Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016."

Transcript

1 Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016

2 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile grafului O astfel de desenare se numeşte reprezentare planară a lui G Exemplu (Grafuri planare)

3 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile grafului O astfel de desenare se numeşte reprezentare planară a lui G Exemplu (Grafuri planare)

4 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu determină 7 regiuni

5 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu R 7 R 1 R 2 R 3 R 4 determină 7 regiuni R 7 este regiunea exterioară R 5 R 6

6 Noţiuni auxiliare Grafuri planare Regiune a unei reprezentări planare a grafului G: porţiune din plan în care orice 2 puncte pot fi unite cu o curbă care nu intersectează G Exemplu R 7 R 1 R 2 R 3 R 4 determină 7 regiuni R 7 este regiunea exterioară R 5 R 6 Orice regiune este delimitată de muchii Orice muchie este în contact cu una sau două regiuni O muchie mărgineşte o regiune R dacă este în contact cu R şi cu altă regiune

7 Regiuni şi grade de mărginire S 1 S 2 e 7 e 6 e 1 e 2 e 3 S 3 e 5 e 8 e 4 e 9 e 1 este în contact doar cu S 1 e 2 şi e 3 sunt în contact doar cu S 2 S 1 este mărginită de e 7, e 8, e 9 S 3 este mărginită de e 4, e 5, e 6 S 2 este mărginită de e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9

8 Regiuni şi grade de mărginire S 1 S 2 e 7 e 6 e 1 e 2 e 3 S 3 e 5 e 8 e 4 e 9 e 1 este în contact doar cu S 1 e 2 şi e 3 sunt în contact doar cu S 2 S 1 este mărginită de e 7, e 8, e 9 S 3 este mărginită de e 4, e 5, e 6 S 2 este mărginită de e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9 Gradul de mărginire b(s) al unei regiuni S este numărul de muchii care mărginesc S b(s 1 ) = 3, b(s 2 ) = 6, b(s 3 ) = 3

9 Proprietăţi Grafuri planare Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, şi o reprezentare planară a lui G cu r regiuni

10 Proprietăţi Grafuri planare Fie G un graf conex cu n noduri, q muchii, şi o reprezentare planară a lui G cu r regiuni n q + r = 2 în toate cazurile

11 Proprietăţi ale grafurilor planare conexe Teoremă (Formula lui Euler) Dacă G este un graf planar conex cu n noduri, q muchii şi r regiuni, atunci n q + r = 2 Demonstraţie: Inducţie după q Cazul 1: q = 0 G = K 1, pentru care n = 1, q = 0, r = 1, deci n q + r = 2 Cazul 2: G este arbore q = n 1 şi r = 1, deci n q + r = n (n 1) + 1 = 2 Cazul 3: G este arbore conex cu cel puţin 1 ciclu Fie e o muchie din ciclul respectiv, şi G = G e G este conex cu n noduri, q 1 muchii, şi r 1 regiuni conform ipotezei inductive: n (q 1) + (r 1) = 2 Rezultă că n q + r = 2 are loc şi în acest caz

12 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 1 K 3,3 nu este graf planar Demonstraţie: K 3,3 are n = 6 şi q = 9 dacă ar fi planar, ar 5 avea r = q n + 2 = 5 regiuni R i (1 i 5) Fie C = b(r i ) Orice muchie mărgineşte cel mult 2 regiuni C 2 q = 18 K 3,3 este bipartit nu conţine C 3 ca subgraf, deci b(s i ) 4 pentru toţi i, şi prin urmare C 4 5 = 20 contradicţie, deci K 3,3 nu poate fi graf planar i=1

13 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 2 Dacă G este graf planar cu n 3 noduri şi q muchii atunci q 3 n 6 Mai mult, dacă q = 3 n 6 atunci b(s) = 3 pentru orice regiune S din G Demonstraţie Fie R 1,, R r regiunile lui G, şi C = r b(r i ) Ştim că C 2 q şi că C 3r (deoarece b(r i ) 3 pentru toţi i) Deci 3 r 2 q 3 (2 + q n) 2 q q 3n 6 Dacă egalitatea are loc, atunci 3 r = 2 q C = r i=1 b(r i) = 3 r b(r i ) = 3 pt toate regiunile R i i=1

14 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 2 Dacă G este graf planar cu n 3 noduri şi q muchii atunci q 3 n 6 Mai mult, dacă q = 3 n 6 atunci b(s) = 3 pentru orice regiune S din G Demonstraţie Fie R 1,, R r regiunile lui G, şi C = r b(r i ) Ştim că C 2 q şi că C 3r (deoarece b(r i ) 3 pentru toţi i) Deci 3 r 2 q 3 (2 + q n) 2 q q 3n 6 Dacă egalitatea are loc, atunci 3 r = 2 q C = r i=1 b(r i) = 3 r b(r i ) = 3 pt toate regiunile R i Consecinţa 3 K 5 nu este graf planar Demonstraţie: K 5 are n = 5 noduri şi q = 10 muchii 3 n 6 = 9 < 10 = q K 5 nu poate fi planar (cf Consecinţei 2) i=1

15 Consecinţe ale formulei lui Euler Consecinţa 4 δ(g) 5 pentru orice graf planar G Demonstraţie: Presupunem că G este graf planar cu n noduri şi q muchii Cazul 1: n 6 orice nod are grad 5 δ(g) 5 Cazul 2: n > 6 Fie D = deg(v) Rezultă că v V D = 2 q (evident) 2 (3 n 6) (conform Consecinţei 2) = 6 n 12 Dacă δ(g) 6 atunci D = deg(v) 6 = 6 n, contradicţie v V v V Deci δ(g) 5 trebuie să aibă loc

16 Subdiviziuni Grafuri planare Fie G = (V, E) un graf neorientat, şi (x, y) o muchie O subdiviziune a lui (x, y) în G este o înlocuire a lui (x, y) în G cu o cale de la x la y prin puncte intermediare noi Un graf H este o subdiviziune a unui graf G dacă H se poate obţine din G printr-o secvenţă finită de subdiviziuni de muchii Exemplu G : H :

17 Criterii de detecţie a grafurilor planare Spunem că un graf G conţine un graf H dacă H se poate obţine prin eliminarea de noduri şi muchii din G Remarcă Dacă H este subgraf al lui G atunci G conţine H Reciproca este falsă:,,g conţine H nu implică,,h este subgraf al lui G H este subgraf al lui G doar dacă se poate obţine din G prin eliminare de noduri Teoremă (Teorema lui Kuratowski) G este graf planar dacă şi numai dacă nu conţine subdiviziuni ale lui K 3,3 şi ale lui K 5

18 Detecţia grafurilor neplanare Criteriu bazat pe Teorema lui Kuratowski Este G = (V, E) neplanar? 1 Mai întâi verificăm dacă G conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : Determinăm mulţimea S de noduri v E cu deg(v) 3 Dacă S < 6, G nu poate conţine o subdiviziune a lui K 3,3 Altfel, verificăm dacă putem alege 6 puncte din S care pot fi capete ale unei subdiviziuni a lui K 3,3 2 Apoi, verificăm dacă G conţine o subdiviziune a lui K 5 : Determinăm mulţimea S de noduri v E cu deg(v) 4 Dacă S < 5, G nu poate conţine o subdiviziune a lui K 5 Altfel, verificăm dacă putem alege 5 puncte din S care pot fi capete ale unei subdiviziuni a lui K 3,3 3 Dacă ambele verificări eşuează G este graf planar

19 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar:

20 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 :

21 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 :

22 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: a 2 a 1 a 5 5 a 3 a 4 3 4

23 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: 3 Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 5 : a 2 a 1 a 5 5 a 3 a 4 3 4

24 Teorema lui Kuratowski Exemple ilustrate Aplicaţi teorema lui Kuratowski pentru a decide care din grafurile următoare este planar: 3 Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 5 : a 1 a 2 a 5 a 3 a Nu, deoarece conţine o subdiviziune a lui K 3,3 : 5 a a 3 a 5 a 2 3 a 1 2

25 Problemă motivantă Grafuri planare Adi, Barbu, Călin, Dan, Eugen, Florin, Gelu şi Ion sunt senatori ai unui stat, şi fac parte din 7 comitete: C 1 = {Adi, Barbu, Călin}, C 2 = {Călin, Dan, Eugen}, C 3 = {Dan,Florin}, C 4 = {Adam, Gelu}, C 5 = {Eugen, Ion}, C 6 = {Eugen,Barbu,Gelu}, C 7 = {Ion, Călin, Florin} Fiecare comitet trebuie să fixeze o dată la care să se întâlnească toţi membrii săi Întrebare: Care este numărul minim de date ce trebuiesc fixate pentru întâlniri, dacă se ştie că nici un membru nu poate participa simultan la două întâlniri fixate la aceeaşi dată?

26 Răspuns la problema motivantă Observaţii: Două comitete C i şi C j nu se pot întâlni la aceeaşi dată dacă şi numai dacă au un membru comun (adică C i C j = ) Putem considera graful neorientat G cu noduri = comitetele C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, C 7 muchii (C i, C j ) dacă C i şi C j au un membru comun (adică C i C j = ) Colorăm fiecare nod C i cu o culoare care reprezintă data la care are loc întâlnirea comitetului C i problema se poate reformula astfel: care este numărul minim de culori pentru nodurile lui G, astfel încât nici o muchie să nu aibă capetele colorate la fel?

27 C 5 C 6 C 7 Grafuri planare Răspuns la problema motivantă C 4 C 3 C 2 G : C 1 Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

28 Răspuns la problema motivantă C 3 C 2 C 4 G : C 1 C 5 C 7 C 6 K(C 1 ) = K(C 3 ) = K(C 5 ) = 1 K(C 2 ) = K(C 4 ) = 2 K(C 6 ) = K(C 7 ) = 3 Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

29 Răspuns la problema motivantă C 3 C 2 C 4 G : C 1 C 5 C 7 C 6 K(C 1 ) = K(C 3 ) = K(C 5 ) = 1 K(C 2 ) = K(C 4 ) = 2 K(C 6 ) = K(C 7 ) = 3 nr minim de date este 3 (sunt necesare 3 culori) Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic) O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V, E) este o funcţie K : V {1,, k} astfel încât K(u) K(v) dacă (u, v) E Numărul cromatic χ(g) al unui graf G este valoarea minimă a lui k N pt care există o k-colorare a lui G

30 Colorări de noduri Polinoame cromatice Grafuri planare Calculul lui χ(g) este o problemă dificilă (NP-completă) Birkhoff ( 1900) a descoperit o metodă de calcul al unui polinom c G (z) pentru orice graf G, numit polinomul cromatic al lui G, astfel încât c G (k) = nr de k-colorări de noduri a lui G χ(g) = valoarea minimă a lui k pt care c G (k) > 0

31 Colorări de noduri Polinoame cromatice Grafuri planare Calculul lui χ(g) este o problemă dificilă (NP-completă) Birkhoff ( 1900) a descoperit o metodă de calcul al unui polinom c G (z) pentru orice graf G, numit polinomul cromatic al lui G, astfel încât c G (k) = nr de k-colorări de noduri a lui G χ(g) = valoarea minimă a lui k pt care c G (k) > 0 Vom prezenta 1 formule simple de calcul al lui c G (z) pentru grafuri speciale G 2 doi algoritmi recursivi de calcul al lui c G (z) pt orice graf G

32 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1

33 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1

34 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1 3 Caz special: graful P n (cale cu n noduri) este un arbore special cu n noduri: v 1 v 2 v n c Pn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(p n ) = { 1 dacă n = 1, 2 dacă n > 1

35 Polinoame cromatice pentru grafuri speciale v 1 v 2 v n 1 Graful vid E n : pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori: c En (z) = z n şi χ(e n ) = 1 2 Arbore T n cu n noduri: z opţiuni pentru culoarea rădăcinii orice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea a nodului părinte z 1 opţiuni pt colorarea lui { 1 dacă n = 1, c Tn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(t n ) = 2 dacă n > 1 3 Caz special: graful P n (cale cu n noduri) este un arbore v 1 v 2 v n special cu n noduri: { 1 dacă n = 1, c Pn (z) = z (z 1) n 1 şi χ(p n ) = 2 dacă n > 1 4 Graful complet K n : c Kn (z) = z (z 1) (z n + 1) şi χ(k n ) = n

36 Calculul polinoamelor cromatice Operaţii speciale asupra unui graf Fie G = (V, E) un graf neorientat şi e = (x, y) o muchie din E G e este graful obţinut din G prin eliminarea muchiei e G/e este graful obţinut din G astfel: Se înlocuiesc nodurile x şi y cu un singur nod, care se învecinează cu vecinii lui x şi ai lui y Exemplu G: w a z b c x y a w z b c G (b, c): x y a w z b&c G/(b, c): x y

37 Calculul polinoamelor cromatice Formule de calcul recursiv Se observă că, pentru orice e E: c G (z) = c G e (z) c G/e (z) doi algoritmi de calcul recursiv al polinomului cromatic: 1 Se reduce G eliminând pe rând câte o muchie e E: c G (z) = c G e (z) c G/e (z) până când se obţin grafuri speciale E n sau T n : Cazuri de bază: c En (z) = z n şi c Tn (z) = z (z 1) n 1 2 Se extinde G adăugând pe rând muchii e care lipsesc din G: c G (z) = cḡ (z) + cḡ/e (z) unde e este o muchie lipsă din G, şi Ḡ = G + e Caz de bază: c Kn (z) = z (z 1) (z n + 1)

38 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat e G 1 : a d b c G : e a d c G1 (z) = c G11 (z) c G12 (z) unde G 11 = G 1 (b, c) şi G 12 = G 1 /(b, c) b c c G (z) = c G1 (z) c G2 (z), unde e G 2 : d a&b c c G2 (z) = c G21 (z) c G22 (z) unde G 21 = G 2 (a&b, c) şi G 22 = G 2 /(a&b, c)

39 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat e G 1 : a d b c G : e a d c G1 (z) = c G11 (z) c G12 (z) unde G 11 = G 1 (b, c) şi G 12 = G 1 /(b, c) b c c G (z) = c G1 (z) c G2 (z), unde e G 2 : d a&b c c G2 (z) = c G21 (z) c G22 (z) unde G 21 = G 2 (a&b, c) şi G 22 = G 2 /(a&b, c) G 11 : e d c G 12 : e d G 21 : e d c G 22 : e d a b a b&c a&b a&b&c Grafurile următoare sunt izomorfe: G 12 G 21 şi G 22 = K 3, deci: c G (z) = c G11 (z) 2 c G12 (z) + z(z 1)(z 2) }{{} c K3 (z)

40 Calculul polinomului cromatic prin reducere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G11 (z) 2 c G12 (z) + z(z 1)(z 2) G 11 : e d c G 12 : e d a b a b&c Se observă că c G11 (z) = c T5 (z) c T4 (z) = z(z 1) 4 z(z 1) 3 c G12 (z) = c T4 (z) c T3 (z) = z(z 1) 3 z(z 1 2 ) c G (z) =z(z 1) 4 z(z 1) 3 2(z(z 1) 3 z(z 1) 2 ) + z(z 1)(z 2) = z 5 7 z z 3 20 z z

41 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat d e c G : a b e G 1 = G + (c, e) : a c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z), unde d d c G 2 = G 1 /(c, e) : c&e b a b c G2 (z) = z(z 1)(z 2)(z 3) deoarece G 2 K 4, şi d c G1 (z) = c G11 (z) + c G12 (z) unde G e c 11 : G 12 : c G11 (z) = c G111 (z) + c G112 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) unde G 111 : a e b d c a b G 111 K 5 d c a b&e d e G 112 : a&c b G 112 K 4

42 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) unde G 12 : d c a b&e

43 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) d c unde G 12 : a b&e c G12 (z) = c G121 (z) + c G122 (z) = c K4 (z) + c K3 (z) unde d c unde G 121 : a b&e G 121 K 4 d unde G 122 : a&c b&e G 122 K 3

44 Calculul polinomului cromatic prin extindere Exemplu ilustrat (continuare) c G (z) = c G1 (z) + c G2 (z) = (c G11 (z) + c G12 (z)) + c K4 (z) = c K5 (z) + c K4 (z) + c G12 (z) + c K4 (z) d c unde G 12 : a b&e c G12 (z) = c G121 (z) + c G122 (z) = c K4 (z) + c K3 (z) unde d c unde G 121 : a b&e G 121 K 4 d unde G 122 : a&c b&e G 122 K 3 c G (z) = c K5 (z) + 3c K4 (z) + c K3 (z) = z 5 7 z z 3 20 z z

45 Proprietăţi ale polinomului cromatic Dacă G = (V, E) este un graf neorientat cu n noduri şi q muchii atunci polinomul cromatic c G (z) satisface condiţiile următoare: Are gradul n Coeficientul lui z n este 1 Coeficienţii săi au semne alternante Termenul constant este 0 Coeficientul lui z n 1 este q Exemplu G : e a d b c n = 5, q = 7 c G (z) = z 5 7 z z 3 20 z z

46 Rezultate remarcabile Hărţi şi grafuri planare Grafuri planare Fiecare ţară a unei hărţi se reprezintă ca nod al unui graf Două noduri se conectează dacă şi numai dacă ţările respective au o graniţă nebanală (mai mult decât un punct) graf neorientat G H corespunzător unei hărţi H De exemplu: Observaţie: H este hartă dacă şi numai dacă G H este graf planar

47 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel

48 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii

49 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii 1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria Grafurilor Demonstraţie extrem de lungă şi complexă Problemă propusă in 1858, rezolvată de-abia în 1976 (Appel & Haken) Echivalentă cu faptul că graful planar G H este 4-colorabil

50 Rezultate remarcabile Colorarea hărţii cu 4 culori Grafuri planare Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel Observaţii 1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria Grafurilor Demonstraţie extrem de lungă şi complexă Problemă propusă in 1858, rezolvată de-abia în 1976 (Appel & Haken) Echivalentă cu faptul că graful planar G H este 4-colorabil 2 Teorema este echivalentă cu afirmaţia: χ(g) 4 pentru orice graf planar G

