CAMPO MAGNETOSTÁTICO

Transcript

1 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 AMPO MAGNETOTÁTO Anque os efectos eléctricos e mgnéticos ern conocidos desde tempos remotos relción entre o mgnetismo e s correntes eléctrics non se sospeitóu hst o descubrimento ccidentl por Oersted (80) d cción dun fío que trnsportb corrente sobre unh gull imnd. As primeirs medids cuntittivs ds fors entre correntes débense Ampère. c F Fig. 7. c F LE DE AMPÈE Ddos dous circuitos cerrdos e de correntes estcionris e respectivmente (fig. ) for F de sobre póde ser clculd pol seguinte epresión: µ ˆ (7.) ds ds 0 F ntercmbindo os ppeles dos circuitos cmbi de signo e for de sobre result F F (principio de cción e rección). Pero (7.) solo é certo ns condiciós especificds. Por eemplo for sobre un conductor recto (fig. ) é sempre norml ó conductor. Unh epresión máis conveniente d for sobre deberí incluir un producto vectoril polo vector unitrio ĉ tnente. En enerl for está dd pol seguinte lei de Ampère ( ds ˆ ) ds (7.) F Evidentemente gor F + F 0. Fig. 7. (7.) é un cso prticulr de (7.). upoñmos os circuitos cerrdos e s correntes estcionris o que signific que e son uniformes ó longo dos circuitos respectivos. hmndo ĉ e ĉ ós vectores unitrios tnentes e : ds ( ds ˆ ) cˆ ( cˆ ˆ ) cˆ ds ds ds ds cˆ cˆ ˆ cˆ cˆ ds ds ˆ ds ds omo integrl de circulción dun grdente sobre unh curv cerrd dá cero qued o resultdo (7.) que querímos demostrr. Eemplo 7.: for entre línes prlels en dous conductores rectos prlelos e infinitos que conducen correntes e respectivmente. lculremos for por unidde de lonitude que se eerce entre eles. ollmos o segmento entre e do primeiro conductor. Temos que ˆ ( ) + ˆ A for sobre vle A pesr desto o momento totl síguese conservndo. O término que flt é o momento do cmpo electromgnético que se estudirá en tems máis vndos.

2 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 µ F { [ ( ) + ]} ˆ ˆ ˆ ˆ d d 3 [( ) + ] 0 ˆ A integrl en resólvese usndo ( ) [ ( ) + ] 3 d d F Fig. 7.3 d [ + ] Aplicndo esto dá 3 lím + µ ˆ 0 F ( π ) lím + e s correntes son do mesmo signo os fíos tráense cunh for por unidde de lonitude inversmente proporcionl á distnci entre eles. (7.3) Definición de mperio A unidde de corrente eléctric no sistem interncionl de uniddes é o mperio (A). egún (7.3) o mperio (A) é corrente que circulndo por dous fíos rectos prlelos seprdos m produce entre eles unh for de trcción por unidde de lonitude de 0 7 N/m. AMPO MAGNÉTO. A lei de Ampère pódese epresr como F ds ˆ ds Definindo o cmpo mgnético d corrente como ˆ (7.4) ds for result epresd como o producto vectoril d corrente polo cmpo F ds (7.5) Pr unh distribución volúmic de corrente J epresión correspondente do cmpo será: ˆ (7.6) J dv que no cso de correntes superficiles e lineles se converte en: ˆ K d ˆ ds (corrente superficil) (7.7) (corrente linel)

3 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 Pr unh crg puntul q movéndose con velocidde u podemos dr unh epresión proimd válid cndo u << c (c é velocidde d lu no espcio libre): µ ˆ 0q u (7.8) ntroducindo o cmpo for sobre unh distribución volúmic de corrente eprésse: F J dv sendo s correspondentes pr correntes superficiles lineles e puntules: F K d (corrente (crg en superficil) movemento) (7.9) (7.0) F ds (corrente linel) F q u Obsérvse que o cmpo mgnético non fi trbllo sobre s crgs. As fors eléctrics e mgnétics son ditivs A for electromgnétic sobre un volumen chámse for de Lorent e vle F ( ρ E + J ) dv (7.) e sobre unh crg puntul: F q (E + u ) (7.) A prtir d for mgnétic sobre unh crg en movemento determínnse s uniddes do cmpo mgnético. Poñendo for como trbllo dividido por lonitude e o trbllo como crg por diferenci de potencil: s Wb [ ] T - m s m m (7.3) O Weber ( Wb s) é unidde de fluo mgnético. O cmpo que produce un fluo de Wb/m é unidde de cmpo mgnético do chmd Tesl (T). Xenerción de cmpos mgnetostáticos upoñmos un sistem de correntes contids nun volumen. En (7.6) desenrolmos o integrndo: Agor como ˆ J J J J + J J J dv n ˆ d 0 porque J 0 (s correntes están contids no volumen) integrl result A epresión ect cndo u c debe ter en cont efectos reltivists. 3

4 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 0 µ J dv (7.4) Pódese conseguir J 0 fcendo circulr unh corrente por unh bobin de fío conductor. Un dispositivo usdo n práctic pr enerr cmpos mgnéticos é o solenoide (fig. 7) que consiste nun conductor bobindo en hélice. r K r Fig. 7.4 y y Eemplo 7.: mpo dun plno con corrente superficil uniforme upoñmos que no plno 0 hi unh corrente superficil K uniforme e diriid n dirección positiv (fig. 4). O problem tén simetrí trslcionl ns direcciós e y logo o cmpo solo póde depender de. lculrémolo pr puntos deste eie. N figur r r ˆ ˆ yˆ y. O cmpo será K y ˆ ˆ y K dy d ( ) 4 K d dy d y 3 ˆ 3 π + + y 3 ( + + y ) ( que o integrndo d compoñente é función impr de y núlse ó integrr). A integrl resólvese com no eemplo 4 do cpítulo quedndo yˆ Pr un plno de orientción rbitrri obteríse K K nˆ (7.5) Eemplo 7.3: efecto Hll obre os portdores de crg dun volumen con densidde de crg ρ i no que eiste unh densidde de corrente estcionri J ctú por unidde de volumen for de Lorent fi ρie + J i ρi E + J i ρi A for mgnétic produce unh redistribución ds crgs que restblece o equilibrio de fors. Por eemplo nun conductor linel isótropo J σ E e corrente debe ser prlel E e esto serí imposible eistindo unh compoñente d for perpendiculr J. A distribución estátic de crg modificd produce un cmpo E electrostático e polo tnto conservtivo. e o volumen é estático for por unidde de volumen debe ser ρ E de onde 3 E E + J i ρ i Pero gor E non é conservtivo. Esto pódese entender notndo que densidde de crg que dentro de compens for J produce un cmpo conservtivo en todo o espcio 3 Os cmpos eléctrico e mgnético dependen do movemento do observdor. Os cmpos que ctún sobre s crgs en movemento con respecto ó volumen que s contén non é o mesmo que ctú sobre o volumen. 4

5 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 pero J solo é non nul en. obre un cmiño cerrdo que trves o volumen teremos unh for electromotri b J J y ε E ds ( J i ) ds φ φ ρ i sendo e os puntos por onde sle e entr respectivmente no volumen. No cso concreto d fig. 5 corrente distribúese uniformemente n sección ( Jb) e ε J i /ρ i. Epresndo densidde de crg en función d crg q i do portdor e do número n i de portdores por unidde de volumen (ρ i n i q i ) ε φ φ n q b i i Fig. 7.5 Observmos que o eperimento permite determinr concentrción de portdores de crg e o signo d crg destes portdores. FONTE DO AMPO MAGNETOTÁTO. TEOEMA DE AMPÈE. D epresión do (7.6) do cmpo mgnético obténse directmente diverenci de. Ó derivr con respecto r integrl en r qued simplemente integrl d derivd do integrndo: ˆ J dv ˆ ˆ J J dv J solo depende de r non de r logo J 0. E o rotcionl dun cmpo con simetrí esféric é cero. Logo 0 (7.6) omo consecuenci o fluo do cmpo mgnético sobre clquer superficie cerrd que drí crg mgnétic ou cntidde de polo mgnético contido dentro des superficie é sempre cero: d 0 É dicir non eisten polos mgnéticos isldos do cmpo mgnético producido por un sistem de correntes. (7.7) Teorem de Ampère No rotcionl de (7.6): ˆ J dv ˆ ˆ J ˆ J + ˆ J ( J ) Os operdores diferenciles ctundo sobre J volven dr cero. O último término clcúlse tendo en cont que ˆ ˆ ( J ) ( J ) dv 5

6 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 e plicndo o teorem integrl ˆ ˆ ˆ J + ( J ) dv ˆ n J d No cso de correntes estcionris J 0. Por outro ldo o volumen de integrción inclúe no seu interior tódls correntes que producen o cmpo logo J 0. Polo tnto integrl deste término é cero. Tmén sbemos que ˆ δ ( ) O resultdo é o teorem de Ampère que se plic solo correntes estcionris: J (7.8) O teorem de Ampère póde ser epresdo en form integrl plicndo o teorem de tokes unh superficie limitd pol curv cerrd : ds µ J d 0 sendo corrente eléctric que trves superficie. (7.9) ONDÓ DE FONTEA DO AMPO MAGNETOTÁTO D diverenci do cmpo (fonte esclr) result continuidde d compoñente norml unh superficie. omo 0 n ( ) 0 (7.0) ˆ A discontinuidde d compoñente tnencil virá dd pol densidde superficil de fonte vectoril (rotcionl). endo K densidde superficil de corrente por ser J ˆ ( ) µ K (7.) n 0 Eemplo 7.4: mpo mgnético dun conductor cilíndrico e un conductor cilíndrico de sección circulr recto uniforme e infinito n dirección lonitudinl (fig. 6). Dcordo cos condiciós de homoeneidde do conductor simetrí cilíndric e condiciós de fronteir densidde de corrente terá dirección e será uniforme dentro do conductor e cero fór del: ˆ J J( ) π 0 ˆ < > Por (7.6) o cmpo é perpendiculr. E por simetrí s compoñentes cilíndrics do cmpo solo póden depender d coordend rdil: ˆ ( ) + φˆ ( ) A compoñente rdil é cero. Demóstrse plicndo o teorem de Guss unh superficie cilíndric de rdio e lonitude concéntric co conductor. Terímos π d dv 0 0 ϕ 6

7 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 J < > Fig. 7.6 (dentro e fór do conductor). Logo o cmpo é cimutl ( ϕ ). A compoñente determínse plicndo o teorem de Ampère unh circunferenci no plno perpendiculr ó fío e co centro coincidindo co eie. omo dirección ĉ d curv é prlel ó cmpo: π ds J ds A integrl de superficie é corrente que trves o círculo limitdo pol curv. onsiderndo s superficies e d figur J d < > o relción nterior sbendo que ϕˆ ( ) e observndo que é continuo en : φˆ π (7.) φˆ π Eemplo 7.5: mpo mgnético dun solenoide idel Un solenoide (fig. 7) é un conductor envolto en form de hélice sobre un cilindro (en principio de sección rbitrri). Aquí considerremos un solenoide idel de sección circulr cos volts (espirs) moi unts e uniformemente espcids de mneir que corrente se póde similr unh corrente superficil cimutl (perpendiculr á dirección ) co compoñente lonitudinl desprecible e infinito. Por todo esto o cmpo tén simetrí cilíndric: ˆ ( ) + φˆ Β ( ) + ˆ ( ) ϕ l n l Fig. 7.7 solenoide. omo ( ) 0 Aplicndo o teorem de Guss com no eemplo nterior obtemos 0. Aplicndo o teorem de Ampère tmén com ntes sbendo que corrente n dirección é desprecible result que ϕ 0. Logo solo hi compoñente e. lculrémolo por medio do teorem de Ampère usndo un cmiño de integrción rectngulr formdo por dous segmentos de lonitude l n dirección unidos por outros dous perpendiculres e eles (fig. 5). Evidentemente ds l[ ( ) ( )] e > non brc ningunh corrente polo tnto ( ) ( ) ou se que é uniforme no eterior. A grndes distncis do solenoide o cmpo debe tender cero. Polo tnto no eterior do solenoide 0. Fgmos gor < e >. Neste cso curv de integrción está trvesd nl veces pol corrente do 7

8 Apuntes de Electromgnetismo. pítulo 7 l ( ) ds nl resultndo n (tmén é uniforme) dentro do solenoide. En form vectoril: ˆ 0 µ n 0 dentro do solenoide fór do solenoide (7.3) Este resultdo tmén é correcto nun solenoide idel de sección rbitrri que cumple s condiciós de simetrí trslcionl s ecuciós d diverenci e do rotcionl do cmpo e s condiciós de fronteir n superficie do solenoide. TENO DE MAXWELL MAGNÉTO Usndo o teorem de Ampère e o desenrolo do grdente ( ) reescribimos for (7.): ( ) F dv dv ( ) dv sendo superficie que limit o volumen. A identidde vectoril [( ) + ] dv ( nˆ ) d ( ) nˆ d sbendo que 0 converte últim integrl de volumen nunh integrl de superficie. hmndo ó tensor identidde definimos o tensor de Mwell mgnético T ( M ) µ 0 e podemos epresr for mgnétic como se ctuse sobre superficie: ( M ) F T ˆ n d nˆ d (7.4) (7.5) Fors sobre superficies Aplicndo (7.3) ás dús crs e dunh superficie obtemos unh for f s por unidde de superficie ( M ) ( M ) fs ( T T )nˆ n ˆ nˆ f egún (7.8) compoñente norml de é continu. Ademáis eisten csos importntes en que é nul. Nestes csos fcendo obtense presión mgnétic ˆn ( M ) T nˆ nˆ µ 0 Fig. 7.8 resultndo for superficil como unh diferenci de presiós. Ó contrrio do que ps co cmpo electrostático for vi diriid n dirección en que o cmpo é menos intenso. É dicir superficie é repelid polo cmpo (levitción mgnétic). 8