3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
|
|
- Ὀδυσσεύς Ζέρβας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă pe R petru α > şi avem: ' cos si f ( ), α α = = R şi α >. 3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Seriile de puteri reprezită o geeralizare aturală a fucţiilor poliomiale şi î acelaşi timp, o clasă particulară de serii de fucţii. Di acest motiv, seriile de puteri posedă toate proprietăţile seriilor de fucţii şi uele proprietăţi speciale care le leagă de fucţiile poliomiale (cotiue, itegrabile, idefiit derivabile etc.). Serii de puteri Defiiţia VI.4. O serie de puteri (serie îtregă) este o serie de fucţii f ( ) f ( ) = a, R şi a R. Şirul umeric (a ) se umeşte şirul cu ( ) de coeficieţi ai seriei de puteri: (VI.7) a = a + a a +... Observaţii: 448
2 . O serie de puteri a este uic determiată de şirul coeficieţilor săi ( ) a R.. Orice serie de puteri este covergetă î = cu suma egală cu a. 3. Petru R fiat, se pot cosidera serii de puteri de forma geerală: ( ) a. 4. Toate rezultatele teoretice petru serii de puteri a sut valabile şi ( ) î cazul geeral, petru serii de forma: a. 5. Vom studia, î mod special, structura mulţimii de covergeţă a uei serii de puteri şi apoi proprietăţile geerale ale acestei clase particulare de serii de fucţii. Teorema VI.4. (Lema lui Abel). Fie seria de puteri a cu ( a ) R şi, R. (i) Dacă seria umerică a,( ) este covergetă, atuci seria de puteri este absolut covergetă î orice R cu proprietatea: (VI.8) < ( (-, )). (ii) Dacă seria umerică a,( ) este covergetă, atuci petru α R cu < α < seria de puteri este absolut şi uiform (ormal) covergetă pe compactul [-α, α] (-, ). 449
3 (iii) Dacă seria umerică a,( ) este divergetă, atuci seria de puteri a este divergetă î orice R cu proprietatea: (VI.9) > ( (-, - ) (, + )). Demostraţie: mărgiit î R. ( a ) ec ( ) (i) Dacă a covergetă lim a = ( a şir margiit î R M > a. î. a M, N de ude, avem: M (VI.) a, N şi R. Fie R cu proprietatea (VI.8) <, adică (-, ) şi cosiderăm ec ) seria modulelor = a a care verifică codiţiile: a = a = a M = Mq şi N cu < q< şi Mq este covergetă cr.weierstrass a este covergetă î cu proprietatea (VI.8) a este absolut covergetă î R cu proprietatea (VI.8) (i). (ii) Petru R cu [-α, α] (-, ), avem: α f( ) = a = a a α M = Mq cu 45
4 < q ( <α< ) Mq < şi este covergetă cr. Weierstrass f( ) = a este absolut şi uiform (ormal) covergetă pe compactul [-α, α] (-, ). (iii) Fie R cu proprietatea (VI.9) şi presupuem, pri reducere la absurd, că eistă R cu > ( a,( ) divergetă) a. î. a covergetă. După cazul (i) avem R cu proprietatea (VI.8) faţă de, deci a este absolut covergetă, ceea ce cotrazice ipoteza Petru R cu proprietatea (VI.9) seria de puteri este divergetă. Observaţii:. Aalizâd afirmaţiile di Lema lui Abel găsim următoarele cazuri: I. a covergetă umai î = şi divergetă R. Eemplu :! = +! +! +... este covergetă î = cu suma S=.Petru R fiat avem lim a = lim! a este divergetă î R. II. a este absolut covergetă pe R. 45