51 Colorarea hărţii cu 5 culori Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 5 culori, astfel încât să nu existe ţări învecinate colorate la fel sau, echivalent: χ(g) 5 pentru orice graf planar G Demonstraţie: Inducţie după n = numărul de noduri din G Teorema este evidentă pt n 5, deci considerăm doar n 6 δ(g) 5 datorită consecintȩi 4, deci G are un nod v cu deg(v) 5 Fie G graful obţinut prin eliminarea lui v din G G are n 1 noduri, deci χ(g ) 5 conform ipotezei inductive Deci putem presupune că G are o 5-colorare cu culorile 1,2,3,4,5 Cazul 1: deg(g) = d 4 Fie v 1,, v d vecinii lui v, cu culorile c 1,, c d c 1 v 1 v c 2 2 v c v d d pentru nodul v putem alege orice culoare c {1, 2, 3, 4, 5} {c 1,, c d } G este 5-colorabil

52 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei Cazul 2: deg(v) = 5, deci v are 5 vecini v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 pe care-i presupunem coloraţi cu culorile c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 1 Dacă {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } {1, 2, 3, 4, 5}, putem să-l colorăm pe v cu orice culoare c {1, 2, 3, 4, 5} {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } G este 5-colorabil 2 Dacă {c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 } = {1, 2, 3, 4, 5}, putem presupune că c 1 = 1, c 2 = 2, c 3, c 4 = 4, c 5 = 5 3 v 3 2 v 2 v v v 4 v 5 5 Idee de bază: Vom rearanja culorile lui G pentru a face disponibilă o culoare pentru v

53 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v

54 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H

55 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H Putem interschimba culorile 1 şi 3 în H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu) lui v G este 5-colorabil

56 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 3 v 3 v 2 v v v 4 v 5 5 Considerăm toate nodurile lui G care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde) Cazul 21 G nu are nici o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu 1 şi 3 Fie H subgraful lui G care conţine toate căile ce pornesc din v 1 şi sunt colorate doar cu 1 (roşu) şi 3 (verde) v interschimbare de culori în H v V [v 3 ] V (H) =, adică nici v 3 şi nici vecinii lui v 3 nu sunt noduri din H Putem interschimba culorile 1 şi 3 în H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu) lui v G este 5-colorabil

57 Colorarea hărţii cu 5 culori Continuarea demonstraţiei 2 v 2 3 v 3 v v v 4 v 5 5 Cazul 22 G are o cale de la v 1 la v 3 colorată doar cu culorile 1 şi cu 3 una din următoarele situaţii are loc: v 2 v 3 v 1 v v 4 v 5 sau v 2 v 3 v 1 v v 4 v 5 În ambele cazuri, nu poate exista o cale de la v 2 la v 4 colorată doar cu culorile 2 şi 4 cazul 21 este aplicabil pentru nodurile v 2 şi v 4 G este 5-colorabil şi în cazul acesta

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey

Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Algoritmica grafurilor XI. Cuplaje in grafuri. Masuri de calitate. Numere Ramsey Mihai Suciu Facultatea de Matematică și Informatică (UBB) Departamentul de Informatică Mai, 16, 2018 Mihai Suciu (UBB) Algoritmica

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

7.2 Problema săptămânii Seminar Seminar Seminar Seminar Conexitate Teorie...

7.2 Problema săptămânii Seminar Seminar Seminar Seminar Conexitate Teorie... Cuprins 1 Noţiuni preliminare şi scurt istoric 3 1.1 Scurt istoric......................................... 3 1.2 Structura cursului..................................... 3 1.3 Notaţii generale. Noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR Bazele cercetării operaţionale. Noţiuni generale ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR În general, pentru situaţiile care necesită la rezolvare un oarecare efort mintal (şi un caz tipic este cel al celor din economie),

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Arbori și structuri decizionale

Arbori și structuri decizionale rbori și structuri decizionale Geanina Havârneanu Introducere Teoria grafurilor a apărut din rațiuni pur pragmatice. Un exemplu care ilustrează cea mai simplă modalitate de a utiliza grafurile este următoarea

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011

Interpolare. O metodă de aproximare. Universitatea,,Babeş-Bolyai. Martie 2011 Interpolare O metodă de aproximare Radu T. Trîmbiţaş Universitatea,,Babeş-Bolyai Martie 2011 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 1 / 69 Un spaţiu util Pentru n N, definim

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα