decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto
|
|
- Μαία Βασιλειάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016
2 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri V şi o mulţime de muchii E. G este finit dacă V şi E sunt mulţimi finite. În acest curs vom considera doar grafuri finite. Ordinul unui graf este V, numărul de noduri. Mărimea unui graf este E, numărul de muchii. Fie x, y V. Spunem că x este vecinul lui y dacă E conţine o muchie de la x la y: dacă G este orientat, y este destinaţia unui arc cu sursa x. Vecinătatea lui x V este N(x) := {y y este vecin al lui x} Vecinătatea închisă a lui x este N[x] := N(x) {x} Gradul deg(x) lui x este numărul de vecini ai lui x Gradul minim al lui G este δ(g) = min{deg(x) x V } Gradul maxim al lui G este (G) = max{deg(x) x V }
3 Noţiuni fundamentale Exemplu a b c d e f g h G = (V, E) unde V = {a, b, c, d, e, f }, E = {{a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, e}, {b, g}, {c, f }, {d, f }, {d, g}, {g, h}} N(d) = {a, f, g}, N[d] = {a, d, f, g}, (G) = deg(b) = 3, δ(g) = deg(h) = 1,
4 Teorema 1 a Teoriei Grafurilor Teorema 1 Într-un graf neorientat G, suma gradelor nodurilor sale este dublul numărului de muchii. O consecinţă este faptul că numărul nodurilor cu grad impar este par. Demonstraţie combinatorială. Fie S = v V deg(v). Se observă că, deoarece orice muchie are două capete, S este dublul numărului de muchii: deg(v) = 2 E v V Deasemenea S = v V deg(v) par deg(v) + v V deg(v) impar deg(v) şi S este par a doua sumă trebuie să fie pară. Deci, numărul de noduri cu grad impar trebuie să fie par.
5 Alte noţiuni fundamentale O muchie e E este incidentă la un nod x dacă x este un capăt al lui e. O cale de la v 1 la v n este o secvenţă d = (v 1, v 2,..., v n ) de noduri astfel încât v i+1 este vecinul lui v i pentru orice 1 i < n. Lungimea lui d este n 1. d este o cale simplă dacă nodurile v 1,..., v n sunt distincte. d este un ciclu dacă este o cale cu lungime 3 ale cărui capete coincid: v 1 = v n, iar v 1,..., v n 1 sunt distincte. d este un drum elementar dacă muchiile dintre nodurile succesive sunt distincte. d este un circuit dacă este drum elementar cu lungimea 3 şi v 1 = v n.
6 Exemplu ilustrat a c b d e f g (f ) este o cale cu lungimea 0. (a, c, f, c, b, d) este o cale cu lungimea 5. (b, a, c, b, d) este o cale cu lungimea 4 care nu este simplă, dar este drum elementar. (d, g, b, a, c, f, e) este drum elementar cu lungimea 6. (g, d, b, c, a, b, g) este un circuit. (e, d, b, a, c, f, e) şi (d, b, g, d, e, f, d) sunt circuite. Reţineţi că un drum poate avea lungimea 0, dar lungimea minimă a unui ciclu sau circuit este 3.
7 Teorema 2 a Teoriei Grafurilor Teorema 2 Într-un graf G cu nodurile u v, fiecare cale de la un nod u la v conţine o cale simplă de la u la v. Demonstraţie. Fie d o cale de la u la v în G. Teorema se demonstrează prin inducţie după lungimea lui d. Dacă d are lungimea 2 atunci d = (u, v) este o cale simplă. Pentru cazul inductiv, presupunem că teorema are loc pentru toate căile cu lungime < k, şi fie d o cale cu lungimea k, d = (u = w 0, w 1,..., w k 1, w k = v). Dacă toate nodurile sunt distincte, atunci d este o cale simplă de la u la v. În caz contrar, fie j cel mai mic indice a.î. w j = w r pentru un r > j. Fie d 1 calea (u = w 0,..., w j, w r+1..., w k = v). Lungimea lui d 1 este < k, deci d 1 conţine o cale simplă de la u la v, conform ipotezei inductive. Această cale este, evident, conţinută şi în calea d.
8 Operaţii pe grafuri Presupunem că G = (V, E) este un graf simplu, v V, S V, e E, T E Ştergere de noduri: G v este graful care se obţine eliminând din G nodul v şi toate arcele incidente la v. G S este graful care se obţine eliminând din G nodurile din S şi toate arcele incidente la un nod din S. Ştergere de muchii G e este graful care se obţine eliminând din G muchia e. Capetele lui e nu se elimină. G T este graful care se obţine eliminând din G toate muchiile din T. G este conex dacă există o cale între orice două noduri. În caz contrar, G nu este conex. O componentă a lui G este o parte maximală a lui G care este conexă. v este nod de tăiere dacă G v are mai multe componente decât G. e este o punte dacă G e are mai multe componente decât G.
9 Operaţii pe grafuri Example (Ştergere) a a a b c b c b c d d e f e f e f g G d g G g G (c, d) d este nod de tăiere în G. (a, b) este punte în G. a b c d e f g G {(e, g), (f, g)} Example (Grafuri conexe şi neconexe)
10 Mulţime de noduri de tăiere, conectivitate. Grafuri complete Presupunem că G = (V, E) este un graf conex neorientat. S V este o mulţime de noduri de tăiere pentru G dacă G S este neconectat. G este complet dacă orice două noduri sunt învecinate. K n se referă la graful complet cu n noduri. Grafurile K n nu au mulţimi de tăiere deoarece K n S rămâne conex indiferent de submulţimea S V. Conectivitatea κ(g) a lui G este numărul de elemente al unei mulţimi minimale de noduri de tăiere pentru G. Deasemenea, considerăm următoarele cazuri speciale: Dacă G nu este conex, presupunem că κ(g) = 0. Dacă G = K n presupunem că κ(g) = n 1. Pentru orice 0 < k κ(g), spunem că G este k-conex.
11 Subgraf indus al unui graf Presupunem că G = (V, E) este un graf şi S V. Subgraful indus de S în G este graful (S, E ) unde E este mulţimea de muchii din E care au ambele capete în S. Example a x a x b e d b d c G c Subgraf indus de {a, b, c, d, x}
12 Tipuri speciale de grafuri Grafurile complete K n Grafurile cale P n constau din o cale simplă de n noduri Grafurile vide E n au n noduri, şi nu au nici o muchie. Grafurile ciclice C n constau din cicluri de lungime n C 3 C 4 Grafuri bipartite G = (V, E): Grafuri simple neorientate, a.î. V = X Y unde X V şi Y = V \ X Toate muchiile au un capăt în X şi celălalt în Y.
13 Grafuri bipartite Primele 2 grafuri din figura de mai jos sunt bipartite, dar al treilea nu este bipartit. Un graf bipartit complet K m,n este un graf bipartit între X şi Y cu X = m, Y = n, astfel încât există o muchie între orice pereche de noduri (x, y) X Y. Exemple de grafuri bipartite complete
14 Grafuri bipartite Teorema de caracterizare Un graf cu cel puţin 2 noduri este bipartit dacă şi numai dacă nu conţine cicluri de lungime impară. Demonstraţie. : Fie G = (V, E) un graf bipartit între mulţimile X şi Y, şi fie C = (v 1,..., v k, v 1 ) un ciclu în G. Putem presupune că v 1 X. Atunci v i X pentru toţi i pari, şi v j Y pentru toţi j impari. Deoarece (v k, v 1 ) E, k trebuie să fie par nu putem avea în G un ciclu de lungime k impar. : Putem presupune, fără a reduce din generalitate, că G este conex (în caz contrar, putem trata separat componentele conexe ale lui G). Pentru v V definim X = {x V cea mai scurtă cale de la x la v are lungime pară}, Y = V \ X. Se verifică uşor că G este graf bipartit între X şi Y.
15 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.
16 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf.
17 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a c d b g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen.
18 Grafuri izomorfe Observaţi că grafurile următoare sunt identice: a b 1 2 c d 8 3 g e f h Primul graf poate fi redesenat încât să arate ca al doilea graf. Ideea de izomorfism formalizează acest fenomen. Grafuri izomorfe G = (V 1, E 1 ) şi H = (V 2, E 2 ) sunt izomorfe dacă există o funcţie bijectivă f : V 1 V 2 astfel încât (x, y) E 1 dacă şi numai dacă (f (x), f (y)) E 2.
19 Grafuri izomorfe Când 2 grafuri G şi H sunt izomorfe, se obişnuieşte să se spună că G = H sau că G este H. Dacă G şi H sunt izomorfe, atunci au acelaşi ordin şi mărime. Reciproca nu este adevărată, după cum se poate vedea în Figura 1 de mai jos. Figure: Două grafuri G şi H cu acelaşi ordin şi mărime, dar neizomorfe. Dacă G şi H sunt izomorfe atunci secvenţele de grade de noduri ale grefurilor coincid. Reciproca nu este adevărată.
20 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian.
21 Drumuri şi circuite Euleriene Un drum Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un drum ce conţine toate muchiile lui G. Un circuit Eulerian într-un graf simplu G = (V, E) este un circuit ce conţine toate muchiile lui G. Un graf Eulerian este un graf simplu ce conţine un circuit Eulerian. Se observă că Ciclurile C n sunt grafuri Euleriene. Căile P n nu conţin circuite nici un P n nu este graf Eulerian.
22 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian?
23 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene?
24 Drumuri şi circuite Euleriene Întrebări Care din grafurile următoare este Eulerian? Î: Cum putem recunoaşte grafurile Euleriene? R: Se cunosc două caracterizări importante: 1 bazată pe gradurile nodurilor 2 bazată pe existenţa unei colecţii speciale de cicluri.
25 Circuite Euleriene Teorema de Caracterizare Pentru un graf conectat G, afirmaţiile următoare sunt echivalente: 1 G este Eulerian. 2 Fiecare nod al lui G are grad par. 3 Muchiile lui G pot fi partiţionate în cicluri care nu au muchii în comun. Demonstraţia lui 1 2. Presupunem că G este Eulerian un circuit care conţine toate muchiile lui G De exemplu, v 1, v 3, v 4, v 1, v 2, v 6, v 1 este un circuit al grafului v 2 v 4 v 1 v 5 v 6 v 3 deg(v 2 ) = deg(v 3 ) = deg(v 4 ) = deg(v 6 ) = 2 deg(v 1 ) = 4 deg(v 5 ) = 0 Ori de câte ori circuitul Eulerian intră în un nod v pe o muchie, trebuie să plece din acel nod pe altă muchie. Deoarece nici o muchie nu apare de 2 ori în circuit, nr. de muchii incidente la v este par deg(v) este par.
26 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example
27 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example
28 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example
29 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example
30 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 2 3. Presupunem că fiecare nod al lui G are grad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G. G nu are noduri de grad 1 G nu este arbore G are cel puţin un ciclu C n1. Fie G graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui C n1 toate nodurile lui G au grad par se deduce recursiv că G poate fi partiţionat în cicluri disjuncte C n2,..., C nk. Rezultă că C n1, C n2,..., C nk este o partiţie a lui G în cicluri (cu muchii) disjuncte. Example
31 Circuite Euleriene Demonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare) Demonstraţie a 3 1. Presupunem că muchiile lui G pot fi partiţionate în k cicluri disjuncte C n1,..., C nk. Deoarece G este conectat, fiecare ciclu este un circuit Eulerian care are un nod comun cu alt ciclu ciclurile pot fi înlănţuite până se obţine un circuit Eulerian care conţine toate muchiile lui G. Example Cicluri: Q 1 = 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Q 2 = 3, 8, 5, 1, 3 Q 3 = 6, 2, 7, 9, 5, 6 Q 4 = 4, 5, 7, 4 Primele 2 cicluri au nodul comun 3 circuitul R 1 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 R 2 are 6 în comun cu al 3-lea ciclu circuitul R 3 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3 Circuitul are 4 în comun cu a 4-lea ciclu circuitul Eulerian R 4 = 3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 5, 7, 4, 9, 3
32 Detectarea circuitelor Euleriene Algoritmul lui Hierholzer Alg. ilustrat de înlănţuite a ciclurilor se numeşte algoritmul lui Hierholzer. Rezolvă problema Se dă: un graf Eulerian G Sa caută un circuit Eulerian al lui G. 1 Se identifică un circuit R 1 al lui G şi se marchează muchiile lui R 1. Fie i = 1. 2 Dacă R i conţine toate muchiile lui G, stop: R i este Eulerian. 3 Dacă R i nu conţine toate muchiile lui G, fie v i un nod al R i incident la o muchie nemarcată e i. 4 Se construieşte un circuit de muchii nemarcate Q i, pornind de la nodul v i de-a lungul muchiei e i. Se marchează muchiile lui Q i. 5 Se crează un circuit nou R i+1 înlănţuind Q i în R i la nodul v i. 6 Se incrementează i cu 1 şi se revine la pasul (2).
33 Algoritmul lui Hierholzer Exemplu ilustrat
34 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian?
35 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene.
36 Detectarea drumurilor Euleriene Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine un drum Eulerian? Răspuns: Se observă că: Un graf Eulerian conţine un drum Eulerian deoarece orice circuit Eulerian este şi drum Eulerian. Există grafuri ne-euleriene ce conţin drumuri Euleriene. Corolar Un graf conectat G conţine un drum Eulerian dacă şi numai dacă are cel mult 2 noduri cu grad impar.
37 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2).
38 Algoritmul lui Fleury Se dă un graf G cu un drum sau circuit Eulerian Se caută un drum sau circuit corespunzător. Iniţial toate muchiile sunt nemarcate. 1 Se alege un nod v pe care-l numim nod fruntaş. 2 Dacă toate muchiile lui G au fost marcate, stop. Altfel, se trece la pasul 2. 3 Dintre toate muchiile incidente la nodul fruntaş se alege, dacă se poate, o muchie care nu este punte a muchiilor deja marcate. Dacă o astfel de muchie nu există, se alege una la întâmplare. Se marchează muchia aleasă iar capătul opus nodului fruntaş devine noul nod fruntaş. 4 Se revine la pasul (2). Observaţii: Pasul 2 se efectuează de E ori, unde E = nr. de muchii ale lui G. În gen., detectarea dacă e E este punte are complexitatea O( E 2 ) alg. lui Fleury are complexitatea O( E 3 ).
39 Cicluri şi căi hamiltoniene O cale hamiltoniană P a unui graf simplu G este o cale simplă care conţine toate nodurile lui G. Un graf traversabil este un graf simplu care conţine o cale hamiltoniană. Un ciclu hamiltonian al unui graf este un ciclu care conţine toate nodurile grafului. Un graf hamiltonian este un graf care conţine un ciclu hamiltonian. Observaţii 1 Toate grafurile hamiltoniene sunt traversabile. 2 Există grafuri traversable care nu sunt hamiltoniene.
40 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Presupunem că G satisface condiţiile date, însă G nu este hamiltonian. Fie P = v 1,..., v p o cale simplă în G de lungime maximală toţi vecinii lui v 1 şi ai lui v p sunt pe P. Deasemenea, v 1 şi v p au cel puţin n/2 vecini pe P fiindcă δ(g) n/2. Demonstrăm că j {1,..., p 1} astfel încât v j N(v p ) şi v j+1 N(v 1 ). Dacă n-ar fi aşa, atunci pentru fiecare vecin v i de pe P al lui v p (reţinem că sunt n/2 astfel de v i ), v i+1 nu este vecin al lui v 1. Ar rezulta că deg(v 1 ) p 1 n 2 < n n 2 = n, contradicţie cu faptul 2 că δ(g) n/2. Deci, există un astfel de j, pentru care avem situaţia ilustrată în figura de mai jos:
41 Detectarea grafurilor hamiltoniene Teorema lui Dirac (continuare) Teorema lui Dirac Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă δ(g) n/2 atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. (continuare) Fie C ciclul v 1, v 2,..., v j, v p, v p 1,..., v j+1, v 1. Presupunând că G nu este hamiltonian, există un nod al lui G care nu este în P. δ(g) n/2 şi n 3 implică δ(g) 2, deci G este conectat G are un nod w care nu-i in P şi este adiacent la un nod v i din P. Dar atunci calea care porneşte cu w, v i şi continuă în jurul ciclului C este mai lungă decât P, contradicţie. În concluzie G trebuie să fie graf hamiltonian.
42 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian.
43 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Teorema lui Dirac generalizată Fie G un graf cu ordinul n 3. Dacă deg(x) + deg(y) n pentru toate perechile de noduri neadiacente x, y, atunci G este hamiltonian. O mulţime de noduri a unui graf G este independentă dacă nu conţine noduri adiacente. Numărul de independenţă α(g) al unui graf G este mărimea cea mai mare posibilă a unei mulţimi independente a lui G. Example Se consideră grafurile Cea mai mare mulţime independentă a lui G 1 este {c, d}, deci α(g 1 ) = 2. Există 2 mulţimi independente cu mărimea 3 în G 2 : {a, c, e} şi {b, d, f }, şi nici una cu mărimea 4, deci α(g 2 ) = 3.
44 Detectarea grafurilor hamiltoniene Alte criterii şi noţiuni auxiliare Conectivitatea κ(g) unui graf G este este mărimea minimă a unei mulţimi de tăiere a lui G. Teoremă (Chvátal şi Erdös, 1972) Fie G un graf conectat cu ordinal n 3, conectivitatea κ(g), şi numărul de independenţă α(g). Dacă κ(g) α(g), atunci G este hamiltonian. Exerciţiu (Jocul icosian al lui Hamilton) Să se arate că graful ilustrat în cercul de mai jos este hamiltonian.
45 Grafuri hamiltoniene şi grafuri traversabile Exerciţii 1 Să se demonstreze că dacă G este hamiltonian atunci G este 2-conectat. 2 Să se indice conectivitatea şi numărul de independenţă al grafului Petersen ilustrat mai jos.
46 Grafuri hamiltoniene Două definiţii şi trei grafuri speciale Date fiind două grafuri G şi H, spunem că G este liber de H dacă G nu conţine o copie a lui H ca şi graf indus. Dacă S este o colecţie de grafuri, spunem că G este liber de S dacă G nu conţine nici unul din grafurile lui S ca şi graf indus. Trei grafuri speciale K 1,3 Z 1 N
47 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Theorem (Goodman şi Hedetniemi, 1974) Dacă G este un graf 2-conectat şi liber de {K 1,3, Z 1 } atunci G este hamiltonian. Demonstraţie. Fie G un astfel de graf, şi fie C un ciclu de lungime maximă în G. Deoarece G este 2-conectat, un astfel de ciclu C există. Demonstrăm că C este ciclu hamiltonian. Dacă G nu ar fi hamiltonian, ar exista un nod v care nu este în C şi care este adiacent la un nod w din C. Fie a şi b succesorul şi predecesorul imediat al lui w în ciclul C. Dacă {a, b} N(v) un ciclu mai lung decât C {a, b} N(v) =. Dacă a, b nu sunt adiacente atunci subgraful indus de {w, v, a, b} este K 1,3, contradicţie cu ipoteza că G este liber de K 1,3 ab trebuie să fie muchie în G. Însă în acest caz subgraful indus de {w, v, a, b} este Z 1, contradicţie cu ipoteza că G este liber de Z 1. C este ciclu hamiltonian.
48 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian.
49 Grafuri hamiltoniene Alte rezultate Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981) Fie G un graf liber de {K 1,3, N}. 1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil. 2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian. Observaţii. Ultimele 2 teoreme interzic ca graful K 1,3 să apară ca subgraf. De obicei, graful K 1,3 se numeşte gheară, şi este un graf interzis să apară în numeroase teoreme din teoria grafurilor.
50 Bibliografie J. M. Harris, J. L. Hirst, M. J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Secţiunea 1.4. Trails, Circuits, Paths, and Cycles.
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραGrafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.
Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile
Διαβάστε περισσότεραCursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.
Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey
Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR
Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραArbori și structuri decizionale
rbori și structuri decizionale Geanina Havârneanu Introducere Teoria grafurilor a apărut din rațiuni pur pragmatice. Un exemplu care ilustrează cea mai simplă modalitate de a utiliza grafurile este următoarea
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα7.2 Problema săptămânii Seminar Seminar Seminar Seminar Conexitate Teorie...
Cuprins 1 Noţiuni preliminare şi scurt istoric 3 1.1 Scurt istoric......................................... 3 1.2 Structura cursului..................................... 3 1.3 Notaţii generale. Noţiuni
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραGrafuri. Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science
Grafuri Liviu P. Dinu University of Bucharest Faculty of Mathematics and Computer Science Sumar Definiții Reprezentări Parcurgere în lățime Parcurgere în adîncime Drumuri în grafuri. Conexitate Matricea
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραGRAFURI NEORIENTATE. 1. NoŃiunea de graf neorientat
. NoŃiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE DefiniŃie. Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de mulńimi notată G=(V, M) unde: V : este o mulńime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραDescompunerea unui graf in componente triconexe Algoritmul - J.E. Hopcroft si R.E. Tarjan
Descompunerea unui graf in componente triconexe Algoritmul - J.E. Hopcroft si R.E. Tarjan 1 prof. Dana Lica Rezumat. Algoritmul de descompunere a unui graf in componente triconexe este prezentat in cele
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραCapitolul IC.07. Grafuri
Capitolul Cuvinte-cheie Graf, digraf, nod, arc, muchie, Parcurgeri în adâncime, în lățime, sortare topologică IC.07. Aspecte generale IC.07.. Definții Definiție: [L0] Un graf este o pereche G = ( V, E),
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραFLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4
FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραI. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραDumitru Fanache TEORIA ALGORITMICĂ A GRAFURILOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE. Volumul I EDITURA PARALELA 45
Dumitru Fanache TEORIA ALGORITMICĂ A GRAFURILOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE Volumul I Cuprins Cuvânt-înainte...9 Capitolul I. Noţiuni generale despre grafuri...15 I.1. Scurt istoric al teoriei grafurilor...15
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCercetari operationale. O.M. Gurzău
Cercetari operationale O.M. Gurzău 1 1Programare liniară 1.1 Algoritmul Simplex (194, G. Dantzig) Problema: Program liniar sub formă canonică: Săseafle maximul funcţiei (1.1.1) cu condiţiile: f (x 1,...x
Διαβάστε περισσότερα