1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

Transcript

1 ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea Q a umerelor raţioale şi mulţimea R a umerelor reale Reamitim că pe R se poate defii o structură algebrică de corp comutativ total ordoat la fel ca î Q dar cele două mulţimi se deosebesc eseţial pri fucţioarea î R a aiomei margiii superioare, care costituie puctul de plecare î stabilirea tuturor rezultatelor profude ale aalizei Reamitim că defiid modulul uui umăr real astfel:, 0 = ma {, -} =, 0 se verifică imediat următoarele proprietăţi: [N ] 0 petru orice R; = 0 = 0 [N 2 ] + + petru orice, R [N 3 ] = petru orice, R De asemeea, defiid fucţia d : R R R pri d(, ) = - se verifică imediat, folosid [N ], [N 2 ], [N 3 ], următoarele proprietăţi: [D ] d(, ) 0 petru orice, R; d(, ) = 0 = [D 2 ] d(, ) = d(, ) petru orice, R [D 3 ] d(, z) d(, ) + d(, z) petru orice,, z R Numărul real şi pozitiv d(, ) este umit distaţa euclidiaă ître umerele,, fucţia d se umeşte metrică, iar (R, d) este u spaţiu metric Utilizâd această oţiue se poate eprima cât de apropiate sut două umere reale şi se poate itroduce oţiuea de şir coverget de umere reale, cuoscută di liceu, pe care o vom reamiti, precum şi oţiuea de şir fudametal de umere reale pe care o vom prezeta î cotiuare Defiiţia Se umeşte şir de umere reale orice fucţie f : N R; petru orice N este defiit u umăr real = f() umit termeul de rag, sau termeul geeral al şirului; şirul îsuşi se otează ( ) N, iar mulţimea { R : N, = } se umeşte mulţimea termeilor şirului Observaţia Trebuie făcută disticţia ître u şir şi mulţimea termeilor lui, deoarece două şiruri disticte pot avea aceeaşi mulţime de termei De eemplu, f :N * R, f() = (-) şi g :N * R, g() = (- ) + sut două şiruri disticte cu aceeaşi mulţime de termei {-, } Defiiţia 2 Şirul ( ) N de umere reale se umeşte coverget dacă eistă R astfel îcât petru orice ε > 0 eistă 0 = 0 (ε) N, îcăt, oricare ar fi 0, - < ε adică d(, ) < ε Elemetul se umeşte puct limită petru şirul ( ) N Î caz cotrar, şirul ( ) N se umeşte diverget Dacă R este puct limită petru şirul ( ) N se mai spue că acest şir coverge la, sau că este limita şirului şi se otează = lim Defiiţia 3 Fie f : N R, f() = u şir de umere reale Fie h : N N, h(m) = m u şir strict crescător de umere aturale Fucţia θ = f h se umeşte subşir al şirului f Evidet, θ: N R, θ(m) = f(h(m)) = f( m ) = iar m m m petru orice mn

2 Defiiţia 4 Fie f : N R, f() = u şir de umere reale Elemetul R se umeşte puct de acumulare petru şirul f dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 şi orice mn eistă m m îcât - < m ε adică d( m, ) < ε Observaţia 2 a) Se poate demostra că R este puct de acumulare petru u şir f de umere reale dacă şi umai dacă eistă u subşir al acestuia care are limita (lema lui Cesaro) Este evidet că orice puct limită petru u şir este puct de acumulare petru acesta Reciproca acestei afirmaţii u este, î geeral, adevărată De eemplu, şirul = (-), N * are două pucte de acumulare (- şi ) dar u are ici u puct limită b) U şir coverget de umere reale are u sigur puct de acumulare (limita şirului); dacă f : N R, f() = este u şir mărgiit de umere reale, iar γ(f) este mulţimea puctelor de acumulare ale şirului f, se poate demostra că γ(f) Ø, aceasta fiid coseciţă a aiomei margiii superioare, etrem de importată î demostraţia teoremei Î R, γ(f) are îtotdeaua margie iferioară şi margie superioară Se otează lim = if γ(f) şi se umeşte limita iferioară a şirului f ; aalog, lim = sup γ(f) se umeşte limita superioară a şirului f Se poate arăta că u şir mărgiit de umere reale este coverget dacă şi umai dacă lim = lim c) Proprietăţile specifice legate, fie de structura algebrică a lui R fie de proprietatea de a fi o mulţime total ordoată sut cuoscute, î mare parte, di liceu şi au mai mică importaţă petru demersul ostru De aceea vom prezeta aici doar proprietăţile şirurilor de umere reale legate de completitudiea lui R, foarte importate î practică şi estudiate î liceu Defiiţia 5 Fie f : N R, f() = u şir de umere reale Şirul f se umeşte şir fudametal (sau şir Cauch) dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 eistă 0 = 0 (ε ) N îcât dacă, m N, 0 şi m 0 atuci - m < ε adică d(, m ) < ε sau, echivalet, d(, +p ) < ε petru orice 0 şi orice pn Observaţia 3 Î defiiţia covergeţei uui şir apare î mod eplicit limita şirului, pe câd î defiiţia uui şir fudametal itervi umai termei ai şirului, deci aceasta di urmă este o defiiţie itrisecă Determiarea limitei este dificilă, î multe situaţii imposibilă Pri urmare, teorema următoare este etrem de importată: Teorema (criteriul geeral de covergeţă al lui Cauch) U şir de umere reale este coverget dacă şi umai dacă el este u şir fudametal (Se spue că R, î raport cu distaţa euclidiaă este spaţiu metric complet) Observaţia 4 Avâd î vedere această teoremă, petru testarea covergeţei uui şir de umere reale este suficiet să se verifice codiţia itrisecă de a fi şir fudametal Apoi defiiţia 2 arată că lim = dacă şi umai dacă lim - = 0, deci putem aproima şi aproimarea este cu atât mai buă cu cât ragul este mai mare Referitor la evaluarea erorii cu care se face această aproimare, putem preciza următoarele: dacă +p petru orice, p N şi lim = 0 atuci şirul ( ) N este fudametal, deci coverget; dacă = lim se poate arăta că - petru orice N, iegalitate care poate fi cosiderată formulă de evaluare a erorii cu care se face aproimarea Evidet, dacă se impue ca eroarea să fie mai mică decăt ε dat, se va determia cea mai mică valoare ε a lui petru care < ε şi se va aproima Eemplul Fie f : N * R, f() =a = Deoarece

3 a 2 a = de ori petru orice N *, rezultă că şirul f u este fudametal, deci ici coverget = 2 si k! Eemplul 2 Fie f : N * R, f() =a = k k(k ) k = p p si k! Deoarece a +p a = k(k ) si k! k k(k ) p si k! k k(k ), petru orice, p N* şi k k k(k ) lim p k(k k ) Pri urmare, eistă şi este uic a R, a= si k! = p = k k k = - < p = 0, deducem că şirul f este şir fudametal, deci coverget lim a, dar a u se poate determia cu eactitate Petru a determia o valoare aproimativă, cu o eroare mai mică decât 0-3 (de eemplu) observăm că > 0 3 > 0 3 Pri urmare, cel mai mic petru care < 3 este 0 3 Deci a a < Se poate demostra că petru orice a, br, itervalele (-, a], [a, b], [a, ) sut spaţii metrice complete î raport cu metrica euclidiaă Fie X uul ditre aceste itervale sau R Fucţia f :X X se umeşte cotracţie dacă eistă c[0, ) umit coeficiet de cotracţie astfel îcât d(f(), f()) c d(, ) petru orice, X Utilizâd teorema reformulată petru X se poate demostra următorul rezultat importat cuoscut sub umele de Teorema de puct fi a lui Baach sau Pricipiul cotracţiei : Teorema 2 Petru orice cotracţie f :X X eistă şi este uic u puct ξ X astfel îcât f(ξ) = ξ Puctul ξ se umeşte puct fi al aplicaţiei f Trebuie reţiută metoda de determiare a puctului fi cuoscută sub umele de metoda aproimaţiilor successive: prima aproimaţie 0 X este aleasă arbitrar, apoi aproimaţiile = f( 0 ), 2 = f( ),, = f( - ), sut determiate succesiv folosid f; se demostrează că +p c, petru orice, pn, ude c este coeficietul de cotracţie, δ = c d( 0, ) = 0 ; idiferet de alegerea lui 0 şirul de aproimaţii succesive ( ) N coverge la aceeaşi limită ξ Formula precisă ξ = lim este îlocuită î practică pri formula de aproimare ξ Petru a evalua eroarea care apare î această aproimare, se poate arăta că ξ şi se raţioează apoi ca î observaţia 4 2 Serii de umere reale c c petru orice N, Noţiuea de serie de umere reale a apărut di ecesitatea de a da u ses atural sumei termeilor uui şir de umere reale Deoarece u se pot adua (î ses algebric) o ifiitate de umere

4 reale, realizarea acestui scop a fost posibilă umai cu ajutorul oţiuii de limită, umai î aumite cazuri, studiul seriilor îmbiâd studiul sumelor fiite cu cel al limitelor de şiruri A) Serii covergete Criterii geerale de covergeţă Defiiţia 2 Fie f : N R, f() = u şir de umere reale Fie g : N R, g() =s = k Perechea de şiruri (f, g) se umeşte serie geerată de şirul f Petru k0 fiecare N, s se umeşte suma parţială de ordi a seriei, iar şirul g se umeşte şirul sumelor parţiale asociat şirului f Seria (f, g) se umeşte covergetă dacă şirul g al sumelor parţiale este coverget şi divergetă î caz cotrar Dacă seria (f, g) este covergetă, se defieşte suma seriei ca fiid umărul real s = lim s şi se otează s = k k0 Observaţia 2 a) Deşi poate crea cofuzii, otaţia 0 petru seria (f, g) este frecvet folosită Trebuie îsă mereu făcută disticţia ître seria şi suma sa, s = 0, care este u elemet asociat 0 seriei umai î caz de covergeţă şi care reprezită suma termeilor şirului dat Î cazul î care seria este divergetă, u putem atribui ici u ses sumei termeilor şirului care geerează seria b) Î studiul uei serii, rolul pricipal este jucat de şirul sumelor parţiale, care sut sume fiite Pri trecerea la limită îsă, se pierd o seamă de proprietăţi ale sumelor fiite Astfel, la sumele seriilor u avem comutativitate, asociativitate, seriile u pot fi, î geeral, îmulţite c) Dacă se reuţă la u umăr fiit de termei ai uei serii (sau dacă se adaugă u umăr fiit de termei) seria ou obţiută va avea aceeaşi atură ca şi seria iiţială Î caz de covergeţă, suma se modifică scăzâd (sau adăugâd) suma fiită a termeilor la care se reuţă (respectiv, care se adaugă) d) Problema pricipală î studiul uei serii este determiarea aturii şi, î caz de covergeţă, evaluarea eactă sau măcar aproimativă a sumei seriei respective Eemplul 2 Seria 0, ude R este fiat, se umeşte serie geometrică de raţie Sumele parţiale asociate sut: s 0 =, s = +, s 2 = + + 2,, s = , Se demostrează pri iducţie că: Deoarece lim s = s =,, oricare ar fi N, covergetă dacă şi umai dacă < şi, î acest caz, dacă şi umai dacă (-, ), rezultă că seria geometrică de raţie este 0 =

5 Eemplul 22 Seria se umeşte serie armoică Sumele parţiale sut: s =, s 2 = +, s3 = ,, s = , Deoarece s2 s 2 petru orice N * (vezi eemplul ) rezultă că şirul (s ) * al sumelor parţiale u este şir fudametal, deci ici coverget Rezultă N că seria armoică este divergetă Eemplul 23 Să cosiderăm acum seria si! ( ) Şirul sumelor parţiale are î acest caz si k! termeul geeral s =, N * Acest şir a fost studiat î eemplul 2 ude s-a arătat că k k(k ) si! este şir fudametal, deci coverget Rezultă că seria este covergetă ( ) Observaţia 22 Î eemplul 2 am putut determia atura şi chiar suma seriei cosiderate eprimâd coveabil termeul geeral al şirului sumelor parţiale Acest lucru u este posibil îtotdeaua Î eemplul 22 se deduce că seria este divergetă, fără a găsi o formă coveabilă petru s Î eemplul 23 se deduce că seria este covergetă, dar u se poate găsi o epresie coveabilă petru s şi, pri urmare, u se poate cuoaşte cu eactitate suma seriei Este ecesară, deci, dezvoltarea uei teorii calitative a seriilor, idicâd criterii de covergeţă care ţi cot de forma termeului geeral al seriei studiate Petru o serie care se dovedeşte a fi covergetă (î urma aplicării uui criteriu de covergeţă) se aproimează suma seriei cu o sumă parţială de u ordi coveabil ales (î fucţie de eroarea permisă de problemă) Teorema 2 (criteriul ecesar de covergeţă) Dacă seria 0 este covergetă atuci lim = 0 Observaţia 23 Codiţia di teorema 2 este doar ecesară, dar u şi suficietă petru covergeţa uei serii De eemplu, şirul f :N * R, f()= este coverget şi are limita zero, dar seria geerată de acest şir (seria armoică) u este covergetă Di teoremă rezultă imediat că, dacă u şir f este diverget sau este coverget cu limita diferită de zero, atuci seria geerată de şirul f este divergetă De eemplu, seria 2 şirul ((-) ) * N este divergetă deoarece u are limită lim = ; seria ( ) este divergetă deoarece Teorema 22 a) Dacă λr\{0}, seria b) Dacă seriile 0 0, 0 0 are aceeaşi atură cu seria ; 0 sut covergete, cu sumele s, respectiv ζ, atuci seriile 0 ( ) sut covergete, cu sumele s + ζ, respectiv s ζ ( ),

6 Teorema 23 (criteriul geeral de covergeţă al lui Cauch petru serii) Seria de umere reale este covergetă dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 eistă 0 = 0 0 (ε) N astfel îcât oricare ar fi 0 şi oricare ar fi pn * să avem: p < ε Observâd că p = s +p s, eseţa demostraţiei costă î aplicarea criteriului geeral de covergeţă al lui Cauch şirului sumelor parţiale (vezi şi eemplele 2 şi 23) O clasă foarte importată de serii o costituie seriile absolut covergete Defiiţia 22 Fie f :N R, f() = Seria de umere reale 0 dacă seria de umere reale pozitive este covergetă 0 Teorema 24 Orice serie absolut covergetă de umere reale este covergetă se umeşte absolut covergetă Observaţia 24 Reciproca acestei teoreme u este, î geeral, adevărată Eistă serii covergete care u sut absolut covergete De eemplu, seria ( ) umită serie armoică alterată, este covergetă (vezi eemplul 25) dar u este absolut covergetă deoarece =, N * iar 0 este divergetă (vezi eemplul 22) Defiiţia 23 O serie care este covergetă, dar u este absolut covergetă, se umeşte semicovergetă Seria armoică alterată este u eemplu de serie semi-covergetă Seriile semicovergete au o proprietate ce le face puţi utilizabile, cuoscută sub umele de teorema lui Riema : dacă seria de umere reale (f, g), f :N R, f() = este semicovergetă, eistă o permutare ζ a mulţimii N, astfel îcât seria geerată de şirul f σ :N R, (f σ)()= σ() să fie divergetă; petru orice αr eistă o permutare η a lui N astfel îcât seria geerată de şirul f τ:n R, (f τ)() = τ() să fie covergetă şi să aibă suma α Rezultă, de aici, că seriile semicovergete au o comportare foarte diferită de cea a sumelor fiite Spre deosebire de acestea, dacă îtr-o serie absolut covergetă modificăm ordiea termeilor, ici atura, ici suma seriei u se schimbă (teorema lui Dirichlet) Astfel, seriile absolut covergete au o comportare asemăătoare cu cea a sumelor fiite; de aceea ele sut cele mai des utilizate Studiul seriilor absolut covergete îseamă de fapt studiul seriilor cu termei pozitivi Petru asemeea serii se pot formula multe criterii care dau codiţii suficiete de covergeţă Prezetăm î cotiuare pe cele mai importate B) Serii cu temei pozitivi Criterii de covergeţă Teorema 25 O serie de umere reale şi pozitive este covergetă, dacă şi umai dacă, şirul sumelor ei parţiale este mărgiit

7 Teorema 26 (criteriul comparaţiei) Fie 0 să eiste l = lim şi 0 a) dacă 0 < l < atuci cele două serii au aceeaşi atură; b) dacă l = 0 şi 0 c) dacă l = şi 0 este covergetă, atuci seria 0 este divergetă, atuci seria 0 Teorema 27 (criteriul rădăciii al lui Cauch) Fie 0 l = o serie cu termei pozitivi două serii cu termei pozitivi astfel îcât este covergetă; este divergetă a) Dacă eistă 0 N şi (0, ) astfel îcât petru orice 0 să avem, atuci seria 0 este covergetă b) Dacă petru o ifiitate de idici, atuci seria este divergetă 0 Corolar Fie 0 lim a) Dacă l<, atuci seria este covergetă b) Dacă l >, atuci seria este divergetă o serie cu termei pozitivi Presupuem că eistă Teorema 28 (criteriul raportului, al lui d Alembert) Fie 0 o serie cu termei pozitivi a) Dacă eistă 0 N şi (0, ) astfel îcât petru orice N, 0 să avem este covergetă, atuci seria b) Dacă eistă 0 N şi (0, ) astfel îcât petru orice 0 să avem divergetă atuci seria este o serie cu termei pozitivi Presupuem că eistă l = Corolar Fie 0 a) Dacă l <, atuci seria este covergetă b) Dacă l >, atuci seria este divergetă lim

8 Observatia 25 Dacă l = î corolarul teoremei 27 (sau 28) u se poate trage ici o cocluzie asupra aturii seriei Spre eemplu, să cosiderăm seriile ( ), N* Evidet că Seria lim = lim =, lim = lim este divergetă (vezi eemplul 22) Seria =, ude =, = este îsă covergetă (Petru fiecare N *, = -, s = - şi, pri urmare, lim s = ) Î situaţiile î care criteriul raportului u poate decide atura seriei se poate folosi: Teorema 29 (criteriul lui Raabe - Duhamel) Fie 0 o serie cu termei pozitivi a) Dacă eistă 0 N * şi r > astfel îcât petru orice 0 să avem seria este covergetă b) Dacă eistă 0 N astfel îcât petru orice 0 să avem divergetă Corolar Fie o serie cu termei pozitivi Presupuem că eistă 0 l = lim a) Dacă l >, atuci seria este covergetă b) Dacă l <, atuci seria este divergetă r, atuci, atuci seria este Eemplul 24 Seria, α >0 se umeşte serie armoică geerală Este evidet că lim = petru orice α >0, deci atura seriei u poate fi precizată cu ajutorul criteriului raportului (şi ici cu criteriul rădăciii) Dar Se ştie di liceu că lim 0 ( ) fucţii (de asemeea, cuoscut di liceu) deoarece ( ) = petru orice αr Folosid criteriul cu şiruri al limitei uei lim = 0, rezultă că:

9 l = lim = lim Rezultă astfel că petru α > seria armoică geerală este covergetă, iar petru α < este divergetă Petru α = se obţie seria armoică despre care s-a arătat aterior (vezi eemplul 22) că este divergetă Teorema 20 (criteriul itegral al lui Cauch) Fie f:[0, ) [0, ) o fucţie cotiuă, descrescătoare şi fie = f(), N Seria cu termei pozitivi 0 şirul F : N R +, F() = 0 f ()d este mărgiit este covergetă dacă şi umai dacă Observaţia 26 Teorema rămâe valabilă şi î cazul î care f: [a, ) R +, ude a >0 Cu ajutorul acestui criteriu putem stabili foarte uşor atura seriei armoice geerale (studiată î eemplul 24) Este suficiet să cosiderăm fucţia f: [, ) R +, f() =, α>0 şi să observăm d că, petru α, F() =, petru orice N * Dacă α>, avem: F() =, petru orice N * Pri urmare, şirul F este mărgiit, deci seria este covergetă Dacă α<, avem: F() = divergetă C) Serii alterate, petru orice N * şi lim F() = deci şirul F u este mărgiit, deci seria este Petru studiul uei serii care u este absolut covergetă se poate folosi direct criteriul geeral al lui Cauch (teorema 23) sau următoarea teoremă care se demostrează cu ajutorul acestuia Teorema 2 (criteriul lui Abel) Fie (z ) N u şir de umere reale avâd şirul sumelor parţiale asociat mărgiit Fie (a ) N u şir de umere reale, descrescător şi coverget către zero Atuci seria 0 a z este covergetă Corolar (criteriul lui Leibitz petru serii alterate) Fie (a ) N u şir de umere reale, descrescător şi coverget către zero Atuci seria este covergetă (o asemeea serie se umeşte serie alterată) 0 ( ) a

10 Eemplul 25 Seria ( ), ude α > 0 este covergetă, fără a fi absolut covergetă petru 0 < α ; petru α > această serie este şi covergetă şi absolut covergetă (covergeţa se poate deduce di covergeţa absolută, sau, direct, cu criteriul lui Leibitz) D) Aproimarea sumei Observaţia 27 Petru o serie care s-a dovedit a fi covergetă, dar u este posibil să-i determiăm suma, este importat să putem evalua eroarea făcută, dacă se aproimează suma seriei cu o sumă parţială Sut situaţii î care se poate evalua uşor această eroare şi, pri urmare, se poate obţie suma seriei cu precizia dorită: a) dacă p petru orice, pn şi lim = 0 atuci seria este covergetă (rezultă di teorema 23) Se poate arăta că s s petru orice N, iegalitate care poate fi cosiderată formulă de evaluare a erorii cu care se face aproimarea s s (vezi şi observaţia 4) b) dacă eistă (0, ) şi 0 N astfel îcât petru orice 0 să avem, atuci aplicâd criteriul rădăciii seriei 0 Se poate arăta că, petru orice 0, s s se deduce că seria este absolut covergetă, deci şi covergetă 0 c) dacă eistă (0, ) şi 0 N astfel îcât petru orice 0 să avem, atuci aplicâd criteriul raportului seriei se deduce că seria este absolut covergetă, deci şi 0 0 covergetă Se poate arăta că, petru orice 0, s s d) petru o serie alterată ( ) a covergetă se poate arăta că: 0 0 < s 2 s < a 2+, 0 < s s 2+ < a 2+2 petru orice N Deci, dacă aproimăm suma s a uei serii alterate ce satisface codiţiile criteriului lui Leibiz cu suma parţială de ordiul, facem o eroare mai mică decât primul terme eglijat; eroarea este pri lipsă dacă este impar şi pri adaos, dacă este par