ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
|
|
- Κασσιέπεια Αναγνωστάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0. La fel ca şi î cazul şirurilor umerice, dorim să studiem proprietăţile de covergeţă ale şirurilor de fucţii, ivestigâd posibilele moduri î care se poate defii oţiuea de covergeţă, şi să cercetăm dacă tipurile de covergeţă astfel defiite realizează sau u trasmiterea uor proprietăţi uzuale ale fucţiilor de la termeii uui şir de fucţii la fucţia limită. 8.. Puct de covergeţă. Mulţime de de covergeţă. Limita uui şir de fucţii Mărgiire uiformă Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că ( f ) 0 este uiform mărgiit dacă există M > 0 astfel îcât f (x) M petru orice N şi x D. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si x. Atuci f (x) petru orice N şi x R, deci ( f ) 0 este uiform mărgiit. 265
2 266 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Puct de covergeţă. Mulţime de de covergeţă Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că a D este u puct de covergeţă al şirului de fucţii ( f ) 0 dacă şirul umeric ( f (a)) 0 al valorilor fucţiilor î a este coverget. Mulţimea tuturor puctelor de covergeţă ale şirului de fucţii ( f ) 0 se va umi atuci mulţimea de covergeţă a acestui şir. Fucţia limită a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie E D mulţimea de covergeţă a şirului de fucţii ( f ) 0. Fucţia f : E R defiită pri f : E R, f (x) = lim f (x), se umeşte fucţia limită a şirului de fucţii ( f ) 0. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = iar lim f (x) = lim + x x x+. Atuci =, petru x (0, ], lim f (x) = lim 0 = 0, petru x = 0. Urmează că mulţimea de covergeţă a şirului de fucţii ( f ) 0 este [0, ], iar fucţia limită este f : [0, ] R, f (x) =, x (0, ]. 0, x = Covergeţa puctuală a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. s Vom spue că ( f ) 0 coverge puctual sau simplu la f şi vom ota f f petru dacă petru orice x D şirul umeric ( f (x)) 0 este coverget la f (x). Î aceste codiţii, petru orice x D şi orice ε > 0 există u rag ε,x N astfel ca f (x) f (x) < ε, petru orice ε,x. (8.)
3 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 267 Di exemplul aterior se observă îsă că acest tip de covergeţă u asigură trasferul uor proprietăţi cum ar fi cotiuitatea şi derivabilitatea de la termeii şirului de fucţii către fucţia limită. Î acest ses, deşi toţi termeii şirului ( f ) 0 sut fucţii derivabile pe [0, ], fucţia limită f u este ici măcar cotiuă pe acest iterval, fiid discotiuă î x 0 = 0. Este aturală atuci itroducerea uui cocept mai puteric de covergeţă Covergeţa uiformă a uui şir de fucţii Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Vom spue că ( f ) 0 coverge uiform la f şi vom ota f u f petru dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel ca f (x) f (x) < ε, petru orice ε şi orice x D, adică ragul ε,x itrodus î (8.) u mai depide de x, iar difereţa f (x) f (x) poate fi făcută suficiet de mică de la u rag ε îcolo idiferet de valoarea lui x D. Coform defiiţiei, se observă atuci că dacă f u f petru, atuci s şi f f petru. Implicaţia iversă u este îsă adevărată, î acest ses putâdu-se cosidera următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x ( x ). Atuci, deoarece 0 x ( x ) x, iar lim x = 0 petru x [0, ), urmează că lim f (x) = 0 petru x [0, ). s Deoarece f () = 0 petru 0, urmează că lim f () = 0, deci f f petru, ude f : [0, ] R, f (x) = 0. Fie ε = 4 şi să presupuem că f u f petru. Atuci există u rag ε N astfel ca Îsă f Å f (x) < 4, petru orice ε şi orice x [0, ]. ã 2 = 4 petru orice, ceea ce cotrazice iegalitatea de mai sus. Î cocluzie, f u f petru.
4 268 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) 8..4 Criterii de covergeţă uiformă Se poate obţie î mod imediat următorul criteriu de covergeţă uiformă, util atuci câd limita şirului este cuoscută de la bu îceput, sau poate fi uşor determiată. Teorema 8.. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Atuci f u f petru dacă şi umai dacă Å lim sup x D ã f (x) f (x) = 0, Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x. Să arătăm că f u +x 2 f petru, ude f : R R, f (x) = 0. Î acest ses, coform celor de mai sus, este suficiet să demostrăm că Å lim sup x R ã f (x) = 0. Deoarece f este impară petru orice 0, iar f (x) 0 petru x 0, urmează că Îtrucât sup x R f (x) = sup f (x) = sup f (x). x 0 x 0 f (x) = + x2 2x 2 ( + x 2 ) 2 = x2 ( + x 2 ) 2, urmează că x = este uicul puct de maxim local al lui f pe [0, ), iar cum f (x ) = 2, urmează că iar sup x 0 deci f u f petru. f (x) 2, petru orice x 0, f (x) = 2 0, petru, Vom preciza î cele ce urmează u criteriu care costituie o adaptare a criteriului de covergeţă Cauchy petru şiruri, meţioâd î eseţă faptul că dacă
5 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 269 şirurile umerice ( f (x)) 0 sut fudametale î mod uiform, î sesul că ragul idicat î codiţia Cauchy depide doar de ε, u şi de x, atuci ( f ) 0 este uiform coverget. La fel ca şi î cazul şirurilor umerice, u este ecesar să fie cuoscută limita şirului de fucţii, aşa cum s-a îtâmplat î cazul criteriului aterior. Teorema 8.2. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : D R dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât f (x) f m (x) < ε, petru orice m, ε şi orice x D. Rezultatul se poate exprima şi sub următoarea formă echivaletă. Teorema 8.3. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : D R dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există ε N astfel îcât f +p (x) f (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. Exemplu. Fie ( f ), f : R R, f (x) = ( f ) este uiform coverget. Fie ε > 0. Atuci f +p (x) f (x) = Deoarece +p k=+ +p k=+ +p k(k + ) = k=+ si kx k(k + ) Å k k + petru ε = î ε ó, urmează că ã +p k=+ k= si kx k(k + ). si kx k(k + ) +p k=+ Să arătăm că k(k + ). = + + p + < + < ε f +p (x) f (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. Coform teoremei de mai sus, urmează că ( f ) 0 este uiform coverget. Următorul rezultat poartă umele de criteriul majorării şi idică faptul că o codiţie suficietă petru covergeţa uiformă a uui şir de fucţii către o fuc-
6 270 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) ţie dată este ca modulul difereţei ditre termeii şirului şi acea fucţie să poată fi majorat, idiferet de valoarea argumetului, de termeii uui şir cu limita 0. Teorema 8.4. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie de asemeea f : D R. Dacă există (α ) 0 u şir de umere reale pozitive astfel îcât lim α = 0 şi f (x) f (x) α, petru orice N şi x D, atuci f u f petru. Demostraţie. Deoarece sup f (x) f (x) α, petru orice N, x D cocluzia urmează î mod imediat cu ajutorul Teoremei 8.. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = cos x 2 +. Atuci iar f (x) 0 = cos x 2 + 2, petru orice N şi x [0, ], + lim 2 + = 0, deci ( f ) 0 coverge uiform către fucţia f : [0, ] R, f (x) = 0 petru x [0, ]. Petru studierea covergeţei uiforme a uui şir de fucţii a cărei limită u este cuoscută de la îceput, este utilă mai îtâi determiarea fucţiei limită puct cu puct", ţiâd seama de faptul că orice şir de fucţii uiform coverget este î mod ecesar şi coverget puctual, după care difereţa ditre termeii şirului şi fucţia limită astfel obţiută se estimează î mod uiform. Exerciţiu. Studiaţi covergeţa şirului de fucţii ( f ) 0, f : [, 2] R, f (x) = x2 +2 x. Soluţie. Mai îtâi, se observă că x lim x = lim (x + 2 ) = x, petru orice x [, 2], x
7 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 27 deci ( f ) 0 coverge, deocamdată puctual, către fucţia f : [, 2] R, f (x) = x. Să arătăm că această covergeţă este uiformă. Observăm că f (x) f (x) = 2 x 2, petru orice x [, 2], 2 iar deoarece lim = 0, urmează coform criteriului majorării că f. u f petru Î fie, î prezeţa proprietăţii de mootoie, covergeţa puctuală se poate trasforma î covergeţă uiformă, aşa cum va fi observat di rezultatul următor, umit teorema lui Dii. Teorema 8.5. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii cotiue defiit pe mulţimea compactă D şie de asemeea o fucţie costată f : D R. Dacă sut îdepliite următoarele codiţii:. f s f petru, 2. ( f (x)) 0 este mooto petru orice x D, atuci f u f petru Trasmiterea uor proprietăţi pri covergeţă uiformă S-a observat aterior că pri covergeţă puctuală proprietăţile de cotiuitate şi derivabilitate u se trasmit eapărat de la termeii şirului către fucţia limită. Vom observa î cele ce urmează că vehiculul potrivit de trasmitere a proprietăţilor uzuale este covergeţa uiformă. Mărgiire Teorema 8.6. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi mărgiite pe D, astfel îcât f u f petru, ude f : D R. Atuci f este de asemeea mărgiită pe D.
8 272 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Cotiuitate Teorema 8.7. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi cotiue î a D, astfel îcât f u f petru, ude f : D R. Atuci f este de asemeea cotiuă î a. Coform defiiţiei cotiuităţii pe o mulţime, teorema de mai sus coduce la următorul corolar. Corolar Fie ( f ) 0 u şir de fucţii defiite pe mulţimea D şi cotiue pe D, f u f petru. Atuci f este de asemeea cotiuă pe D. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x. Atuci f s f petru, ude f : [0, ] R, f (x) = 0, x [0, )., x = Totuşi, f u coverge şi uiform la această fucţie, deoarece î caz cotrar ar trebui ca f să fie cotiuă, fiid limita uiformă a uui şir de fucţii cotiue, iar f este discotiuă î x 0 =. Derivabilitate Pri aalogie cu trasmiterea proprietăţilor de mărgiire şi cotiuitate de la termeii uui şir uiform coverget către fucţia limită, s-ar putea crede că şi proprietatea de derivabilitate se trasmite pri covergeţă uiformă. Acest lucru u este îsă adevărat, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ), f : R R, f (x) = x 2, x 2 x 2, x (, ). x + 2, x
9 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 273 Atuci f (x) =, x < x, x (, )., x > Î plus, Ä f ä Ä f ä d s Å ã = lim x x< Å ã = lim x x> f (x) f Å x Å ã f (x) f Å x Å ã ã ã = lim x x< = lim x x> x x + 2 x 2 2 x + = =, deci f este derivabilă î x =, iar f ( ) =. Similar, f este derivabilă î x 2 =, iar f ( ) =. Î cocluzie, f este derivabilă pe R petru orice. Fie acum f : R R, f (x) = x. Vom estima f (x) f (x), petru x R, cu scopul de a demostra că f u f petru. Avem că f (x) f (x) = 2 = 2, petru x f (x) f (x) = 2 x2 x 2 x 2 + x 3 2, petru x (, ) f (x) f (x) = 2 = 2, petru x. Î cocluzie, f (x) f (x) 3, petru orice x R, 2 iar coform criteriului majorării urmează că f u f petru. Totuşi, fucţia limită f u este derivabilă î x = 0, deci proprietatea de derivabilitate u se trasmite eapărat pri covergeţă uiformă. Exemplul, totuşi, u este surprizător. Covergeţa uiformă a uui şir de fucţii este o proprietate globală, măsurâd, îtr-u aumit ses, cât de aproape"
10 274 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) sut termeii acestui şir de fucţia limită, î vreme ce derivabilitatea uei fucţii este o proprietate locală, măsurâd viteza de variaţie a acelei fucţii. Î acest ses, două fucţii pot avea valori apropiate", dar valorile ueia ditre ele pot varia cu mult mai repede decât valorile celeilalte, fie şi doar local, caz î care derivatele celor două fucţii u vor fi apropiate" ua de alta. O altă îtrebare aturală este dacă uiforma covergeţă a uui şir ( f ) 0 atrage uiforma covergeţă a şirului derivatelor sale ( f ) 0. Răspusul la această îtrebare este de asemeea egativ, di aceleaşi motive euţate mai sus, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si x. Deoarece f (x), petru orice x R, urmează coform criteriului majorării că f u f, ude f : R R, f (x) = 0. Totuşi, deoarece f (x) = cos x, iar f ( π 2 ) = ( ), urmează că ( f ( π 2 )) 0 u este coverget, iar ( f ) 0 u poate fi uiform coverget pe R, îtrucât mulţimea sa de covergeţă u este îtreg R. Se va observa îsă că trasferul de derivabilitate se produce î codiţiile î care sut asigurate atât covergeţa uiformă a şirului fucţiilor, cât şi covergeţa uiformă a şirului derivatelor. Teorema 8.8. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii derivabile defiite pe u iterval I şi fie f, g : I R astfel îcât. ( f ) 0 este uiform coverget, f u f petru. 2. ( f ) 0 este uiform coverget, f Atuci f este derivabilă, iar f = g. u g petru. Egalitatea f = g de mai sus se poate pue şi sub forma ( lim f ) = lim ( f ), spuâdu-se că, î codiţiile teoremei, limita derivatelor este derivata limitei.
11 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 275 Dacă itervalul I este mărgiit, atuci este suficiet ca ( f ) 0 să fie coverget îtr-u sigur puct, restul ipotezelor implicâd covergeţa uiformă a acestui şir. Teorema 8.9. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii derivabile defiite pe u iterval mărgiit I şi fie f, g : I R astfel îcât. ( f ) 0 este coverget îtr-u puct a I. 2. ( f ) 0 este uiform coverget, f u g petru. Atuci ( f ) 0 este uiform coverget către o fucţie f : I R, f este derivabilă, iar f = g. Itegrabilitate Petru coformitate, meţioăm aici că şi proprietatea uei fucţii de a fi itegrabilă Riema, care va fi studiată ulterior, se trasmite la râdul ei de la termeii uui şir uiform coverget către fucţia limită. Teorema 8.0. Fie ( f ) 0 u şir de fucţii itegrabile Riema defiite pe u iterval [a, b] astfel îcât f u f petru, ude f : [a, b] R. Atuci f este de asemeea itegrabilă Riema pe [a, b], iar b b b lim f (x)dx = lim f a a (x)dx = f (x)dx. a Observăm atuci că, î codiţiile teoremei, limita itegralelor este itegrala limitei. 8.2 Serii de fucţii Fiid dat u şir de fucţii ( f ) 0, vom umi serie de fucţii de terme geeral f cuplul (( f ) 0, (S ) 0 ) format di şirul ( f ) 0 al termeilor seriei şi şirul de fucţii (S ) 0 al sumelor parţiale, defiit după regula S = f 0 + f + f f. Î această situaţie, f se va umi şi termeul de rag sau idice al seriei. Vom ota o serie de fucţii de terme geeral f pri f 0 + f + f f +...,
12 276 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) sau, sub formă prescurtată, pri f. Dacă primii k termei f 0, f,..., f k u sut defiiţi, vom ota seria de fucţii de terme geeral f pri f k + f k+ + f k f +..., respectiv pri =k f Puct de covergeţă. Mulţime de covergeţă. Suma uei serii de fucţii Petru a studia covergeţa seriilor de fucţii, vom utiliza oţiuile şi rezultatele meţioate aterior petru şiruri de fucţii şi serii umerice. Puct de covergeţă. Mulţimea de covergeţă Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Vom spue că a D este u puct de covergeţă al seriei de fucţii f dacă şirul umeric f (a) este coverget, adică a este puct de covergeţă petru şirul de fucţii (S ) 0 al sumelor parţiale. Mulţimea tuturor puctelor de covergeţă ale seriei de fucţii f se va umi atuci mulţimea de covergeţă a acestei serii. x Exemplu. Fie seria de fucţii şi fie x R fixat. Studiem absoluta + x2 covergeţă a seriei umerice obţiute. Urmează că Ã L = lim x + x 2 = x lim 2 + x 2. Petru x (, ), L = x <, deci seria obţiută petru acest x este absolut covergetă, coform criteriului radicalului. Petru x (, )
13 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 277 (, + ), L = x lim x 2 + = x <, x 2 deci seria obţiută petru acest x este absolut covergetă, coform criteriului radicalului. Petru x =, seria iiţială devie, care este diver- 2 getă, deoarece termeul geeral u tide la 0. Petru x =, seria iiţială ( ) devie, care este divergetă, deoarece termeul geeral u tide 2 la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este R\ {, }. Suma uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D şi fie E D mulţimea sa de covergeţă. Fucţia S : E R defiită pri S : E R, S(x) = se va umi suma seriei de fucţii f. f (x) = lim S (x), Covergeţa puctuală a uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă puctual sau simplu către f : D R dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este coverget puctual către f, adică petru orice a D seria umerică f (a) este covergetă către f (a). Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă absolut dacă seria f este covergetă puctual, adică petru orice a D seria umerică f (a) este covergetă. Să remarcăm că, la fel ca şi î cazul seriilor umerice, dacă o serie de fucţii f este absolut covergetă, atuci ea este şi covergetă. Î plus, deoa-
14 278 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) rece petru seriile umerice cu termei pozitivi covergeţa este echivaletă cu mărgiirea, f este absolut covergetă dacă şi umai dacă f (a) este mărgiită petru orice a D Covergeţa uiformă a uei serii de fucţii Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Seria f se va umi covergetă uiform către f : D R dacă şirul sumelor parţiale (S ) 0 este coverget uiform către f. Exemplu. Fie seria de fucţii. Să demostrăm că seria (x + )(x + + ) este covergetă uiform pe (0, ). Îtr-adevăr, S (x) = Atuci deci k=0 (x + k)(x + k + ) = lim S (x) = lim (x + )(x + + ) (0, ) R, f (x) = x. Deoarece k=0 Ç å x + k = x + k + x x + + Ç å x =, petru orice x (0, ), x + + x S (x) f (x) = este covergetă, deocamdată puctual, la f : x + + +, urmează coform criteriului majorării că (S ) 0 este coverget uiform la f, deci seria este covergetă uiform pe (0, ). (x + )(x + + ) Criterii de covergeţă uiformă Coform Teoremei 8.3 şi defiiţiei covergeţei uiforme, se obţie următorul criteriu de covergeţă uiformă.
15 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 279 Teorema 8.. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Atuci f este uiform covergetă dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există ε N astfel îcât f (x) + f + (x) f +p (x) < ε, petru orice ε, orice p 0 şi orice x D. De asemeea, pri aalogie cu Teorema 8.4, se poate euţa şi demostra următorul criteriu de covergeţă uiformă şi absolută petru serii de fucţii, umit criteriul lui Weierstrass. Teorema 8.2. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D. Dacă există (α ) 0 u şir de umere reale pozitive astfel îcât α este covergetă şi f (x) α, petru orice N şi x D, atuci f este absolut şi uiform covergetă. Exemplu. Fie seria si x 2 + x 2 +. Deoarece si x 2 + x 2 + 2, petru orice N şi orice x R, + iar seria 2 este covergetă, fapt care poate fi demostrat, de exemplu, cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel sau comparâd seria dată cu seria + covergetă cu ajutorul criteriului de comparaţie cu limită, urmează 2 = si x că seria 2 + x 2 este absolut şi uiform covergetă pe R. +
16 280 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Criteriul lui Dirichlet La fel ca şi î cazul seriilor umerice, îmulţirea termeului geeral al uei serii de fucţii u eapărat covergete, dar cu şirul sumelor parţiale uiform mărgiit cu termeul geeral al uui şir de fucţii cu valori mici" (mooto descrescător petru orice valoare fixată a argumetului şi uiform coverget la 0) îmbuătăţeşte" covergeţa seriei, î sesul că seria de fucţii ce are ca terme geeral rezultatul acestui produs este uiform covergetă. Teorema 8.3. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care are şirul sumelor parţiale uiform mărgiit. Fie (g ) 0 u şir de fucţii defiite pe D cu proprietăţile următoare.. g u 0 petru. 2. Şirul umeric (g (x)) 0 este mooto descrescător petru orice x D. Atuci f g este uiform covergetă. Criteriul lui Abel Similar, îmulţirea termeului geeral al uei serii de fucţii uiform covergete cu termeul geeral al uui şir de fucţii cu proprietăţi suficiet de bue (uiform mărgiit şi mooto petru valoare fixată a argumetului) păstrează uiforma covergeţă a seriei. Teorema 8.4. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care este uiform covergetă. Fie (g ) 0 u şir de fucţii defiite pe D cu proprietăţile următoare:. (g ) 0 este uiform mărgiit. 2. Şirul umeric (g (x)) 0 este mooto petru orice x D. Atuci f g este uiform covergetă pe D.
17 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 28 Criteriul lui Leibiz ( ) f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D cu propri- Teorema 8.5. Fie etăţile următoare:. f u 0 petru. 2. Şirul umeric ( f (x)) 0 este mooto descrescător petru orice x D. Atuci ( ) f este uiform covergetă pe D Trasmiterea uor proprietăţi pri covergeţă uiformă Pri aalogie cu rezultatele corespuzătoare petru şiruri de fucţii, se pot discuta cotiuitatea, derivabilitatea şi itegrabilitatea sumelor seriilor uiform covergete. Cotiuitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.6. Fie f o serie de fucţii defiite pe mulţimea D care este uiform covergetă către o fucţie f : D R. Dacă toate fucţiile f sut cotiue î a D (respectiv pe D), atuci f este de asemeea cotiuă î a (respectiv pe D). Derivabilitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.7. Fie f o serie de fucţii derivabile defiite pe u iterval I şi fie f, g : I R astfel îcât. 2. f este uiform covergetă, f este uiform covergetă, f f u f. u g.
18 282 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Atuci f este derivabilă, iar f = g. Egalitatea f = g de mai sus se poate pue şi sub forma f ) = ( f ), ( spuâdu-se că, î codiţiile teoremei, seriile de fucţii covergete uiform se pot deriva terme cu terme. Dacă itervalul I este mărgiit, atuci este suficiet ca f să fie covergetă îtr-u sigur puct, restul ipotezelor implicâd covergeţa uiformă a acestei serii. Teorema 8.8. Fie f o serie de fucţii derivabile defiite pe u iterval mărgiit I şi fie f, g : I R astfel îcât. 2. f este covergetă îtr-u puct a I. f este uiform covergetă, f u g. Atuci f este uiform covergetă către o fucţie f : I R, f este derivabilă, iar f = g. Petru coformitate, meţioăm aici şi u rezultat privitor la itegrarea seriilor uiform covergete. Itegrabilitatea seriilor uiform covergete Teorema 8.9. Fie f o serie de fucţii itegrabile Riema defiite pe u iterval mărgiit [a, b], uiform covergetă către o fucţie f : [a, b] R. Atuci b f este de asemeea itegrabilă Riema pe [a, b], seria itegralelor f (x)dx a
19 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 283 este covergetă, iar b a b f (x)dx = a b f (x)dx = a f (x)dx. 8.3 Serii de puteri Vom umi serie de puteri cetrată î x 0 o serie de fucţii f petru care fucţiile f, 0, au forma particulară f = a (x x 0 ), ude a, 0, şi x 0 sut umere reale. O serie de puteri cetrată î x 0 are deci forma a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) +..., (8.2) fiid uic determiată de umărul x 0 R şi de şirul (a ) 0. Dacă x 0 = 0, se obţie cazul particular al seriei de puteri cetrată î origie a x = a 0 + a x + a 2 x a x (8.3) Îtrucât după schimbarea de variabilă x x 0 = y seria (8.2) de mai sus se scrie sub forma a y, similară cu (8.3), se va cosidera î cele ce urmează doar cazul î care x 0 = 0, iar seria de puteri se scrie sub forma (8.3), adaptarea rezultatelor petru cazul x 0 = 0 putâdu-se face cu uşuriţă Mulţimea de covergeţă a uei serii de puteri Petru o serie de fucţii oarecare, mulţimea de covergeţă poate avea o structură complexă. Totuşi, petru serii de puteri situaţia este cu mult mai simplă. Se poate observa că seria (8.3) este covergetă petru x = 0, avâd suma a 0. Mai departe, se va demostra că (8.3) poate coverge doar î x = 0, poate coverge pe îtreaga axă reală sau poate coverge pe u iterval deschis simetric faţă de origie, o îtrebare adiţioală fiid dacă seria (8.3) coverge şi î capetele acestui iterval. Mai îtâi, vom exemplifica aceste situaţii.
20 284 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Covergeţă doar î 0 Fie seria!x şi fie x = 0 fixat. Atuci otâd b =!x, urmează că b lim + b = lim ( + ) x =, ceea îseamă că lim b = +, iar, petru acest x fixat, seria dată u poate fi covergetă, îtrucât termeul ei geeral u tide la 0. Î cocluzie, seria dată coverge doar petru x = 0. Covergeţă petru orice x R Fie seria = x! şi fie x = 0 fixat. Atuci otâd b = x!, urmează că b lim + b x = lim + = 0, iar, coform criteriului raportului petru serii umerice, seria dată este absolut covergetă petru acest x fixat, deci şi covergetă. Î cocluzie, seria dată coverge petru orice x R. Covergeţă pe u iterval deschis cetrat î 0 Fie seria x. S-a observat deja că petru x (, ) fixat, seria dată este covergetă, cu suma, iar petru x ( ] [, ) fixat, seria dată este x divergetă, îtrucât termeul său geeral u tide la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ). Covergeţă pe u iterval deschis cetrat î 0 Fie seria = x şi fie x = 0 fixat. Atuci, otâd b = x, urmează că b lim + b x = lim + = x. Petru x (, ), urmează, coform criteriului raportului petru serii umerice, că seria dată este absolut covergetă, deci şi covergetă. Petru x >,
21 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 285 urmează că lim b =, iar seria dată este divergetă, îtrucât termeul geeral u tide la 0. Rămâe deci să studiem covergeţa seriei î capetele itervalului meţioat aterior, aume î x = şi x =. Petru x =, seria dată devie seria armoică, care este divergetă. Petru x =, seria dată devie seria = ( ), care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz petru serii u- = merice. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este [, ). Cu u raţioamet similar celui de mai sus, se poate observa că mulţimea ( ) de covergeţă a seriei x este (, ], î vreme ce mulţimea de covergeţă a seriei este [, ], icio afirmaţie geerală eputâd fi făcută = x 2 = a priori relativ la covergeţa sau divergeţa seriei la extremităţile mulţimii de covergeţă. Rezultatul următor, cuoscut sub umele de teorema lui Abel, furizează iformaţii adiţioale despre coţiutul mulţimii de covergeţă. Teorema Fie seria de puteri a x. Fie de asemeea x, x 2 R astfel îcât seria umerică a x este covergetă, respectiv seria umerică a x2 este divergetă. Au loc atuci următoarele proprietăţi.. Seria de puteri a x coverge î orice puct x cu x < x, respectiv diverge î orice puct x cu x > x Petru orice r (0, x ), seria de puteri a x este uiform covergetă pe itervalul [ r, r]. Determiarea razei de covergeţă a uei serii de puteri S-a observat deja că seria de puteri a x este covergetă petru x = 0, iar teorema lui Abel e asigură de următoarele lucruri.
22 286 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat). Dacă seria de puteri a x este covergetă petru x = x, atuci este covergetă şi petru x < x. 2. Dacă seria de puteri a x este divergetă petru x = x 2, atuci este divergetă şi petru x > x 2. Fie E mulţimea de covergeţă a seriei de puteri a x şi fie R = sup E, umit şi raza de covergeţă a seriei de puteri a x. Coform celor de mai sus, 0 E, deci R 0. Sut posibile următoarele situaţii.. R = 0 Dacă x = 0 E, atuci ( x, x ) E, deci R x, cotradicţie. Atuci E = {0} < R < Coform caracterizării aalitice a margiii superioare a uei mulţimi şi teoremei lui Abel, seria de puteri a x este absolut covergetă pe ( R, R), divergetă pe (, R) (R, + ) şi absolut covergetă pe orice iterval [ r, r], cu r < R. Relativ la comportarea seriei de puteri a x î cele două capete ale itervalului ( R, R), aceasta poate fi covergetă î ambele, îtr-uul sigur, sau î iciuul, î acest ses putâd fi studiate exemplele meţioate aterior. 3. R = + Atuci seria de puteri a x este absolut covergetă pe R şi uiform covergetă pe orice iterval [ r, r], cu r R. Î toate aceste cazuri, dacă E este mulţimea de covergeţă a seriei de puteri a x, iar R este raza sa de covergeţă, atuci ( R, R) E [ R, R].
23 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 287 Itervalul ( R, R) poartă umele de itervalul de covergeţă al seriei de puteri a x (a u se cofuda cu mulţimea de covergeţă a acestei serii, care mai poate coţie evetual şi capetele R şi R ale acestui iterval). Figura 8.: Covergeţa uei serii de puteri Formulele Cauchy-Hadamard Avâd î vedere faptul că pe itervalul de covergeţă ( R, R) seria de puteri a x este absolut covergetă, petru determiarea razei de covergeţă vom folosi criterii de covergeţă petru serii cu termei pozitivi, aplicate seriei modulelor a x. Mai îtâi, vom preciza o modalitate de determiare a razei de covergeţă a seriei de puteri cu ajutorul limitei uui raport. Teorema 8.2. Fie a x o serie de puteri cu coeficieţi euli. Dacă a lim + a = λ, atuci λ, dacă λ (0, ), R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Demostraţie. Fie x R. Aplicâd criteriul raportului seriei umerice cu termei strict pozitivi a x, observăm că lim a + x + a x a = lim + x = λ x, a
24 288 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) iar seria a x este covergetă petru x < λ şi divergetă petru x > λ. De aici rezultă î mod imediat teorema de mai sus. Exemplu. Fie seria de puteri a λ = lim + a = = lim ( + ) x. Atuci (+)(+2) (+) = lim + 2 =, iar raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, seria dată devie, care este covergetă, coform criteriului ( + ) = Raabe-Duhamel, sau coform criteriului de comparaţie cu limită, folosid ca terme de comparaţie seria = 2. Petru x =, seria dată devie ( ), care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei de puteri date este [, ( + ) = ]. Vom preciza acum o modalitate de determiare a razei de covergeţă a seriei de puteri cu ajutorul limitei uui radical. Teorema Fie a x o serie de puteri. Dacă lim sup» a = λ, atuci λ, dacă λ R, R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Demostraţie. Fie x R. Aplicâd criteriul radicalului cu limite extreme seriei cu termei pozitivi a x, observăm că» lim sup a x» = lim sup a x = λ x,
25 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 289 iar seria a x este covergetă petru x < λ şi divergetă petru x > λ. De aici rezultă î mod imediat teorema de mai sus. Teorema de mai sus se poate particulariza sub următoarea formă. Teorema Fie a x o serie de puteri. Dacă» lim a = λ, atuci λ, dacă λ (0, ), R =, dacă λ = 0, 0, dacă λ = +. Formulele cuprise î Teoremele 8.2 şi 8.22 poartă umele de formulele Cauchy- Hadamard. Exemple.. Fie seria de puteri x. Atuci λ = lim» a = lim = lim Ä ä 5 25 = + 5, iar raza de covergeţă a seriei de puteri date este R = 5. Petru 5 x = 5, seria dată devie 2, care este divergetă, deoarece lim 2 +5 = lim ( 2 5) =, iar limita termeului său geeral u este + ( 5) 0. Petru x = 5, seria dată devie 2, care este divergetă, + 5 ( 5) deoarece lim ( ) 2 +5 = lim ( 5) 2 u există, îtrucât umărătorul u + are limită petru, iar limita umitorului este. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei de puteri date este ( 5, 5). 2. Fie seria de puteri = 3 + ( 2) (x + ). Cu otaţia x + = y, obţi-
26 290 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) em seria de puteri = λ = lim» a = lim 3 + ( 2) y. Atuci 3 + ( 2) = 3 lim + Ä 2 3 ä = 3, 3 + ( 2) iar raza de covergeţă a seriei y este R = 3. Petru y = 3, această serie devie 3 + ( 2) = 3 =, fiid serie cu termei pozitivi, iar cum seria = lim 3 +( 2) 3 =, 3 + ( 2) 3 are aceeaşi atură cu seria armoică =, deci este divergetă. Petru y = 3, seria de puteri î y devie ( ) + Ä 2 ä 3, = care este covergetă, coform criteriului lui Leibiz. Urmează că mulţimea de covergeţă a seriei î y este î 3, 3ä, iar ţiâd seama că y = x +, deci x = y, mulţimea de covergeţă seriei de puteri î x este î 4 3, 2 3ä. Suma uei serii de puteri Fie a x o serie de puteri cu raza de covergeţă R > 0 şi fie E mulţimea sa de covergeţă. S-a observat deja că ( R, R) E [ R, R]. Ca şi î cazul geeral al seriilor de fucţii, se poate defii fucţia S : E R, S : E R, S(x) = umită suma seriei de puteri, ude S (x) = a k x k k=0 a x = lim S, reprezită suma parţială de ordiul a seriei de puteri.
27 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 29 Teorema Suma seriei de puteri a x este fucţie cotiuă pe ( R, R). Demostraţie. Fie r (0, R). Coform teoremei lui Abel, seria de puteri a x este uiform covergetă pe [ r, r], iar cum sumele parţiale S ale seriei sut fuţii cotiue pe [ r, r], urmează că S este fucţie cotiuă pe [ r, r], îtrucât proprietatea de cotiuitate a sumelor parţiale se trasmite pri covergeţă uiformă. Cum r (0, R) era arbitrar, urmează că S este fucţie cotiuă pe ( R, R). Comportarea fucţiei sumă î capetele itervalului de covergeţă Dacă seria de puteri a x este covergetă şi î R sau R, atuci fucţia sumă S este bie defiită şi î aceste pucte, cotiuitatea sa eputâdu-se îsă decide cu ajutorul teoremei de mai sus. Teorema de mai jos, umită şi teorema a doua a lui Abel, furizează u răspus î această direcţie. Teorema Fie seria de puteri a x, cu raza de covergeţă R > 0. Dacă seria de puteri este covergetă î x = R (respectiv î x = R), atuci suma sa S este fucţie cotiuă î x = R (respectiv î x = R). Combiâd teorema a doua a lui Abel cu proprietatea de cotiuitate pe ( R, R) obţiută aterior, observăm că suma uei serii de puteri este cotiuă î toate puctele î care este bie defiită, lucru afirmat î următorul rezultat. Corolar Fie seria de puteri a x. Atuci suma sa este o fucţie cotiuă pe mulţimea de covergeţă a seriei de puteri. Derivarea uei serii de puteri Fie a x = a 0 + a x + a 2 x a x +... o serie de puteri şi fie a x = a + 2a 2 x + 3a 2 x ax +... =
28 292 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) seria de puteri obţiută pri derivarea terme cu terme a seriei iiţiale, umită seria derivatelor. Vom preciza î cele ce urmează legăturile ditre razele de covergeţă ale celor două serii şi ditre sumele acestora. Teorema Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S a x are aceeaşi rază de cover- = fucţia sa sumă. Atuci seria derivatelor geţă R, S este derivabilă pe ( R, R), iar S (x) = a x, = petru x ( R, R). forma Să otăm că relaţia de derivare di teorema de mai sus se poate scrie sub Ñ a x é = a x, = iar derivarea uei serii de puteri se poate face terme cu terme pe itervalul de covergeţua. Repetâd raţioametul î mod iductiv, se poate deduce următorul rezultat. Teorema Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S fucţia sa sumă. Atuci seria derivatelor de ordiul k, ( ) ( k + )x k, k, =k are aceeaşi rază de covergeţă, S este idefiit derivabilă pe ( R, R), iar S (k) (x) = ( ) ( k + )x k, =k petru x ( R, R). Exerciţiu. Fie seria de puteri = + x ( ). Determiaţi raza de covergeţă a acestei serii de puteri, studiaţi-i co-.
29 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 293 vergeţa şi precizaţi suma sa. 2. Calculaţi = Soluţie.. Deoarece ( ) +. λ = lim» a = lim = lim =, urmează că raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, ( ) + ( ) seria dată devie =, care este covergetă, coform = = criteriului lui Leibiz. Petru x = seria dată devie = = =, care este divergetă, fiid seria armoică îmulţită cu costata. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ]. Petru x (, ), să otăm S(x) = S (x) = = Ñ é + x ( ) = = = ( ) +2 x = = + x ( ) ( ) + Ç x ( ) x =. Atuci å = = ( x) = + x. ( ) + x Cum S (x) = +x, urmează că S(x) = l( + x) + C, coform uui corolar al teoremei lui Lagrage. Deoarece S(0) = 0, se obţie că C = 0, iar S(x) = l( + x) + x petru orice x (, ). Deoarece seria de puteri ( ) este covergetă şi î x =, urmează coform celei de-a doua teoreme a lui Abel că suma = sa S este fucţie cotiuă î x =, şi deci S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2, x x< x x< deci S(x) = l( + x) petru orice x (, ]. 2. Î particular, di cele de mai sus se obţie că S() = = ( ) + = ( ) = l 2.
30 294 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Seria biomială Fie seria de puteri + k! k(k ) x + x ! k(k ) (k + ) x +..., k R, (8.4)! umită î cele ce urmează seria biomială. Observăm că petru k =, N, seria se trasformă îtr-o sumă fiită, avâd ca rezultat o fucţie poliomială de gradul. Vom presupue acum că k R\N. Deoarece a lim + a = lim k(k ) (k +)(k ) (+)! k(k ) (k +)! = lim k + =, urmează că seria biomială (8.4) are raza de covergeţă R =. Fie S : (, ) R suma sa. Atuci, coform teoremei de derivare a seriilor de puteri, S (x) = k + de ude xs (x) = kx + iar k(k ) x ! k(k ) x ! k(k ) (k + ) x +..., x (, ) ( )! k(k ) (k + ) x +..., x (, ) ( )! ( + x)s (x) = ks(x), x (, ). De aici, îmulţid ambii membri cu ( + x) k, obţiem că ( + x) k S (x) k( + x) k S(x) = 0, x (, ), deci Ç å S(x) ( + x) k = 0, x (, ), iar S(x) = C( + x) k, C R. Deoarece S(0) =, urmează că C =, de ude S(x) = ( + x) k. Obţiem deci că, petru orice x (, ), ( + x) k = + k! k(k ) x + x ! k(k ) (k + ) x +...,!
31 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 295 formulă care geeralizează formula biomială a lui Newto, valabilă petru k N. Petru diverse valori particulare ale lui k se obţi sumele uor serii uzuale de puteri. Astfel, petru k = obţiem + x = x + x ( ) x +..., x (, ), de ude, substituid x cu x obţiem x = + x + x x +..., x (, ), iar substituid x cu x 2 obţiem + x 2 = x2 + x ( ) x , x (, ). Petru k = 2 obţiem + x = + 2 x 2 4 x ( ) (2 3)!! x +..., x (, ), (2)!! iar petru k = 2 obţiem = + x 2 x x ( ) (2 )!! x +..., x (, ). (2)!! Reamitim aici că (2 )!! = (2 ), (2)!! = Substituid x cu x 2 obţiem că = + x 2 2! x ! x Itegrarea uei serii de puteri (2 )!! 2 x , x (, ).! Teorema Fie a x o serie de puteri şi fie R raza sa de covergeţă, iar S fucţia sa sumă. Atuci seria obţiută pri itegrare terme cu terme a + x+ are aceeaşi rază de covergeţă R, S este itegrabilă pe orice iterval [a, b] ( R, R),
32 296 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) iar x 0 S(t)dt = a + x+, x ( R, R). Exerciţiu. Fie seria de puteri = + x.. Determiaţi raza de covergeţă şi mulţimea de covergeţă a seriei de puteri. 2. Determiaţi suma seriei de puteri. Soluţie.. Deoarece a λ = lim + a = lim = lim ( + ) 2 ( + 2) =, urmează că raza de covergeţă a seriei de puteri date este R =. Petru x =, seria dată devie, care este divergetă, deoarece termeul geeral u + = ( ) tide la 0. Petru x =, seria dată devie, care este divergetă, + deoarece termeul geeral u tide la 0. Î cocluzie, mulţimea de covergeţă a seriei date este (, ). 2. Observăm mai îtâi că = + x = = = Ç + x = å x = x = = x + = x Rămâe deci să calculăm suma seriei de puteri x = x, x + = x x, x (, ). + x + = S(x). Cum obţiem pri itegrare terme cu terme î codiţiile Teoremei 8.28 că x + + = l( x), x (, ), = x +
33 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 297 deci = + x = x Alterativ, puteam observa că S (x) = l( x) +, x (, ). x x =, x (, ), x deci S(x) = l( x) + C. Deoarece S(0) = 0, urmează că C = 0, iar S(x) = l( x) Dezvoltarea uei fucţii î serie Taylor Î situaţia î care o fucţie se poate reprezeta ca suma uei serii de puteri cetrate î x 0, x 0 R, ea se poate deriva uşor terme cu terme pe itervalul de covergeţă al seriei, derivatele sale exprimâdu-se tot ca serii de puteri cu aceeaşi rază de covergeţă. Astfel, dacă f (x) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R), atuci f (x) = a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) ( + )a + (x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R) şi, î geeral, f (k) (x) = k!a k + (k + )k 2a k+ (x x 0 ) + + ( + k)( + k ) ( + )(x x 0 ) +, x (x 0 R, x 0 + R), k. Să otăm faptul că, îlocuid x = x 0 î formulele de mai sus, obţiem că f (k) (x 0 ) = k!a k petru orice k 0. Cuoscâdu-se deci faptul că o fucţie f se poate exprima ca o serie de puteri cetrată îtr-u puct oarecare şi cu raza de covergeţă eulă (fiid deci idefiit derivabilă pe itervalul de covergeţă), se poate determia o formulă de calcul petru derivatele sale de orice ordi î acel puct.
34 298 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Teorema Fie a (x x 0 ) o serie de puteri cetrată î x 0 cu raza de covergeţă R > 0, mulţimea de covergeţă E şi suma f : E R. Atuci f este idefiit derivabilă pe itervalul (x 0 R, x 0 + R), iar f (k) (x 0 ) = k!a k petru orice k 0. (8.5) O îtrebare aturală este dacă se poate reface drumul şi î ses ivers, adică dată fiid o fucţie idefiit derivabilă, aceasta se poate scrie ca suma uei serii de puteri cetrate îtr-u puct dat, coeficieţii seriei de puteri fiid calculaţi cu ajutorul formulei (8.5). Î abseţa uor codiţii suplimetare asupra fucţiei f, răspusul este egativ, aşa cum se poate observa di următorul exemplu. Exemplu. Fie f : R R, f (x) = orice poliom P R[X], e x 2, x = 0. Să observăm că petru 0, x = 0 P(u) P(u) lim = lim = 0, u e u2 u e u2 egalităţi demostrabile uşor cu ajutorul regulii lui l Hôpital, şi deci lim P( x 0 x )e x 2 = 0. Se poate observa că Åe x 2 ã () = P ( x )e x 2, ude (P ) 0 R[X] este u şir de polioame care verifică relaţia de recureţă P + (X) = 2P (X)X 3 X 2 P (X), de ude, coform celor de mai sus, f admite derivate de orice ordi î x = 0, iar f (k) (0) = 0 petru k 0. Atuci, coform formulei (8.5), ar trebui ca a k = 0 petru k 0. Cum f (x) = 0 petru x = 0, f u poate fi suma seriei a k x k, cu a k, k 0, precizaţi de (8.5) pe iciu subiterval al lui R. k=0
35 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 299 Vom preciza î cotiuare codiţii suplimetare cu ajutorul cărora se poate asocia uei fucţii f o serie de puteri cetrată î x 0 şi covergetă la f pri itermediul formulelor (8.5). Seria Taylor asociată uei fucţii îtr-u puct. Seria MacLauri Fie f : I R, I iterval, şi fie x 0 I astfel îcât f este idefiit derivabilă î x 0. Vom umi serie Taylor cetrată î x 0 asociată lui f seria de puteri T f defiită pri T f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ). (8.6)! Petru x 0 = 0, vom umi seria MacLauri asociată lui f seria de puteri f () (0) x.! Să otăm că T f este o serie de fucţii defiite pe îtreg R, u doar pe I, iar sumele parţiale de ordiul k, S k, ale seriei Taylor cetrate î x 0 asociate lui f sut polioamele Taylor defiite î Capitolul 7, aume T k = f (x 0 ) + f (x 0 )! k = f () (x 0 ) (x x 0 ).! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) k k! Totuşi, î acest momet, această asociere este pur formală, îtrucât chiar dacă seria Taylor T f defiită mai sus coverge î mod obligatoriu petru x = x 0, ea poate să u mai coveargă î iciu alt puct, avâd raza de covergeţă 0. Mai mult, chiar dacă seria Taylor T f este covergetă, ea poate coverge la o altă fucţie decât fucţia f iiţială, î acest ses putâdu-se observa exemplul de mai sus, î care T f este fucţia idetic ulă, fără ca f să aibă aceeaşi proprietate. Vom spue atuci că f : I R, f idefiit derivabilă î x 0 I, este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0 dacă seria Taylor cetrată î x 0 asociată lui f are raza de covergeţă R > 0 şi coverge la f pe (x 0 R, x 0 + R) I, adică f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ), petru x (x 0 R, x 0 + R) I.!
36 300 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Covergeţa seriei Taylor Să e reamitim că f (x) = T (x) + R (x), ude R este restul formulei lui Taylor de ordiul, iar T reprezită poliomul Taylor de ordiul, egal cu suma parţială de ordiul a seriei de fucţii T f. Itrucât dorim ca T f să coicidă cu f cel puţi petru fucţii f cu regularitate ridicată, ituim că difereţa R (x) ître fucţia ţită" f (x) şi suma parţială T (x) trebuie să tidă la 0. Se poate obţie atuci următorul rezultat. Teorema Fie f : I R, I iterval, şi fie x 0 I astfel îcât f este idefiit derivabilă î x 0. Fie de asemeea a I. Atuci seria Taylor T f este covergetă î a la f (a) dacă şi umai dacă şirul (R (a)) 0 al resturilor formulei lui Taylor calculate petru x = a este coverget la 0. Demostraţie. Fie a I. Atuci f (a) = T (a) + R (a) = S (a) + R (a), ude S reprezită sumele parţiale ale lui T f, egale cu polioamele Taylor de ordiul, T. Atuci lim R (a) = 0 (S (a)) 0 este coverget, cu limita f (a) T f este covergetă î x = a, iar T f (a) = f (a). Estimâd restul de ordiul sub forma lui Lagrage, obţiem cu ajutorul teoremei de mai sus următoarele codiţii suficiete de covergeţă. Teorema 8.3. Fie f : I R, I iterval, f C (I), astfel îcât există M > 0 şi δ > 0 cu proprietatea că f () (x) M! petru orice 0 şi x I. δ Atuci f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0, iar f (x) = f () (x 0 ) (x x 0 ), petru x (x 0 δ, x 0 + δ) I.!
37 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 30 Teorema Fie f : I R, I iterval, f C (I), astfel îcât există M > 0 cu proprietatea că f () (x) M petru orice 0 şi x I. Atuci f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x 0, iar f (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, petru x I. k! Demostraţie. Ca mai sus, Notâd a = x x 0 +, observăm că (+)! R (x) M x x 0 +. ( + )! a lim + a = lim x x = 0. De aici, lim a = 0, deci lim R (x) = 0, de ude cocluzia. Vom spue atuci că fucţia f : I R, f idefiit derivabilă pe I, I iterval, este aalitică pe I dacă petru orice x 0 I f este dezvoltabilă î serie Taylor î jurul lui x Exemple de dezvoltări î serie Taylor Exemplu.. Fie f : R R, f (x) = e x. S-a observat deja că ude Atuci x iar cum lim + (+)! e x = + x! + x2 2! x! + R (x), R (x) = eθ xx ( + )! x+, θ x (0, ). R (x) e x ( + )! x +, = 0, urmează că lim R (x) = 0 petru orice x R.
38 302 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Î cocluzie, e x = + x! + x2 2! x! +..., x R. Substituid x cu x, obţiem şi că e x = x! + x2 2! ( ) x! +..., x R. Exemple.. Fie f : R R, f (x) = si x. S-a observat deja că si x = x! x3 3! + x5 5! ( ) x 2 + R (x), (2 )! ude R (x) = ( )+ si ( θ x x + (+)π ) 2 x 2+, θ x (0, ). (2 + )! Atuci R (x) x 2+ (2 + )!, x iar cum lim 2+ = 0, urmează că lim R (2+)! (x) = 0 petru orice x R. Î cocluzie, si x = x! x3 3! + x5 5! ( ) x , x R. (2 )! 2. Fie f : R R, f (x) = cos x. S-a observat deja că cos x = x2 2! + x4 4! ( )+ x 2 + R (x), (2)! ude R (x) = ( )+ cos ( θ x x + (+)π ) 2 x 2+2, θ x (0, ). (2 + 2)!
39 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 303 Atuci R (x) x 2+2 (2 + 2)!, x iar cum lim 2+2 = 0, urmează că lim R (2+2)! (x) = 0 petru orice x R. Î cocluzie, cos x = x2 2! + x4 4! ( )+ x , x R. (2)! Alte dezvoltări remarcabile î serie MacLauri sut arctg x = x x3 3 + x ( ) x arcsi x = + 2 sh x = ex e x 2 ch x = ex + e x 2 x Operaţii cu serii de puteri x (2 )!! (2)!! +..., x (, ), x , x (, ), 2 + = x! + x3 3! + x5 5! x2+ (2 + )! +..., x R, = + x2 2! + x4 4! x2 (2)! +..., x R. Fie seriile de puteri a x şi b x, cu razele de covergeţă R, respectiv R 2, şi fie c R. Suma a două serii de puteri Suma celor două serii de puteri este seria de puteri (a + b )x, cu raza de covergeţă R mi(r, R 2 ). Î plus, (a + b )x = a x + b x, x ( R, R). Seria produs cu o costată Seria (ca )x are raza de covergeţă R. Î plus, (ca )x = c a x, x ( R, R ).
40 304 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) Seria produs după Cauchy Seria produs după Cauchy a celor două serii de puteri este seria de puteri c x c = a 0 b + a b a b 0 = a k b k, k=0 cu raza de covergeţă R mi(r, R 2 ). Î plus, Ñ é c x = a x Ñ b x é, x ( R, R). Exerciţiu. Să se dezvolte î serie MacLauri fucţile ) f : R\ {, 3} R, f (x) = 3x 7 x 2 4x+3 ; 2) g : R R, g(x) = x3 e 2x. Soluţie. ) Se observă că f se poate descompue î fracţii simple sub forma fiid de asemeea cuoscut că Atuci De aici f (x) = 2 x +, x R\ {, 3}, x 3 y = + y + y = 2 x = 2 x = 2 x 3 = 3 x = 3 f (x) = 2) Este cuoscut că x 3 Ç 2 3 å 3 x = y, y (, ). x, x (, ) = 3 Å x ã, x ( 3, 3). 3 e y = + y! + y2 2! +... = Ç 2 + å 3 + x, x (, ). y!, y R.
41 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 305 Atuci de ude e 2x = x 3 e 2x = ( 2x)! = ( 2) x +3 =! ( 2) x, x R,! =3 ( 2) 3 ( 3)! x, x R. Aplicaţii 8.. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x x +.. Demostraţi că x = + este puct de maxim petru f, iar 0 f (x) Ä ä +, petru orice 0 şi orice x [0, ] Demostraţi că ( f ) 0 este coverget uiform către fucţia ulă pe [0, ] Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x Demostraţi că f (x) x, petru orice 0 şi orice x R. 2. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget uiform către fucţia f : R R, f (x) = x Fie ( f ) 0, f : [, ) R, f (x) = +x +.. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia costată pe [, ). 2. Calculaţi f ( + 2). Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia costată pe [, )? 8.4. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x( x).. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe [0, ]. Å ã 2. Calculaţi f. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe [0, ]?
42 306 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat) 8.5. Fie ( f ) 0, f : [0, ] R, f (x) = x x 2.. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe [0, ]. 2. Calculaţi f Å ã 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe [0, ]? 8.6. Fie ( f ) 0, f : (0, ) R, f (x) = e (x ).. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia ulă pe (0, ). ã 2. Calculaţi f Å. Este ( f ) 0 coverget şi uiform către fucţia ulă pe (0, )? 8.7. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = x + 3 x 2.. Folosid evetual iegalitatea a 2 + b 2 2ab petru orice a, b 0, demostraţi că f (x) 2, petru orice 0 şi orice x R. 2. Demostraţi că ( f ) 0 este uiform coverget către fucţia ulă pe R Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = si(x+2) Demostraţi că f (x) < 2, petru orice 0 şi orice x R Demostraţi că ( f ) 0 coverge uiform către fucţia costată pe R Fie ( f ) 0, f : [0, π] R, f (x) = si x +.. Demostraţi că f (x) si x π, petru orice 0 şi orice x R Demostraţi că ( f ) 0 coverge uiform către fucţia f : [0, π] R, f (x) = si x Fie ( f ) 0, f : [0, π] R, f (x) = si x.
43 Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 307. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia f : [0, π] R, 0, x [0, π 2 f (x) = ) ( π 2, π]., x = π 2 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform la f?, x (0, 8.. Fie ( f ), f : R R, f (x) = ]., î rest. Demostraţi că ( f ) 0 este coverget puctual către fucţia costată pe R. 2. Este ( f ) 0 coverget şi uiform la această fucţie? x +x 8.2. Fie ( f ), f : [0, ] R, f (x) =, x [0, ] Demostraţi că x, x (, ]. ( f ) este uiform coverget Fie f : R R o fucţie uiform cotiuă şi fie f : R R, f (x) = f (x + ),. Demostraţi că f u f petru Fie ( f ), f : R R, f (x) = x +. Demostraţi că f u f petru, dar f 2 u f 2 petru Fie ( f ), f : R R, f (x) = + x 2. Determiaţi fucţia limită a şirului ( f ) şi demostraţi că ( f ) coverge uiform la această fucţie. +cos x 8.6. Fie ( f ) 0, f : R R, f (x) = +. Demostraţi că ( f ) 0 este uiform coverget, dar ( f ) 0 u este uiform coverget Determiaţi suma seriei 8.8. Fie seria de fucţii ( x = x ( + x 2 ). x+ +. Determiaţi suma parţială de ordiul, S, a seriei. 2. Demostraţi că seria de fucţii dată este uiform covergetă Fie seria de fucţii ). x, x [, ). ( + x)( + ( + )x)
44 308 Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII (rezumat). Determiaţi suma parţială de ordiul, S, a seriei. 2. Demostraţi că seria de fucţii dată este uiform covergetă Folosid evetual criteriul lui Weierstrass, demostraţi că următoarele serii de fucţii sut absolut şi uiform covergete pe R. arctg(x) cos x ) 2 ; 2) 4 + x ; 3) x 2 e x. 2 = = 8.2. Folosid evetual iegalitatea si y y petru orice y R, demostraţi că seria de fucţii 2 si x este absolut şi uiform covergetă pe R Folosid evetual iegalitatea arctg y y petru orice y R, demostraţi că x seria de fucţii arctg x 2 este absolut covergetă pe R. + 4 = Folosid criteriul lui Dirichlet, demostraţi covergeţa uiformă a următoarelor serii de fucţii. ) = si x, x [ π 2, 3π 2 ]; 2) = Fie seria de fucţii. Demostraţi că 2. Demostraţi că = = = Ç f, f : R R, f (x) = 2 +x 2. f este uiform covergetă pe R. f este uiform covergetă pe R. å cos x, x [ π 2, 3π 2 ]. 3. Folosid teorema de derivare terme cu terme, respectiv proprietatea de trasfer de cotiuitate î codiţii de covergeţă uiformă, demostraţi că suma seriei f este o fucţie derivabilă, cu derivata cotiuă. = Demostraţi că suma seriei de fucţii Demostraţi că suma seriei de fucţii cu derivata cotiuă. x + 5 este o fucţie cotiuă pe R. x2 cos x 4 este o fucţie derivabilă pe R şi
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Varianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
EXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Varianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Lucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
sistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Exerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre