statistică a mediilor pe loturi de câte doi idivizi extraşi ditr-o populaţie de 0000 de idivizi. A doua histogramă pe seria mediilor pe loturi de câte 3, extrase di aceeaşi populaţie. Apoi pe loturi de 4, 9, 6, 5, 36 şi 00 de idivizi. S-e observă tot mai accetuat tediţa de scădere a dispersiei, pe măsură ce creşte volumul loturilor. Să observăm că deviaţia stadard a distribuţiei mediilor de eşatioare, care se mai umeşte eroare stadard, este u idicator importat care după cum se vede şi se va vedea mai jos este tocmai cel care e ajută să apreciem precizia sau siguraţa de calcul a mediei pe care o estimăm. Eroarea stadard este idicatorul care arată cât de precis aproximează media calculată di valorile uei serii, media populaţiei di care a fost extras eşatioul sau lotul pe care s-au făcut măsurătorile. Are formula: Err = σ ude σ este deviaţia stadard calculată folosid valorile seriei, iar este umărul de valori di serie. Se observă că este direct proporţioală cu deviaţia stadard a valorilor di serie şi deci, cu cât valorile di serie sut mai dispersate, cu atât valoarea idicatorului Err va fi mai mare. Proporţioalitatea este directă, adică o creştere a deviaţiei stadard, coduce la o creştere proporţioală a lui Err. Valoarea lui Err, este iflueţată după cum se vede di formulă şi de umărul de valori di serie, î sesul că, este cu atât mai mică cu cât sut mai multe valori î serie, dacă deviaţia stadard u se schimbă. Err scade î fucţie de umărul de valori di serie, u îsă proporţioal. 3

4 De exemplu, dacă creşte de 4 ori, Err scade de două ori: două serii de valori, X şi Y, au aceeaşi deviaţie stadard egală cu,3, iar umărul de valori î seria X este 5 iar cel al seriei Y este 00. Atuci erorile stadard petru cele două serii sut: Err X Err Y = σ 5 = σ 00,3 = = 0,46 5,3 = = 0,3 0 Deoarece este cosiderată a fi abaterea stadard a mediei (calculată pe valorile măsurate pe u lot), faţă de media îtregii populaţii, i se mai spue ueori «abaterea stadard a mediei de la medie», ceea ce este bieîţeles u simplu joc de cuvite şi u trebuie luat î serios atuci câd este îtâlit. Bieîţeles că mediile obţiute pe eşatioae de volum vor fi de obicei, cu atât mai aproape de realitate cu cât este mai mare. Acest aspect u trebuie eapărat demostrat căci are u suport ituitiv evidet: o aproximare a mediei uei populaţii este î pricipiu, cu atât mai buă cu cât eşatioul extras este mai umeros. Acest lucru e spue că dacă reprezetăm curba Gauss a mediilor de eşatioare, ea va fi cu atât mai strâsă î jurul mediei reale, cu cât eşatioaele sut de volum mai mare, deoarece este mai puţi probabil să avem medii foarte îdepărtate de media reală. Pe câd folosirea de eşatioae restrâse ca acelea formate di doar doi sau trei idivizi poate duce la medii foarte departe de cea reală, mediile obţiute pe eşatioae mai umeroase vor fi î geeral mult mai apropiate de media reală. s De altfel, formula s =, e spue tocmai acest lucru, căci se vede că o creştere a lui coduce la u umitor mare şi deci la o eroare stadard mică. Această distribuţie, a mediilor de eşatioare, e oferă posibilitatea de a estima siguraţa cu care este aproximată media di chiar forma ei. O distribuţie a mediilor de eşatioare foarte strâsă arată î geereal precizii bue. Dar o distribuţie strâsă, îseamă o eroare stadard mică. Eşatioarea este u proces cu îcărcătură pur statistică, el puâd la îcercare fodul de gâdire probabilistă pe care fiecare îl avem pri educaţie, fără să fi îvăţat eapărat probabilităţi sau statistică. Gâdirea comuă, sau uzuală, e spue că este atural ca măsurători multe să e coducă la o precizie mai buă. Există totuşi multe limite ale gâdirii comue care e pot aruca î capcae greu de ocolit. Judecăţile de mai sus sut valabile ca afirmaţii statistice şi u absolute. Am fi de exemplu tetaţi să afirmăm că media de eşatioare obţiută pe u eşatio de volum mai mare este totdeaua mai precisă decât media de eşatioare obţiută pe u eşatio de volum mai mic, ceea ce u este adevărat. Adevărată este doar afirmaţia: Este mai probabil ca o medie de eşatioare pe u eşatio de volum mai mare să fie mai precisă decât ua obţiută pe u eşatio de volum mai mic. Este posibil ca, pri jocul îtâmplării, o medie obţiută pe u eşatio mai mare să fie mai departe de media reală decât o medie obţiută pe u eşatio mai mic. Numai că această situaţie este mai puţi probabilă, cu atât mai puţi probabilă cu cât difereţa de volum ître cele două eşatioae este mai mare. 3. Itervale de îcredere Defiiţie. Estimarea uui parametru pritr-o valoare umerică supusă uor erori ierete. Nu există metodă perfectă de a măsura ceva şi ca urmare, orice îregistrare de date se face cu erori care se datorează î primul râd procesului de măsurare. Iar î mediciă, mai itervie şi variabilitatea aturală, u acelaşi parametru fiid diferit de la idivid la idivid şi chiar, la u acelaşi idivid, dacă măsurăm la două momete de timp 4

5 difeite. De aceea, o metodă comodă de a estima media uui parametru este aproximarea ei dacă este posibil, pritr-u iterval î care se află adevărata medie a acelui parametru. Di păcate, u este posibil să găsim î geeral u iterval fiit î care să fim absolut siguri că se află valoarea medie a parametrului de estimat. Acest lucru este posibil de exemplu atuci câd avem iformaţii apriorice despre parametrul respectiv, de exemplu câd este sigur că valoarea lui este î itervalul uitate, sau, cum este cazul coeficietului de corelaţie (vezi cursul VII), valoarea lui este cuprisă î itervalul [-, ]. Tot ceea ce se poate face este să găsim u iterval î care valoarea medie a parametrului pe care îl estimăm să se afle u sigur, ci umai cu o probabilitate diaite fixată. Dacă fixăm ivelul de siguraţă (probabilitatea) la o valoare suficietă, de exemplu 95% sau 99%, e putem declara mulţumiţi. Petru a îţelege mai bie cele expuse mai jos, este bie să gâdim î termeii exemplului cu coeficietul de iteligeţă: avem de estimat parametrul care se umeşte media coeficietului de iteligeţă al uei populaţii şi avem la îdemâă doar u eşatio, pe care am calculat umai o medie de eşatioare care o aproximează pe cea reală, ecuoscută. DEFINIŢIE: Vom umi iterval de îcredere de siguraţă α% (95%, 99%, etc), u itreval de umere î care sutem α% siguri că se află adevărata valoare a parametrului pe care îl estimăm. Dacă u parametru este repartizat Gauss, cu media m şi abaterea stadard s, atuci media de eşatioare X, obţiută pe u aşatio de idivizi, respectă formula următoare: s s P X,96 < m < X +,96 0,95 Această formulă se traduce astfel î limbajul obişuit: Există o probabiltate de aproximativ 95% ca media s s reală (ecuoscută) m să fie cuprisă î itervalul de la X, 96 la X +, 96. Sau, altfel spus: adevărata medie m, ecuoscută, se află cu o probabilitate de 95%, adică aproape sigur, î itervalul format pri aduarea şi scăderea di media de eşatioare X, a uei valori egale s cu,96. Î practică, deoarece s este ecuoscut, se pue î locul lui, deviaţia stadard de eşaatioare adică cea calculată folosid eşatioul de idivizi. Această deviaţie stadard, care a fost otată î cursul îtâi cu σ, este doar o aproximare a deviaţiei stadard a populaţiei, pe care am orat-o cu s. Se demostrează că î acest caz, trebuie să e referim la repartiţia Studet şi să luăm î locul a,96 erori stadard stâga dreapta, u umăr de erori stadard dat de t 95%, ude este volumul lotului, iar t 95% se ia di tabelele distribuţiei Studet (vezi laborator). Formula de calcul petru itervalul de îcredere de 95% este deci: σ σ I95 % = X t95%, X + t95% Î geeral, petru calculul itervalului de îcredere de siguraţă α%, formula este: σ σ Iα % = X tα %, X + tα % Exemplu de calcul: Media de eşatioare petru o serie statistică î care am măsurat lateţa semalului pe ervul optic, este, ms iar abaterea stadard este,5 ms. Volumul eşatioului este de 56 de idivizi. Să se calculeze itervalul de îcredere de 95%. Eroarea stadard este σ,5,5 Err = = = = 56, % = Î tabele statistice, corespuzător la 55 grade de libertate se găseşte t, 96 Deci limitele iferioară şi superioară petru itervalul de îcredere sut: 5

6 Deci, itervalul de îcredere este: 55 σ If = X t95 % =,,96 = 0,4 55 σ Sup = X + t95 % =,,96 = 4,6 [ 0, ms;4, ms] I 95 % = Putem afirma cu o siguraţă de 95% că media reală, pe care u o cuoaştem este î acest iterval. U iterval de îcredere este totdeaua cetrat pe media de eşatioare, lucru care este ormal, el fiid obţiut pri adăugarea şi scăderea di media de eşatioare a aceleiaşi catităţi t α Err. Deci dacă sutem îtrebaţi ude este media de eşatioare î raport cu limitele uui iterval de îcredere al ei, spuem simplu că este la mijloc. Ceea ce e iteresează îsă, este ude se află media reală î raport cu itervalul de icredere asociat, sau care o estimează, petru că de fapt chiar acesta este scopul petru care costruim itervale de îcredere, ca să estimăm media reală. După defiiţia itervalului de îcredere, media reală se află α% sigur (95% sigur, 99% sigur, etc), ître limitele itervalului de îcredere. De obicei sutem tetaţi să spuem că este la mijloc, ceea ce u este adevărat. Media reală, poate fi oriude î iteriorul itervalului de îcredere, aşa cum poate să fie chiar şi î afara lui, cu o probabilitate foarte mică. Nu este corect să spuem ici măcar că este mai probabil să se afle la mijlocul sau î jurul mijlocului itervalului de îcredere. Ea se află oriude î itervalul de îcredere, la fel de probabil spre mijloc sau spre capete.. Problema testelor statistice TESTE STATISTICE Î ştiiţă, afirmaţiile sut adevărate sau false. Spre deosebire de ştiiţele exacte îsă, î mediciă şi biologie avem o iterpretare relativ diferită a adevărului şi falsităţii. Î ştiiţele vieţii, u totdeaua este cazul uor decizii clare, sigure. De exemplu, la u lot de idivizi săătoşi am putea obţie media lateţei semalului electric pe ervul optic 04,5 ms, iar la u lot de idivizi cu lacuarism cerebral am putea obţie o medie a lateţei de 6,4 ms. Avâd î vedere difereţa destul de mare ître cele două medii, e putem gâdi că cele două loturi provi di populaţii cu medii diferite. Dacă îsă, facem afirmaţia că cele două loturi provi di populaţii cu medii egale, vom putea lua o decizie de geul: este foarte improbabil ca cele două loturi să proviă di populaţii cu medii egale. Totuşi, u este exclusă posibilitatea ca cele două loturi chiar să proviă di populaţii cu medii egale, şi u putem fi 00% siguri pe decizia luată. Î statistică, u are ses să se spuă despre o astfel de ipoteză că este adevărată sau falsă. Tot ce se poate aprecia este plauzibilitatea ei. Î statistică, orice afirmaţie este mai mult sau mai puţi plauzibilă, şi u eapărat adevărată sau falsă. Î mod atural, atuci câd costatăm difereţe mari ître mediile a două loturi, puem difereţa pe seama faptului că populaţiile di care provi loturile au medii diferite. Ivers, câd difereţele ître mediile celor două loturi sut mici, le puem pe seama îtâmplării şi cosiderăm că loturile provi di populaţii cu medii egale, sau, că provi di aceeaşi populaţie. Această problemă apare foarte des î practică petru că foarte des aplicăm tratamete la loturi care trebuie apoi comparate cu alte loturi la care u se aplică tratametul. Ua di problemele eseţiale ale statisticii este aceea de a decide asupra uor ipoteze care se asc î mod atural di examiarea datelor avute la dispozitie sau a idicatorilor statistici care le caracterizează. 6

7 Vom cosidera că ormalii la care s-au facut măsuratori provi ditr-o populaţie, teoretic ifiită, pe care o vom deumi populaţia ormală, iar ceilalţi provi i mod asemăător ditr-o populaţie pe care o vom deumi populaţia afectată. Vom avea două cazuri posibile: a) Media lateţei la cele două populaţii este i realitate aceeaşi (ecuoscută) iar difereţele costatate la cele două loturi sut datorate îtâmplării. Dacă am cotiua măsuratorile, mărid cele două eşatioae, mediile recalculate vor fi mai apropiate, iar i cele di urmă vor tide să deviă egale, rolul îtâmplării dimiuâdu-se îcet, îcet. b) Cele două populaţii au i realitate medii diferite, şi aume cea afectată are o medie a lateţei mai mare, caz î care dacă am cotiua măsurătorile, mărid loturile, îcet, îcet, mediile tid să se stabilizeze, adică să u se mai modifice prea mult, dar, media la cei afectaţi tide la o valoare diferită (şi aume mai mare) ca media la săătosi. Îaite de a face măsurători efective, imei u poate spue care este situaţia, adică u poate decide ître cazurile a) si b). Di păcate, de obicei este greu să se ia o astfel de decizie chiar si după efectuarea de măsuratori. I practică, difereţe destul de mari ître mediile de eşatioare pot apare la loturi extrase di aceeasi populaţie dacă s-au măsurat puţii idivizi, mai ales dacă împrăştierea datelor este mare. A trage cocluzia că cele două loturi provi di populaţii cu medii diferite este, bieîţeles î acest caz u umai riscat ci de-a dreptul greşit. Ivers, difereţe ître mediile de eşatioare care la prima vedere par eîsemate, pot să idice că cele două loturi provi di populatii diferite, dacă măsurătorile s-au facut pe suficiet de mulţi idivizi, mai ales câd datele au împrăştieri mici. De exemplu, la u lot de de ormali s-a măsurat lateţa semalului ervos pe ervul optic şi s-a obţiut o medie de 05,4 ms şi o deviaţie stadard de 8,6 ms. Pacieţii cu o afecţiue au fost 87 şi s-a obţiut o medie de 08,7 ms şi o deviaţie stadard de 9,5 ms. După cum se vede foarte uşor, difereţa de medie pare mică şi sutem tetaţi să cosiderăm că sutem î cazul a), adică difereţa de 08,7 ms - 05,4 ms = 3,3 ms este îtâmplătoare. Î realitate testul Studet, despre care va fi vorba î acest curs arată că este aproape sigur (p=99,5%) că cele două eşatioae provi di populaţii diferite sau că cele două populaţii di care provi (saatoşi si afectaţi) au medii ale lateţei diferite. Acest curs îşi propue pritre altele să vă iiţieze î modul de a lua astfel de decizii. Îtr-u alt caz, pe u lot de 35 de idivizi săătoşi s-a obţiut media de 05, ms şi o deviaţie stadard de,6 ms î timp ce la cei bolavi (=), media a fost de 09,6 ms şi deviaţia stadard 3,9 ms. Î ciuda faptului că difereţa este acum ceva mai mare (4,4 ms), şi ar trebui deci să deducem că este cu atât mai probabil ca cele două loturi să proviă di populaţii diferite, di cotră, testul Studet arată că u sut suficiete dovezi petru această cocluzie, ci, mai degrabă este corect să puem difereţa costatată pe seama itâmplării. Acest lucru se îtâmplă di cauza datelor mai împrăştiate, lucru dovedit de deviaţiile stadard mai mari, precum şi di cauza umărului mai mic de măsurători î cele două loturi. Vom covei î cotiuare ca, dacă e aflăm îtr-o situaţie asemăătoare cu cea de mai sus, să deumim cele două situatii posibile (a si b) ca ipoteze fudametale de lucru şi aume pe prima o vom umi ipoteza de difereta ulă, sau ipoteza de ul, iar pe cealaltă ca ipoteza alterativă. Ipoteza de ul (otaţie: H 0 ): mediile populaţiilor di care provi loturile sut egale. Ipoteza alterativă (otaţie: H ): mediile populaţiilor di care provi loturile diferă. Ueori, ca alterative se pot alege două ipoteze sau chiar mai multe. De exemplu, î cazul de mai sus, putem avea două ipoteze alterative la ipoteza de ul: Ipoteza alterativă H : media populaţiei de săătoşi este mai mare ca cea a populaţiei de afectaţi. Ipoteza alterativă H : media populaţiei de săătoşi este mai mică decât cea a populaţiei de afectaţi. Defiiţie: Vom umi test statistic, o metodă care e ajută să decidem cu u grad de siguraţă ales, dacă ipoteza de ul poate fi respisă î favoarea ipotezei sau ipotezelor alterative sau dacă u sut suficiete dovezi care să justifice respigerea ipotezei de ul. 7

8 Ipotezele pe care le putem supue deciziei uui test statistic sut foarte variate. Di observarea datelor, se pot aşte ipoteze ditre cele mai diverse. Categoriile pricipale de ipoteze sut: Ipoteze care afirmă că mediile a două populaţii sut egale Ipoteze care afirmă că dispersiile a două populaţii sut egale Ipoteze care afirmă că mediile a trei sau mai multe populaţii sut egale Ipoteze care afirmă că dispersiile a trei sau mai multe populaţii sut egale Ipoteze care afirmă că repartiţia uei variabile aleatoare este o repartiţie fixată (Gauss, Poisso, etc.) Ipoteze care afirmă că doi factori de clasificare sut idepedeţi Fiecare ditre tipurile de ipoteze formulate mai sus, are ua sau mai multe ipoteze alterative. Se poate testa deci, dacă dispersiile uor populaţii sut diferite, discuţia fiid î fod aceeaşi ca la cea petru medii. Î plus, există teste care testează egalitatea a mai multor medii, adică avâd la dispoziţie mediile de eşatioare a trei sau chiar mai multe loturi (cu deviaţiile lor stadard), e situăm î uul di cazurile: Ipoteza de ul H 0 : Mediile m, m, m3 (etc), ale populaţiilor di care provi eşatioaele,, 3, sut egale. Ipoteza alterativă H : cel puţi două ditre mediile populaţiilor di care provi eşatioaele diferă. U test statistic va trebui î toate aceste cazuri, să e ajute să decidem ître a respige sau u ipoteza de ul H 0. Testarea uor ipoteze statistice se poate face bazâdu-e pe proprietăţile distribuţiei ormale. De cele mai multe ori isă, ipotezele statistice sut de aşa atura că este evoie de cuoaşterea proprietăţilor altor distribuţii petru a putea decide dacă sut sau u suficiet de bie susţiute de datele pe care le avem la dispoziţie. A testa ipoteza de ul H 0, cotra uei ipoteze alterative H, sau a mai multor ipoteze alterative (H, H ), îseamă să acordăm lui H 0 prezumţia de a fi adevărată, î afară de cazul că datele îi sut potrivice îtr-u îalt grad, caz î care H 0, trebuie respisă î favoarea ipotezei H sau î favoarea ueia ditre ipotezele H, H. Î cotiuare vom expue pricipalele categorii de teste folosite mai des î practica medicală.. Testul Studet de comparare a uei medii cu media teoretică Ueori cuoaştem di literatura de specialitate care este media populaţiei di care presupuem că este extras u lot şi dorim să verificăm ipoteza că eşatioul aparţie îtr-adevăr populaţiei respective. Să presupuem că X 0 este media teoretică şi să presupuem că valorile măsurate petru idivizii di lotul de comparat dau seria statistică: X x, x,... x, iar media de eşatioare este X. Atuci variabila aleatoare t c, obţiută după formula: X X 0 t c = σ, sau t c = X σ X 0 are o repartiţie Studet cu - grade de libertate. Decizia o vom lua stabilid care este plauzibilitatea ca t c să aparţiă repartiţiei Studet cu - grade de libertate. Vom căuta limitele dreapta-stâga ître care avem 8

9 cuprisă 95% sau 99% di aria de sub curba repartiţiei Studet. Va fi deci suficiet să căutăm valoarea lui t 95%, sau t 99%, dată de tabelele statistice petru t, şi să o comparăm cu valoarea lui t c. O iterpretare, a acestui test este deci următoarea: Dacă t > c t95% teoretică X 0 Dacă t < c t95%, atuci există o difereţă semificativă ître media de eşatioare X şi media, atuci u avem motive suficiete petru a afirma că există o difereţă semificativă ître media de eşatioare X şi media teoretică X 0 Î figura, este arătat motivul petru care comparăm tc cu limita de cupridere a 95% (99%) di repartiţie. Dacă tc este la dreapta acestei limite, este puţi probabil să aparţiă repartiţiei respective şi ipoteza H 0 va fi respisă ca falsă. Figura Pragul de 95% arată că valori mai mici decât acest prag sut plauzibile, iar valori mai mari decât acest prag sut eplauzibile. Exemplu practic: Media eşatioare X =4,5 Media teoretică X 0 =8 Deviaţia stadard σ =,5 Pragul teoretic t t = t = 95% Volumul eşatioului = 84 Deci, calculăm valoarea lui t c : 83 t 95% =,998 X X 0 X X (8 4,5) 84 3,5 9,65 3,078 0 t c = = = = = = =, 55 σ σ,5,5,75 Deoarece t t < t c, luăm decizia că difereţa ître media de eşatioare şi media propusă de ipoteză este semificativă cu pragul de semificaţie de 95% 3. Testul Studet de comparare a mediilor. Cazul eşatioaelor mici şi dispersii egale Fie seriile statistice: X x, x,... x Y y, y,... y, extras di populaţia cu media m şi dispersia s şi, extras di populaţia cu media m şi dispersia s, ca şi la prima Aşadar, avem două medii de eşatioare, X şi Y, două deviaţii stadard de eşatioareσ şiσ, iar ipotezele pe care le facem sut: 9

10 H 0 : m=m (Mediile populaţiilor di care provi cele două eşatioae sut aceleaşi). H : m m (Mediile populaţiilor di care provi cele două eşatioae u sut aceleaşi). Dacă populaţiile sut de aceeaşi dispersie, atuci putem amesteca cele două eşatioae şi să estimăm s pri dispersia de eşatioare calculată luâd î cosiderare ambele eşatioae: Testul se bazează pe statistica σ σ = ( ) + σ ( ) + X Y t c = σ + care are o distribuţie Studet cu + - grade de libertate. Petru a alege ître ipotezele H 0 şi H, e folosim de această statistică. Decizia este: Dacă t > t, difereţa este semificativă la pragul de semificaţie de 95%. c 95% Dacă t t, difereţa este esemificativă la pragul de semificaţie de 95%. < c 95% Să mai amitim că am folosit tacit ipoteza că măsuratorile efectuate pe idivizii di lot sut idepedete, adică u depid uele de altele ceea ce de fapt se şi îtâmplă î majoritatea cazurilor câd este vorba de eşatioae de pacieţi. Astfel, testul Studet petru loturi mici poate fi aplicat dacă sut îdepliite următoarele codiţii, umite codiţii de aplicare petru teste parametrice, loturi mici: Repartiţiile populaţiilor di care provi loturile sut ormale Deviaţia stadard este aceeaşi la cele două populaţii. Măsurătorile sut idepedete. Exemplu de calcul: Măsurâd frecveţa cardiacă la 9 pacieţi cu hipertiroidie şi la alţi 9 pacieţi cu hipotiroidie, au fost obţiute valorile di tabelul. Primul pas este calculul mediilor, al deviaţiilor stadard şi al dispersiilor. Cum statistica testului foloseşte direct dispersiile, deviaţiile stadard u sut absolut ecesare. Tabelul Valorile frecveţei cardiace la 9 pacieţi cu hipotiroidie şi 9 pacieţi cu hipertiroidie. Mediile, deviaţiile stadard şi dispersiile sut calculate pe ultimele trei liii., Nr Hipertiroidiei Hipotiroidiei Media St Dev Dispersia Calculele, decurg î felul următor: 0

11 Valoarea prag a lui t 95% di tabele statistice este,. Cum statistica testului depăşeşte valoarea prag, ipoteza de ul se respige, difereţa ître cele două medii de eşatioare este semificativă la pragul de semificaţie de 95%. 4. Testul t Studet petru esatioae mici cu dispersii diferite Petru acest test, vom reuţa să expuem toate calculele, deoarece î practică, aceste calcule le efectuează î mod automat u program specializat şi utilizatorul culege doar rezultatele. Testele implemetate pe calculator, u mai furizează utilizatorului toate rezultatele itermediare ci, s-a optat petru o modalitate mai practică: testul dă ca rezultat, u umăr p, cupris ître 0 şi care reprezită probabilitatea de a comite o eroare pri respigerea lui H 0. Dacă lucrăm deci pe calculator, vom iterpreta acest rezultat furizat de program î felul următor: Dacă p>0,05 u se respige H 0, difereta este esemificativă la pragul de semificatie de 95% Dacă p<0,05 se respige H 0 cu pragul de semificatie de 95%. Difereta este semificativă Dacă p<0,0 se respige H 0 cu pragul de semificatie de 99%. Difereta este îalt semificativă Nu uitaţi că scopul uui test statistic este umai acela de a respige sau u ipoteza de ul, iar iterpretarea acestei decizii revie utilizatorului. Totdeaua vom trage cocluzia astfel: Dacă p>0,05 H 0, u a fost respisă, u se poate spue că loturile provi di populaţii diferite Dacă p<0,05 se respige H 0, loturile provi di populaţii diferite (ivel de siguraţă 95%) Dacă p<0,0 se respige H 0 loturile provi di populaţii diferite (ivel de siguraţă 99%) Petru acest test, sutem î următoarea situaţie: Două populaţii cu mediile m, m si abateri stadard s,s, toate ecuoscute Două eşatioae extrase di ele: X: x,x,...x şi Y: y,y,...y m Valorile de eşatioare: două medii de eşatioare, X şi Y, două dispersii de eşatioareσ şi σ, Ipotezele: H0 : m = m H : m m Rezultatul p, u umăr subuitar, se iterpretează coform cu cele expuse mai sus: Exemplu de folosire a testului î Excel: La 7 pacieţi cu Diabet Zaharat si la 7 idivizi săătosi, s-a măsurat lateta semalului electric pe ervul optic (PEV) Rezultat: media dispersia

12 DZ:, 05,93 Ipotezele: Săătosi: 07,44 70,6. H 0 : Mediile populaţiilor di care provi eşatioaele sut egale. H : Mediile populaţiilor di care provi eşatioaele diferă Deoarece dispersiile sut mult diferite, se aplică testul t petru esatioae cu dispersie iegală. Mai jos, este arătat rezultatul aplicării testului, folosid programul Microsoft Excel. Valoarea lui p este 0,4%, deci ipoteza de ul u se respige, cele două medii de eşatioare u diferă semificativ. După cum se observă, Excel calculează şi mediile şi dispersiile de eşatioare, precum şi alte valori care prezită o importaţă mai mică. Codiţii de aplicare Măsurătorile trebuie să fie idepedete (valabil la orice test statistic) Dacă eşatioaele sut relativ mici (sub 30 de idivizi), să se ştie că provi di populaţii cu distribuţie Gauss Petru a decide dacă dispersiile seriilor de valori obţiute pri măsurători pe două loturi de pacieţi sau de probe, diferă semificativ, se poate folosi testul F, al lui Fisher, de comparare a dispersiilor. 5. Testul t Studet petru esatioae pereche Se face de obicei atuci câd se doreste puerea î evidetă a efectelor uui tratamet sau altă acţiue asupra pacietilor. Eşatioaele au acelaşi umăr de idivizi şi sut dispuşi î perechi, câte uul di fiecare eşatio Îtr-o pereche, cei doi pacieţi sut cât mai asemăători (ca vîrstă, sex, afecţiue, etc), dacă este posibil sigura difereţă majoră să fie că la uul se aplică u tratamet iar la celălalt u. Ueori pacieţii sut aceiaşi şi măsurătorile se efectuează îaite şi după aplicarea tratametului Î rest, ipotezele, rezultatul şi iterpretarea sut idetice ca la testul t aterior

13 Î figura de mai sus, este arătat rezultatul aplicării testului, folosid programul Microsoft Excel. Valoarea lui p este mult sub 0,0) este u umăr cu foarte multe zerouri după puctul zecimal). Deci, ipoteza de ul se respige, cele două medii de eşatioare diferă îalt semificativ. La fel, se observă că Excel calculează şi mediile şi dispersiile de eşatioare, precum şi alte valori care prezită o importaţă mai mică. Codiţii de aplicare Măsurătorile trebuie să fie idepedete (valabil la orice test statistic) Dacă eşatioaele sut relativ mici (sub 30 de idivizi), să se ştie că provi di populaţii cu distribuţie Gauss Dispersiile de eşatioare să u difere semificativ Dacă ua sau mai multe di cele trei codiţii sut îcălcate, testul u poate fi aplicat şi se caută u alt test (vezi teste eparametrice, cursul următor) * * * Observaţie: U test statistic poate eşua î tetativa de respigere a ipotezei de ul dacă: H 0 este adevărată. Ea u trebuie respisă (mediile populaţiilor sut egale) H 0 este falsă. Ea ar trebui respisă, dar datele pe care le avem la dispoziţie u oferă suficietă evideţă împotriva ipotezei de ul Dacă ipoteza de ul este respisă, aproape sigur mediile populaţiilor diferă Dacă ipoteza de ul u este respisă, u se poate spue imic. o Ori, mediile, î realitate u diferă o Ori, ele diferă dar u avem date suficiete care să puă î evideţă acest adevăr 6. Testul ANOVA testul aalizei de variaţă Compară î acelaşi timp mediile mai multor eşatioae. Dacă otăm ca şi pâă acum, mediile populaţiior di care provi eşatioaele cu m, m, m3, m4 (petru 4 eşatioae) H0: m = m = m3 = m4 (petru 4 eşatioae) H: cel puţi două medii diferă semificativ Rezultatul este u umăr p care se iterpretează la fel ca la celelalte teste: 3

14 Dacă p>0,05 u se respige H0, difereţa este esemificativă la pragul de semificaţie de 95% Dacă p<0,05 se respige H0 cu pragul de semificaţie de 95%. Cel puţi două medii diferă semificativ Dacă p<0,0 se respige H0 cu pragul de semificaţie de 99%. Difereţa este îalt semificativă Testul u îşi propue să compare loturile două câte două, deoarece răspude la îtrebarea dacă medile eşatioaelor au o corelaţie cu criteriul de împărţire pe loturi. Veţi îţelege mai bie această afirmaţie dacă urmăriţi exemplul de mai jos. Exemplu: Î trei comue ale judeţului Dolj au fost luate date despre obiceiurile alimetare şi legătura lor cu obezitatea şi diabetul. Pritre alte date s-au cules şi greutatea idivizilor precum şi date despre fumat. Idivizii, idiferet de sex sau grupă de vârstă au fost împărţiţi î patru categorii: efumători, foşti fumători, uşor fumători (sub 0 ţigarete pe zi) şi fumători (peste 0 tigarete pe zi). O îtrebare iteresată a fost aceea dacă există o legătură ître obiceiul fumatului şi greutatea corporală la aceşti idivizi. Ipotezele testului vor fi: H0: Idiferet dacă fumează sau u, greutatea corporală este aceeaşi H: Cel puţi două categorii di cele 4 au greutăţi corporale diferite Programul Microsoft Excel furizează, cum se vede î imagiea de mai sus, umărul de idivizi di fiecare lot (H5-H8), mediile de greutate la fiecare lot (J5-J8), dispersiile petru fiecare lot (K5-K8), rezultatul p al testului (L3), precum şi alte valori care sut mai puţi importate petru cel care doreşte să folosească testul. Se observă că valoarea lui p, este 0,0076, adică 0,76%. Deci, fiid sub 0,0, vom spue că difereţa ître mediile de greutate ale celor patru loturi este îalt semificativă. Testul u pue la dispoziţie o comparare pe perechi, deci, cocluzia este oarecum ambiguă, căci se poate aşte îtrebarea: care di loturi are o medie diferită semificativ de a celorlalte? Oare lotul 4 are media semificativ crescută faţă de celelalte 3, sau lotul are media semificativ scăzută faţă de ceelalte? Testul u poate răspude la astfel de îtrebări. De fapt, testul u urmăreşte decât să stabilească evetuala legătură ître greutatea corporală şi obiceiul fumatului, fără să compare diferitele categorii de fumători/efumători ître ele. Codiţii de aplicare Măsurătorile trebuie să fie idepedete (valabil la orice test statistic) Dacă eşatioaele sut relativ mici (sub 30 de idivizi), să se ştie că provi di populaţii cu distribuţie Gauss (Valabil şi la testul t orice tip) Dispersiile de eşatioare să u difere semificativ (Valabil şi la testul t variaţe egale) 4

15 Dacă ua sau mai multe di cele trei codiţii sut îcălcate, testul ANOVA u poate fi aplicat şi se caută u alt test (vezi teste eparametrice) EXEMPLU: Testul ANOVA coditii de aplicare Dorim să comparăm ivelul bilirubiei totale la pacieţi cu ciroze şi cacere hepatice, î fucţie de prezeţa sau abseţa ascitei Se observă că programul a făcut trei clase: da, Missig, u, şi deci va face o comparare ître trei loturi. Loturile da şi u, sut loturile cu ascită şi respectiv, fără ascită. Al treilea lot apare ca alcătuit di pacieţii la care u s-a specificat dacă au sau u ascită, îsă valoarea bilirubiei a fost îregistrată. Şi de data aceasta vom verifica îtâi dacă sut îdepliite codiţiile de aplicare a testuui ANOVA, şi dacă putem iterpreta valoarea lui p, care se vede că este 0,0838. ANOVA- Verificarea coditiilor de aplicare dispersii egale - testul Bartlett H0 Dispersiile sut egale H Dispersiile sut diferite p = 0,596 Ipoteza de ul u se respige Dispersiile de eşatioare u diferă semificativ Î acest caz, ar mai trebui verificată codiţia ca distribuţiile bilirubiei la cele trei loturi (lotul cu da, cel cu Missig şi cel cu u ) au distriuţii Gauss. Teoria spue îsă ca dacă loturile sut suficiet de mari, această codiţie u este obligatoriu de verificat. Cu cât loturile sut mai mari, cu atât verificarea acestei codiţii este mai puţi ecesară. Î cazul ostru, u vom mai verifica această codiţie şi vo iterpreta rezultatul testului ANOVA. Se observă, mai sus, că rezultatul testului ANOVA este p=0,0838, adică 8,38%. Deducem că ipoteza de ul u se respige, difereţa ître mediile de bilirubiă este esemificativă. Testul ANOVA face parte di categoria testelor parametrice, ca şi testul t-studet. Aceste teste cer ca distribuţia valorilor să fie Gauss (cel puţi la loturi relativ mici). Deci, teste parametrice de comparare a mediilor îvăţate sut: Testul t Studet petru eşatioae cu dispersii egale Testul t Studet petru eşatioae cu dispersii diferite Testul t Studet petru eşatioae pereche Testul ANOVA al aalizei de variaţă 5

16 7.Teste eparametrice Atuci câd u este posibilă compararea mediilor a două sau mai multe loturi cu ajutorul testelor parametrice, se pot folosi aşa-umitele teste eparametrice, care u cer decât ca măsurătorile să fie idepedete. Nu sut cerute codiţii ca distribuţia măsurătorilor să fie Gauss, şi ici codiţii legate de dispersia măsurătorilor. Deci, testele eparametrice: Sut teste care u fac presupueri legate de distribuţia datelor. Se aplică î orice codiţii, dacă măsurătorile sut idepedete Se aplică atuci câd u putem aplica u test parametric a. Testul Ma-Whitey-Wilcoxo de comparare a mediilor (se poate aplica şi la mai multe eşatioae) Două populaţii cu mediile m, m şi abateri stadard s,s. Două eşatioae extrase di ele: Valorile de eşatioare:,,,. Ipotezele: H0 : m = m H : m m Rezultatul p se iterpretează: Dacă p>0,05 u se respige H0, difereţa este esemificativă la pragul de semificaţie de 95% Dacă p<0,05 se respige H0 cu pragul de semificaţie de 95%. Difereţa este semificativă Dacă p<0,0 se respige H0 cu pragul de semificaţie de 99%. Difereţa este îalt semificativă b. Testul Kruskal Wallis/ Friedma de comparare a mediilor (se aplica la mai multe eşatioae) Clasificarea testelor de comparare: Teste parametrice: se ştie ce fel de distribuţie au populaţiile di care provi eşatioaele ale căror medii sau dispersii se compară. Ex: toate tipurile de test t-studet, testul ANOVA Teste eparametrice: u se cooaşte distribuţia populaţiilor. Ex: Testul Ma-Whitey/Wilcoxo, Testul Kruskal-Wallis, testul Friedma Difereţa ditre cele două tipuri, di puctul de vedere al celui care le foloseşte este că u test eparametric eşuează de obicei mai des î tetativa de a respige H0, atuci câd ea ar trebui respisă. Acest lucru se datorează de obicei lipsei de iformaţie. Cuoaşterea distribuţiei la testele parametrice este o iformaţie suplimetară foarte importată Î afară de testele îvăţate, folosite petru compararea mediilor sau a dispersiilor, există teste foarte variate petru testarea uor ipoteze statistice care u se referă la compararea mediilor. De exemplu, putem îcerca să verificăm dacă o serie de valori are o distribuţie Gauss şi petru aceasta există chiar mai multe teste, pritre ele şi testul Kolmogorov sau testul Aderso-Darlig 4. Chestiui de exame:. Pe u eşatio de 64 probe idetice, u laborator a dat media cocetraţiei compusului activ de 8mg/00ml, iar 63 deviaţia stadard a valorilor di seria de 64 rezultate a fost de mg/00ml. Di tabele, t 95 % =. Itervalul de îcredere al mediei este î acest caz: A. [ 7,5 ; 8,5] corect B. [ 7 ; 8] C. [ 6,5 ; 9,5 ] D. [ 7,5 ; 9,5 ] 6

17 . Itervalul de îcredere petru media calculată pe o serie de valori are iterpretarea: A. Adevărata medie, cea care se aproximează, este aproape sigur î itervalul de îcredere B. Media de eşatioare, este aproape sigur î itervalul de îcredere C. Adevărata mediaă, cea care se aproximează, este aproape sigur î itervalul de îcredere D. Este u iterval î care de află aproape toate valorile di seria de valori 3. Itervalul de îcredere de 95% petru coeficietul de iteligeţă al uui lot selecţioat de 000 de ecoomişti este [4,7 ; 9,7]. Aceasta îseamă că: A. Media coeficietului de iteligeţă al populaţiei ecoomiştilor este aproape sigur î acest iterval B. Media de eşatioare este aproape sigur î acest iterval C. Media coeficietului de iteligeţă al populaţiei ecoomiştilor este sigur î acest iterval D. Media de eşatioare este sigur î acest iterval 4. Valoarea lui OR, calculat petru u tabel de icideţă x, este,4, iar itervalul de îcredere este de la 0,8 la 4,9. Î acest caz: A. Valoarea lui OR este semificativă B. Valoarea lui OR este esemificativă C. Nu putem decide dacă valoarea lui OR este sau u semificativă 5. Petru a găsio aproximare a mediei de greutate la studeţii UMF, doi studeţi aleg câte u eşatio extras aleator de 40 şi respectiv 60 de subiecţi, şi calculează media de greutate, fiecare la eşatioul său. Î acest caz: A. Media pe lotul de 40 de subiecţi va fi sigur mai paroape de realitate B. Media pe lotul de 60 de subiecţi va fi sigur mai paroape de realitate C. Media pe lotul de 60 de subiecţi va fi probabil mai paroape de realitate D. Oricare di cele două medii obţiute poate fi mai aproape de realitate 6. Petru a estima greutatea medie a studeţilor UMF, u studet alege ca eşatio primii 00 de studeţi ai UMF di lista alfabetică. A. Eşatioul este ereprezetativ, deoarece extragerea u s-a făcut aleator B. Eşatioul este reprezatativ, deoarece ordiea alfabetică este aleatorie di puctul de vedere al greutăţii C. Eşatioul este prea mic D. Eşatioul este prea mare 7. Următoaree codiţii sut bieveite sau ecesare petru ca u eşatio să fie reprezetativ: A. Să fie alcătuit di subiecţi aleşi aleator di populaţie B. Să fie cât mai volumios C. Să fie reprezetativ 8. Media calculată pe u eşatio de 00 de subiecţi este totdeaua mai apropiată de media reală decât cea calculată pe u eşatio de 60 de subiecţi, deoarece: A. Eşatio mai mare, îseamă totdeaua o precizie mai buă B. Eşatio mai mic, îseamă totdeaua o precizie mai slabă C. Media pe eşatioul de 00, este mai probabil să fie mai apropiată de media reală 9. Dacă ditr-o populaţie extragem î mod repetat eşatioae foarte mari şi la fiecare eşatio calculăm media, mediile astfel obţiute vor fi: A. Distribuite apropiat de o distribuţie Gauss B. Distribuite foarte diferit de o distribuţie Gauss C. Distribuţie Gauss 0. Itervalul de îcredere de 99% are ca difereţe faţă de cel de 95%, următoarele: A. Itervalul de 99% este mai larg decât cel de 95% B. Itervalul de 95% este mai larg decât cel de 99% C. Itervalul de 99% şi cel de 95% sut la fel de largi D. Nu putem şti diaite care di cele două itervale este mai larg. Dacă două loturi sut mici, atuci petru aplicarea testului Studet, trebuie îdepliite codiţiile: A. Repartiţiile populaţiilor di care provi loturile sut ormale B. Deviaţia stadard este aceeaşi la cele două populaţii C. Măsurătorile sut idepedete D. Loturile să aibă medii egale. Care di următoarele teste sut teste parametrice: A. ANOVA B. Studet C. Wilcoxo D. Kruskal-Wallis 7

18 3. Rezultatul p al uui test statistic se iterpretează astfel: A. Se respige ipoteza de ul dacă p<0,05 B. Se respige ipoteza de ul dacă p>0,05 C. Se respige ipoteza alterativă dacă p>0,05 D. Se acceptă ipoteza de ul dacă p<0,05 4. Petru a putea aplica testul ANOVA, trebuie verificate următoarele codiţii A. Măsurătorile să fie idepedete B. Dispersiile să u difere semificativ C. Distribuţiile populaţiilor di care provi eşatioaele să u fie simetrice D. Distribuţiile populaţiilor di care provi eşatioaele să fie Gauss 5. Testul ANOVA este u test: A. Parametric B. Neparametric C. De comparare a mediilor D. De compaarre a dispersiilor 6. Rezultatul p al uui test statistic are itrepretare diferită de la test la test A. Da, la fiecare test avem o altă iterpretare B. Nu, totdeaua e ajută să respigem sau u ipoteza de ul C. Rezultatul p u se iterpretează, el fiid u simplu umăr D. Avem o iterpretare la testele parametrice şi o alta la cele eparametrice 7. Dacă î urma efectuării uui test Studet de comparare a mediilor, obţiem p=0,78656, atuci: A. Nu se respige H0 B. Se acceptă H0 C. Se respige H0 D. Nu putem decide 8. Dacă î urma efectuării uui test Studet de comparare a mediilor, obţiem p=0,056, atuci: A. Se respige H0 B. Se acceptă H0 C. Se respige H D. Nu putem decide 9. Dacă î urma efectuării uui test Studet de comparare a mediilor, obţiem p=0, , atuci: A. Se respige H0 B. Nu se respige H0 C. Nu se respige H D. Se acceptă H 0. Dacă efectuăm testul t al lui Studet, măsurători pereche: A. Loturile pot fi diferite ca volum B. Loturile trebuie să fie egale ca volum C. Loturile trebuie să aibă aceeaşi medie D. Trebuie să avem trei loturi. Respigerea ipotezei de ul câd efectuăm u test de comparare a mediilor îseamă: A. Cele două medii de eşatioare diferă semificativ B. Cele două medii ale populaţiilor di care provi loturile diferă C. Cele două medii de eşatioare u diferă semificativ D. Cele două medii ale populaţiilor di care provi loturile u diferă. Nerespigerea ipotezei de ul câd efectuăm u test de comparare a mediilor îseamă: A. Cele două medii de eşatioare diferă semificativ B. Cele două medii ale populaţiilor di care provi loturile diferă semificativ C. Cele două medii de eşatioare u diferă semificativ D. Cele două medii ale populaţiilor di care provi loturile u diferă 3. Itervalul de îcredere de 95% petru coeficietul de iteligeţă al uui lot selecţioat de 000 de ecoomişti este [4,7 ; 9,7]. Aceasta îseamă că: A. Media coeficietului de iteligeţă al populaţiei ecoomiştilor este aproape sigur î acest iterval B. Media de eşatioare este aproape sigur î acest iterval C. Media coeficietului de iteligeţă al populaţiei ecoomiştilor este sigur î acest iterval D. Media de eşatioare este sigur î acest iterval 8