5 Eemplu : = şi R, aplicăm seriei!!! a =! criteriul raportului: + f ( ) +! l = lim = lim = lim =, R f ( ) ( + )! + a este covergetă î R este absolut covergetă pe R.! III. Eistă u elemet r [,] a. î.:. seria a este absolut covergetă petru R care satisface < r ( (-r, r));. seria a este divergetă petru R cu > r( (-,-r) (r, +)); 3. dacă = r se va preciza atura seriilor umerice ar şi a ( ) r. Eemple: 3), eistă = - a. î. ( ) covergetă TVI..4 este absolut covergetă î cu proprietatea: < = - = şi cum ( ) covergetă, iar divergetă, mulţimea de covergeţă petru este [-, ). 45
6 ( ) 4), eistă = + a. î. ( ) covergetă ( ) LemaAbel este absolut covergetă î R cu < = şi cum = - avem ( ) ( ) ( ) = divergetă şi covergetă î =, atuci mulţimea de covergeţă a seriei ( ) este (-, ]. 5., eistă = + şi = - cu seriile umerice covergetă ( ) LemaAbel şi covergetă este absolut covergetă î R cu = ' =, deci pe [-, ].. Lema lui Abel afirmă eisteţa lui r [,] di cazul III. Defiiţia VI.5. Fie a cu a R. ] Elemetul r [,] defiit pri: ( ) (VI.) r = sup { R şi a = a covergetă} se umeşte raza de covergeţă, iar itervalul (-r, r) R se umeşte iterval (disc) de covergeţă al seriei de puteri a. ] Se umeşte mulţime de covergeţă sau domeiu de covergeţă al seriei de puteri mulţimea: a otat Dc (care are iteriorul, otat ) o D ) dat pri c 453
7 ) {}; o r = (5) D = ; r. c R = ( rr, ); < r < 3] Fucţia f : D c R se umeşte suma seriei de puteri, otată D a = f( ), c. Teorema VI.5. (Teorema I a lui Abel) Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r, atuci avem: ) a este absolut covergetă î R cu < r. ) seria a este divergetă petru R cu > r; 3) a este absolut şi uiform covergetă pe orice compact [-α, α] (-r, r) cu < α < r. Demostraţie. ) Fie R fiat cu <r fiat. Dacă avem <ρ<r di defiiţia lui r (VI.) rezultă că seria a ρ este covergetă, deci a este covergetă a este absolut covergetă î R cu <r. () Fie R fiat cu >r. Dacă avem <ρ <, di defiiţia lui r (VI.) rezultă că seria a ρ este divergetă, deci a este 454
8 divergetă cu lim a lim a şi atuci a este divergetă î R cu >r. 3) Afirmaţia coicide cu (iii) di Lema lui Abel (teorema VI.4) deja demostrată. Teorema VI.6. Fie seria de puteri covergeţă Dc, atuci avem: a cu raza de covergeţă r şi mulţimea de I. Dacă r = D c ={}; II. Dacă r = D c =R; III. Dacă < r < (-r, r) D c [-r, r]. Demostratia este imediată folosid teorema I a lui Abel şi defiiţia lui D c di (VI.). Observaţii:. Î capetele itervalului de covergeţă (-r, r): = r şi = -r seria de puteri are aceeaşi atură cu seriile umerice ar şi a ( r) care sut: fie covergete, fie divergete.. Di acest motiv mulţimea de covergetă a seriei de puteri poate fi de forma: D c = o ) D = (-r, r); D c = c o ) =[-r, r); D c = D {-r, r} = [-r, r]. c c o ) D {r} = (-r, r]; D c = o ) D {-r} = c 3. Eemplele aalizate după lema lui Abel cuprid toate situaţiile de mai sus (eemplele ) 5)). 455
9 4. Vom studia mai departe procedeele de calcul petru raza de covergeţă r şi proprietăţile speciale ale seriilor de puteri. Teorema VI.7. (Teorema Cauchy - Hadamard) Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r. Dacă l = a, lim atuci avem: (i) (VI.3) ; dacă l = r = ; dacă l = (cu coveţiile = ; = ) ; ; dacă < l < l (ii) Dacă eistă l = lim a, atuci r = şi au loc situaţiile di (VI.3). l Demostraţie. (i) Dacă avem: < l < seria a ρ cu ρ R + este covergetă (după criteriul rădăciii al lui Cauchy de la serii umerice) petru ρ < şi divergetă petru ρ >. După defiiţia lui r, avem: l r şi respectiv r deci r = (după teorema de caracterizare l l l a margiii superioare î R). l Petru l = seria a ρ cu ρ R este covergetă petru + ρ, deci r =. Î cazul l = + seria a ρ cu ρ R este divergetă petru + orice ρ >, deci r =. 456
10 fiat seriei petru (ii) Dacă eistă l = lim a aplicăm criteriul rădăciii î ficare a şi avem covergeţă petru > ; î acest caz l = l şi au loc situaţiile di (VI.3). l Teorema VI.8. Fie seria de puteri a cu raza de covergeţă r. < şi divergetă l Dacă: a lim + =, l a l a lim + = şi a a l lim + = atuci avem: a r si r = l l l Demostraţie: î toate situaţiile di (VI.3). a+ a Avem lim lim + l = a lim = l r şi urmează a a l l discuţia di demostraţia teoremei Cauchy Hadamard (teorema VI.7). Dacă eistă a l lim + = aplicâd î fiecare seriei a a criteriul raportului al lui D Alembert se obţi situaţiile di (VI.3). Eemple: + cu + 6) ( ) r = = seria este absolut covergetă pe (-, ). l Petru = ( ) covergetă şi = ( ) covergetă + D c = [-, ]. 457
11 ( ) ( ) α α... α 7) + + cu α R cu! r = = seria este absolut l α α... α covergetă pe (-, ). Î =, avem+ + aplicâd! ( ) ( ) criteriul Raabe Duhamel: lim a = α + Seria este absolut a + covergetă petru α şi simplu covergetă după criteriul lui Leibiz petru < α <. + α α α ) covergetă petru α.! Î = -, avem ( )( )...( Avem D c = [-, ] petru α şi D c = (-, ] petru α (, ). + 8) ( ) cu α R are a ( ) ( l ) α + = cu şi α ( l ) a ( ) α ( + ) + ( l ) + ( + )( + ) + a = l = = α l l( ) + lim lim a α = a este absolut covergetă pe (-, ), α R. Î =, avem: ( ) petru α >. + covergetă dupa criteriul Leibiz α ( l ) Î = -, avem: + covergetă petru α > (după criteriul α ( l ) Bertrad: dacă eistă a lim l ( + ) l( + ) = µ seria a+ 458
12 a ( a > ) este covergetă petru µ > şi divergetă petru µ < ). Mulţimea de covergeţă Dc = [-, ] petru α > şi D c = (-, ] petru α>. 9) ; = 3k ; = 3k ; 3k ; 3k 3 k 3 cu a = a = 3 l = lim a = ma, r 3 = = covergetă pe (, ) = 3 avem )! cu ; î şi seria este absolut = 3 avem divergetă şi î ( ) divergetă. Î acest caz D c = (, ). a { } l a r ; k =! ; k =! = a = ; k!;!;... ;!;!;... { } k { } = lim = ma, = = şi cum petru =, = - seriile umerice corespuzătoare sut divergete, avem D c =(-, ). ) cu ( + ) 3 a = ( + ) 3 şi l a = = r = şi petru + lim a = seria ( ) covergetă, iar petru = ( ) 3 + ( ) 3 + covergetă, rezultă că: D c =,. 459
13 Cosiderăm o serie de puteri a cu raza de covergeţă r, r (, ) şi fucţia sumă f: (-r,r) R cu f() = a, care pe itervalul de uiformă covergeţă [-α, α] (-r, r) ( < α < r) are proprietăţile fucţiilor termei derivabile, f itegrabile. Teorema VI.9 Fie seria de puteri f ( ) = a : f cotiue, f derivabile chiar idefiit a cu raza de covergeţă r şi suma f, atuci f este cotiuă pe [-α, α] (-r, r). Demostraţie Fie (-r, r) < r şi di defiiţia margiii superioare pri (VI.) eistă α > cu < α < r a este uiform covergetă pe compactul [-α, α] şi suma sa f este cotiua pe [-α, α] ( f ( ) = a sut cotiue R) f cotiuă î (-r, r) f cotiuă pe (-r,r). Teorema VI.3. (Teorema a doua a lui Abel) Fie (respectiv a cu raza de covergeţă r şi suma f. Dacă seria a ( r) ) este covergetă, atuci suma f este cotiuă î puctul = r (respectiv = -r). Demostraţie: Presupuem că ar ar este o serie umerică covergetă şi vom dovedi că seria de puteri a este uiform 46
14 covergetă pe compactul [, r]. Avem: a = ar r cu [, r] şi sut îdepliite codiţiile di coseciţa a treia a criteriului Abel Dirichlet: ar este uiform covergetă şi şirul r este mooto descrescător uiform mărgiit pe [, r] a este uiform covergetă pe [, r] şi f cotiuă pe [, r] este fucţie cotiuă î puctul = r. Observaţii: Teorema a II-a a lui Abel permite determiarea sumei uor serii umerice, obţiute di serii de puteri a cu = fiat.. Petru seria a cu raza de covergeţă r şi suma f faptul că este covergetă î = r (respectiv = - r) implică: lim f ( ) = f( r) (respectiv lim f ( ) = f( r) ) (VI.4). r < r 3.Seria de puteri a r > r este uiform covergetă pe mulţimea sa de covergeţa Dc, dacă şi umai dacă, avem: D c =[- r, r]. 4. Di ultimele două teoreme avem: o serie de puteri este uiform covergetă pe orice compact coţiut î mulţimea sa de covergeţă, iar suma seriei este o fucţie cotiuă pe mulţimea sa de covergeţă. 46
15 Teorema VI.3. Fie dată suma de puteri au loc afirmaţiile: a cu raza de covergeţă r şi suma f, atuci i) Seria derivatelor a are aceeaşi rază de covergeţă r şi avem: (VI.5) a = ( a ) = a = f ( ), [ α, α] [-r,r]. ii) Seria itegralelor avem: a + are aceeaşi rază de covergeţă r şi + (VI.6) a a t dt = a t dt = = f () t dt, + + [,] (-r, r). iii) Fucţia sumă f este idefiit derivabilă pe [-α, α] (-r, r) cu: (VI.7) ( ) k k ( ) = ( )...( ), k f k a k şi ( ) (VI.8) a = f(), N.! Demostraţie: (i) şi (ii) Petru seria derivatelor a otăm raza de covergeţă: r = = = r. lim a lim a Seria itegralelor a + are raza de covergeţă: + 46
16 r = lim = a lim a + + = r. Petru α cu < α < r seria de fucţii a este uiform covergetă pe [-α, α] şi seria derivatelor a este uiform covergetă pe acelaşi compact deci se poate deriva terme cu terme, suma sa f este derivabilă şi are loc egalitatea (VI.5). Seria a este uiform covergetă pe [, ] (-r, r) şi f fucţii cotiue, se poate aplica itegrarea terme cu terme şi sut valabile egalităţile (VI.6). (iii) Seriile a şi a sut uiform covergete pe compactul [- α, α] (-r, r) şi după (VI.5), avem: = α a a, [, ] ( ) α şi f a =. Demostraţia petru (VI.7) se obţie pri iducţie asupra lui k. Di (VI.7) petru =, [-α, α] (-r, r), avem Observaţii: f = k a k (VI.8) a ( k ) ()! k, ( ) f() =, N.!. Orice serie de puteri a cu raza de covergeţă r şi mulţimea de covergeţă Dc este uiform covergetă pe orice iterval compact 463
17 [α, β] D c ; pe [α, β] sut valabile proprietăţile de cotiuitate, derivabilitate şi itegrabilitate ale fucţiei sumă f ( f: D c R).. Fucţia f C (( r, r)) di covergeţa seriilor umerice ar şi = r. a ( r) u rezultă, î geeral, derivabilitatea lui f î puctele = -r şi 3. O serie de puteri a cu raza de covergeţă r, va putea fi derivată terme cu terme umai pe (-r, r). 4. Coeficieţii uei serii de puteri sut uic determiaţi pri valorile sumei f şi a derivatelor sale f î =. ( k ) () 5. Dacă este dată seria a cu raza de covergeţă r şi suma f, pri formulele (VI.8) se pot determia valorile derivatelor lui f î = : f = k!a k cu k N, deci ( k ) () a k ( k ) f() =, k N. k! Teorema VI.3. (Operaţii cu serii de puteri). Fie date seriile de puteri a cu raza de covergeţă r şi suma f şi b cu raza de covergeţă r şi suma g, atuci au loc afirmaţiile: ) Dacă r = r = r şi f() = g(), (-r, r), atuci a = b, N. 464
18 ) Seriile de puteri a şi ( λ a ) (λ R) au aceeaşi rază de covergeţă r şi fucţia λf este suma seriei de puteri ( λa ) pe (-r, r ). ( ) 3) Seria de puteri a + b are raza de covergeţă r mi{r,r } şi suma f + g, pe (-r, r). 4) Seria produs după Cauchy c ude : (VI.9) c = a b = a b + ab a b, N are raza de k k k = covergeţă r mi{r,r } şi suma egală cu f g, pe (-r, r). Demostraţie: ) Dacă f = g pe (-r, r) di (VI.8) avem: a! f = b! g, N, a = b, N. ( ) ( ) () () ) Demostratia este directă deoarece, avem: k S ( ) = a şi σ ( ) = ( λ a ) =λs ( ) k = k k k adică cele două şiruri k = pc pc coverg şi diverg simulta ( S f şi σ (, ) λ f etc.). ( rr, ) rr 3) Fie r = mi{r,r }. Dacă < r, atuci < r şi < r, deci a şi b sut absolut covergete î cu proprietatea < r şi după operaţiile cu serii umerice covergete seria ( + ) este, absolut covergetă î aceste pucte. Raza de covergeţă a seriei de a b 465
19 puteri ( a + b) este r cu r < r, atuci ( - r, r ) (-r, r), deci r r ; evidet suma seriei este fucţia f + g, pe (-r, r). 4). Fie r = mi{r,r } şi R fiat cu < r, atuci < r şi < r seriile a şi b sut absolut covergete î. După teorema lui Mertes, care afirmă că produsul Cauchy a două serii absolut covergete este o serie absolut covergetă, rezultă: c cu c dată pri (VI.9) este o serie absolut covergetă î ; avem ( - r, r ) (-r, r), deci r r. Se otează: c = a b. Observaţii:. Relaţia r mi{r,r } di 3) şi 4) poate fi strictă. Eemplu: şi ( ) au r =r = şi seria: ( ) ( ) a + b = = are r = ; deci î acest caz r = > >mi{r,r } =.. Dacă seriile a şi b au razele de covergeţă r r, otăm cu r = mi{r,r }. Presupuem r < r, atuci petru R cu proprietatea ( ) r < <r, seria a + b este divergetă ( a este divergetă şi b este covergetă). Petru raza de covergeţă r a seriei 466
20 ( a + b) avem r r şi cum r < r r= r = = mi{r,r } (-r, r) = =( - r, r ) ( - r, r ). 3. Se poate cosidera produsul după Cauchy: a c ( aa aa... aa ). = = După formula (VI.8), avem: ( ) () (VI.3) a = = f( ), ( rr, ) f.! Serii Taylor. Aplicaţii. ( ) f () Vom etide reprezetarea (VI.3): f ( ) = = a, (-r, r)! a sumei uei serii de fucţii f cu f C (( r, r)) la cazul geeral f C ( I) cu I R iterval şi I ( = puct iterior itervalului I). Defiiţia VI.6 Fie I R iterval, I şi f: I R cu f C ( I). Se umeşte serie Taylor asociată fucţiei f î jurul puctului =, seria de puteri: (VI.3) ( ) ( ) f() f () f() = f() , I.!!! Studiul seriilor Taylor asociate fucţiilor de clasă C pe u iterval cu = puct iterior, ridică două probleme eseţiale: I. Seria (VI.3) este covergetă î puctele I cu, deci raza de covergeţă este r (r (, ])? II. Seria (VI.3) are ca sumă chiar fucţia geeratoare f pe itervalul de covergeţă (-r, r)? 467
21 ) Eemple: f = e f C R f e ( ) ( ) cu ( ) ( ),avem ( ) =, f = deci: ( ) ( ) () şi r = lim =. Deci D c =R şi seria Taylor asociată!! a+ a lui f ( ) = e coverge î R; vom dovedi că suma acestei serii Taylor este f ( ) = e.. e ; (,] f( ) = este derivabilă pe [-, ] cu ( f ) ( ) =, [-, ) ; [, ] şi N. Fucţia f admite f ' s () = şi să dovedim că f este derivabilă î =. Avem ' e t fd () = lim = limte =, t = cu > şi cum t > f s' () = f ' () =. Petru (,], f este derivabilă ca o compuere de fucţii reale derivabile şi f este derivabilă pe [-, ]; î acelaşi mod se arată că f C ([,) ] ( ) şi avem f ( ) =, =,,... iar seria Taylor asociată lui f î = este de forma: () cu suma S=. Fucţia f!! u este suma seriei Taylor asociată î jurul lui =, deoarece f u este idetic egală cu zero pe [-, ]. Teorema VI.33. (Teorema de reprezetare a fucţiilor de clasă C pri serii Taylor) Fie I R u iterval, = puct iterior lui I şi f C ( I). Dacă eistă M > a. î. 468
22 (VI.3) ( f ) ( ) M, I şi N atuci seria Taylor (VI.3) este uiform covergetă pe I cu suma f, adică: ( ) ( ) f() f () f() VI.33 f ( ) = = f() , ( a, a) I!!! Demostraţie: Î ipotezele teoremei, seria (VI.33), are şirul ( ) sumelor parţiale ( ) f () f() S ( ) = f() şi după formula!! Maclauri, avem: S ( ) = f( ) R ( ) f( ) S ( ) = R ( ), I ude ( ξ) ( + ) f R ( ) = ( + )! + cu ξ ître şi ( ξ = θ, < θ < ). Petru (-a, a) < a, avem: ( ξ) ( + ) f + + a f( ) S( ) = R( ) = M = ( + )! ( + )! Mb + şi cum: uc lim b = lim f S = S f şi atuci are loc egalitatea ( aa, ) (VI.33). Aplicaţii: I. Seria biomială Fie α R şi seria de puteri: (VI.34) α α( α ) α( α )...( α + ) umită seria!!! biomială.avem r = = seria (VI.34) este absolut covergetă α lim + pe (-, ) cu suma f: (-, ) R deci: (VI.34') α α( α ) α( α )...( α + ) f = !!! ( ) Pri derivare di (VI.34') avem: 469
23 α α( α ) α( α )...( α + ) () f ( ) = !!! de ude pri îmulţirea cu ( ), se obţie: α α( α ) α( α )...( α + ) () f ( ) = !!! Aduâd () şi () se obţie: ( ) αα ( ) αα ( ) ( ) αα ( )( α ) + =α+ α !! + ( ) f α( α )...( α ) α( α )...( α + ) , (,) ude:! ( )! α( α )...( α k) α( α )...( α k+ ) α( α )...( α k+ ) α k + = + = k! k! k! k ( k ) ( ) ( ) αα ( )...( α k + ) =, k N ( + ) f ( ) =αf( ), (,).! Cum f(), (-,) şi f() >, avem: f ( ) α =, (-,) f ( ) + l f ( ) =α l( + ) + l c f( ) = c( + ) α, (-,) şi f() = = c f() = ( + ) α, (-,). Seria biomială (VI.34) are suma f()=( + ) α, petru (-,) şi are loc egalitatea: α α αα ( ) αα ( )...( α + ) (VI.3") ( + ) = , şi!!! (,), α R. Formula (VI.3 ) este o geeralizare a formulei biomului lui Newto adevărată petru α N şi di acest motiv seria (VI.34) se umeşte seria biomială. 47
24 II. Cazuri particulare ale seriei biomiale. α = - () = ( ) +... = ( ), (-,). +. Î seria () trecem = - pe (-, ) şi obţiem: () = =, (-,). 3. Fie [, ] (-, ) şi itegrâd terme cu terme seria (), obţiem: I. (3) 3 l( + ) = ( ) +... = ( ) 3, (-,). La fel pe [, ] (-, ) şi itegrâd terme cu terme seria (), avem: II.(4) 3 l( ) = = 3, (-,). III. Aduâd membru cu membru seriile (3) şi (4) pe (-,), rezultă: (5) 4 l = =, (-,) VI. Î seria (3) trecem pe (-, ) şi avem: (6) 4 l( + ) = ( ) +... = ( ), (-,). 4. Petru α = di seria biomială obţiem: ( ) 7 + = , (,)!!! ( ) ( ) 5. Petru α = - di seria biomială obţiem: ( ) 8 = , (,) +!!! ( ) ( ) Î seria (8) trecem pe - cu (-, ) şi avem: 47
25 3 3...( ) 9 = , (,)!!! ( ) 6. Î seria () trecem pe (-, ) şi avem: 4 6 () = ( ) +... = ( ) (-,). + Petru [, ] (-, ) itegrăm terme cu terme seria () şi obţiem: () arctg = ( ) +... = ( ) (-,) Î seria (9) trecem pe (-, ) şi avem: ( ) = , (,)!!! ( ) Pri itegrare [, ] (-, ) di (), avem: (3) ( ) arcsi = !3!5! + (-,). Di seria (3)se obţie după teorema a II-a a lui Abel: π lim arcsi = arcsi = = < ( ) ( )!! = = +!3!5!! + ( )!! (4) π= + +! care permite să se calculeze cu o aproimaţie precizată umărul real π. 47
26 III. Calculul umeric al logaritmilor aturali Avem (3) 3 l( + ) = ( ) +... = ( ) 3, petru (-,). Fie a u umăr pozitiv cuoscut şi să determiăm l(a+), avem: l( a+ ) l a= l( + ) şi petru a > di (3) se obţie: a l + = ( ) +... care este o serie îcet 3 a a a 3 a a covergetă, mai ales dacă a este u umăr mic. Vom folosi seria (5) 4 l = =, (-,) şi otăm: + = + = şi obţiem dezvoltarea: a a+ (5) l + = care este 3 a a 3 (a ) (a ) o serie rapid covergetă. Petru a =, di (5) se obţie: l = şi folosid metodele de calcul aproimativ al sumei uei serii umerice cu termei pozitivi covergetă, se poate calcula l cu u umar precizat de zecimale eacte. IV. Dezvoltarea î serie Taylor a uor fucţii elemetare. f ( ) = e cu R şi ( ) f ( ) = e, R, N f C ( R) şi ( f ) () =, N. Petru a >, avem: ( ) a f ( ) = e e, (-a, a) şi 473
27 = = R şi cum r =, are!!! deci e......, ( a, a) loc egalitatea: e =, R.! Petru = e = = şi se poate calcula umărul e!!! cu u umăr precizat de zecimale eacte.. f()= si, R cu π ( ) = si +, R, N şi ( ) = ( ) ( ) f f π = si +, R, N f C ( R ) cu : k ( ) π ( ) ; = k+ f() = si =, deci avem: ; = k si = = ( ), R. 3! 5!! ( + ) 3. f()= cos, R cu π ( ) = cos +, R, N şi ( ) = ( ) ( ) f f π = cos +, R, N f C ( R ) cu : f ( ) () k π ( ) ; = k = cos =, deci avem: ; = k+ cos = = ( )! 4! 4, R. 4. f()= arctg, R. Notăm y = arctg = tg y şi avem: 474
28 y + + tg π y ( y ) = = = cos y = cos si + y ( ) π arată că, avem: f ( ) ( )!cos ysi( y ) = + = ( )!cos π ( arctg ) si ( arctg ). Pri metoda iducţiei se = + petru R, N f C ( R) ; are loc şi relaţia: ( ) = ( )! si arctg +, R, N. Petru = ( + ) π ( ) ( ) f ; ( ) () ( )!si π = k f = = şi se obţie: ( ) k ; = k arctg = ( ) + R + ( ), R ude : R ( ) = si (+ ) arctgθ + + ( +θ ) π ( ) + + ( +θ ) + + π R + ( ) = si ( ) ( arctg + ) + θ ( +θ ) + = b ( ). Petru fiecare R, fiat, şirul b ( ) = este descrescător şi mărgiit iferior de zero pc b R deci R + ( ) pc R şi avem: arctg = ( ), R cu raza r= + seria este uiform covergetă pe [-α, α] (-, ). 475
29 5. Să se determie seria de puteri asociată fucţiei f ( ) = l ( + + ) cu (-, ). De la seria biomială α αα ( )...( α + ) + =,cu (,) (-, +) petru α = -! ( ) = avem: ( ) () = ( ) +..., (,) +!!! şi trecâd pe î î egalitatea () se obţie: ( ) = , +!!! ( ) ( ) Petru > cu (-, ) itegrâd pe compactul [, ] (-, ) se obţie: 3 dt ( ) + + t = ( ) ! 5! +! ( ) dt dar = l ( t+ + t ) +C şi cum f () t l ( t t ) + t = + + are proprietatea f ()= l = se va cosidera C =. Fucţia f este suma seriei de puteri: 3 ( ) 5 ( ) ( ) + l + + = ( ) ! 5! +! pe (-, ). 6. Să se determie raza de covergeţă şi suma seriei de puteri = cu <. Avem: r = = = şi r =, deci seria dată ρ lim este absolut covergetă pe (-,) şi fie f suma sa: f() =, = 476
30 (-,). Fie seria de puteri cu raza de covergeţă r = şi S() = = =, (-, ) care pri derivare coduce la egalitatea: = S () =, cu (-, ) şi atuci S () = =, cu (-, ). = Avem: S () = ( ) = egalitatea: S () + S () = ( ), cu (-, ) şi pri aduare rezultă + = = f(), = = = (-, ). Di S() =, (-, ) se obţie: S () = ( ) şi S () = 3 ( ) (-, ) deci, suma seriei date este: f() = S () + +S () = ( ) 3 + ( ) = 3 ( ), (-, ) = 3 = ( ), (-, ). 4. Serii trigoometrice. Serii Fourier. Aplicaţii. Studiul seriilor trigoometrice şi î particular, al seriilor Fourier este legat de reprezetarea semalelor periodice î desfăşurarea uor feomee di realitate, cu posibilităţi de adaptare la tehicile modere de calcul. G. Cator a itrodus operaţiile algebrice cu mulţimi; reuiue, itersecţie, difereţa etc. plecâd de la studiul mulţimii de covergeţă a uor serii trigoometrice. 477
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSpaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότερα