Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Transcript

1 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) = f(a) + x a f (a) + + 1! Restul de ordiul al formulei lui Taylor î puctul x (R f)(x) = f(x) (T f)(x) f () (a) Formula lui Taylor de ordiul petru fucţia f î veciătatea puctului a: f(x) = (T f)(x) + (R f)(x) sau 2 Restul Are loc f(x) = f(a) + x a f(a) + 1! + (R f)(x) (R f)(x) = (x a)2 f (a) + + 2! ω(x), cu lim ω(x) = x a Dacă f C +1 (I), atuci θ (, 1) astfel îcât (restul î forma Lagrage) (R f)(x) = +1 f (+1) (a + θ(x a)) ( + 1)! f () (a) (R f)(x) = +1 (1 θ) f (+1) (a + θ(x a)) (restul î forma Cauchy) 1

2 x (x t) (R f)(x) = f (+1) (t)d t a (restul î formă itegrală) Formula lui Maclauri Dacă î formula lui Taylor se ia a =, se obţie formula lui MacLauri ude f(x) = f() + xf () + + x f () () + (R f)(x), (R f)(x) = x+1 ( + 1)! f (+1) (θx), θ (, 1) Example de dezvoltări uzuale e x = 1 + x + x2 2! + + x + R (x); (1) si x = x x! + x5 x2+1 5! (2 + 1)! + R 2+1(x); (2) cos x = 1 x2 2! + x4 x2 4! (2)! + R 2(x); () Alte dezvoltări uzuale ude l(1 + x) = x x2 2 + x x R +1(x); (4) ( ) ( ) ( ) k k k (1 + x) k = 1 + x + x x + R (x), (5) 1 2 ( ) k = k(k 1) (k + 1) 4 Aplicaţii Problema 1 Să se scrie formula lui MacLauri petru fucţia f : [ a, ) R, f(x) = a + x, a > Soluţie Scriem f(x) = a + x = a ( ) 1 + x 1 2 a ; se obţie f(x) = [ a x 2 a ) 2 ( 1)1 + ( 1) ) ! a 2! a (2 ) +( 1) 2 a ) + (R f)(x)] 2

3 Problema 2 Să se determie umărul atural, astfel ca petru a = şi f : R R, f(x) = e x T f să aproximeze f î [ 1, 1] cu trei zecimale exacte Soluţie Impuem codiţia (R f) (x) = x+1 e θx < 1 Deoarece θx < 1, (+1)! e θx < e <, avem x +1 ( + 1)! eθx < ( + 1)! < 1 = 6 Î particular, luâd x = 1, obţiem ( e ! ) 6! < 1 1 Problema Să se aproximeze 999 cu 12 zecimale exacte Soluţie Avem 999 = 1 (1 1 ) 1 1 Folosim formula (5) petru k = 1/, x = 1 1 Îtr-o serie alterată modulul erorii este mai mic decât modulul primului terme eglijat ( 1 ) (R f)(x) < 1 Petru = 4, avem (R f)(x) < = 1 24 = Probleme propuse Problema 4 Dezvoltaţi fucţia eroare erf(x) = 2 x e t2 d t π i serie utilizâd seria petru expoeţială şi itegrâd Calculaţi seria Taylor a lui erf(x) î jurul lui zero direct Sut cele două serii idetice? Evaluaţi erf(1) aduâd patru termei ai seriei şi comparaţi cu valoarea erf(1) 8427, care este dată cu patru zecimale corecte Idicaţie: Di teorema fudametală a calculului itegral rezultă că d dx x f(t)d t = f(x) Problema 5 Deduceţi seria Taylor petru l(1 + x) şi aproximaţi l 2 folosid primii 8 termei Câţi termei sut ecesari petru a obţie l 2 cu 5 zecimale corecte? La fel petru l 1+x 1 x

4 Problema 6 Deduceţi seria Taylor petru arctagetă Câţi termei sut ecesari petru a obţie π/4 cu 5 zecimale corecte Problema 7 (Aproximare cu serii MacLauri) O fucţia f C [a, b] se poate aproxima, utilizâd seria Maclauri truchiată, pritr-u poliom de grad f(x) T (x) = c i x i, ude c i = f (i) ()/i! (a) Reprezetaţi grafic şi comparaţi graficele lui f(x) = e x şi ale polioamelor (T 2 f) (x), (T f) (x), (T 4 f) (x), (T 5 f) (x) Aproximează mulţumitor polioamele T f de grad mare fucţia e x pe u iterval di ce i ce mai mare cetrat î jurul origiii? (b) Repetaţi petru g(x) = l(1 + x) Problema 8 (Aproximare Padé raţioală) Aproximarea Padé raţioală este cea mai buă aproximare a uei fucţii pritr-o fucţie raţioală de ordi (m, ) dat Se defieşte ca fiid o aproximare raţioală de grad (m, ) dat care reproduce valorile fucţiei si derivatelor ei pâa la ordiul m + k Ea dă adesea aproximări mai bue decât seriile Taylor truchiate şi ueori lucrează chiar şi atuci câd seria Taylor u coverge! Î loc să utilizăm polioame de grad mare, putem utiliza câturi de polioame de grad mic Aceste aproximări se umesc aproximări raţioale Fie i= f(x) p m m(x) q k (x) = i= a ix i k j= b jx = R m,k(x), j ude b = 1 Aici am ormalizat pri b iar valorile lui m şi k se presupu a fi modeste Alegem cei k coeficieţi b j şi cei m + 1 coeficieţi a i di R m,k astfel îcât R m,k să reproducă valorile lui f şi ale uui umăr specificat de derivate ale ei î puctul fixat x = Costruim îtâi seria Maclauri truchiată i= c ix i, ude c i = f (i) ()/i! şi c i = petru i < Apoi, egalăm primele m + k + 1 derivate ale lui R m,k î raport cu x î x = cu primii m + k + 1 coeficieţi c i Se obţie sistemul: c m c m 1 c m (k 2) c m (k 1) c m+1 c m c m (k ) c m (k 2) c m+(k 2) c m+(k ) c m c m 1 c m+(k 1) c m+(k 2) c m+1 c m b 1 b 2 b k 1 b k = c m+1 c m+2 c m+(k 1) c m+k Deoarece b = 1, rezolvâd acest sistem de dimesiue k k vom obţie coeficieţii b 1, b 2,, b k Valorile lui a, a 1,, a m se obţi di a j = j c j l b l l= (j =, 1, m) 4

5 De otat că a j = petru j > m şi b j = petru j > k De asemeea, dacă k =, atuci R m, este seria Maclauri truchiată a lui f Mai mult, aproximarea Padé poate avea sigularităţi (a) Implemetaţi aproximarea Padé petru f, k, m date (b) Determiaţi fucţiile raţioale R 1,1 (x) şi R 2,2 (x) petru f(x) = e x Reprezetaţi grafic şi comparaţi graficele lui f(x) = e x, R 1,1 şi R 2,2 Sut satisfăcătoare aceste aproximaţii raţioale ale lui e x pe [ 1, 1]? Cum se comportă comparativ cu seriile Maclauri truchiate di problemele precedete? (c) Repetaţi petru aproximările R 2,2 (x) şi R,1 (x) ale fucţiei g(x) = l(1 + x) Problema 9 Calculaţi dezvoltarea MacLauri a fucţiei Bessel J (2x) Determiaţi R 2,2 (x), R 4, (x) şi R 2,4 (x) şi comparaţi graficele Fucţiile Bessel J se defiesc pri J (x) = 1 π π cos (x si θ θ) dθ 5