5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
|
|
- Λητώ Μιαούλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel. 3. Raspusuri la problemele fiale. 5.. ŞIRURI DE FUNCŢII Fie (X, d) şi (Y, d) două spaţii metrice şi A X o submulţime oarecare a lui X. Dacă petru orice N s-au defiit fucţiile f: A Y atuci şirul ( f ) se umeşte şir de fucţii defiite pe A cu valori î spaţiul metric (Y, d). N Dacă fucţiile f, N sut defiite pe A R şi cu valori î R, spuem că avem u şir ( f ) de fucţii reale de o variabilă reală. N k Dacă fucţiile f, N sut defiite pe A R cu valori î R m, spuem că avem u şir de fucţii vectoriale de variabilă vectorială. Evidet, combiaţii ître cele două situaţii pot apare, cât şi altele oi. Se spue că şirul de fucţii ( ) puctul A, dacă şirul ( f ( ) ) (Y, d). Î cazul î care şirul ( f ( ) ) fucţii ( ) f, f : A X Y este coverget î N N N este u şir coverget î spaţiul metric este diverget se spue că şirul de f este diverget î puctul A N. Î acest mod, puctele di A se împart î două categorii: A c - mulţimea puctelor de covergeţă a şirului dat şi A d - mulţimea puctelor de divergeţă a şirului dat. Evidet, A A c A d şi A implică, cel puţi A c sau A d este evidă şi A c A d. Î aceste codiţii putem defii fucţia f : A c Y ( A c ), pri f( ) lim f ( ), umită limita şirului dat pe mulţimea de covergeţă A c.
2 6 Trascriid defiiţia covergeţei şirului ( f( ) ) către f () se deduce N următoarea defiiţie a covergeţei (simple) a şirului de fucţii ( f ) către N fucţia limită f. Defiiţia. Spuem că şirul de fucţii ( ) mulţimea A c, către fucţia f, f s f, f : A Y coverge simplu, pe N f dacă petru orice ε > eistă N A c N(ε, ) N, astfel îcât df ( ( ), f ( )) <ε petru orice umăr atural N. Este importat de observat că ragul N N(ε, ), î geeral, depide de puctul di mulţimea de covergeţă A c. Dacă N poate fi determiat umai î fucţie de ε >, adică ragul N este acelaşi petru toate puctele mulţimii A c atuci spuem că şirul ( f ) coverge uiform, pe mulţimea A, către fucţia f N s f Ac > f. Mai eact avem: Defiiţia. Spuem că şirul de fucţii f : A Y coverge uiform pe mulţimea A c, către fucţia f, dacă petru orice ε > eistă N N(ε) N asfel îcât ( f) df ( ), ( ) <ε, petru orice N(ε) şi orice A c. Observaţia. Dacă şirul de fucţii ( f ), f A Y N : este uiform coverget pe mulţimea A c către fucţia f, atuci şirul ( ) f N mulţimea A c, către fucţia f. Este posibil ca şirul ( ) f N coverge simplu, pe să fie uiform coverget către f umai pe o submulţime B A c şi să fie simplu coverget pe A c. Di puct de vedere geometric, vom ilustra covergeţa uiformă petru cazul uui şir de fucţii ( f ), f N :R R. Î acest caz graficul fucţiei f, petru N(ε), trebuie să fie situat î bada (f () - ε, f () + ε), petru orice di mulţimea de uiform covergeţă. Î cazul covergeţei simple (euiforme) pot eista pucte de pe graficul fucţiei f, cu oricât de mare, care să depăşească acestă badă.
3 6 Eemplul. Fie A [, ] şi f : A R, f ( ). y y f () + ε y f ( ) y f () y f () - ε O [, ) o petru Î acest caz lim f ( ) petru Dacă otăm f ( ) lim f ( ), avem f : [, ] R şi f () petru [, ) şi f (). Evidet, pe [, ] către fucţia f. Fie ε şi ( ) f s f [, ]. Vom arăta că ( f ) u coverge uiform N k k N u şir di (, ) astfel că lim k k Fie N N fiat, atuci petru orice N, fiat: lim f ( k) lim ( k ), deci eistă k N astfel îcât k k ( k ) 3 f ( k ) > 4. Astfel putem scrie că: 3 f ( k ) f( k ) k k > >, deci ( f ) 4 u coverge N uiform pe [, ] către fucţia f. Dacă cosiderăm orice subiterval de forma [α, β] [, ) atuci covergeţa uiformă a şirului ( f ) pe [α, β] către fucţia N ulă este imediată. Noţiuea de covergeţă uiformă a uui şir de fucţii ( ) f f A X Y N, :, pe o mulţime B A c este importată deoarece trasportă proprietăţile utile de cotiuitate, derivabilitate, itegrabilitate, de la fucţiile di şirul ( f ), N asupra fucţiei limită f. Î cazul geeral al spaţiilor metrice vom demostra trasportul cotiuităţii iar la celelalte proprietăţi e vom referi î paragrafele corespuzătoare studiului acestor proprietăţi..
4 6 Teorema. Dacă fucţiile f : A X Y, N sut cotiue pe mulţimea B A ( f C( B) ) şi şirul ( ) f N coverge uiform pe B către fucţia f : B Y, atuci fucţia f este cotiuă pe B. Demostraţie: Putem scrie iegalitatea: df ( ( ), fy ( )) df ( ( ), f( ) ) + df ( ( ), f( y) ) + df ( ( y), fy ( )). Fie ε > arbitrar, î baza uiform covergeţei şirului dat se poate găsi N N(ε) N astfel îcât df ( y fy) poate determia δ δ( ε, ) > ( ), ( ) < ε 3, iar î baza cotiuităţii fucţiei f se, astfel îcât df ( f y) ( ), ( ) < ε 3 dacă d (, y) < δ. Pri urmare se deduce că d(f (), f (y)) < ε de îdată ce d(, y) < δ, ceea ce arată că fucţia f lim f este cotiuă pe mulţimea B. Observaţia 3. Î cazul î care lim f f, f C( B), iar covergeţa este uiformă pe B, este valabil pricipiul de permutabilitate a limitelor: () lim lim f ( ) lim lim f ( ),, B, N. Dacă şirul de fucţii ( ) f ; f A X Y :, ia valori îtr-u spaţiu N metric (Y, d) complet, atuci referitor la covergeţa uiformă a şirului de fucţii ( f ) N pe o submulţime B A are loc criteriul lui Cauchy. Teorema. (Criteriul lui Cauchy). Şirul ( f ) este uiform coverget pe N B, către f, dacă şi umai dacă petru orice ε > eistă N N(ε) N astfel îcât df ( ( ), fm( ) ) <ε petru toţi, m N(ε) şi B. Eemplul. Fie şirul de fucţii ( f ), f N :[, ) R, f ( ) arctg ( ). Să se arate că şirul de fucţii dat este uiform coverget pe domeiul de defiiţie. Rezolvare: Vom utiliza criteriul lui Cauchy. Fie, p N şi [, +), atuci: f+ p( ) f( ) arctg( + p) arctg( ) p p arctg < arctg + ( + p) ( + p) p p < <. ( + p) ( + p) <
5 63 Impuâd <ε, rezultă că petru > + şi p N, f+ p( ) f( ) < ε ε petru orice [, +). Coform criteriului lui Cauchy şirul de fucţii dat este uiform coverget. Î rezolvare am ţiut seama de formula: arctg - arctg y arctg y, + y şi de faptul că petru [, +), arctg. Proprietăţi deosebit de importate ale şirurilor de fucţii uiform covergete defiite pe R sau submulţimi ale acesteia sut date de teoremele următoare: Teorema 3. Fie ( f ) u şir de fucţii defiite şi derivabile pe A R, coverget către f, pe mulţimea A. Dacă şirul ( f ) este uiform coverget către g pe mulţimea A, atuci f este derivabilă pe mulţimea A şi f g, adică lim f lim f. Teorema 4. Fie ( f ) u şir uiform coverget de fucţii cotiue pe [a, b] b cu valori reale şi fie f lim f. Atuci: lim b f ( ) d f ( ) d a, adică a b b lim f ( ) d lim ( ) a f a d. Se mai spue că itegrala comută cu limitele uiforme. Următoarea teoremă dă o reprezetare a fucţiilor cotiue defiite pe u segmet [a, b] ca limite uiforme de şiruri de polioame. Rezultatul este deosebit de importat atât teoretic cât şi practic. Teorema 5. (Stoe Weierstrass). Dacă f este o fucţie cotiuă pe [a, b] R, atuci eistă u şir de polioame P ( ), astfel ca: lim P ( ) f( ), covergeţa fiid uiformă pe [a, b]. Defiiţi covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă petru şiruri de fucţii. Daţi eemple. Euţaţi coservarea proprietăţilor de cotiuitate, derivabilitate, itegrabilitate de la termeii uui şir de fucţii uiform coverget la fucţia limită.
6 SERII DE FUNCŢII Î cazul câd u şir de fucţii ( f ) ia valori îtr-u spaţiu vectorial ormat, şi deci se poate defii suma fucţiilor di acest şir se poate costrui seria de fucţii: () f( ) + f( ) f( ) +... f( ). Putem aplica seriilor de fucţii atât cosideraţiile făcute asupra seriilor de umere, deoarece petru fiecare puct al domeiului de defiiţie ea devie o serie umerică, cât şi cosideraţiile făcute asupra şirurilor de fucţii, deoarece sumele parţiale S( ) fk( ) formează u şir de fucţii. k Dacă seria fk ( ) este covergetă, spuem că este u puct de k covergeţă al seriei date ( ) puctelor de covergeţă A c şirul sumelor parţiale ( S ) N A c. Dacă, pe o submulţime B a mulţimii simplu sau este uiform coverget spuem că seria f este coverget este simplu covergetă, respectiv este uiform covergetă pe mulţimea B. Afirmaţiile Teoremelor şi de la şiruri de fucţii rămâ adevărate, î aceleaşi codiţii, şi î cazul seriilor de fucţii. Vom prezeta ca o coseciţă imediată a criteriului lui Cauchy următorul rezultat cuoscut sub umele de Criteriul lui Weierstrass de covergeţă uiformă a seriilor de fucţii care, de fapt, este o etesie a criteriului comparaţiei de la seriile umerice. Teorema. (Criteriul lui Weierstrass) Dacă eistă o serie umerică a termei pozitivi, covergetă, iar: () f( ) Ma, B, N, M fiid u umăr real eegativ idepedet de şi, atuci seria de fucţii f ( ) este uiform covergetă pe mulţimea B. Aplicaţia. Să se arate că seria sumă a sa este cotiuă pe R., cu si coverge uiform pe R şi că fucţia 4
7 65 Rezolvare: Se va arăta că seria este uiform covergetă pe R, folosid criteriul lui Weierstrass. Avem si petru orice R şi. Deoarece seria 4 4 este covergetă, fiid o serie armoică geeralizată cu termeul geeral 4 α cu α 4 >, rezultă că seria dată este uiform covergetă pe R. Termeii si seriei f ( ) 4 fucţie cotiuă. Aplicaţia. Să se arate că seria de fucţii fiid fucţii cotiue rezultă că şi fucţia sumă este o cosk kk ( ) k + este uiform covergetă şi limita sa este fucţie cotiuă pe R. Rezolvare: Se foloseşte criteriul geeral de uiform covergeţă a lui Cauchy. Fie, p N, R şi S ( ) şirul sumelor parţiale al seriei date. Atuci: S ( ) S ( ) + p + p + p + p k + k + + p kk+ k k + + ( ) + p+ < + k + k + Fie acum ε >, impuâd + cosk cosk kk ( + ) kk ( + ) <ε rezultă că petru ( ε) ε ε +, S+ p( ) S( ) < ε petru orice (ε) şi R. Coform criteriului lui Cauchy, seria dată coverge uiform, fucţiile fk ( ) fucţia sumă este de asemeea cotiuă. cosk kk ( + ) fiid cotiue, Defiiţi covergeţa puctuală şi uiformă petru serii de fucţii. Daţi eemple. Euţaţi criterii de covergeţă uiformă petru serii de fucţii. Euţaţi coservarea proprietăţilor de cotiuitate, derivabilitate itegrabilitate de la termeii uei serii de fucţii uiform coverget la fucţia sumă.
8 SERII DE PUTERI O clasă importată de serii de fucţii o costituie seriile de puteri, umite şi serii îtregi. Sumele parţiale ale acestor serii sut polioame, adică fucţii reale de cea mai simplă formă, ceea ce facilitează proprietăţi deosebit de avatajoase aplicaţiilor acestor serii. Seriile de puteri permit defiiţia riguroasă a fucţiilor elemetare. Multe di defiiţiile ce vor fi date pot fi etise uşor la cazul comple, vom prezeta totuşi cazul seriilor de puteri reale cosiderâd mulţimea R mai apropiată de cadrul geeral al prezetării acestui curs. Defiiţia. Fie ( a ) u şir de umere reale. Se umeşte serie de puteri avâd coeficieţii a,, seria de fucţii: 4 () a a + a + a +..., ude fucţiile f a ( ),, sut cosiderate ca fiid defiite pe R cu valori î R. Petru fiat di () se va obţie o serie umerică. Despre seria () se spue că este cetrată î puctul. Dacă î () îlocuim fucţiile f cu g, g( ) a( ),, obţiem o serie de puteri de forma: () a ( ) a + a( ) + a( ) +..., despre care spuem că este cetrată î puctul. Este evidet că pritr-o traslaţie de forma y di () se obţie o serie cetrată î origie, astfel că, teoria geerală a seriilor de puteri poate fi restrâsă la cazul seriilor de puteri cetrate î origie. Să otăm cu C mulţimea puctelor R î care seria de puteri () este covergetă. Observăm imediat că C, deci oricare ar fi şirul coeficieţilor seriei (), ( a ), mulţimea de covergeţă C, ceea ce u se îtâmplă î cazul geeral al seriilor de fucţii. Eistă serii petru care C {}, cum este cazul următor: Aplicaţia. Fie seria de puteri. Cum am observat mai sus {} C. Fie, atuci eistă N astfel ca >, de aici avem >, deci petru fiat, seria umerică are
9 67 şirul termeilor ( ) ce u coverge la, adică este o serie umerică divergetă. Aceasta arată că C, adică C {}. Deasemeea eistă serii de puteri petru care mulţimea de covergeţă este îtreaga dreaptă reală. Aplicaţia. Fie seria de puteri! aplicăm criteriul raportului seriei umerice. Am văzut că {} C. Fie. Să!. Notăm U!. U + +! lim lim lim U ( + )! + <, ce arată că seria este absolut covergetă, deci C. Am obţiut astfel că C R. Mai multe iformaţii asupra mulţimii de covergeţă a uei serii de puteri obţiem pri următorul rezultat: Teorema. (Teorema lui Abel). Fie o serie de puteri a şi R, u puct di mulţimea de covergeţă C a seriei date. Atuci: a) seria umerică a este absolut covergetă petru orice ( ), ; b) petru orice umăr real r, < r < seria de puteri a este uiform covergetă pe itervalul [-r, r]. Demostraţie: a) Deoarece seria umerică a este covergetă rezultă că şirul termeilor seriei ( a ) este coverget la şi deci este mărgiit, adică eistă M > astfel îcât a M, petru orice. Fie R astfel îcât <, atuci avem: () a a M,
10 68 cum <, seria geometrică M este covergetă. Aplicâd primul criteriu al comparaţiei rezultă că seria a este covergetă, deci seria a este absolut covergetă. Di cele de mai sus deducem că mulţimea de covergeţă a seriei date C coţie itervalul ( ), şi dacă seria dată este divergetă petru R,, atuci orice puct R cu > este puct de divergeţă a seriei date. b) Notăm f( ) a,. Di a M M rezultă a, petru orice [-r, r], avem f a a r M r ( ),. Aplicâd criteriul lui Weierstrass ( 5.. Teorema.) rezultă că seria de fucţii f ( ) este uiform covergetă pe [-r, r]. Defiiţia. Fie a o serie de puteri şi fie C mulţimea puctelor de k covergeţă a seriei date. Numărul R sup C, R [, ], se umeşte rază de covergeţă a seriei date. Di cele stabilite mai sus rezultă că are loc următorul rezultat ce pue î evideţă importaţa razei de covergeţă R, î studiul seriilor de puteri: Teorema. Cu otaţiile de mai sus avem: a) dacă R, atuci seria a coverge puctual umai î ; b) dacă R +, atuci seria umerică a orice R, iar seria de fucţii a iterval [-r, r], r > ; c) dacă < R <, atuci seria umerică a este absolut covergetă petru este uiform covergetă pe orice petru orice puct (-R, R) şi este divergetă petru orice este absolut covergetă (-, -R)
11 69 (R, +), iar seria de fucţii a este uiform covergetă pe orice iterval [-r, r], < r < R. Observaţia. Petru puctele ± R teorema u precizează dacă seria este covergetă sau u. Petru calculul razei de covergeţă a uei serii de puteri este util următorul rezultat: Teorema 3. Fie a a a) dacă limita l lim a + a o serie de puteri, cu raza de covergeţă R. Atuci: eistă, atuci R l ; b) dacă limita l lim a eistă, atuci R l, cu coveţiile şi. Demostraţie: Aplicăm criteriul raportului petru seria cu termei pozitivi a + a+ a +. Calculăm lim lim. Petru ca seria să a a l fie covergetă se impue <, de ude rezultă < l l. Trecâd la supremum rezultă Rl. Petru a demostra afirmaţia b) se aplică criteriul rădăciii. Defiiţi raza de covergeţă petru serii de puteri. Euţaţi criterii petru determiarea razei de covergeţă a seriilor de puteri.euţaţi Teorema lui Abel petru serii de puteri.
12 7 Probleme fiale :. Fie f : R R f () +, N. Se cere: a) Să se determie mulţimea de covergeţă C şi fucţia limită a şirului(f ) N. b) Să se arate că (f ) N u coverge uiform pe mulţimea C şi să se determie mulţimea de covergeţă uiformă a sa., [, ]. Fie f : [,] R, f (), [, ] Să se arate că, [,] (f ) N coverge simplu, dar u coverge uiform pe [,]. 3. Fie f : [,) R f (),. Să se arate că (f ) N coverge uiform pe [,). e 4. Fie şirul de fucţii defiit la Eerciţiul. Să se arate că lim f ( ) d lim f ( ) d. 5. Să se arate că seria sumă este derivabilă pe R. si 4 coverge uiform pe R şi că fucţia 6. Să se determie raza de covergeţă şi itervalul de covergeţă petru seriile de puteri: a) a, a R, R. b) ( + ) + c) l( + a ) a >. 7. Să se determie itervalul de covergeţă şi fucţia sumă petru fiecare di următoarele serii de puteri di R: a) ( + ) b) c) + ( ). ( + )
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSpaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότερα