Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Transcript

1 Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit umai cu permisiuea autorului. El poate fi 0. Fucţioale pătratice reale. Defiiţie şi fucţioala polară. Reprezetarea matriceală şi forma algebrică a uei fucţioale pătratice reale Fie (X, R) spaţiu vectorial real. Defiiţie 0.. Presupuem că f : X X R este o fucţioală biliiară simetrică. Fucţioala liiară V : X R defiită pri V (x) = f (x, x) se umeşte fucţioală pătratică reală. Defiiţie 0..2 Fie V : X R o fucţioală pătratică reală. Fucţioala biliiară simetrică f : X X R, f (x, y) = (V (x + y) V (x) V (y)) (0..) 2 asociată lui V, se umeşte fucţioala polară sau fucţioala dedublată a lui V. Remarcă 0.. Fucţioala polară a uei fucţioale pătratice reale este uică. Remarcă 0..2 Fie V : X R o fucţioală pătratică reală şi f : X X R fucţioala polară a lui V. Dacă dim R X = N, F = {f,, f } bază X iar x F = (x,, x ) T este vectorul coordoatelor uui elemet x X î baza F atuci ( ) V (x) = f (x, x) = f x if i, x jf j = x j= ix j f (f i, f j ) = x j= ix j a ij = x T F Ax F (0..2) j= ude A = (a ij ) i,j=,, iar a ij = f (f i, f j ) R (i, j =,, ). Remarcă 0..3 Reprezetarea V (x) = (x F ) T Ax F se umeşte reprezetarea matriceală a fucţioalei pătratice reale V î timp ce V (x) = x ix j a ij se umeşte forma algebrică a fucţioalei pătratice reale V. j= Remarcă 0..4 Matricea şi ragul uei fucţioale pătratice coicid cu matricea, respectiv cu ragul fucţioalei biliiare simetrice asociate. Exerciţiul 0.. Fie (X, R) spaţiu vectorial real şi V : X R o fucţioală pătratică reală defiită pri V (x) = x ix j a ij. Să se determie fucţioala biliiară simetrică f : X X R di care provie V. j= 0-

2 CURS 0: ALGEBRĂ 0-2 Soluţie. Se rezolvă pri trei metode: Metoda : se determiă pri dedublare: moomul a ii x 2 i di V devie a iix i y i î f iar moomul a ij x i x j di V (petru j i) devie aij 2 x iy j + aij 2 x jy i î f. Metoda 2: se aplică (0..), adică direct defiiţia. Metoda 3: se scrie matricea lui V după care ţiem cot de cursul aterior î care s-a văzut că oricărei matrice i se poate asocia o fucţioală biliiară. 0.2 Clasificarea fucţioalelor pătratice şi a matricelor pătratice Defiiţie 0.2. O fucţioală pătratică se umeşte pozitiv defiită (egativ defiită, pozitiv semidefiită, egativ semidefiită, edefiită) dacă fucţioala biliiară simetrică asociată formei pătratice are această proprietate. Defiiţie Matricea uei fucţioale pătratice se umeşte pozitiv defiită (respectiv egativ defiită, pozitiv semidefiită, egativ semidefiită, edefiită) dacă fucţioala pătratică asociată ei are aceste proprietăţi. Teoremă 0.2. (Criteriul lui Sylvester) Fie (X, R) spaţiu vectorial real cu dim R X = N, A = (a ij ) i,j=,, matricea fucţioalei pătratice reale V : X R î raport cu baza F = {f,, f } X şi Următoarele sut adevărate: i) A şi V sut pozitiv defiite dacă şi umai dacă =, 2 = a 2 a 2 a 22,, = det A. > 0, 2 > 0,, > 0 sau valorile proprii ale matricei A sut strict pozitive. ii) A şi V sut egativ defiite dacă şi umai dacă < 0, 2 > 0,, ( ) > 0 sau valorile proprii ale matricei A sut strict egative. iii) dacă i 0 petru orice i =,, şi i), ii) sut false atuci A şi V sut edefiite. iv) A şi V sut pozitiv semidefiite dacă şi umai dacă A are toate valorile proprii mai mari sau egale cu zero. Remarcă 0.2. Forma pătratică V este egativ defiită dacă şi umai dacă forma pătratică V : X R defiită pri V (x) = V (x) este pozitiv defiită. Matricea asociată lui V este A iar miorii ei pricipali sut i = ( )i i petru i =,,. Remarcă O matrice simetrică este pozitiv defiită toţi miorii pricipali ai matricei sut strict pozitivi.

3 CURS 0: ALGEBRĂ Forma caoică a uei fucţioale pătratice (matrice pătratice). Metoda lui Jacobi şi metoda lui Gauss petru reducerea la forma caoică Fie (X, R) spaţiu vectorial real cu dim R X = N. Defiiţie 0.3. Spuem că expresia uei fucţioale pătratice V : X R a fost adusă la forma caoică dacă există o bază F a lui X astfel îcât V (x) = λ ω λ ω 2 ude x F = (ω,, ω ) T este vectorul coordoatelor lui x X î raport cu baza F iar λ,, λ R. Remarcă 0.3. Matricea formei caoice este o matrice diagoală. Defiiţie Presupuem că f : X X R este o fucţioală biliiară simetrică, V : X R este fucţioala pătratică reală asociată lui f iar Y X este subspaţiu vectorial al lui X. i) Vectorii x, y X se umesc ortogoali î raport cu f (sau cu V ) dacă f (x, y) = 0. ii) Mulţimea Y = {x X f (x, y) = 0 y Y } se umeşte complemetul ortogoal al lui Y î X faţă de f. Remarcă Y este subspaţiu vectorial î X. Defiiţie Presupuem că f : X X R este o fucţioală biliiară simetrică (respectiv V : X R este fucţioala pătratică reală asociată lui f). Baza F = {f,, f } X se umeşte i) bază ortogoală î raport cu fucţioala f (respectiv V ) dacă f (f i, f j ) = 0 petru i j (i, j =, ), adică vectorii ei sut ortogoali doi câte doi faţă de f. ii) bază ortoormată î raport cu fucţioala f (respectiv V ) dacă este ortogoală şi î plus f (f i, f j ) = petru i = j (i =, ). Teoremă 0.3. (Metoda Jacobi) Presupuem că f : X X R este o fucţioală biliiară simetrică iar V : X R este fucţioala pătratică reală asociată lui f. Fie A = (a ij ) i,j=,, matricea lui V : X R î raport cu baza E = {e,, e } X şi 0 =, = 0, 2 = a 2 a 2 a 22 0,, = det A 0. Î aceste ipoteze, există o bază ortoormată F = {f,, f } X faţă de care forma pătratică V are expresia caoică V (x) = 0 ω 2 + ω ω 2 2 ude ω,, ω sut compoetele coordoatelor lui x î baza F (Echivalet: x = ω f + ω 2 f ω f sau x F = (ω,, ω ) T ). Algoritmul Jacobi de determiare al bazei F este redat î: Se caută vectorii f,, f de forma f = b e f 2 = b 2 e + b 22 e 2 f i = b i e + b 2i e 2 + b ii e i f = b e + b 2 e b e (0.3.)

4 CURS 0: ALGEBRĂ 0-4 ude b i,j R se determiă di { f (e, f ) = b ( = f (e, f 2 ) = 0 f (e 2, f 2 ) = a a 2 f (e, f 3 ) = 0 f (e 2, f 3 ) = 0 f (e 3, f 3 ) = f (e, f ) = 0 f (e, f ) = 0 f (e, f ) = ) ( ) ( ) b2 0 = a 2 a 22 b 22 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 = a 3 a 32 a 33 b 3 b 23 b 33 a a, a, a a 0 0 b b, b = 0 0 (0.3.2) sut relaţiile cu ajutorul cărora determiăm ecuoscutele b ij. Cum i 0 deducem că sistemele (0.3.2) di care aflăm b ij au soluţie uică şi deci se rezolvă folosid regula lui Cramer. Soluţiile lui (0.3.2) se îlocuiesc î (0.3.) de ude rezultă baza căutată. Matricea lui V î oua bază F este matricea C = (c ij ) ude { 0 petru i j, c ij = f (f i, f j ) = b ii = i i petru i = j. Teoremă (Metoda lui Gauss) Dacă V : X R este fucţioală pătratică reală atuci există o bază ortogoală î X î raport cu care fucţioala pătratică V poate fi scrisă sub forma caoică. Metoda lui Gauss de aducere la forma caoică şi de determiare a uei baze ortogoală î X este redată î: Fie (X, R) spaţiu vectorial real, F = {f,, f } bază X şi V : X R o fucţioală pătratică reală defiită pri V (x) = a ijx i x j j= expresia algebrică a fucţioalei î această bază. Petru a determia o bază ortogoală î X î raport cu care fucţioala pătratică V poate fi scrisă sub forma caoică se repetă etapele descrise mai jos atâta timp cât există expresii de forma x i x j cu i j: Etapa. V u coţie pătrate, caz î care este obligatorie trasformarea de coordoate x i = x i + x j, x j = x i x j şi x k = x k, k i, j = x i = x i + x j 2, x j = x i x j, x k = x 2 k, k i, j (0.3.3) î scopul obţierii de pătrate î V. Scriem oua expresie petru V şi otăm cu F 2 = {f 2,, f 2 } baza lui X faţă de care coordoatele lui x sut x i, i =,. Matricea de trecere la oua bază este C F,F 2 = i liia j liia matricea rezultată di (0.3.3) Folosim formula x F2 = (C F,F 2 ) x F petru a afla F 2, ude x F2 = (x,, x ) T sut coordoatele lui x î baza F 2. Î fapt, coloaele lui C F,F 2 sut vectorii bazei F 2. Dacă u sutem î ipotezele Etapei se trece la:

5 CURS 0: ALGEBRĂ 0-5 Etapa 2. V coţie pătrate, situaţie î care u este ecesară trasformarea de coordoate de la Etapa. Î acest caz, presupuâd că V posedă u terme î x 2 atuci V se poate scrie astfel V (x) = x a i x x i + a i=2 i> ijx i x j = ( ) x + 2 a i x i j> i=2 a a ia j x i x j + a i>j> i> ijx i x j j> ( ) = x + 2 a i x i + i=2 i>j> a ijx i x j ude Efectuăm trasformarea de coordoate x = x + a 2 x a x x 2 = x 2 x = x şi avem oua expresie petru V Di (0.3.4) deducem că x a 2 a x 2 = 0 0 x 0 0 a ij = a ij a ia j petru orice 2 i, j. x x 2 x = V (x) = x + i> x x 2 x = a 2 a x x 2 x (0.3.4) j> a ijx ix j. (0.3.5) a 2 a iar dacă otăm cu F 2 = {f 2,, f 2 } baza lui X faţă de care V este trasformată î (0.3.5) atuci matricea de trecere de la baza F la baza F 2 va fi a 2 a a 2 a C F,F 2 = 0 0 = Evidet, avem formula x F2 = (C F,F 2 ) x F petru a afla F 2, ude x F2 = (x,, x ) T sut coordoatele lui x î baza F 2. Î fapt, coloaele lui C F,F 2 sut vectorii bazei F 2. Cum î fucţioala pătratică x x 2 x i> j> a ij x i x j u figurează decât coordoate de idice superior lui se repetă procedura de la Etapele, 2 petru celelalte variabile pâă ce se obţie baza ortogoală î X î raport cu care fucţioala pătratică V poate fi scrisă sub forma caoică. Remarcă Expresia caoică a uei fucţioale pătratice u este uică. 0.4 Teorema ierţiei-sylvester Fie (X, R) spaţiu vectorial real cu dim R X = N. Se observă că sigatura uei forme pătratice este ivariată la trecerea de la o expresie caoică la alta: Teoremă 0.4. (Teorema ierţiei-sylvester) Dacă V : X R este o fucţioală pătratică iar f (x) = r ωi 2 r+s j=r+ ω2 i respectiv f 2 (x) = t ω i 2 t+h j=t+ ω2 j sut formele caoice ale fucţioalei pătratice V atuci umărul coeficieţilor strict pozitivi şi cel al coeficieţilor strict egativi u depide de baza î care s-a obţiut forma caoică.

6 CURS 0: ALGEBRĂ 0-6 Demostraţie. Presupuem pri absurd r t, t > r X 2 spaţiul soluţiilor sistemului omoge ω r+ = 0 S : respectiv S 2 : ω = 0, (situaţia r > t tratâdu-se aalog). Fie X respectiv ω = 0 ω t = 0. Di presupuerea făcută, r < t, obsevăm că u putem avea dim R (X X 2 ) = 0. Îtr-adevăr, dacă dim R (X X 2 ) = 0 atuci aplicâd Teorema lui Grassma Pe de altă parte di X + X 2 X deducem că dim R (X + X 2 ) = dim R X + dim R X 2. = dim R X dim R (X + X 2 ) = dim R X + dim R X 2 = r + t sau echivalet cu r + t = r t adică o cotradicţie cu r < t. Argumet di care reţiem că dim R (X X 2 ) 0 şi deci X X 2 {0 X } fapt ce atrage existeţa uui elemet x X X 2, x 0 X care să verifice sistemul omoge ω r+ = 0 ω S 3 : = 0 ω = 0 ω t = 0, mai mult V (x) = r ω 2 i t+h 0 şi V (x) = j=t+ ω2 j 0. De ude deducem că V (x) = 0. Î fial V (x) = 0 atrage ω 2 i = 0 petru i =,.., r respectiv ω 2 j = 0 petru j = t +,, t + h ceea ce implică x = 0 X (V (x) = 0 x = 0 X!), adică o cotradicţie cu x 0 X. Rezultă r = t. Petru a demostra că s = h otăm g = V şi observăm că toţi coeficieţii strict egativi di expresia lui V devi strict pozitivi î g. Atuci procedâd absolut aalog cazului di demostraţia r = t se obţie h = s. Remarcă 0.4. Cum r = t iar h = s se poate itroduce deumirea t idice pozitiv de ierţie iar s idice egativ de ierţie. Perechea (t, s) se umeşte sigatura fucţioalei pătratice V. Dăm următoarea clasificare a fucţioalelor pătratice: Teoremă Dacă V : X R este o fucţioală pătratică de rag R, idice pozitiv de ierţie t şi idice egativ de ierţie s, echivalet V are forma caoică atuci V (x) = t ωi 2 t+s j=t+ ω2 i,. V este pozitiv defiită dacă şi umai dacă R = t = 2. V este egativ defiită dacă şi umai dacă R = s = 3. V este pozitiv semidefiită dacă şi umai dacă R = t < 4. V este egativ semidefiită dacă şi umai dacă R = s < (dacă u se aplică., 2., 3., 4. trecem la:) 5. V este edefiită dacă şi umai dacă t s 0. Exemplul 0.4. Dacă V : R 2 R este o fucţioală pătratică a cărei matrice î baza caoică este ( ) 0 0 A = 0 atuci V (x) = ω 2 2 este sub forma caoică, R = ragv = raga = s = < 2 = dim R R 2, s = şi deci coform 2. fucţioala pătratică V este egativ semidefiită.