Rezonanta magnetica nucleara APIM11-1
|
|
|
- Φιλομήλα Σπανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Rezonanta magnetica nucleara APIM11-1
2 Rezonanta magnetica nucleara (RMN) Fenomen fizic studiul spectroscopic al proprietatilor magnetice ale nucleului Protonii si neutronii au camp magnetic propriu datorita spinului lor si distributiei sarcinii electrice proprii Valorile numarului de spin sunt discrete: 0, ½, 1, 1½,... Se obtin date spectroscopice referitoare la un material situat in camp magnetic puternic APIM11-2
3 Rezonanta magnetica nucleara (RMN) Din 1940 detectarea si analiza RMN a fost introdusa ca metoda de cercetare analitica in chimie si biochimie In anii 1970 s-a constatat ca utilizarea gradientului de camp magnetic permite localizarea semnalului dat de RMN si pot fi captate proprietatile magnetice ale protonilor Pe la jumatatea anilor 1980 a devenit o ramura a imagisticii medicale APIM11-3
4 Magnetism O proprietate fundamentala a materiei Generat de purtatorii de sarcina electrica in miscare Atomii cu numar par de orbite electronice nu au camp magnetic propriu Atomii cu numar impar de orbite electronice au camp magnetic propriu APIM11-4
5 Magnetism (2) Susceptibilitatea magnetica = gradul in care un material se magnetizeaza Materiale diamagnetice sensul campului magnetic indus este opus campului magnetic extern (Ca, apa, majoritatea subst. organice (C si H)) paramagnetice - sensul campului magnetic indus are acelasi sens cu campul magnetic extern; nu prezinta magnetism propriu (O 2, unii produsi ai sangelui, subst. de contrast pe baza de gadoliniu) feromagnetice intensifica campul extern; de multe ori au magnetism propriu (Fe, Co, Ni) APIM11-5
6 Magnetism (3) Dipoli Inductia magnetica B Tesla (T) Gauss (G): 1 T= G Campul terestru 1/20000 T APIM11-6
7 Caracteristicile magnetice ale nucleului atomic Caracteristici Neutron Proton Masa (kg) 1, , Sarcina (Coulomb) 0 +1, Moment magnetic (Joule/Tesla) -9, , Numărul de spin 1/2 1/2 daca numarul de neutroni si protoni este par -> moment mag. nul daca numarul de neutroni este par si si cel de protoni este impar, sau invers -> moment mag. diferit de zero (insuficient de puternic pentru masurare) APIM11-7
8 Nucleu Caracteristicile magnetice ale Număr de spin diferitelor elemente Abundenţă izotopică % Moment magnetic Concentraţie fiziologică relativă Sensibilitate relativă 1 H 1/2 99,98 2, O 0 99, O 5/2 0,04 1, F 1/ , Na 3/ , P 1/ ,13 7, APIM11-8
9 Momentul magnetic Campul magnetic al protonului Momentul magnetic (M) APIM11-9
10 Momentul magnetic (2) Orientarea aleatoare Orientarea in camp magnetic extern (paralel- nivel energetic scazut; antiparalel nivel energetic mai ridicat) APIM11-10
11 Momentul magnetic (3) La 0 K toti protonii se orienteaza paralel cu campul magnetic exterior) Cresterea campului magnetic -> cresterea numarului de protoni aliniati paralel cu acesta, creste diferenta dintre cele doua niveluri energetice La temp. fiziologica, in camp de 1 T, numarul de protoni de energie scazuta in exces este de 2 spini la 1 milion ( ) -> intr-un voxel, protoni, sunt cu = mai multi protoni aliniati paralel cu campul -> camp detectabil APIM11-11
12 Momentul magnetic (4) APIM11-12
13 Miscarea de precesie (1) Pe langa orientarea paralela cu liniile de camp apare si o miscarea de precesie a momentului magnetic APIM11-13
14 Miscarea de precesie (2) APIM11-14
15 Miscarea de precesie (3) frecventa miscarii de precesie este proportionala cu inductia campului magnetic: 0 B 0 de unde frecventa (de ordinul MHz) (frecventa Larmor): f 0 B0 2 - unde γ este raportul giromagnetic, specific fiecarui element APIM11-15
16 Raportul giromagnetic Nucleu γ/2π (MHz/T) 1 H 42,58 13 C 10,7 17 O 5,8 19 F 40,0 23 Na 11,3 31 P 17,2 APIM11-16
17 Campul magnetic utilizat Inductia 1 H 31 P 0,15T f=42,58mhz/t 0,15T = 6,39MHz f=17,2mhz/t 0,15T =2,58MHz 0,5T f=42,58mhz/t 0,5T =21,29MHz f=17,2mhz/t 0,5T =8,6MHz 1,5T f=42,58mhz/t 1,5T =63,87MHz f=17,2mhz/t 1,5T =25,8MHz 3,0T f=42,58mhz/t 3,0T =127,74MHz f=17,2mhz/t 3,0T =51,6MHz efectuarea unei excitari selective a diferitelor elemente -> precizie ridicata a masurarii inductiei magnetice si a frecventei in zona de interes, precizia de masurare a frecventei de spin este de MHz APIM11-17
18 Campul magnetic perpendicular Este nul Un impuls de radiofrecventa cu frecventa egala cu frecventa de precesie (camp magnetic B 1 de-a lungul axei Ox)-> aport de energie -> protonii cu energie joasa (paraleli cu campul) trec in starea cu energie ridicata (antiparaleli cu campul) La incetarea impulsului sistemul revine la starea initiala -> genereaza camp electromagnetic -> semnal RMN Valorile campului magnetic extern sunt cuprinse intre 0,5 si 7 T APIM11-18
19 Rezonanta si excitatie (1) APIM11-19
20 Rezonanta si excitatie (2) Semnal de inductie libera (free induction decay FID) APIM11-20
21 Rezonanta si excitatie (3) APIM11-21
22 Rezonanta si excitatie (4) Impuls de 90 Impuls de 180 APIM11-22
23 Rezonanta si excitatie (5) + APIM11-23
24 Rezonanta si excitatie (6) APIM11-24
25 Rezonanta si excitatie (7) Efectul impulsului RF asupra vectorului de magnetizatie APIM11-25
26 Rezonanta si excitatie (8) APIM11-26
27 Constante de relaxare (1) Constanta de relaxare longitudinala T 1 timpul necesar ca magnetizarea longitudinala M z sa revina la valoarea de 63% din valoarea initiala, dupa ce s-a aplicat un implus de 90 Constanta de relaxare transversala T 2 atenuarea oscilatiei libere datorata interactiunii spin-spin; este exponentiala si este tipica fiecarui element T 1 > T 2 APIM11-27
28 Constante de relaxare (2) APIM11-28
29 Relaxarea longitudinala T 1 magnetizarea longitudinala M z paralela cu B 0 - tranzitia protonilor intre nivelurile energetice de la E 1 la E 2 (paraleli->antiparaleli) si revenirea de la E 2 la E 1 excitarea prin impuls de RF de 90 -> absorbtie de energie, disparitia M z - stare instabila incetarea impulsului = revenirea la starea stabila, M z creste progresiv, are loc relaxarea longitudinala (relaxare spin-retea, relaxare T 1 ) APIM11-29
30 Relaxarea longitudinala T 1 - relaxarea longitudinala creste cu cresterea lui B 0 APIM11-30
31 Relaxarea longitudinala T 1 variaza cu structura moleculara: este mai lung pentru lichide comparativ cu solidele ( ms) relaxarea spin retea este cu atat mai eficace cu cat frecventa coliziunilor este mai apropiata de frecventa de rezonanta Larmor este mai scurt in tesuturile grasoase - molecule mari, lente este mai lung in apa molecule mici, rapide cu cat lichidul este mai pur cu atat T 1 creste; prezenta proteinelor in lichid scurteaza T 1 infiltratia hidrica in tesut (tumoare, edem, infarct) prelungeste T 1 Secvente ponderate in T 1 APIM11-31
32 Relaxarea transversala T 2 magnetizarea transversala M xy perpendiculara pe B 0 - sincronizarea si defazarea spinilor excitarea prin impuls de RF de 90 -> aparitia M xy prin sincronizarea spinilor incetarea impulsului -> defazarea rapida a protonilor (pierderea coerentei de faza a protonilor), M xy descreste rapid, are loc relaxarea transversala (relaxare spin-spin, relaxare T 2 ) APIM11-32
33 Relaxarea transversala T 2 - relaxarea transversala nu depinde de cresterea lui B 0 APIM11-33
34 Relaxarea transversala T 2 relaxarea spin spin este consecinta interactiunii protonilor intre ei datorita neomogenitatii campului magnetic de origine moleculara APIM11-34
35 Relaxarea transversala T 2 fenomenul de relaxare transversala nu implica schimburi de energie variaza cu structura moleculara: este mai lung pentru lichide comparativ cu solidele sau tesuturile formate din molecule mari ( ms) este mai lung in apa molecule mici, rapide produc o anulare a campurilor locale -> absenta relativa a micilor campuri magnetice locale care favorizeaza rel. trans. este mai scurt in solide sau in cazul moleculelor mari infiltratia hidrica in tesut (tumoare, edem, infarct) prelungeste T 2 Secvente ponderate in T 2 APIM11-35
36 Valori constante de relaxare Ţesut T1; 0,5T(ms) T1; 1,5T(ms) T2 (ms) Ţesut adipos Ficat Muşchi Materia albă Materia cenuşie Lichid cefalorahidian APIM11-36
37 Semnalul de inductie libera (FID) APIM11-37
38 Notiunea de T 2 * la nivel macroscopic B 0 este omogen -> descrestere FID dupa o curba descrescatoare in T 2 la nivel microscopic insa exista o serie de neomogenitati de camp B 0 de origine instrumentala sau proprie care accentueaza defazarea spinilor -> descrestere FID dupa o curba descrescatoare in T 2 * APIM11-38
39 Secventa ecou de spin este secventa de baza in 1955 Hahn a propus aceasta metoda care ne ajuta sa scapam de neomogenitatile proprii campului magnetic principal extern B 0 si permite masurarea lui T 2 neomogenitatile campului magnetic B 0 sunt constante -> aplicarea unui impuls de RF de 180 duce la anularea defajazelor induse de B 0 dupa o perioada TE/2 de la aplicarea impulsului de RF de 90 se aplica un impuls de RF de 180 ->inversarea defazajelor fara modif. sensului de rotatie APIM11-39
40 Secventa ecou de spin APIM11-40
41 Secventa ecou de spin APIM11-41
42 Fenomenul de ecou de spin APIM11-42
43 Cronologia evenimentelor -citirea unei singure linii APIM11-43
44 Cronologia imp. RF pentru obtinerea tuturor liniilor dn imagine APIM11-44
45 Ecoul de spin secventa cea mai folosita in imagistica calitate excelenta a imaginii (prin ponderare in T 1 si T 2 si alegerea corespunzatoare a lui TR si TE) dezavantaj dureaza mult De ex. daca se aplica impulsul de RF 180 dupa 10 ms, atunci TE = ms, ceea ce e mult pentru o secventa ponderata in daca T 1 APIM11-45
46 Contrast in T 1, T 2 si densitatea protonica contrastul= traducerea semnalului RMN in tonuri de gri diferentele in timpi de relaxare (chiar pana la 500%) si diferentele in densitatea de protoni (intr-o masura mica 0-15%) T 1, T 2 si densitatea de protoni intervin intotdeauna in grade diferite alegerea parametrilor secventei favorizeaza unul dintre acesti factori APIM11-46
47 Variatia magnetizarii transv. si long. APIM11-47
48 Relatia dintre magnetizarea transv. si long. - TE determina momentul masurarii - TR determina nivelul de crestere al mag. long (semnalul diponibil) APIM11-48
49 Influenta TR TR lung (daca TR=4T 1 -> (98% din crestere ) TR scurt (daca TR<T 1 -> (crestere de maxim 63%) TR conditioneaza contrastul in T 1, adica ponderarea in T 1 a unei secvente APIM11-49
50 Influenta TR fie doua tesuturi R, L cu valori ale lui T 1 diferite TR lung (2 s) diferenta mica a magnetizarii TR scurt (0,5s) -> semnalul pentru R este mai puternic (mai alb) decat al tesutului L avem contrast in T 1 APIM11-50
51 Influenta TE fie doua tesuturi R, L cu valori ale lui T 2 diferite TE scurt (mai mic de 20-30ms) > diferenta mica, nu pot fi diferentiate TE lung (>80-100ms) -> semnalul pentru L este mai puternic (mai alb) decat al tesutului R avem contrast in T 2 APIM11-51
52 Secventa scurta ponderata in T 1 TR scurt ( ms) TE scurt (20ms) APIM11-52
53 Secventa lunga ponderata in T 2 TR lung (2000ms) TE lung (120ms) APIM11-53
54 Secventa ponderata in densitatea de prot. TR lung (2000ms) TE scurt (30-40ms) Contrast slab, 10-15% APIM11-54
55 Ponderarea in T 1 Substanta alba - timpi de relaxare scurti LCR timpi de relaxare lungi Substanta cenusie timpi de relaxare de valori interm. APIM11-55
56 Ponderarea in dens.prot si in T 2 Ponderare in densitate TE=40ms Ponderare in T 2, TE=120ms APIM11-56
57 Fenomene patologice Ponderare in T 1 Ponderare in T 2, TE=120ms APIM11-57
58 Secventa de inversare-recuperare APIM11-58
59 Produsi de contrast reduc timpii de relaxare agenti T 1 si agenti T 2 agenti T 1 : subst. paramagnetice, Gd (dotarem, magnevist, omniscan) agenti T 2 : subst. super-paramagnetice (magnetita) sau feromagn. (de ex. pentru ficat se util. Magnetita se depune pe parenchimul sanatos - negru) APIM11-59
60 Exemplu: meningiom al calotei Fara agent de contrast Cu agent de contrast: Gd Dota APIM11-60
61 Codaj spatial APIM11-61
62 Codajul spatial al imaginii - Gradient de selectie Gss plan - Gradient de codaj de faza G -linii - Gradient de frecventa G - coloane APIM11-62
63 Selectia planului de sectiune APIM11-63
64 Codajul de faza APIM11-64
65 Codajul de faza si de frecventa APIM11-65
66 Codajul spatial al imaginii APIM11-66
67 Secventa IRM APIM11-67
68 Generarea imaginii APIM11-68
69 Impulsul de radiofrecventa Masurarea selectiva a T 2, T 1 si a densitatii de spin a tesuturilor -> obtinerea de imagini RMN cu contrast diferentiat Alegerea formei, duratei, numarului, polaritatii frecventei de repetitie a impulsurilor si a gradientilor de camp magnetic aplicat -> masurarea selectiva Trei tipuri de secvente ale impulsurilor: Spin echo Inversion recovery Gradient recalled echo APIM11-69
70 Structura unui echipament cu RMN APIM11-70
71 Magnetul Inductia magnetica: 0,2-2T Magneti: Permanenti: 0,1-0,3 T Electromagneti: < 0,15 T (bobine racite cu apa) Electromagneti supraconductori: < 7 T APIM11-71
72 Electromagneti supraconductori (1) Fenomenul de supraconductibilitate ( la temp de -273 K) Conductoarele din aliaje de titan si niobiu Temp de 4,7 K in heliu lichid Unifomitatea campului APIM11-72
73 Electromagneti supraconductori (2) Dezavantaje: costuri initiale ridicate costurile materialelor criogenice dificultatea de a intrerupe campul magnetig in urgente APIM11-73
74 Bobine de uniformizare a campului pt omogenizarea campului principal in interiorul tunelului magnetic de gradient realizeaza variatia liniara, controlata a campului de-a lungul celor trei directii; zgomot ritmic in timpul functionarii de radiofrecventa emit impulsuri de radiofrecventa si receptioneaza semnalul de rezonanta magnetica APIM11-74
75 Uniformitatea campului magnetic Unifomitatea campului <-> constanta gradientului; Variatia inductiei magnetice dupa fiecare directie trebuie sa fie strict liniara Reglarea gradientilor = problema principala in dispoz. RMN Forma magnetilor: geometrii inchise si deschise APIM11-75
76 Generarea gradientilor Permit determinarea coordonatelor fiecarui punct din zona examinata sunt produsi de bobine, prin suprapunere de campuri magnetice Valori tipice ale gradientilor utilizati: 1-50 mt/m Timpul de crestere: mt/m/ms Limitarile apar datorita curentilor turbionari APIM11-76
77 Generarea gradientilor (2) APIM11-77
78 Generarea gradientilor (3) APIM11-78
79 Variatia frecventei de precesie APIM11-79
80 Variatia frecventei de precesie (2) APIM11-80
81 Diferenta de frecventa un gradient de 10 mt/m -> determina o variatie de frecventa de 10 mt/m 42,58 MHz/T 1 T/1000 mt = 0,4258 MHz/m sau 425,8 khz/m. ca urmare diferenţa de frecvenţă între două felii adiacente de grosime de 1 mm este de 425,8/1000 khz = 425,8 Hz localizarea unui proton in 3D necesita aplicarea a trei gradienti diferiti pe durata unui impuls de radiofrecventa APIM11-81
82 Sistemul de radiofrecventa bobine de emisie bobine de receptie bobinele trebuie sa rezoneze la frecventa Larmour bobinele sunt acordate inaintea fiecarei achizitii in functie de inductanta pacientului forma bobinelor de receptie apropiata de forma structurii anatomice studiate ecranarea echipamentelor in custi Faraday APIM11-82
83 Controlul calitatii Verificari periodice: inductia campului magnetic, omogenitatea campului magnetic liniaritatea gradientilor acordul sistemului de radiofracventa optimizarea bobinelor de receptie sursele externe de zgomot sursele de alimentare echipamente periferice sisteme de control APIM11-83
84 Aparat RMN produs de General Electric APIM11-84
85 Aparat RMN produs de Philips (1T) APIM11-85
86 Aparat RMN de tip G-Scan, Esaote Biomedica (0,38T) APIM11-86
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
CALCULUL COEFICIENTULUI DE DIFUZIE PRIN METODA GRADIENŢILOR DE CÂMP MAGNETIC
CALCULUL COEFICIENTULUI DE DIFUZIE PRIN METODA RADIENŢILOR DE CÂMP MANETIC M. Todică, V. Simon, I. Burda, S.D. Anghel,. Cerbanic Facultatea de Fizică, Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj Napoca ABSTRACT Metoda
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Rezonanţa Magnetică Nucleară
Rezonanţa Magnetică Nucleară Retrospectiva metodelor UV-VIZ şi IR UV-VIZ oferă informaţii despre tranziţiile între stările electronice ale moleculelor (saltul unui electron de pe un orbital molecular ocupat
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart
Legea lui Biot şi Savart Studiul câmpului magnetic în exteriorul unui conductor liniar foarte lung parcurs de un curent electric. Verificarea legii lui Biot şi Savart Obiectivul experimentului Măsurarea
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit
CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)
Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
9. Interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă cu substanţa. Polarizarea dielectricilor. Copyright Paul GASNER 1
9. Interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă cu substanţa. Polarizarea dielectricilor Copyright Paul GASNER 1 Cuprins Mecanisme de polarizare a dielectricilor Polarizarea electronică şi
NOŢIUNI DE CONVERSIE ELECTROMECANICĂ A ENERGIEI. 1. Proprietăţi ale materialelor magnetice
NOŢIUNI DE CONVERSIE ELECTROMECANICĂ A ENERGIEI O maşină electrică este un convertor electromecanic de energie care transformă energia electrică în energie mecanică când funcţionează în regim de motor
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
STUDIUL EFECTULUI HALL ÎN SEMICONDUCTORI
UIVERSITATEA "POLITEICA" DI BUCURESTI DEPARTAMETUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA ŞI FIZICA CORPULUI SOLID B-03 B STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI Efectul
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Control confort. Variator de tensiune cu impuls Reglarea sarcinilor prin ap sare, W/VA
Control confort Variatoare rotative electronice Variator rotativ / cap scar 40-400 W/VA Variatoare rotative 60-400W/VA MGU3.511.18 MGU3.559.18 Culoare 2 module 1 modul alb MGU3.511.18 MGU3.559.18 fi ldeş
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7
ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic
Circuite elementare de formare a impulsurilor
LABORATOR 1 Electronica digitala Circuite elementare de formare a impulsurilor Se vor studia câteva circuite simple de formare a impulsurilor şi anume circuitul de integrare a impulsurilor, cel de derivare
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
N 1 U 2. Fig. 3.1 Transformatorul
SRSE ŞI CIRCITE DE ALIMETARE 3. TRASFORMATORL 3. Principiul transformatorului Transformatorul este un aparat electrotehnic static, bazat pe fenomenul inducţiei electromagnetice, construit pentru a primi
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Realizat de: Ing. mast. Pintilie Lucian Nicolae Pentru disciplina: Sisteme de calcul în timp real Adresă de
Teorema lui Nyquist Shannon - Demonstrație Evidențierea conceptului de timp de eșantionare sau frecvență de eșantionare (eng. sample time or sample frequency) IPOTEZĂ: DE CE TIMPUL DE EȘANTIONARE (SAU
11. ANALIZA STRUCTURALA ORGANICA PRIN METODE SPECTRALE (I) 1
CURS IV. ANALIZA STRUCTURALA ORGANICA PRIN METODE SPECTRALE (I).. SPECTROSCOPIA DE REZONANTA MAGNETICA NUCLEARA (R.M.N.) 3... Ecranarea nucleara si deplasarea chimica: influenta electronilor σ 6... Deplasarea
BIOELECTROGENEZA DEFINIŢIEIE CAUZE: 1) DIFUZIA IONILOR PRIN MEMBRANĂ 2) FUNCŢIONAREA ELECTROGENICĂ A POMPEI DE Na + /K + 3) PREZENŢA ÎN CITOPLASMĂ A U
PROPRIETĂŢI ELECTRICE ALE MEMBRANEI CELULARE BIOELECTROGENEZA DEFINIŢIEIE CAUZE: 1) DIFUZIA IONILOR PRIN MEMBRANĂ 2) FUNCŢIONAREA ELECTROGENICĂ A POMPEI DE Na + /K + 3) PREZENŢA ÎN CITOPLASMĂ A UNOR MACROIONI
Subiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
M. Stef Probleme 3 11 decembrie Curentul alternativ. Figura pentru problema 1.
Curentul alternativ 1. Voltmetrele din montajul din figura 1 indică tensiunile efective U = 193 V, U 1 = 60 V și U 2 = 180 V, frecvența tensiunii aplicate fiind ν = 50 Hz. Cunoscând că R 1 = 20 Ω, să se
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Curs 9 FENOMENE MAGNETICE
Curs 9 FENOMENE MAGNETICE Existenţa proprietăţilor magnetice a fost descoperită încă din antichitate, numele de magnet provenind de la numele unei regiuni din Asia Mică - Magnesia - unde se găseau roci
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
SEMNALE ÎN CEM. Scopul lucrării Studiul caracteristicilor semnalelor din punctul de vedere al compatibilităţii electromagnetice.
SEMNALE ÎN CEM Scopul lucrării Studiul caracteristicilor semnalelor din punctul de vedere al compatibilităţii electromagnetice. Impulsuri O pondere importantă în CEM o au impulsurile perturbatoare (fig.
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice