SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

Transcript

1 SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema. Dacă (G,) este rup iar H o parte evidă a sa, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete:. H este subrup al rupului (G,); Observaţie: Eemple : Propoziţia.: Defiiţia. : -., y H y H şi H H; 3., y H y H. Dacă H este o mulţime fiită atuci afirmaţia. di teorema precedetă se poate rezuma la:., y H y H ( GL R { R GL ( R) = A M ( ) A 0 ( ), rupul eeral liiar de rad. t { A GL R A = A. O()= ( ) este subrup al rupului GL ( R), umit rup ortooal. { A O A =. SO()= () este subrup al rupului GL ( R), umit rup ortooal special. { 3. Dacă Z, 0, mulţimea Z= h h Z este subrup al rupului ( Z,+). Reciproc, dacă H este subrup al rupului ( Z,+), atuci Z, 0, astfel îcât H = Z. = { C = ( C k { C N, este subrup al rupului ( C, 4. Mulţimea U z z este subrup al rupului, H = z k z = şi H U Dacă H şi H sut subrupuri ale rupului G, atuci H H este subrup al rupului G. Fie (G, u rup fiit cu elemete, N. Numărul se umeşte ordiul rupului G. Notaţii: ordg=, G =. Teorema. ( Larae) Fie (G, ) u rup fiit şi H u subrup al său. Atuci: a) orh ordg b) ordg=ordh ord(g/h)

2 . CENTRUL UNUI GRUP Fie (G, u rup şi X G o submulţime evidă a sa. { = { = Defiiţia.: Mulţimea Z( X)= G, X se umeşte cetralizatorul mulţimii X. Defiiţia.: Mulţimea Z(G)= G, G se umeşte cetrul rupului G. Propoziţia.: Petru orice mulţime X G, Z( X ) este subrup al rupului G. Observaţia.: Elemetele cetralizatorului comută cu toate elemetele rupului. Observaţia.: Z( X )= Fi(i ), ude Fi(i ) este mulţimea puctelor fie ale X automorfismului iterior i : G G, i ( ) = Observaţia. 3 : Dacă X X, atuci Z( X ) Z( X ) Observaţia.4 : Cum X G Z(G) Z( X ) Z(G)= Z( X ). i i i X i G 3. NORMALIZATORUL UNEI MULŢIMI { = Defiiţia 3.: Mulţimea N( X)= G X X se umeşte ormalizatorul mulţimii X. Propoziţia 3.: Petru orice submulţime X G, N( X ) este subrup al rupului G. { = Observaţia 3. : N( X )= G i ( X ) X Normalizatorul mulţimii X este format di elemetele petru care mulţimea X este ivariată faţă de automorfismul iterior i. Observaţia 3. : Z( X ) este subrup al rupului G. Observaţia 3.3 : Dacă H este subrup al rupului G, atuci H este subrup al lui N( H ). Propoziţia 3. : Fie (G, u rup şi H u subrup al său.fie, p Z şi d = (, p). p d Dacă G, iar, H, atuci H. p Coseciţa : Fie (G, u rup şi, p Z, d = (, p). Dacă,, Z( G), d atuci Z( G). Coseciţa p : Fie (G, u rup şi, p Z, (, p) =. Dacă, Z( G), atuci (G, este rup abelia. Propoziţia 3.3 : Fie (G, u rup şi Z. Dacă f : G G, f ( ) = este morfism - surjectiv, atuci Z( G).

3 3 4. SUBGRUPURI NORMALE Defiiţia 4.: Fie (G, u rup şi (H, u subrup al său. H este u subrup ormal (sau ivariat) al rupului G: Observaţia 4. y y y - H, G H - : Codiţia di defiiţie se mai scrie : H H { = - - ude H = y G y h, G, h G ( { e Observaţia 4. :, este subrup ormal al rupului G, ude e este elemetul eutru al rupului. Observaţia 4.3 : H este subrup ormal al rupului G dacă H rămâe ivariat la orice automorfism iterior al rupului G: Observaţia 4.4 i (H) H,, ude i : G G,i ( ) = : H este subrup ormal H H ( Dacă i este automorfism atuci şi i - este automorfism ) Observaţia 4.5 : H este subrup ormal H =H Observaţia 4.6 : Deoarece petru u rup abelia siurul automorfism este cel idetic, atuci orice subrup al uui rup abelia este subrup ormal. Propoziţia 4.: Subrupul H al rupului G este subrup ormal N(H)=G Propoziţia 4. : Fie ϕ:g G' u morfism de rupuri şi H' u subrup ormal î G'. - ( ϕ Atuci (H '), este subrup ormal î G. Dacă î plus, ϕ este surjectiv şi H este subrup ormal î G, atuci ( ϕ (H), este subrup ormal î G'. Eemplu de subrup ormal : { A M ( R ) A { A A G = det( ) 0 H = G det( ) = Eemplu de subrup ce u este ormal : { f f = ( Î rupul permutărilor de ordi, ( 3) S, cosiderăm subrupul H= S ( ) 5. NUCLEUL, IMAGINEA UNUI MORFISM Fie (G, şi (G, două rupuri cu elemetele eutre e, respsctiv e şi f : G G u morfism de rupuri. ( ( ( f ( Teorema 5.: a) Dacă H, este subrup al rupului G,, atuci (H), este subrup al rupului G, ( ( ( f b) Dacă K, este subrup al rupului G,, atuci (K), este subrup ( al rupului G,

4 4 Defiiţia 5.: Se umeşte ucleul morfismului f mulţimea: { Kerf = G f ( ) = e = f ( e ) Defiiţia 5. : Se umeşte imaiea morfismului f mulţimea: Im f = { y G astfel ca f ( ) = y = f (G ) ( f ( ( f ( f f = { e Proprietatea 5.: Ker, este subrup ormal al rupului G,. Proprietatea 5. : Im, este subrup al rupului G,. Proprietatea 5.3 : este morfism ijectiv de rupuri Ker. Proprietatea 5.4 : f este morfism surjectiv de rupuri Im f = G. Proprietatea 5.5 : f este izomorfism de rupuri Ker f = e şi Im f = G. { 6. PROBLEME. Fie (G, u rup şi H o submulţime a lui G, evidă şi diferită de G, avâd proprietatea : H, y/h y/h. Să se demostreze că H este subrup al lui G.. Să se arate că u rup cu cel puţi elemete u poate fi scris ca reuiuea a două subrupuri proprii ale sale. 3. Fie (G, u rup şi H u subrup al său. Dacă a astfel îcât m, Z, m prime ître ele cu a H şi a H a H. 4. Fie (G, u rup astfel îcât,y, y, eistă subrupurile H, H cu { e H, y H şi H H =. a) Să se arate că (G, este comutativ. b) Să se rezolve ecuaţia = a, a, N. este subrup al rupului ( R,. 5. Fie f : R R. Despre u umăr real eul p spuem că are proprietatea () dacă f ( p)= f (), R. Demostraţi că mulţimea umerelor reale cu proprietatea () 6. Să se arate că dacă îtr-u rup fiit mai mult de jumătate di elemetele rupului comută cu toate elemetele di rup, atuci rupul este abelia. 7. Fie (G, u rup comutativ fiit cu elemetul eutru e şi fie G. Dacă = petru mai mult di jumătate di elemetele rupului, atuci = e. 8. Fie (G, u rup. Dacă,y G astfel ca y Z(G), atuci y=y. G { 9. Fie (G, u rup şi G. Demostraţi că C ()= y G y=y este subrup al lui G. 0. Fie (G, u rup şi H u subrup al său astfel îcât dacă M este subrup î G şi (M, (H,, atuci M=H. Arătaţi că H este subrup ormal al rupului G.. Cosiderăm rupurile ( R, + ) şi ( C, şi fucţia f : R C, f ()=cosπ +isiπ Arătaţi că: a) f morfism de rupuri b) Kerf = Z c) Determiaţi Im f şi arătaţi că este subrup al rupului ( C,. e

5 5 { fa fa = aa a. Fie (G, u rup şi F= : G G ( ), G a) (F, rup umit rupul automorfismelor iterioare b) ϕ:g F, ϕ(a)= f este izomorfism Ker ϕ=z(g) { a 3. Dacă (G, este u rup, atuci fucţia F:G I(G), F()=i este u morfism surjectiv de rupuri şi ucleul său este Ker(F)=Z(G) I(G)= i Aut(G) G, i ( ) =, 4. Fie (G, u rup de ordi p N, p impar. Dacă fucţia f f 5 : G G, ( ) = este morfism surjectiv, atuci (G, este abelia. 5. Fie (G, u rup şi N, astfel îcât fucţia f f + : G G, ( ) = este u automorfism al lui G.Să se demostreze că: a) fucţia : G G, ( ) = este u edomorfism al lui G; b) dacă este ijectivă sau surjectivă, atuci este rup abelia. - Material selectat de: profesor Maria Tache Bibliorafie: Adrei Gh. şi alţii. Alebră. Bucureşti. Ed. Scorpio Năstăsescu C şi alţii. Probleme de structuri alebrice. Bucureşti. Ed. Academiei. 988 Pop Vasile şi alţii. Matematică petru rupele de performaţă. Cluj-Napoca. Ed Dacia 004 Gh. Eckstei şi alţii. Olimpiadele şi cocursurile de matematică. Timişoara. Ed. Bîrchi 003 Gh. Eckstei şi alţii. Olimpiadele şi cocursurile de matematică. Timişoara. Ed. Bîrchi 004 Colecţia RMT Colecţia Gazeta Matematică