în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

Transcript

1 Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi ifiite de umere u este îsă la fel de imediată. Acest lucru se poate observa îcercâd să se calculeze suma + ( ) + + ( ) ( ) +... (termeii sumei sut, alterativ, şi ). Gruparea î modul ( + ( )) + ( + ( )) ( + ( )) +..., î care suma termeilor di fiecare grup este 0, poate coduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemeea, gruparea î modul + (( ) + ) + (( ) + ) (( ) + ) +..., poate coduce la ideea că valoarea acestei sume este ; desigur, asocierea a două valori disticte petru o aceeaşi sumă de umere reale reprezită o situaţie iacceptabilă. Î special, di cele de mai sus se observă faptul că î cazul aduării uui umăr ifiit de umere reale u are eapărat loc proprietatea de asociativitate. Î lipsa proprietăţii de asociativitate, sigura posibilitate de calcul a uei sume ifiite rămâe de a adua termeii di sumă uul câte uul. Î cocluzie, petru a calcula o sumă de forma x 0 + x + x x

2 78 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) vom determia S 0 = x 0, S = x 0 + x, S 2 = x 0 + x + x 2,..., S = x 0 + x + x x,... şi vom îcerca să extragem iformaţii despre comportarea şirului (S ) 0, utilizâd aceste iformaţii petru determiarea sumei. Numim atuci serie umerică de terme geeral x (sau, mai simplu, serie de terme geeral x ) cuplul ((x ) 0, (S ) 0 ) format di şirul (x ) 0 al termeilor seriei şi şirul (S ) 0 al sumelor parţiale, defiit după regula S = x 0 + x + x x. Î această situaţie, x se va umi şi termeul de rag sau idice al seriei. Vom ota o serie de terme geeral x pri x 0 + x + x x +..., sau, sub formă prescurtată, pri x. Dacă primii k termei x 0, x,..., x k u sut defiiţi, vom ota seria de terme geeral x pri x k + x k+ + x k x +..., respectiv pri x. =k Notaţiile de mai sus sugerează şi deumirea de sumă ifiită" petru o serie, deşi, coform exemplului aterior, sumele ifiite de umere reale u au eapărat aceleaşi proprietăţi ca şi sumele fiite de umere reale, această deumire efiid deci îtrutotul justificată. Serii covergete, serii divergete Spuem că seria x este covergetă dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este coverget, respectiv că seria x este divergetă dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este diverget. Dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 are limită, atuci

3 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 79 lim S = S R se va umi suma seriei x. Seriilor x petru care şirul sumelor parţiale (S ) 0 u are limită u li se asociază icio sumă. Exemplu. Fie seria 2. Termeul geeral al acestei serii este x = 2. Sub formă desfăşurată, seria se poate scrie î modul următor Deoarece S = = Ä 2 ä + 2 = 2 Ç å, 2 urmează că deci seria lim S = 2, este covergetă, iar suma sa este 2. 2 Exemplu. Fie seria. Termeul geeral al acestei serii este x =. Sub formă desfăşurată, seria se poate scrie î modul următor Deoarece urmează că S = = lim S = +, ( + ), 2 deci seria este divergetă, iar suma sa este +. Exemplu. Fie seria ( ). Termeul geeral al acestei serii este x =

4 80 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) ( ). Sub formă desfăşurată, seria se poate scrie î modul următor Deoarece iar + ( ) + + ( ) ( ) +... S 2 = ( + ( )) + ( + ( )) ( + ( )) + =, S 2+ = ( + ( )) + ( + ( )) ( + ( )) + ( + ( )) = 0, urmează că lim S 2 =, deci u există lim S. Atuci seria ( ) este divergetă, suma sa epu- tâd fi defiită. lim S 2+ = 0, Î cele ce urmează, vom preciza codiţii petru a stabili dacă o serie dată este sau u covergetă, acolo ude este posibil determiâdu-se explicit şi suma seriei. Sume calculabile exact Seria q Termeul geeral al acestei serii este x = q. Dacă q =, atuci S = x 0 + x x = + q q = q+ q, î vreme ce dacă q =, atuci S = +. Urmează atuci că seria q este covergetă petru q (, ), cu lim S =, deoarece lim q q+ = 0 petru q (, ). Î cocluzie, De asemeea, petru q = seria q =, petru q (, ). q q este divergetă, deoarece lim ( + ) =

5 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 8 +, iar q = +, petru q =. Dacă q (, + ), atuci lim S = +, deoarece lim q + = + petru q (, ), iar q este divergetă. Î cocluzie, q = +, petru q (, + ). Dacă q (, ], atuci lim S u există, deoarece lim q + u există petru q (, ], iar sumă. q este divergetă, acestei serii eputâdu-i-se asocia o Discuţia de mai sus poate fi sistematizată sub următoarea formă prescurtată u este defiită, dacă q q = q +, dacă q, dacă q (, ). Exemplu. Fie suma este ( ) 2 3 x = ( ) = 9. Atuci termeul geeral al acestei serii ( ( )2 3 9 ) = Ç 8 9å, de ude ( ) = Ç 8 9å = Ä 8 9 ä = 9 7. Serii telescopice Fie seria x. Spuem că seria x este o serie telescopică dacă există şirul (a ) 0, astfel ca x = α α + petru orice 0,

6 82 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) adică există u şir petru care termeul geeral al seriei se poate scrie ca difereţa a doi termei cosecutivi ai acestui şir, primul cu acelaşi idice ca şi idicele termeului geeral al seriei. Î această situaţie, S = x k = (a 0 a ) + (a a 2 ) (a a + ) k=0 = a 0 a +, de ude seria x este covergetă dacă si umai dacă (a ) 0 este coverget. Î această ultimă situaţie, ude lim a = l. x = lim (a 0 a + ) = a 0 l, Exemplu. Fie seria. Atuci termeul geeral al sumei este ( + )( + 2) x = (+)(+2). Observăm că x = ( + )( + 2) = ( + 2) ( + ) ( + )( + 2) = + + 2, de ude iar Ç S = x k = å Ç å Ç å + 2 k=0 = + 2, Exemplu. Fie seria Ç ( + )( + 2) = lim å = Atuci termeul geeral al sumei

7 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 83 este x = Observăm că x = de ude iar S = = = k= ( )( ) x k = ( 2 ) + ( 3 2 ) ( ) = + 2, Proprietăţi geerale ale seriilor Elimiarea termeilor = lim ( + 2 ) = +. Î Capitolul 2, a fost observat că adăugarea sau elimiarea uui umăr fiit de termei ai uui şir u-i modifică acestuia proprietatea de a avea sau u avea limită. Cum covergeţa uei serii este defiită pri itermediul şirului sumelor parţiale, este atural ca ici elimiarea uui umăr fiit de termei ai uei serii date să u modifice atura acesteia. Pri atură" îţelegem aici proprietatea uei serii de a fi covergetă sau divergetă, iar pri serii cu aceeaşi atură" îţelegem două serii care sut ambele covergete sau ambele divergete. Teorema 3.. Fie x o serie dată. Dacă se adaugă sau se elimiă u umăr fiit de termei, atuci seria obţiută are aceeaşi atură cu seria iiţială, putâdu-se modifica î schimb suma sa, dacă seria este covergetă. Dacă suma seriei este + sau, aceasta u se modifică. Comutativitate (Schimbarea ordiii termeilor) Este cuoscut că o sumă fiită are proprietatea de comutativitate, î sesul că valoarea sumei rămâe aceeaşi după orice schimbare a ordiii termeilor. Cu

8 84 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) aumite precauţii (schimbarea ordiii va afecta doar u umăr fiit de termei), această proprietate rămâe valabilă şi petru serii. Teorema 3.2. Fie x o serie dată. Dacă se schimbă ordiea uui umăr fiit de termei, atuci seria obţiută are aceeaşi atură cu seria iiţială şi aceeaşi sumă. Proprietăţi geerale ale seriilor covergete Asociativitate S-a observat deja că petru cazul seriei divergete ( ) asocierea termeilor cu ajutorul paratezelor coduce la mai multe valori posibile ale sumei sale. Totuşi, se poate demostra că pri gruparea termeilor uei serii covergete cu ajutorul paratezelor se obţie tot o serie covergetă, cu aceeaşi sumă ca şi seria iiţială. Teorema 3.3. Fie x o serie covergetă. Asocierea termeilor săi cu ajutorul paratezelor coduce la o serie covergetă, cu aceeaşi sumă ca şi seria iiţială. Restul de ordi p Dată fiid seria x, vom umi rest de ordi p al acesteia seria R p = x = x + + x , =p+ obţiută di seria iiţială pri elimiarea termeilor x 0, x,..., x p, cu idici mai mici sau egali cu p. Se observă atuci că x = S p + R p, petru orice p 0, ude (S ) 0 este şirul sumelor parţiale asociat seriei date. Di acest motiv, dacă seria dată este covergetă, atuci şirul sumelor parţiale tide la suma seriei, iar şirul resturilor tide la 0, coform formulei de mai sus. Mai precis, are loc următorul rezultat.

9 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 85 Teorema 3.4. Seria x este covergetă dacă şi umai dacă R p, restul de ordi p, este o serie covergetă petru orice p N. Î plus, dacă x este covergetă, atuci lim R p p = 0. Criteriul de covergeţă Cauchy A fost deja demostrat î Capitolul 2 că u şir este coverget dacă şi umai dacă este şir fudametal (Cauchy). De aici, o serie dată este covergetă dacă şi umai dacă sirul sumelor sale parţiale este şir Cauchy. Acest lucru se reflectă î următorul rezultat. Teorema 3.5. Fie x o serie dată. Atuci x este covergetă dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât x + + x x +p ε petru orice ε şi orice p 0. Demostraţie. Fie (S ) 0 şirul sumelor parţiale asociate seriei x. Atuci S +p S = x + + x x +p, petru orice, p 0. Cum x este covergetă dacă şi umai dacă (S ) 0 este şir fudametal, adică dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât S +p S ε petru orice ε şi orice p 0, rezultă cocluzia. Divergeţa seriei A fost demostrat î Capitolul 2 că şirul (S ) : x =

10 86 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) u este şir Cauchy. Cum acesta este şirul sumelor parţiale asociat seriei, urmează că seria este divergetă. Seria de mai sus se umeşte şi seria armoică, îtrucât fiecare terme al seriei este media armoică a termeilor care-l îcojoară, adică = 2 petru orice >. Limita termeului geeral Teorema 3.6. Fie lim x = x o serie dată. Dacă x este covergetă, atuci Demostraţie. Fie x o serie covergetă, cu suma l. Deoarece x = S S petru orice, iar lim S = lim S = l, urmează cocluzia. Se observă de aici că dacă lim x u există, sau există şi u este 0, atuci seria dată u este covergetă. Se obţie deci următorul rezultat. Corolar Fie atuci seria dată este divergetă. x o serie dată. Dacă lim x u există, sau există şi u este 0, Exerciţiu. Demostraţi că următoarele serii sut divergete: ) Ç + å 3+ ; 2 2) ; 3) 3. Soluţie. Putem calcula limita termeului geeral î fiecare ditre aceste cazuri. Cum seria Ç lim + 2 Ç + 2 å 3+ = lim [Ç + å 2 ] å 3+ este divergetă. Se observă că = e 3 2 = 0, ( ) lim 2 + = lim = = 0, ( ) 5

11 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 87 deci seria deci şi seria este divergetă. De asemeea este divergetă. lim 3 = + = 0, Se poate observa de asemeea faptul că lim x = 0 u este o codiţie suficietă petru covergeţa seriei x (fiid doar ecesară). Î acest ses, se poate observa că lim = 0, dar totuşi seria este divergetă. Mărgiirea şirului sumelor parţiale Teorema 3.7. Fie x o serie covergetă. Atuci şirul (S ) 0 al sumelor parţiale asociate seriei este mărgiit. Demostraţie. Fie x o serie covergetă şi fie (S ) 0 şirul sumelor parţiale asociate seriei. Cum x este covergetă, urmează că (S ) 0 este coverget, iar cum orice şir coverget este mărgiit, urmează că (S ) 0 este mărgiit. Reciproc, dacă şirul sumelor parţiale asociate uei serii date este emărgiit, atuci seria este divergetă. Se obţie deci următorul rezultat. Corolar Fie x o serie dată şi fie (S ) 0 şirul sumelor parţiale asociate seriei. Dacă (S ) 0 este emărgiit, atuci seria x este divergetă. Exerciţiu. Demostraţi că seria Soluţie. Are loc estimarea S = este divergetă. ( + ) =

12 88 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Cum lim + = +, urmează că (S ) 0 este emărgiit, şi atuci seria este divergetă. + Operaţii cu serii covergete Îtrucât, aşa cum s-a meţioat aterior, covergeţa uei serii se defieşte pri itermediul covergeţei şirului sumelor sale parţiale, se va observa că proprietatea uor serii de a fi covergete se păstrează după efectuarea operaţiilor uzuale de sumă, difereţă şi produs cu o costată. Teorema 3.8. Fie x şi y două serii covergete de umere reale astfel ca x = A şi y = B. Atuci seria sumă (x + y ) şi seria produs cu o costată cx, c R, sut covergete. Î plus, au loc relaţiile. 2. x + y = x + y = A + B; cx = c x = ca. Demostraţia este imediată, utilizâd proprietăţile operaţiilor cu şiruri covergete. Serii cu termei pozitivi, serii cu termei egativi, serii alterate, serii cu termei oarecare Fie x o serie dată. Spuem că x este o serie cu termei pozitivi dacă toţi termeii săi de la u idice îcolo sut pozitivi, adică există N N astfel că x 0 petru orice N. Similar, spuem că x este o serie cu termei egativi dacă toţi termeii săi de la u idice îcolo sut egativi, adică există N 2 N astfel că x 0 petru orice N 2. Seria x se va umi serie cu termei oarecare dacă are atât o ifiitate de termei pozitivi, cât şi o ifiitate de termei egativi. U caz particular de serii

13 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 89 cu termei oarecare sut seriile alterate. O serie x se va umi alterată dacă termeii săi sut alterativ pozitivi şi egativi de la u rag îcolo, adică există N 3 N petru care x = ( ) a petru orice N 3, ude (a ) 0 este u şir de termei euli cu sem costat. Î cocluzie, petru o serie alterată x, fie x = ( ) a petru orice N 3, fie x = ( ) + a petru orice N 3, ude (a ) 0 este u şir cu termei strict pozitivi. Î cele ce urmează, coform faptului că elimiarea uui umăr fiit de termei ai seriei u modifică atura acesteia, vom presupue acolo ude este ecesar că proprietatea de pozitivitate (respectiv egativitate, alteraţă) are loc îcepâd cu primul terme al seriei. De asemeea, îtrucât îmulţirea cu u umăr egativ u modifică atura uei serii, seriile cu termei egativi u vor fi tratate separat, rezultate privid covergeţa acestora putâd fi deduse cu uşuriţă di rezultatele corespuzătoare privid covergeţa seriilor cu termei pozitivi. 3. Serii cu termei pozitivi Mootoia şirului sumelor parţiale Fie x o serie cu termei pozitivi. Deoarece S + S = x + 0, urmează că şirul sumelor parţiale (S ) 0 este mooto crescător. Acest lucru are coseciţe importate asupra covergeţei uei serii cu termei pozitivi, deoarece dacă (S ) 0 este mooto, o codiţie ecesară şi suficietă petru covergeţa sa este ca el să fie mărgiit superior. Obţiem deci următorul criteriu de covergeţă petru serii cu termei pozitivi. Teorema 3.9. Fie x o serie cu termei pozitivi. Atuci x este covergetă dacă şi umai dacă şirul (S ) 0 al sumelor parţiale asociate seriei este mărgiit superior.

14 90 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Î plus, dacă x este o serie cu termei pozitivi cu x = A, atuci, deoarece (S ) 0 tide mooto crescător către limita sa A, urmează că S A petru orice 0. Exemplu. Fie seria 2. Deoarece 2 ( ) = petru orice 2, urmează că S = = + 2, iar şirul (S ) al sumelor parţiale este mărgiit superior, deci seria este covergetă. De asemeea, se poate observa că petru serii cu termei pozitivi are loc proprietatea de comutativitate, î care de această dată se pot schimba locurile uui umăr ifiit de termei. Teorema 3.0. Fie x o serie covergetă cu termei pozitivi. Dacă se schimbă ordiea uor termei di serie (chiar î umăr ifiit), seria y astfel obţiută este covergetă şi are aceeaşi sumă Criteriul de codesare U criteriu util petru stabilirea, ître altele, a covergeţei aşa-umitei serii armoice geeralizate, care va fi folosită ca terme de comparaţie petru alte serii, este următorul rezultat, umit criteriul de codesare. Teorema 3.. Fie (x ) 0 u şir mooto descrescător cu termei pozitivi. Atuci

15 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 9 seriile x şi 2 x 2 au aceeaşi atură. Exerciţiu. Studiaţi covergeţa seriei =2 l. Ç å Soluţie. Deoarece (x ) 2 : x = este u şir mooto descrescător l 2 de umere strict pozitive, urmează coform criteriului de codesare că l şi =2 2 2 l 2 = =2 l 2 au aceeaşi atură. Cum =2 l 2 fiid seria armoică multiplicată cu o costată, urmează că şi este divergetă. Covergeţa seriei p Dacă p < 0, atuci lim p = +, iar seria termeul său geeral u tide la 0. Similar, petru p = 0, lim deci seria p este de asemeea divergetă. Fie acum p > 0. Coform criteriului de codesare, seriile au aceeaşi atură. Cum 2 (2 ) p = (2 p ) = =2 este divergetă, =2 l p este divergetă, îtrucât p = lim =, Ç å 2 p, p şi 2 (2 ) p iar petru p (0, ], respectiv < petru p >, urmează că seria 2 p 2 p p este divergetă petru p (0, ], respectiv covergetă petru p >. Discuţia de mai sus poate fi sistematizată sub următoarea formă prescurtată p este divergetă, dacă p covergetă, dacă p >.

16 92 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Reprezetâd o formă mai geerală a seriei seria armoică geeralizată., seria p se mai umeşte şi 3..2 Criterii de comparaţie Î cele ce urmează vom prezeta u set de criterii care permit aaliza covergeţei sau divergeţei uei serii cu termei pozitivi date pri stabilirea uei relaţii ître termeii seriei şi termeii uei alte serii a cărei atură este cuoscută (deseori cu seria armoică geeralizată). Reveid la faptul că, petru serii cu termei pozitivi, covergeţa acestora este echivaletă cu emărgiirea şirului sumelor parţiale, iterpretarea următorului rezultat este imediată: o serie ai cărei termei sut mai mari decât termeii uei serii emărgiite" (i.e., divergete) date este de asemeea emărgiită" (i.e., divergetă), î vreme ce o serie ai cărei termei sut mai mici decât termeii uei serii mărgiite" (i.e., covergete) date este de asemeea mărgiită" (i.e., covergetă). Teorema 3.2. Fie x şi y două serii cu termei pozitivi. Dacă există N N astfel ca x y petru orice N, atuci au loc următoarele proprietăţi.. Dacă y este covergetă, atuci şi x este covergetă. 2. Dacă x este divergetă, atuci şi y este divergetă. Date fiid c (0, ) şi o serie cu termei pozitivi z, se observă că seriile z şi cz au aceeaşi atură. Î aceste codiţii, se poate obţie uşor următorul corolar al teoremei de mai sus, umit criteriul de comparaţie cu iegalităţi. Corolar Fie x şi y două serii cu termei pozitivi şi fie c (0, ). Dacă

17 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 93 există N N astfel ca x cy petru orice N, (3.) atuci au loc următoarele proprietăţi.. Dacă y este covergetă, atuci şi x este covergetă. 2. Dacă x este divergetă, atuci şi y este divergetă. Exerciţiu. Studiaţi covergeţa următoarelor serii: ) + 2 ; 2) ; 3) ; 4) =2. Soluţie. ) Deoarece seria iar seria este de asemeea covergetă ) Deoarece urmează că seria 3) Deoarece = 4 2, iar seria este covergetă, urmează că 2 este de asemeea covergetă » + = ( + ) 4 +, iar seria (este acelaşi lucru cu seria divergetă divergetă. ), urmează că seria este covergetă, 2 este divergetă este 4) Deoarece 2 petru orice 2, urmează că 2 petru orice 2, deci 2 petru orice 2. Cum seria este divergetă, urmează că şi seria este divergetă. =2 Iformaţii despre îdepliirea relaţiei (3.), ecesară petru utilizarea criteriului de comparaţie, se pot obţie studiid comportarea raportului x. y Î acest ses, să presupuem că y > 0 petru orice 0. Coform Teoremei 2.36, dacă lim sup x y = L <, iar ε > 0, atuci există u rag ε N astfel

18 94 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) că x y < L + ε petru orice ε. Se obţie că Similar, dacă lim if astfel că x y x < (L + ε)y petru orice ε. x y = l > 0, iar ε (0, l), atuci există u rag 2 ε N > l ε petru orice 2 ε. De aici, x > (l ε)y petru orice 2 ε. Putem atuci obţie următorul rezultat, umit criteriul de comparaţie cu limite extreme. Corolar Fie x o serie cu termei pozitivi şi y o serie cu termei strict pozitivi.. Dacă lim sup covergetă. x y = L <, iar y este covergetă, atuci şi x este 2. Dacă lim if = l > 0, iar y este divergetă, atuci şi x este divergetă. x y Demostraţie. ) Cocluzia se obţie deoarece y este covergetă şi există u rag ε N astfel ca 2) Cocluzia se obţie deoarece astfel ca x Î situaţia î care există lim y plus, au loc egalităţile x < (L + ε)y petru orice ε. y este divergetă şi există u rag 2 ε N x > (l ε)y petru orice 2 ε. lim if = l R, există şi lim if x x = lim sup = l. y y x x, lim sup. Î y y Corolarul de mai sus se poate particulariza atuci sub forma următoare, umită şi criteriul de comparaţie cu limită.

19 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 95 Corolar Fie x o serie cu termei pozitivi şi y o serie cu termei strict x pozitivi astfel îcât există lim y = l R. Au loc următoarele proprietăţi:. Dacă l <, iar y este covergetă, atuci şi x este covergetă. 2. Dacă l > 0, iar y este divergetă, atuci şi x este divergetă. 3. Dacă l (0, ), atuci seriile x şi y au aceeaşi atură. Î multe situaţii, u bu terme de comparaţie este seria p, p precizâd comportarea aproximativă" a termeului geeral al seriei de studiat. De exemplu, î studiul covergeţei seriei 3 este utilă comparaţia cu 2 + 3, îtrucât are comportarea aproximativă" a lui 3 petru, iar î studiul covergeţei seriei lui 2 = 2 =., îtrucât este utilă comparaţia cu are comportarea aproximativă" a Exemplu. Studiaţi covergeţa seriilor: ) 3 + ; 2) ; 4) ) ; Soluţie. ) Vom compara seria dată cu seria lim = lim 3 + = lim 3 = 3 2. Se obţie că Ã + = (0, ), 2

20 96 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) de ude seriile 3 + şi 3 2 au aceeaşi atură. Cum cea di urmă este covergetă, fiid o serie armoică geeralizată cu p = 2 3 este covergetă ) Vom compara seria dată cu seria +2 lim de ude seriile 2 = ( + 2) = lim = lim şi este divergetă, fiid o serie armoică, urmează că şi este diver getă. 3) Vom compara seria dată cu seria + lim Se obţie că >, urmează că şi = (0, ), au aceeaşi atură. Cum cea di urmă. Se obţie că 2 2 = lim = lim 2 + = (0, ), + 2 de ude seriile şi au aceeaşi atură. Cum cea di urmă 2 este divergetă, fiid seria armoică multiplicată cu o costată, urmează că şi + este divergetă. 2 + Ä 4) Este deja cuoscut că lim l ä = c (0, ). De aici, iar + lim l + lim l l l = lim = = 0, lim l l = (0, ), de ude seriile şi l au aceeaşi atură. Deoarece (x ) 0 : =2 este u şir mooto descrescător de umere strict pozitive, urmează Ä ä l 2

21 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 97 2 au ace- l 2 coform criteriului de codesare că l şi =2 =2 =2 eaşi atură. Deoarece 2 petru orice 2, urmează că 2 2 l 2 = l 2 l 2, deci termeul geeral al seriei 2 u tide la 0, aceasta fiid î cocluzie l 2 =2 divergetă. Urmează că şi este divergetă. Vom preciza î cele ce urmează u alt criteriu, umit şi criteriul de comparaţie cu rapoarte, pri care covergeţa sau divergeţa uei serii se poate stabili pri itermediul comparaţiei cu o serie a cărei atură este cuoscută, ce poate fi dedus cu ajutorul Corolarului Teorema 3.3. Fie x şi y două serii cu termei strict pozitivi. Dacă există N N astfel ca atuci au loc următoarele proprietăţi. x + x y + y petru orice N, (3.2). Dacă y este covergetă, atuci şi x este covergetă. 2. Dacă x este divergetă, atuci şi y este divergetă. Demostraţie. Cu ajutorul (3.2) se deduce că de ude x + y + x y petru orice N, x + y + x y x y... x N y N petru orice N. Cu otaţia x N y N = c, urmează că x y c petru orice N, de ude cocluzia urmează coform Corolarului 3.2..

22 98 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) 3..3 Criterii ale radicalului U dezavataj al criteriilor de comparaţie este că utilizarea acestora ecesită costrucţia uor serii ajutătoare, alegerea acestora di urmă efiid totdeaua imediată. Următorul criteriu, umit şi criteriul radicalului cu iegalităţi, este utilizat îdeosebi petru studierea covergeţei uor serii petru care termeul geeral coţie puterea de ordi a uui alt şir şi u ecesită costrucţia uei serii ajutătoare. Teorema 3.4. Fie proprietăţi: x o serie cu termei pozitivi. Au loc atuci următoarele. Dacă există q < şi N N astfel ca x q petru orice N, atuci x este covergetă. 2. Dacă x petru o ifiitate de valori ale lui, atuci x este divergetă. Demostraţie.. Dacă x q petru orice N, urmează că x q petru orice N, iar cum q este covergetă se obţie că şi x este covergetă. 2. Deoarece x petru o ifiitate de valori ale lui, se obţie că x petru o ifiitate de valori ale lui, deci şirul termeilor geerali (x ) 0 u este coverget la 0, iar seria x este divergetă.

23 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 99 Se poate obţie atuci următorul criteriu al radicalului cu limite extreme. Teorema 3.5. Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Au loc atuci următoarele proprietăţi:. Dacă lim sup 2. Dacă lim sup x <, atuci x este covergetă. x >, atuci x este divergetă. 3. Dacă lim sup x =, atuci atura seriei x u poate fi precizată cu ajutorul criteriului radicalului cu limite extreme (spuem că este u caz de dubiu). Î situaţia î care există lim x = l R, există şi lim sup x, iar lim sup x = l. Teorema de mai sus se poate particulariza atuci sub forma următoare, umită şi criteriul radicalului cu limită. Corolar Fie x o serie cu termei pozitivi astfel îcât există Au loc următoarele proprietăţi:. Dacă l <, atuci 2. Dacă l >, atuci lim x = l R. x este covergetă. x este divergetă. 3. Dacă l =, atuci atura seriei radicalului cu limită. x u poate fi precizată cu ajutorul criteriului

24 00 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) ( Exerciţiu. Studiaţi covergeţa seriei ( 3 Soluţie. ) Termeul geeral al seriei este x = 2 ) Urmează că Ã Ç32 å lim x = lim 2 2 = lim = lim 2 Ä ä 2 2 Ä ä 2 deci seria = 3 2 > ( 3 2 ) este divergetă Ç å a + Exerciţiu. Discutaţi atura seriei, ude a > Ç å a + Soluţie. Termeul geeral al seriei este x =. Urmează că + 2 Ç å lim a + a + x = lim = lim = lim Ä a + ä Ä + 2 ä = a. Ç å a + De aici, este covergetă dacă a (0, ), respectiv divergetă dacă + 2 a >. Dacă a =, urmează că x = Ä ä +, +2 deci lim x = lim Ç å + = lim + 2 Ç + 2 Urmează că (x ) 0 u este coverget la 0, iar 3..4 Criterii ale raportului å (+2) ). +2 = e = e. Ç å + este divergetă. + 2 U alt criteriu util petru studiul covergeţei uor serii cu termei pozitivi, î special a acelora petru care termeul geeral coţie produse, este criteriul raportului cu iegalităţi, idicat mai jos. De asemeea, acesta u ecesită costrucţia uei serii ajutătoare.

25 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 0 Teorema 3.6. Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Au loc atuci următoarele proprietăţi:. Dacă există q < şi N N astfel ca atuci x este covergetă. 2. Dacă există N N astfel ca atuci x este divergetă. Demostraţie.. Deoarece urmează că x + x q petru orice N, x + x petru orice N, x + x q petru orice N, x + x q+ q petru orice N, iar deoarece q este covergetă, se obţie cu ajutorul Teoremei 3.3 (criteriul de comparaţie cu rapoarte) că şi seria x este covergetă. 2. Se observă că x + x + petru orice N, iar cum seria este divergetă, se obţie cu ajutorul Teoremei 3.3 (criteriul de comparaţie cu rapoarte) că şi seria x este divergetă. Se poate obţie atuci următorul criteriu al raportului cu limite extreme.

26 02 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Teorema 3.7. Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Au loc atuci următoarele proprietăţi.. Dacă lim sup 2. Dacă lim if x + x x + x <, atuci x este covergetă. >, atuci x este divergetă. x 3. Dacă lim sup + x lim if +, atuci atura seriei x x u poate x fi precizată cu ajutorul criteriului raportului cu limite extreme. x Î situaţia î care există lim + x Î plus, au loc egalităţile = l R, există şi lim if x + x, lim sup +. x x lim if x + x = lim sup x + x = l. Corolarul de mai sus se poate particulariza atuci sub forma următoare, umită şi criteriul raportului cu limită. Corolar Fie x o serie cu termei strict pozitivi astfel îcât există Au loc următoarele proprietăţi:. Dacă l <, atuci 2. Dacă l >, atuci x lim + = l R. x x este covergetă. x este divergetă. 3. Dacă l =, atuci atura seriei raportului cu limită. x u poate fi precizată cu ajutorul criteriului

27 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 03 Exerciţiu. Studiaţi covergeţa seriilor 2! ) ; 2) (3 + 2) (2 + ). Soluţie. ) Termeul geeral al seriei este x = 2!. Urmează că x lim + x = lim 2 + (+)! (+) + 2! 2 = + ( + )! lim ( + ) + 2! = lim 2 Ä ä + deci seria 2! = 2 e <, este covergetă. 2) Termeul geeral al seriei este x = deci seria x lim + x = lim (3+2)(3+5) (2+)(2+3) (3+2) (2+) (3 + 2). Urmează că (2 + ) (3 + 2)(3 + 5) (2 + ) = lim (2 + )(2 + 3) (3 + 2) = lim = 3 2 >, (3 + 2) este divergetă (2 + ) Î ceea ce priveşte relaţia ître domeiile de aplicabilitate ale criteriilor raportului şi radicalului, să otăm că dacă (x ) 0 este u şir cu termei strict pozitivi atuci, aşa cum reiese di Teorema 2.40, are loc iegalitatea lim if x + x lim if x lim sup x lim sup x + x. Se observă de aici că dacă lim sup x + x < atuci şi lim sup x <, iar dacă x lim if + x >, atuci şi lim sup x >. De aici, dacă sut îdepliite codiţiile petru aplicarea criteriului raportului cu limite extreme, atuci sut îdepliite şi codiţiile petru aplicarea criteriului radicalului cu limite extreme, obţiâdu-se acelaşi rezultate. De asemeea, dacă există limita lim x + x, atuci

28 04 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) există şi limita lim x există şi are aceeaşi valoare, deci dacă sut îdepliite codiţiile petru aplicarea criteriului raportului cu limită, atuci sut îdepliite şi codiţiile petru aplicarea criteriului radicalului cu limită, obţiâdu-se acelaşi rezultat. Î plus, există situaţii î care criteriile raportului u sut aplicabile, fiid aplicabile î schimb criterii ale radicalului. U exemplu î acest ses este seria cu 3 + ( ) termei pozitivi 2. Deoarece termeul geeral este x = 2 + ( ) 2, urmează că x + x = 2 + ( )+ 2 + ( ), de ude 2 lim sup x + x = 3 2 > ; lim if x + x = 6 <, deci criteriul raportului cu limite extreme u este aplicabil. Totuşi, 2 x 3 2, de ude 2 3 x, iar lim x = 2 2 <, coform criteriului cleştelui. De aici, criteriul radicalului cu limită (şi de fapt şi cel cu limite extreme) este aplicabil, iar seria 3 + ( ) 2 este covergetă. Se poate deci cocluzioa faptul că sus-meţioatele criterii ale radicalului au o arie de aplicabilitate mai largă decât criteriile corespuzătoare ale raportului Criteriul Raabe-Duhamel Diversele variate are criteriului Raabe-Duhamel, meţioate î cele ce urmează, sut î geeral utilizate atuci câd aplicarea criteriul raportului coduce la u caz de dubiu. Vom prezeta mai îtâi criteriul Raabe-Duhamel cu iegalităţi; a se remarca faptul că utilizarea raportului iversat ( x x +, î cotrast cu raportul x + x utilizat î cadrul criteriului raportului) coduce la obţierea uor situaţii iverse de covergeţă faţă de cele obţiute î criteriul raportului, respectiv q > " petru covergeţă (î loc de q < " petru criteriul raportului) şi " petru divergeţă (î loc de " petru criteriul raportului). Teorema 3.8. Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Au loc atuci următoarele proprietăţi:

29 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 05. Dacă există q > şi N N astfel ca Ç x x + atuci x este covergetă. 2. Dacă există N N astfel ca Ç x x + atuci x este divergetă. å q petru orice N, å petru orice N, Se poate obţie atuci următorul criteriu Raabe-Duhamel cu limite extreme. Teorema 3.9. Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Au loc atuci următoarele proprietăţi: Ç å. Dacă lim if x >, atuci x + Ç å x 2. Dacă lim sup x + 3. Dacă lim sup seriei Ç x x + x este covergetă. <, atuci x este divergetă. å å, atuci atura Ç lim if x x + x u poate fi precizată cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel cu limite extreme. Ç å x Î situaţia î care există limita lim = l R, există şi limitele Ç å Ç åx + lim if x x, lim sup. Î plus, au loc egalităţile x + x + Ç å Ç å lim if x x = lim sup = l. x + x + Corolarul de mai sus se poate particulariza atuci sub forma următoare, umită şi criteriul Raabe-Duhamel cu limită.

30 06 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Corolar Fie x o serie cu termei strict pozitivi astfel îcât există Ç å lim x = l R. x + Au loc următoarele proprietăţi:. Dacă l >, atuci 2. Dacă l <, atuci x este covergetă. x este divergetă. 3. Dacă l =, atuci atura seriei Raabe-Duhamel cu limită. x u poate fi precizată cu ajutorul criteriului Exerciţiu. Demostraţi că seria armoică geeralizată este covergetă petru p >, respectiv divergetă petru p <. p Soluţie. Termeul geeral al seriei este x = p. Urmează că Ç å lim x x + ÇÇ = lim + å p å Ä ä + p = lim Cocluzia urmează atuci coform criteriului Raabe-Duhamel cu limită. Exerciţiu. Studiaţi covergeţa seriei Soluţie. Termeul geeral al seriei este x = x + x = = (2 ) (2+) (2+2) (2 ) (2 ) (2 + ) (2 + 2) = (2 ) = p (2 ), de ude (2 )

31 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 07 x Urmează că lim + x =, deci aplicarea criteriul raportului coduce la u caz de dubiu. Atuci Ç å Ç å lim x = lim x = lim 2 + = 2 <, deci seria dată este divergetă. 3.2 Serii cu termei oarecare Comparativ cu situaţia seriilor cu termeilor pozitivi, petru care studiul covergeţei se reduce la studiul mărgiirii şirului sumelor parţiale, deoarece mootoia acestuia este asigurată a priori, situaţia seriilor cu termei oarecare este mult mai complicată, îtrucât această cale de abordare se pierde, şirul sumelor parţiale emaifiid mooto. Î cocluzie, ici criteriile de covergeţă obţiute aterior (criteriile de comparaţie, ale raportului şi radicalului, ş. a. m. d.) u mai sut valabile. Pricipala strategie de demostrare a covergeţei seriilor cu termei oarecare va fi acum scrierea termeului geeral ca u produs de doi factori, costruirea seriei care are ca terme geeral uul di factori şi a şirului care are ca terme geeral pe cel de-al doilea factor şi determiarea uor proprietăţi de covergeţă, mootoie şi mărgiire petru acestea care vor coduce la covergeţa seriei iiţiale. Î situaţia î care seria care are ca terme geeral modululul termeului geeral al seriei iiţiale este covergetă, covergeţa seriei iiţiale se va obţie di covergeţa acesteia di urmă; desigur, covergeţa celei de-a doua serii este mult mai simplu de obţiut, fiid vorba despre o serie cu termei pozitivi. Î fie, petru cazul particular al seriilor alterate, covergeţa acestora se poate obţie demostrâd mootoia şirului obţiut pri elimiarea factorului alterat Criteriul lui Dirichlet Î situaţia î care x este o serie u eapărat covergetă, dar cu şirul sumelor parţiale mărgiit, îmulţirea termeului geeral x cu termeul geeral y al uui şir cu valori mici" (mooto descrescător şi coverget la 0) îmbuătăţeşte" covergeţa seriei, î sesul că seria rezultat x y este covergetă.

32 08 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Are loc atuci următorul rezultat, umit criteriul lui Dirichlet. Teorema Dacă x este o serie cu şirul sumelor parţiale mărgiit, iar (y ) 0 este u şir mooto descrescător şi coverget la 0, atuci covergetă. x y este Exerciţiu. Demostraţi că seria si x este covergetă, ude x R. Soluţie. Mai îtâi, fie si x = si x = x y. Fie (S ) şirul sumelor parţiale asociat seriei x, S = si 0x + si x + si 2x si x = si x + si 2x si x. Să observăm că cos si x + si 2x si x = 2 x cos (+)x 2 2 si x si 2 x = si 2 x, dacă si x 2 = 0 (adică x = 2kπ, k Z), respectiv si x + si 2x si x = = 0, dacă si 2 x = 0 (adică x = 2kπ, k Z), deci î orice caz x are şirul sumelor parţiale mărgiit. Cum (y ) = Ä este mooto descrescător şi coverget la 0, urmează ä cocluzia Criteriul lui Abel Dacă se poreşte de această dată de la o serie covergetă x, îmulţirea termeului geeral x cu termeul geeral y al uui şir cu proprietăţi suficiet de

33 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 09 bue (i.e. mooto şi mărgiit) păstrează covergeţa seriei, î sesul că seria rezultat x y este de asemeea covergetă. Are loc atuci următorul rezultat, umit criteriul lui Abel. Teorema 3.2. Dacă x este o serie covergetă, iar (y ) 0 este u şir mooto şi mărgiit, atuci x y este covergetă. Exerciţiu. Demostraţi că seria si cos( ) este covergetă. Soluţie. Observăm mai îtâi că si cos( ) = si cos( ). A fost deja demostrat că seria petru x =, urmează că seria si x si este covergetă, ude x R, deci, este covergetă. Cum şirul (y ) : y = este mooto descrescător şi coverget la 0, luâd valori ître 0 şi, iar fucţia cosius este descrescătoare pe itervalul [0, π 2 ], urmează că (y ) este mooto crescător. Î plus, (y ) este mărgiit, deoarece fucţia cosius este mărgiită. Urmează că seria di euţ este covergetă, coform criteriului lui Abel Serii alterate. Criteriul Leibiz Petru cazul particular al seriilor alterate, se poate observa cu ajutorul criteriului lui Dirichlet că poridu-se de la seria ( ), cu şirul sumelor parţiale mărgiit, pri îmulţirea termeului geeral ( ) cu termeul geeral y al uui şir cu valori mooto descrescător şi coverget la 0 se obţie o serie covergetă. Mai precis, are loc următorul rezultat, umit criteriul lui Leibiz.

34 0 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Teorema Dacă (y ) 0 este u şir mooto descrescător şi coverget la 0, atuci ( ) y este covergetă. Demostraţie. Fie (S ) 0 şirul sumelor parţiale asociat seriei ( ). Deoarece S 2k =, S 2k+ = 0 petru orice k N, urmează că (S ) 0 este mărgi- it. Aplicâd criteriul lui Dirichlet, urmează că seria ( ) y este covergetă. Exerciţiu. Demostraţi că seria Soluţie. Se observă că ( ) + este covergetă. + 2 ( ) + = ( )( ) Deoarece (y ) 0 : y = +2 este mooto descrescător şi coverget la 0, urmează că seria ( ) este covergetă, coform criteriului lui Leibiz. + 2 Atuci şi seria ( ) + este covergetă, fiid obţiută pri îmulţirea seriei covergete ( ) + 2 cu costata. + 2 Mootoia uor subşiruri ale şirului sumelor parţiale Să presupuem acum că ( ) y este o serie alterată, î codiţiile de aplicare ale criteriului lui Leibiz, adică (y ) 0 este u şir mooto descrescător şi coverget la 0. Fie deasemeea (S ) 0 şirul sumelor parţiale asociat seriei ( ) y. Se observă atuci că (S 2k ) k 0 este mooto descrescător iar (S 2k+ ) k 0 este mooto crescător. Î plus, are loc relaţia S 2k+ ( ) y S 2k petru orice k 0.

35 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL Îtr-adevăr, S 2(k+) S 2k = ( ) 2k+ a 2k+ + ( ) 2k+2 a 2k+2 = a 2k+2 a 2k+ 0 deci (S 2k ) k 0 este mooto descrescător. Similar, S 2(k+)+ S 2k+ = ( ) 2k+2 a 2k+2 + ( ) 2k+3 a 2k+3 = a 2k+2 a 2k+3 0, deci (S 2k+ ) k 0 este mooto crescător. Deoarece orice terme al uui şir crescător este mai mic sau egal cu limita şirului, respectiv orice terme al uui şir descrescător este mai mare sau egal cu limita şirului, urmează că S 2k+ ( ) y S 2k petru orice k Serii absolut covergete ( ) Cu ajutorul criteriului lui Leibiz, se poate observă că seria este covergetă. Totuşi, seria asociată a modulelor, = ( ) este divergetă. ( ) Î acelaşi timp, seria 2 este covergetă, iar seria asociată a modulelor, ( ) 2 = este de asemeea covergetă. 2 Aceste exemple sugerează o posibilă clasificare a seriilor covergete î serii petru care seria asociată a modulelor este covergetă, respectiv divergetă. Î acest ses, o serie covergetă x petru care x este covergetă se va umi absolut covergetă, î vreme ce o serie covergetă x petru care x este divergetă se va umi codiţioat covergetă sau semicovergetă. ( ) Di cele de mai sus, se observă că seria 2 este absolut covergetă, î ( ) vreme ce seria u este covergetă (este codiţioat covergetă, sau semicovergetă).

36 2 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Se observă de asemeea că petru serii cu termei pozitivi oţiuile de covergeţă şi absolută covergeţă coicid, deoarece modulul uui umăr pozitiv este chiar umărul î cauză. Î geeral, petru serii cu termei oarecare, covergeţa u implică absolută covergeţă, după cum se poate deduce di exemplul ( ) seriei de mai sus. Totuşi, are loc implicaţia iversă, î sesul că orice serie absolut covergetă este covergetă. Teorema Dacă o serie x este absolut covergetă, atuci ea este şi covergetă. Deoarece seria modulelor x este o serie cu termei pozitivi, petru studierea covergeţei acesteia se pot utiliza criteriile de covergeţă petru serii cu termei pozitivi stabilite aterior. Acest lucru sugerează faptul că se poate obţie covergeţa uei serii cu termei oarecare demostrâd mai îtâi covergeţa seriei modulelor cu ajutorul uui criteriu oarecare de covergeţă, covergeţa seriei date fiid atuci o coseciţă a absolutei ei covergeţe. Exerciţiu. Studiaţi absoluta covergeţă a seriei cos x 2, x R. Soluţie. Cum cos x 2 2, iar este covergetă, fiid o serie armoică geeralizată cu p = 2 >, urmează că şi seria 2 cos x 2 este covergetă, coform criteriului de comparaţie cu iegalităţi. De aici, seria cos x 2 Exerciţiu. Studiaţi absoluta covergeţă a seriei este absolut covergetă. ( ). Soluţie. Deoarece ( ) =,

37 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 3 iar este divergetă, fiid o serie armoică geeralizată cu p = 2 <, ur- ( ) mează că seria u este absolut covergetă. Ea este doar covergetă, coform criteriului lui Leibiz Produsul după Cauchy a două serii Fie seriile cu termei oarecare x şi y. Vom umi seria produs după Cauchy a celor două serii seria c defiită pri c = x 0 y + x y x y 0 = x k y k, petru care c, termeul de ordi, coţie suma tuturor produselor de forma x k y l î care suma idicilor celor doi factori x k şi y l este. Se observă că, defiită î acest mod, seria produs după Cauchy c coţie îtr-adevăr toate produsele de forma x k y l, k, l N, câte o sigură dată, u astfel k=0 de produs fiid u terme al sumei pri care este defiit c k+l şi umai al acesteia. Totuşi, acest procedeu de sumare u asigură proprietatea de păstrare a covergeţei a două serii. Mai precis, dacă x şi y sut două serii cover- gete, seria produs după Cauchy c u este eapărat covergetă. Î acest ses, să cosiderăm exemplul seriilor x, y, cu x = y = ( ), 0. + Î primul râd, se observă cu ajutorul criteriului lui Leibiz că aceste serii sut covergete. Î plus, c = Cum k=0 ( ) k ( ) k = ( ) k + k + k=0» (k + )( + k)» ( + )( + ) = +,» (k + )( + k).

38 4 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) urmează că c = ( ) k=0» (k + )( + k) k=0 + =, deci seria c este divergetă, îtrucât termeul geeral c u tide la 0. Totuşi, covergeţa seriei produs după Cauchy este asigurată dacă măcar ua ditre cele două serii x şi y este absolut covergetă. Î acest ses, are loc următorul rezultat, umit teorema lui Mertes. Teorema Dacă seriile x şi y sut covergete, măcar ua ditre ele fiid şi absolut covergetă, atuci seria produs după Cauchy a celor două serii este şi ea covergetă, suma ei fiid produsul sumelor celor două serii, adică Ñ é Ñ é c = x y. Î situaţia î care se îmbuătăţeşte covergeţa seriilor x şi y, î sesul că ambele serii sut asumate a fi absolut covergete, se îmbuătăţeşte şi covergeţa seriei produs după Cauchy, î sesul că seria produs devie şi ea absolut covergetă. Mai precis, are loc următorul rezultat, umit teorema lui Cauchy. Teorema Dacă seriile x şi y sut absolut covergete, atuci seria produs după Cauchy a celor două serii este şi ea absolut covergetă, suma ei fiid produsul sumelor celor două serii. Cum petru cazul seriilor cu termei pozitivi proprietăţile de covergeţă şi absolută covergeţă coicid, are loc următoarea coseciţă. Corolar Dacă seriile cu termei pozitivi x şi y sut covergete, atuci şi seria produs după Cauchy a celor două serii este covergetă, suma ei fiid produsul sumelor celor două serii.

39 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 5 Î fie, î situaţia î care x, y şi seria produs după Cauchy a celor două serii c sut toate covergete, acest lucru este suficiet petru a arăta că suma seriei produs este produsul sumelor celor două serii. Mai precis, are loc următorul rezultat, umit teorema lui Abel. Teorema Dacă seriile x, y sut covergete, cu x = A, y = B, iar seria produs după Cauchy a celor două serii c este de asemeea covergetă, cu c = C, atuci C = AB. 3.3 Estimarea restului de ordi p Di puct de vedere practic, petru calculul aproximativ al sumei uei serii covergete, este importat să se cuoască o estimare a restului de ordi p al seriei, această estimare reprezitâd de fapt o estimare a erorii cu care S p, suma parţială de ordi p, aproximează suma S a seriei. Petru serii cu termei pozitivi, se poate stabili o estimare a restului de ordi p î codiţiile de aplicare ale criteriului radicalului, respectiv criteriului raportului. Teorema Fie x o serie cu termei pozitivi. Dacă x q < petru orice N, atuci 0 R p qp+ q petru orice p N. Demostraţie. Se observă că R p = x p+ + x p petru orice p 0.

40 6 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) Deoarece x q petru orice N, urmează că x q petru orice N. Atuci R p = x p+ + x p q p+ + q p q p+ ( + q + q ) qp+, petru orice p N, q de ude cocluzia. Teorema Fie x o serie cu termei strict pozitivi. Dacă x + x q < petru orice N, atuci 0 R p x N q p N+ q petru orice p N. Petru serii alterate, se poate stabili o estimare a restului de ordi p î codiţiile de aplicare ale criteriului lui Leibiz. Teorema Fie ( ) y o serie alterată, ude (y ) 0 este u şir mooto descrescător şi coverget la 0. Atuci R p y p+ petru orice p 0. Aplicaţii 3.. Determiaţi sumele următoarelor serii folosid formula de sumare a progresiei geometrice ) 7 ; 2) 5) 2 + ( ) ; 6) ( ) 2 3 ; 3) 2 [3 + ( ) ]. ( ) ; 4) 2 + ( ) 3 2 ;

41 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL Ţiâd seama de relaţia determiaţi suma seriei telescopice 3.3. Ţiâd seama de relaţia ( + )! = + ( + )!, 0, log 2 ( + 2) ( + ) 2 = log 2 determiaţi suma seriei telescopice 3.4. Ţiâd seama de relaţia determiaţi suma seriei telescopice 3.5. Ţiâd seama de relaţia ( + )! log 2 log 2 ( + 2) ( + ) 2. +,, ( + )( + 2) = ( + )( + 2),, ( + )( + 2) (2 + ) = (2 + ),, determiaţi suma seriei telescopice 3... (2 + ) Demostraţi că următoarele serii sut divergete aalizâd comportarea termeului geeral ) 5) ; 2) ; + 2 ; 6) 3.7. Fie (x ) 0 : x + = x ( x ), x 0 (0, ). 3) ; 4) ( ) ; l(e + 2) ; 7) l(l ). =2. Demostraţi că x (0, ) petru orice Demostraţi că (x ) 0 este strict descrescător.

42 8 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) 3. Demostraţi că lim x = Demostraţi că seria x 2 este covergetă Demostraţi că u există şiruri (x ) 0 astfel ca seria fie covergetă Fie x o serie cu termei pozitivi. ( x x ) să. Demostraţi, folosid evetual criteriul de covergeţă Cauchy, că dacă x este covergetă, atuci şi x 2 este covergetă. 2. Dacă x 2 este covergetă, rezultă eapărat că x este covergetă? 3.0. Fie x o serie covergetă cu termei strict pozitivi. Demostraţi că seriile x + x + 2, x x + şi 2 x + x sut de asemeea covergete Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul criteriului de codesare l ) 2 ; 2) l l(l ) ; 3) l(l ) (l ) 2. = Demostraţi cu ajutorul criteriului de codesare că seria (l ) p este covergetă dacă p >, respectiv divergetă dacă p Determiaţi lim ; =2 2. Studiaţi covergeţa seriei criteriu de comparaţie , folosid evetual u

43 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul uui criteriu de comparaţie 5 + ( ) 3 + si ) 2 ; 2) ; 3) l ; 4) (l ) l ; 5) 9) 3) =2 =2 ( + ( ) ) 2 ; 6) ; 7) Ç å» ; 0) ; ) 2 + Ç ; 4) l + å ; 5) = ; ) ; 2) ; ( 2 ); Ç Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul uui criteriu al raportului 2 ) 3 ; 2) (2 + )! ; 3) 2 ( + )! ; 4) (!) 2 (2)! ; 5) 6) 9) ; 7) (2 ) (3 ) ; 8) ( 3 3 3)( 3 5 3)... ( ) (2 + ) ;! 2 ; 3.6. Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul uui criteriu al radicalului Ç å 2 + Ç å ) ; 2) ; 3) (l ) =2 ; 4) ; Ç å + 2 l Ç å Ç 5) ; 6) ; 7) + å 2 Å ; 8) Å ã ) 3 ; 0) + 2 ; ) Ä ä 3 + ; 2) (3 + 5) ; 3) 2 + (2 + 3) ; 4) ( + ) ; 5) (» ). ( + )( + 2) 3.7. Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel (4 )! ) ; 2) (3 + )(3 + 2)... (3 + ) ; 3... (2 ) Ç å ; 4) 3... (2 ) ; ) (3 ) Discutaţi covergeţa următoarelor serii î fucţie de valorile parametrilor a > 0 şi p R å. ã 2 ;

44 20 Capitolul 3 SERII NUMERICE (rezumat) 4) 6) ) a p ; 2) a ; 3) ( + a + a a ) ; 5) (a + )(2a + )... (a + ) ; 7) ( a ! a(a + )... (a + ) ; a ; 8) a l Discutaţi covergeţa următoarelor serii î fucţie de valorile parametrilor a, b > 0 a(a + )(a + 2)... (a + ( )) ) b(b + )(b + 2)... (b + ( )) ; 2) a + b. ) ; Discutaţi covergeţa seriei a, b, c, d > 0. Ç å a + b î fucţie de valorile parametrilor c + d 3.2. Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul criteriului Dirichlet cos x cos 3 ) 2, x R; 2) l( + ) ; 3) cos π 2 l( + 2) ; 4) ( 2 ) si 2; ( ) si cos si 5) ; 6) si l( + ; 7) ) si x cos x 3 ; 8) ; si si 2 cos si 2 si 9) 3 ; 0) 4 2 ( ) si 2 ; ) 2 ; 2) ; 3) Ç å l si x cos x, R; 4) Ç l å si( + 2 ) Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul criteriului Abel cos ) si ; 2) si cos cos ; 3) ( ) 2 ; 4) arctg ; ( ) Ç Ç 5) e + å å si ; 6) si Ç + 2 ; 7) cos l + å ; si( + 8) ) Studiaţi covergeţa următoarelor serii cu ajutorul criteriului Leibiz ( ) ( ) ) 3 ; 2) + l ; 3) ( ) + ( 3 ); 4) ( ) 3 ;

45 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 2 5) 9) ( ) ; 6) Ç ( ) å. ( ) ; 7) + ( ) +» ( + 3) ; 8) ( ) + l 2 ; Demostraţi că următoarele serii sut divergete ( ) ) 2 + cos ; 2) ( ) l(2 + 3) l(3 + 2) ; 3) (3 + 2) ( ) (2 + 4) ; 4) ( )» 2 + ( ) Studiaţi covergeţa absolută a următoarelor serii si x ) ; 2) si cos si! ; 3) l 2 ; 5) ( ) (+) si ; 6) ( ) ( ) 2 + ( ). 4) ( ) 2 ; Discutaţi covergeţa următoarelor serii î fucţie de valorile parametrului a R. ( ) ) a+ ; 2) a a ; 3) + 2 ; 4) a a 2 + ; 5) ( )» Ç å a + 3 ( 2 ( ) + a); 6) ; 7) 2a + a Demostraţi că seria ( ) x, ude +2, dacă este par x = 2, dacă este impar este divergetă.