PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ
|
|
- Ἀκρίσιος Δοξαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Variabile aleatoare 6. Repartiţia şi desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare Caracteristica, variabila studiată di ştiiţele eperimetale se modelează î teoria probabilităţilor cu ajutorul variabilelor aleatoare. De eemplu, îtr-u studiu atropometric, a spue că studetul X are îălţimea de.70 m, îseamă că mai îtîi s-a selectat studetul X (s-a realizat eveimetul) şi apoi s-a făcut măsurarea (o valoare s-a atribuit eveimetului). Această mărime, îălţimea studetului, este o variabilă aleatoare. Pri urmare, o variabilă se umeşte aleatoare dacă, î cazul mai multor eperimete efectuate î aceleaşi codiţii, aceasta primeşte valori diferite. Teoretic, o variabilă aleatoare se caracterizează pri valorile primite şi probabilităţile de apariţie a acestor valori. Mulţimea formată di perechile ordoate valoare probabilitatea corespuzătoare valorii respective defieşte repartiţia (distribuţia) variabilei aleatoare. Vom ota cu majuscule bold variabilele aleatoare, X, Y, Z etc., evetual, cu idici, acolo ude este cazul şi cu litere mici corespuzătoare valorile primite. Vom distige două cazuri: a) Cazul fiit. Fie (Ω, P(Ω), P) u spaţiu de probabilitate fiit, ude Ω = {ω, ω 2,, ω }, ω, ω 2,, ω fiid eveimete elemetare. Defiiţia 5... Orice fucţie defiită pe Ω cu valori reale, X : Ω R, se umeşte variabilă aleatoare discretă (cu prescurtarea v.a.d.). V.a.d. u poate lua decît u umăr fiit de valori îtregi şi eegative. De eemplu, î eperieţa arucării cu u zar ideal, rezultatul pe care îl obţiem este o v.a.d, X : Ω R. X poate lua umai valori discrete, i =, 2, 3, 4, 5, 6, ude i =, 2, 3, 4, 5, 6, iar P(X = i ) =. Suma tuturor probabiulităţilor P(X = i ) este egală cu. 6 Deci, fiecărui eveimet elemetar ωi i se asociază u umăr real X(ω i ). Cum aceste umere u sît î mod ecesar disticte ître ele, vom ota cu, 2,,,, valorile disticte luate de v.a. X. Se otează cu: Ai = {ω X(ω) = i }, i =, 2,, acele eveimete, u eapărat elemetare, petru care v.a.d. X primeşte valori diferite. Altfel spus, A i coţie toate eveimetule a căror realizare coduce la luarea valorii i de către v.a.d. X. Familia {A, A 2,, A } formează o partiţie a mulţimii de bază Ω, umită partiţia idusă de v.a.d. X. Orice eveimet elemetar aparţie uui eveimet A i şi umai uuia sigur. Plecîd de la u eveimet A, după cum se observă î figura de mai jos, se pot evideţia cele două oţiui studiate, legate de acesta, probabilitatea eveimetului A, P(A) şi valoarea X(A), asociată pri itermediul v.a.d. X.
2 eveimet A P probabilitatea lui A, P(A) X f valoarea v.a.d. X, X(A) Figura 6... Tipuri de corespodeţă Legătura marcată pri liie puctată precizează că v.a.d. X ia valori cu aumite probabilităţi, şi aume cu probabilităţile cu care se realizează eveimetele asociate valorilor lui X. Astfel, se poate cosidera fucţia de probabilitate (sau legea de probabilitate, repartiţia de probabilitate) a v.a.d. X, care se defieşte î modul următor: f : {, 2,, } [0, ], ude f( i ) = P(A i ), i =, 2,,. Fucţia de probabilitate a v.a.d. X se otează fie 2... X:, ude p( i ) = f( i ) reprezită probabilitatea cu p p2 p care X ia valoarea i, fie pi = P(X = i ), i =, 2,,. Reprezetarea grafică a repartiţiei de probabilitate se face î felul următor: pe abscisă se reprezită valorile posibile ale v.a.d., iar pe ordoată probabilităţile corespuzătoare. De eemplu, fucţia de probabilitate a variabilei X defiită, î eperieţa arucării cu u zar ideal, se prezită î tabelul6.., iar reprezetarea ei grafică î figura i P(X = i) Tabelul 6... Distribuţia variabilei discrete X Dacă se cosideră lăţimea dreptughiurilor formate egală cu uitatea, atuci suma ariilor dreptughiurilor este egală cu, după cum se observă î figura de mai jos i Figura Reprezetarea grafică a fucţiei de probabilitate a v.a.d. X Următoarele proprietăţi ale fucţiei de probabilitate rezultă imediat di defiiţia şi proprietăţile probabilităţii: ) f( i ) 0, i =, 2,, ;
3 2) f ( i ) = P( X = i ) = P(Ω) =. Iterpretarea celor două relaţii este asemăătoare cu cea de la frecveţe relative, adică de a fi eegative şi de a avea suma egală cu. Noţiuii de frecveţă relativă cumulată îi corespude fucţia de repartiţie a v.a.d. X, defiită astfel: F : R R, F() = P(X ), ude pri X s-a otat eveimetul: {ω X(ω) }, adică reuiuea acelor eveimete elemetare petru care v.a.d. ia valori mai mici sau egale cu. Fucţia de repartiţie a v.a. X are ca valoare, îtr-u puct oarecare, probabilitatea ca v.a.d. să ia valori mai mici sau egale cu. Di relaţia P(X ) = P ( Ai ), rezultă că suma tuturor probabilităţilor i eveimetelor A i determiă valorile v.a.x mai mici sau egale cu. Altfel spus, itervi probabilităţile cumulate. Grafic, fucţia de repartiţie a variabilei X defiită mai sus, î eperieţa arucării cu u zar ideal, se prezită ca o fucţie î trepte care coţie pucte de salt: F() 3/6 2/6 / Figura Reprezetarea grafică a fucţiei de repartiţie a v.a.d. X Probabilitatea ca umărul pe care îl obţiem la arucarea uui zar să fie mai mică decît este zero, F() = P(X < ) = 0. Cotiuîd, vom avea: F(2) = P(X < 2) = P(X = ) = f() = 6 ; F(3) = P(X < 3) = P(X = ) + P(X = 2) = = 3 ; F(4) = P(X < 4) = 3 4 F(5) = P(X < 5) = 5 F(6) = P(X < 6) = 6 F(>6) = P(X < ) = P(X = i) = 2 ; P(X = i) = 3 2 ; P(X = i) = 6 5 ; P(X = i) = ;
4 F(- ) = 0 şi F(+ ) =. Deci, suma tuturor salturilor este egală cu. Defiiţia Două variabile aleatoare discrete X şi Y defiite pe o aceeaşi mulţime de bază Ω sît idepedete dacă eveimetele partiţiilor iduse de X şi Y sît idepedete două cîte două, adică petru orice i şi j are loc: P(X = i Y = y j ) = P(X = i ). P(Y = y j ). Se observă că, v.a.d. X şi Y iau valori idepedete ua de alta. Defiiţia se poate geeraliza la u umăr edetermiat de v.a.d. b) Cazul ifiit umărabil. Fie (Ω, K, P) u spaţiu de probabilitate. Defiiţia Orice fucţie defiită pe Ω cu valori reale, X : Ω R, care satisface codiţia {ω X(ω) } K, oricare ar fi R, se umeşte variabilă aleatoare cotiuă, sau, pe scurt, variabilă aleatoare sau v.a. Codiţia pusă î defiiţie eprimă faptul că mulţimea eveimetelor elemetare petru care v.a X are valori mai mici decît, oricare ar fi, trebuie să fie tot u eveimet. Î cazul ifiit, are ses să cerem că v.a. X să aparţiă uui iterval, şi u probabilitatea să ia o aumită valoare. Această iterpretare este apropiată de practica eperimetală, deoarece, de eemplu, şasa de a găsi u idivid cu îălţimea de eact.75 m este aproape ulă dacă măsurarea se face cu eroare zero. De obicei, pritr-o asemeea valoare se îţelege u îtreg iterval de îălţimi, toate acelea care pri rotujire la două zecimale devi.75m. Această variabilă fiid susceptibilă de a lua o ifiitate umărabilă de valori, u se poate reprezeta pritr-o diagramă cu bare, ci pritr-o curbă de distribuţie. Fucţia de repartiţie a v.a. X se defieşte la fel ca î cazul fiit: F() = P(X ), ude pri X s-a otat eveimetul {ω X(ω) } (aici, eveimetele elemetare, fiid o ifiitate, ele u se pot decît cel mult eumera). Probabilitatea ca v.a. X să fie cuprisă îtr-u iterval foarte mic d cetrat î 0 este : d d P((0 - ) < X < ( 0 + )) = f( 0 )d = df( 0 ), 2 2 ude f(0) este ordoata curbei î puctul de abscisă 0. Se observă că, f() este derivata fucţiei de repartiţie. Ivers, F() este itegrală di f(). Dacă eistă, fucţia f se umeşte desitatea de probabiliate a v.a. X. Pri coveţie, P( mi X < ma ) =, ude mi şi ma sît valorile etreme ale lui X. De cele mai multe ori, acestea sît - şi +. Defiiţia Fucţia de repartiţie este absolut cotiuă, dacă eistă o fucţie reală f : R R, astfel îcît F() = f ( u) du.
5 Grafic, fucţia de repartiţie se iterpretează ca fiid: mărimea graficul fucţiei f di figura de mai jos: ariei de sub d f f( 0 ) mi 0 2 ma Figura Reprezetarea grafică a fucţiei de repartiţie a uei v.a.cotiue Deci, F( 0 ) = (X 0 ) este porţiuea haşurată de arie de sub graficul fucţiei f() şi î stîga dreptei = 0. Ca şi î cazul fiit, desitatea de probabilitate a v.a. X are următoarele două proprietăţi: + ) f() 0, oricare ar fi ; 2) f ( u) du =. Pricipalele proprietăţi ale fucţiei de repartiţie sît: ) 0 F() ; 2) F este edescrescătoare (dacă < 2, atuci F( ) F( 2 )); 3) lim F() = 0, cîd - şi lim F() =, cîd + ; 4) P( X < 2 ) = P(X < 2 ) P(X ) = F(2) F( 2 ) = f ( u) du, dacă F este fucţia de repartiţie absolut cotiuă a v.a. X. Prima proprietate rezultă di defiiţia uei probabilităţi, a doua arată că probabilitatea uui eveimet u poate să scadă dacă se reueşte cu u alt eveimet, a treia precizează probabilitatea eveimetului sigur şi respectiv a celui imposibil, iar ultima egalitate se utilizează la calculul probabilităţilor, atuci cîd se cuoaşte fucţia de repartiţie. Î situaţia variabilelor aleatoare cotiue, repartiţia cu largi aplicaţii î domeiul practicii este repartiţia ormală, care va fi studiată mai tîrziu, împreuă cu repartiţiile ormal ormată, log-ormală, χ 2, Fisher-Sedecor, Studet, biomială, etc. II. Repartiţii teoretice Repartiţia (distribuţia) uei v.a. costituie caracteristica de bază a v.a. respective, îţelegîd pri aceasta fie repartiţia ei de probabilitate, fie desitatea ei de repartiţie. De aceea, uele repartiţii teoretice au o mare importaţă î practică, deoarece pot costitui modelul comportării uor date observabile di care, utilizîd calculul de probabilităţi, pot fi trase cocluzii foarte probabile şi luate decizii corecte î domeiul eplorat. Cele mai importate rămî repartiţia Beroulli şi etesiile ei petru cazul discret şi repartiţiile Gauss-Laplace şi ormal ormată petru cazul cotiuu.
6 6.2.. Repartiţia biomială Repartiţia biomială (repartiţia Beroulli sau repartiţia ewtoiaă sau legea alterativei simple) se defieşte petru o variabilă aleatoare discretă şi are ca puct de plecare schema bilei reveite: Îtr-o ură se află î total N bile albe şi egre. Probabilitatea de a etrage o bilă eagră este p (eveimetul E) şi rămîe aceeaşi pe toată perioada eperimetului. O bilă etrasă se repue î ură (adică, o etragere eeahustivă sau o ehaustivă). Se cere probabilitatea ca î urma a etrageri să se obţiă bile egre (desigur, - vor fi albe), adică eveimetul E să apară (să se realizeze) de ori şi de - să u apară (v.a X). Valoarea maimă a lui fiid. Operaţia de obţiere a uui rezultat îtr-o astfel de schemă, şi u umai, poartă deumirea de îcercare (o probă), iar o suită de îcercări formează u eperimet. Î modelarea uei v.a. discrete după o repartiţie biomială trebuie să se respecte codiţiile: - variabila trebuie să fie dihotomică, adică să primească doar două valori (alb/egru, bu/rău, bărbat-femeie, rece/cald, cifra /tot ceea ce u este cifra/, etc.), otate cu succes/isucces; - procedura de obţiere a îcercărilor (probelor, etragerilor) trebuie să fie aceeaşi pe toată durata eperimetului; - îcercările trebuie să fie idepedete ître ele (probele u se pot iflueţa reciproc); - probabilităţile asociate valorilor succes/isucces trebuie să fie aceleaşi de-a lugul eperimetului. Se otează cu p = P(succes) (adică, probabilitatea obţierii uei valori de succes), iar cu q = P(isucces) = p (deci, p + q = ). Fie X o variabilă aleatoare repartizată biomial. Valorile ei posibile reflectă umărul de succese apărute îtr-u eperimet cu îcercări succesive. Acestea pot fi: 0,,,. Î codiţiile date, se demostrează că probabilităţile ca X să primească aceste valori sît date de epresia: P(X = ) = C p q -, = 0,, 2,,. De eemplu, presupuîd că î îcercări de etragere a bilei di ură s-au obţiut î ordiea: NANNAAAN. Fiecare di cele etrageri succesive fiid idepedete, probabilitatea etragerii complete î această ordie este egală cu produsul probabilităţilor elemetare (pricipiul probabilităţii compuse), adică: p.q.p.p.q.q.q.p = p.q -. Tiîd cot că umărul de permutării cu repetiţii î arajarea a două tipuri de obiecte, bile egre şi bile albe, este umarul de combiări C. Probabilitatea căutată este: P(X = ) = C p (-p) -, = 0,, 2,,. Se otează P(X = ) cu P(; ) sau P(), iar repartiţia biomială cu parametrii şi p, Bi(; p), ude, p şi q au semificaţiile de mai sus. Observaţii.. Cîd p = q = 0.5, formula se simplifică şi devie: P(X = ) = C 0.5. Este cazul jocului cap sau pajură; 2. Dacă N este suficiet de mare, (N > 0.), atuci e putem dispesa de codiţia de a repue î ură bila etrasă, etragerea fiid cosiderată ehaustivă; 3. Dacă etragerea este ua ehaustivă, atuci se aplică legea hipergeometrică.
7 4. Valorile repartiţiei biomiale sît tabelate petru diferite valori ale lui şi p. Proprietăţi.. M(X) = µ = p. Epresia mediei se obţie plecîd de la dezvoltarea biomului lui Newto şi cosiderîd idetitatea: (p + q) C p q = P ( ). = 0 = 0 Derivîd idetitatea î raport cu se obţie: = 0 = 0 P ( ).p. (p + q) -. Apoi, egalîd pe cu, avem: P ( ) =.p. Fucţia (p + q) se umeşte fucţia geeratoare a legii biomiale. 2. D 2 (X) = σ 2 = µ 2 = pq = p( p); 3. σ = pq ; 4. Petru calculul mai uşor al probabilităţii P () se foloseşte formula de p recureţă: P (+) =. P (); + p 5. Moda (valoarea domiată sau valoarea cea mai probabilă) este partea îtreagă a epresiei p.(+) : p.(+) < Mo < p.(+). Această valoare se obţie ţiîd cot de defiiţia modei: Mo > P(Mo ) şi Mo > P(Mo + ); 6. Fucţia de probabilitate este: X: C p q C p q C p q... C p q Se observă că î liia a doua apar epresiile termeilor di dezvoltarea biomului (p + q) ; 7. Fucţia de repartiţie (sau probabilităţile cumulate) este: F() = P( ; ) = C = 0 = 0 p q, R. Graficul fucţiei de repartiţie este specific uei distribuţii î trepte (o histogramă). Dacă p = q = 0.5, graficul este simetric. Î caz cotrar, este asimetric, asimetria fiid dictată de disproporţia ditre p şi q. P(8; ) P(5; ) Figura Distribuţiile biomiale Bi(8; 0.5) şi Bi(5; 0.8) 8. Petru aplicaţii, valorile celor două fucţii sît tabelate.
8 Aplicaţii.. Care este probabilitatea ca să se obţiă 2 de 3 şi o altă cifră, atuci cîd se arucă 3 zaruri? Î arucarea uui zar, eistă două posibilităţi: a) să se obţiă faţa 3 cu probabilitatea de p = 6 ; b) o altă cifră diferită de 3 cu probabilitatea de p = 6 5. Se aplică legea biomială petru = 3 şi = 2: P(X = 2) = = 0.07, µ =.p = 3. = 0.5, 2 C 3. (/6) 2 (5/6) 6 σ 2 5 =.p.q = 3.. = Ştiid că u lot de produse coţie 8% piese defecte. Care este probabilitatea ca etrăgîd 0 piese să se obţiă mai mult de 2 (mai mult de 20%) piese defecte? De fapt, se cere să se afle P( > 2) sau P( 3) sau îcă P( 2). Etrăgîd di tabela cu probabilităţi cumulate corespuzătoare legii biomiale petru = 0 şi p = 8%, se obţie: P( 2) = Deci, probabilitatea ca etrăgîd 0 piese să se obţiă mai mult de două piese defecte este egală cu: = Observaţie. Petru u umăr suficiet de mare de observaţii, repartiţia biomială Bi(, /2) poate fi folosită, mai ales, î două tipuri de aplicaţii; - verificarea apropierii măsurătorilor efectuate de o repartiţie ormală, î situaţia î care datele sît grupate îtr-u umăr de clase; - gradarea uei scale cotiue petru o variabila care se presupue ca este cotiuă şi petru care eistă u umăr suficiet de mare de observaţii, itervalele claselor fiid cosiderate egale ître ele. Aplicaţie. Repartizarea î clase se face ţiîd cot de umerele coţiute î triughiul lui Pascal: o clasă: 2 clase: 3 clase: 2 4 clase: clase: Trei reguli stau la baza costrucţiei triughiului: - prima liie are u sigur ; - o liie ulterioară îcepe şi se îcheie cu ; - u umăr itermediar se obţie ca suma celor două umere situate pe liia aterioară deasupra şi la stîga. De eemplu, 250 de observaţii petru o variabilă repartizată ormal pot fi distribuite î 5 clase, astfel: a b c d e a + b + c + d + e = = = = = = efectivele căutate. Se obţi: a = e = 5.62 = 5.62; b = d = = 62.48; = 5.62, otîd cu a, b, c, d şi e
9 c = = Pri rotujire cu adaos, avem: a = 6, b = 62, c = 94, d = 62, e = 6. Aceste rezultate pot fi utilizate î teste de comparare petru a decide dacă repartiţia variabilei studiate se ajustează pritr-ua ormală Repartiţia biomială modificată Dacă se cosideră ca v.a. umărul de defecte () ditr-u eşatio, ude frecveţa (f) de defecte ditr-u eşatio de dimesiue este: f =, atuci v.a f urmează o lege biomială cu media: µ = p şi abaterea medie pătratică: σ = Etesii ale legii biomiale p.q Repartiţia multiomială Am văzut că v.a care urmează o lege biomială trebuie să fie dihotomică. Lărgirea acestei codiţii se adresează etragerilor o ehaustive efectuate asupra uor populaţii cu mai mult de 2 categorii de obiecte. Fie o populaţie cu categorii î proporţiile p, p 2, p 3,, p asupra căreia se efectuează o etragere o ehaustivă de obiecte.. Evidet: p + p 2 + p p = şi =. Probabilitatea ca cele obiecte să fie repartizate î: - obiecte di categoria (), - 2 obiecte di categoria (2),.. - obiecte di categoria () este dată de legea multiomială:! 2 P(, 2,, ) = p p 2 p.! 2!...! Aplicaţie. O ură coţie 30% bile egre, 20% bile albe şi 50% bile roşii. Care este probabilitatea ca, efectuîd o etragere o ehaustivă de 6 bile, să se obţiă 3 bile egre, 2 bile albe şi o bilă roşie? Se utilizează legea multiomială: 6! P(3 N, 2 A, R ) = = !2!!
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραCAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ
CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραCurs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραCANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI
CAPITOLUL 2 CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI 2.. Model ateatic de caal discret de trasisiui Î acest odel trebuie precizate ulţiile sibolurilor aplicate la itrarea caalului, ale sibolurilor recepţioate la
Διαβάστε περισσότεραTEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα9. SONDAJUL STATISTIC
9. SODAJUL STATISTIC 9.. Cosideraţii geerale Creşterea ecesarului de iformaţii ce trebuie obţiute cu maximă operativitate a codus la extiderea utilizării sodajului statistic. Această expasiue a sodajului
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCURS I ELEMENTE DE BAZĂ
BIOSTATISTICA CURS I ELEMENTE DE BAZĂ Statistica reprezită ramura matematicii ce a apărut di ecesitatea de a calcula probabilitatea aumitor eveimete di cadrul uui experimet. Majoritatea domeiilor de bază
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραModelare si simulare _Seminar 1 SEMINAR 1
SEMIAR. Experimet aleator U feome a carui evolutie difera semificativ atuci cad este repetat i aceleasi coditii se umeste experimet aleator. Specificarea experimetului aleator costa i stabilirea procedurii
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραScoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa
Scoruri standard Curba normală (Gauss) M. Popa Scoruri standard cunoaştere evaluare, măsurare evaluare comparare (Gh. Zapan) comparare raportare la un sistem de referință Povestea Scufiței Roşii... 70
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότερα2. Metode de calcul pentru optimizarea fără restricţii
. Metode de calcul petru optimizarea fără restricţii Problemele de optimizare îtâlite î practică sut probleme cu restricţii, dar metodele de calcul petru optimizarea fără restricţii sut importate pri faptul
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραNOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA
NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότερα