Structure d espace vectoriel Correction
|
|
- Κλήμεντος Δελή
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 12 septembre 2017 à 14:49 Structure d espace vectoriel Correctio 1 Combiaiso liéaire EXERCICE 1 a) w = (5, 5, 1) est pas combiaiso liéaire de u = (2, 3, 0) v = (3, 2, 0) car la derière coordoée de u et v est ul ce qui est pas le cas de w. b) Il faut trouver deux réels λ et µ tel que : P = λq+µ Par idetificatio : 16X 3 7X X 4 = 8λX 3 +( 5λ+µ)X 2 + 7µX+ λ 2µ 8λ = 16 5λ+µ = 7 7µ = 21 λ 2µ = 4 P est combiaiso liéaire de Q et R car : c) x R, cos 2 x = 1+cos(2x) 2 f = 1 2 g+ 1 2 h f est doc combiaiso liéaire de g et h. λ = 2 µ = = = 4 P = 2Q+3R d) Supposos que x R, λ, µ R, si(2x) = λ si x+µ cos x (1) Pour x = 0, (1) doe 0 = 0+µ µ = 0 Pour x = π, (1) doe 0 = λ+0 λ = 0 2 or f = 0, doc f est pas combiaiso liéaire de sius et cosius. EXERCICE 2 ( ) a b Soit A = M c d 2 (R), résolvos l équatio A 2 = λi 2 + µa. ( )( ) ( ) ( ) ( a b a b 1 0 a b a = λ + µ 2 ) ( ) + bc ab+bd λ+µa µb c d c d 0 1 c d ac+cd bc+d 2 = µc λ+µd Par idetificatio, o obtiet le système suivat : λ+µa = a 2 + bc µb = ab+bd µ = a+d µa+λ = a 2 + bc µc = ac+cd λ+µd = bc+d 2 µd+λ = bc+d 2 µ = a+d λ = bc ad Aisi A 2 = (bc ad)i 2 +(a+d)i 2 doc A 2 est combiaiso liéaire de I 2 et A. PAUL MILAN 1 CPGE - L1 - ALGÈBRE
2 EXERCICES - CORRECTION 2 Sous-espaces vectoriel EXERCICE 3 Les esembles suivats sot-ils des sous-espaces vectoriels. a) A o sous-espace vectoriel de R 2 car 0 R 2 A b) B sous-espace vectoriel de R 3, e effet : 0 R 3 B, predre x = 0. Stabilité : pour tout u, v B, o a u = (x 1, 2x 1, 3x 1 ) et v = (x 2, 2x 2, 3x 2 ) : λu+µv = λ(x 1, 2x 1, 3x 1 )+µ(x 2, 2x 2, 3x 2 ) = ( (λx 1 + µx 2 ), 2(λx 1 + µx 2 ), 3(λx 1 + µx 2 ) ) B c) C sous-espace vectoriel de R 3, e effet : 0 R 3 C, car y 0R 3 = 0. Stabilité : pour tout u, v C, o a u = (x 1, 0, z 1 ) et v = (x 2, 0, z 2 ) : λu+µv = λ(x 1, 0, z 1 )+µ(x 2, 0, z 2 ) = (λx 1 + µx 2, 0, λz 1 + µz 2 ) C d) D o sous-espace vectoriel de R 2 : pas de stabilité. Par exemple ( 1, 2) D car ( 1) 3 +( 1)+( 2) 2 = 0 mais (1, 2) D car ( 2) 2 = 4 = 0 e) E sous-espace vectoriel de R 3, e effet : 0 R 3 E, car x 0R 3 = y 0 R 3 = 0 et 3y 0 R 3 2z 0 R 3 = 0. Stabilité : pour tout u, v E, o a u = (x 1, y 1, z 1 ) et v = (x 2, y 2, z 2 ) : λu+µv = (λx 1 + µx 2, λy 1 + µy 2, λz 1 + µz 2 ) E car x1 = y 1 et x 2 = y 2 λx 1 + µx 2 = λy 1 + µy 2 3y 1 2z 1 = 0 et 3y 2 2z 2 = 0 3(λy 1 + µy 2 ) 2(λz 1 + µz 2 ) = 0 f) F est u sous-espace vectoriel de C(R, R). 0 C(R,R) F, car 0(0)+0(1) = 0 = 0 (0) et 3y 0R 3 2z 0 R 3 = 0. Stabilité : pour tout f, g E, o pose h = λ f + µg, o a alors : h(0)+h(1) = λ f(0)+µg(0)+λ f(1)+µg(1) = λ( f(0)+ f(1))+µ(g(0)+ g(1)) = λ f (0)+µg (0) = h (0) EXERCICE 4 a) Soit E l esemble des foctios croissates de R das R. E est pas u sous-espace vectoriel de R R. Pas de stabilité. Par exemple : Id R est croissate (Id R E) mais Id R est décroissate, doc Id R E PAUL MILAN 2 CPGE L1 - ALGÈBRE
3 2. SOUS-ESPACES VECTORIEL b) Soit F l esemble des foctios mootoes de R das R. F est pas u sous-espace vectoriel de R R. Pas de stabilité. Par exemple : f = Id R et x g 1 3 x3 sot croissates. Aisi f, g F. x h= f g x 1 3 x3. h est dérivable x R, h (x) = 1 x 2 = (1 x)(1+ x). h (x) chage de sige e ( 1) et 1 doc h est pas mootoe et doc h F. c) Soit G l esemble des foctios de R das R somme d ue foctio croissate et d ue foctio décroissate. G est u sous-espace vectoriel de R R. 0 R R G car 0 R R = Id R +( Id R ) Soiet f 1, f 2 deux foctios croissates et g 1, g 2 deux foctios décroissates. Soiet h 1 = f 1 + g 1 et h 2 = f 2 + g 2 deux foctios de G. Soit h = λh 1 + µh 2 = (λ f 1 + µ f 2 )+(λg 1 + µg 2 ), avec λ, µ R. Quatre cas peuvet se poser : 1) λ 0, µ 0, o a alors : h = (λ f 1 + µ f }} 2 )+(λg 1 + µg 2 ) G }} croissate décroissate 2) λ 0, µ 0, o a alors : h = (λ f 1 + µg }} 2 )+(λg 1 + µ f 2 ) G }} croissate décroissate 3) λ 0, µ 0, o a alors : h = (λg 1 + µ f }} 2 )+(λ f 1 + µg 2 ) G }} croissate décroissate 4) λ 0, µ 0, o a alors : h = (λg 1 + µg }} 2 )+(λ f 1 + µg 2 ) G }} croissate décroissate λ, µ R, h = λh 1 + µh 2 G. d) Soit H l esemble des foctios majorées de R das R. H est pas u sous-espace vectoriel de R R. Pas de stabilité. Par exemple : x f e x est majorée par 0 doc f H. mais x g= f +e x est pas majorée doc g H. e) Soit K l esemble des foctios borées de R das R. K est u sous-espace vectoriel de R R. 0 R R G immédiat. Soit f, g deux foctios borées sur R avec : x R, m 1 f M 1 et m 2 g M 2, m 1, m 2, M 1, M 2 R Soit h = λ f + µg avec λ, µ R. Quatre cas peuvet se poser, d après les règles sur les iégalités, o a : PAUL MILAN 3 CPGE L1 - ALGÈBRE
4 EXERCICES - CORRECTION 1) λ 0, µ 0, o a alors : λm 1 + µm 2 h λm 1 + µm 2 doc h K 2) λ 0, µ 0, o a alors : λm 1 + µm 2 h λm 1 + µm 2 doc h K 3) λ 0, µ 0, o a alors : λm 1 + µm 2 h λm 1 + µm 2 doc h K 4) λ 0, µ 0, o a alors : λm 1 + µm 2 h λm 1 + µm 2 doc h K λ, µ R, h = λh 1 + µh 2 K. EXERCICE 5 a) F G ou G F F G = G ou F G = F F G sous-espace vectoriel Soiet x 1, x 2 F G tels que x 1 F G et x 2 F G F G sous espace vectoriel de E doc Deux cas peuvet se poser : x 1 + x 2 F G. 1) x 1 + x 2 F F stable (x 1 + x 2 ) x 1 = x 2 F Cotradictio. Doc F G = et doc G F 2) x 1 + x 2 G G stable (x 1 + x 2 ) x 2 = x 1 G Cotradictio. Doc F G = et doc F G b) 0 E F i immédiat. Soit x, y F i avec x F i et y F j. i I i I Comme (F i ) i I est ue suite filtrate de E, il existe k I tel que x, y F k. Comme F k est u sous-espace vectoriel de E, λx+µy F k, λ, µ R. Doc λx+µy i I F i. EXERCICE 6 Les opératios possibles sot la permutatio, la dilatatio et la trasvectio. Trasformos le Vect afi d obteir la base caoique de R 2 [X]. O appelle respectivemet P, Q et R les trois vecteurs du Vect. Au départ, o a aisi P = (X+ 1) 2, Q = X 2 1, et R = (X 1) 2 (X+ 1) 2 (X+ 1) 2 (X+ 1) 2 X 2 1 2X+ 2 Q P Q X Q 4 1 R (X 1) 2 4X R P R 1 R 2 1 Q 1 4 R X 1 X 2 P P 2Q R EXERCICE 7 Soit w = (1, 1, 2). w Vect(u, v) λ, µ R, w = λu+µv λ = 1 λ = 1 w = λu+µv λ+µ = 1 µ = 2 λ+aµ = 2 aµ = 1 L 2 L 1 +L 2 L 3 L 3 L 1 λ = 1 µ = 2 a = 1 2 Coclusio : w Vect(u, v) a = 1 2 PAUL MILAN 4 CPGE L1 - ALGÈBRE
5 3. FAMILLES LIBRES ET BASES 3 Familles libres et bases EXERCICE 8 Détermios α, β, γ, δ R tels que α f + βg+γh+δk = 0. O a alors : x R, α si x+β cos x+γx si x+δx cos x = 0 Par évaluatio e 0, π, π 2 et π o obtiet : 2 e 0 : β = 0 β = 0 e π e π : β πδ = 0, 2 : α+ π 2 γ = 0 δ = 0 π e 2 : α+ π 2 γ = 0 Coclusio : α f + βg+γh+δk = 0 α = β = γ = δ = 0. f, g, h, k sot liéairemet idépedats. γ = 0 α = 0 EXERCICE 9 La famille ( f, g, h) forme ue famille libre de R R si, et seulemet si, f, g, h sot liéairemet idépedats. Détermios α, β, γ R tels que α f + βg+γh = 0. O a alors : x R, αe x + βe 2x + γe x2 = 0 Par évaluatio e 0, 1, 1 o obtiet : e 0 : α+ β+γ = 0 e 1 : α e+ β e 2 + γ e = 0 e 1 : α e 1+ β e 2 + γ e = 0 α+ β+γ = 0 β(e 1) = 0 L 2 L 2 L 1 β(1 e)+γ(e 3 e) = 0 L 3 L 3 L 1 Coclusio : α f + βg+γh = 0 α = β = γ = 0. ( f, g, h) forme ue famille libre. α+ β+γ = 0 α+ β e+γ = 0 α e+ β+γ e 3 = 0 β = 0 γ = 0 α = 0 Autre méthode : Étude asymptotique e +, e posat h = α f + βg+γh O motre que puis que efi que EXERCICE 10 h(x) lim x + e x2 = γ comme h = 0 γ = 0 doc h = α f + βg. h(x) lim x + e 2x = β comme h = 0 β = 0 doc h = α f. lim x + h(x) e x = α comme h = 0 α = 0. O pose u = (1) N, v = ( 2 ) N et w = (2 ) N. Détermios α, β, γ R tels que αu+ βv+γw = 0 R N. O a alors : N, α+ β 2 + γ2 = 0 PAUL MILAN 5 CPGE L1 - ALGÈBRE
6 EXERCICES - CORRECTION Par évaluatio e 0, 1, 1 o obtiet : e 0 : e 1 : e 1 : α+γ = 0 α+ β+2γ = 0 α+ β+ 1 2 γ = 0 α+γ = 0 β+γ = 0 β 1 2 γ = 0 L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 L 1 γ = 0 β = 0 α = 0 Coclusio : αu+ βv+γw = 0 α = β = γ = 0. (u, v, w) forme ue famille libre de R N. Par u étude asymptotique : o pose ( ) t 1 ( ) 2 = α + β y = α 2 }} 0 Comme t 2 = α Comme lim ) + ( 1 2 lim + EXERCICE 11 O pose u k = ( k ) N. t = αu+ βv+γw. + β l 2 2 ( l 2)2 e l 2 }} 0 t = 0 γ = 0 doc t = αu+ βv. 2 + β + β. +γ + t = 0 β = 0 et comme t = 0 o a α = 0. 2 Soit v = λ i u ki où (λ i ) est ue famille presque ulle de R. i N La famille (k i ) est ordoée das le ses décroissat et o a v = 0 R N γ v = 0 R N N, + λ i k i = 0 Motros par récurrece que : i N, λ i = 0 Iitialisatio : Pour i = 1 : = 0, v k 1 Comme N, v = 0, o a = 1 + k 1 λ i k + ( i 1 = λ 1 + λ i k=2 >0 }} ) k 1 k i + λ 1 λ 1 = 0. La propositio est iitialisée. Hérédité : i N. Supposos que j [[1, i]], λ j = 0 D après HR o a : v = = 0, v k i+1 = 1 k i+1 + λ j k j. j=i+1 Comme N, v = 0, o a + λ j k j = λ i+1 + j=i+1 + ( 1 λ j k=i+2 >0 }} ) k i+1 k j λ i+1 + λ i+1 = 0. La propositio est héréditaire. O a motré que i N, λ i = 0, les famille (u k ) k N est libre. PAUL MILAN 6 CPGE L1 - ALGÈBRE
7 3. FAMILLES LIBRES ET BASES EXERCICE 12 Soit (λ k ) k I ue famille presque ulle de R. ( ) + k 1 Soit λ k (X i) k=1 + Q = λ k P k = λ k P k = λ 0 P 0 + k I k=0 i=0 et o a Q = 0 R[X] Motros par récurrece que : N, λ = 0 Iitialisatio : = 0. ( ) + k 1 Q(0) = 0 λ 0 P 0 (0)+ λ k (0 i) = 0 λ 0 = 0 k=1 La propositio est iitialisée. i=0 } } =0 avec i=0 Hérédité : Soit N, supposos que k [[0, ]], λ k = 0 Q = + k=+1 Q(+1) = 0 ( ) k 1 λ k (X i) = i=0 i=0 i=0 (+1 i) } } =0 λ +1 = 0 La propositio est héréditaire. EXERCICE 13 (X i) [ λ +1 + [ λ k=+2 + k=+2 λ k ( k 1 i=+1 ( )] k 1 λ k (X i) i=+1 )] (+1 i) } } =0 avec i=+1 a) Supposos (u 1, u 2,... u ) libre motros que (v 1, v 2,... v ) libre. λ k v k = k=1 λ k v k = 0 E k=1 ( ) k λ k u i = k=1 ) u i( λ k k=i ) (u i ) libre u i( λ k = 0 E i [[1, ]], k=i O pred das (1) : i = o obtiet λ = 0. = 0 λ k = 0 (1) k=i O pred das (1) : i = 1 o obtiet λ 1 + λ = 0 λ 1 = 0. De proche e proche e preat les valeurs décroissates de i, o déduit : La famille (v 1, v 2,..., v ) est libre. Supposos λ k u k = λ 1 v 1 + k=1 = k [[1, ]], λ k = 0 (v 1, v 2,... v ) libre motros que (u 1, u 2,... u ) libre. λ k (v k v k 1 ) = λ 1 v 1 λ 2 v 1 + k=2 1 v k (λ k λ k+1 )+λ v k=1 1 v k (λ k + λ k+1 )+λ v k=2 PAUL MILAN 7 CPGE L1 - ALGÈBRE
8 EXERCICES - CORRECTION λ k u k = 0 E k=1 1 (v i ) libre v k (λ k λ k+1 )+λ v = 0 E k=1 λ = 0 et k [[1, 1]], λ k λ k+1 = 0 k [[1, ]], λ k = 0 La famille (u 1, u 2,..., u ) est libre. b) (u 1, u 2,... u ) egedre E doc : x E, λ 1,... λ R, x = doc (v 1, v 2,... v ) egedre E. a) λ k u k = k=1 1 k=1 v k (λ k λ } k+1 )+ λ }}} =λ λ k Réciproquemet, (v 1, v 2,... v ) egedre E doc : a) ) x E, λ 1,... λ R, x = λ k v k = u i( λ k = λ i u i k=1 k=i }} λ i doc (u 1, u 2,... u ) egedre E. v = λ k v k k=1 EXERCICE 14 La foctio x f λ x λ est dérivable sur R\λ} et o dérivable e λ. Supposos que : a i f λi = 0 i N où (a i ) est ue famille presque ulle i.e. termes sot o uls. Motros par l absurde que pour tout i [[1, ]], a i = 0. Supposos alors qu il existe k [[1, ]] tel que a k = 0 a i f λi = 0 a k f λk + Cotradictio ( ) La famille x f λ x λ EXERCICE 15 Soit (H) : i [[1, ]], 1 j j =i λ R 1 i i =k a i f λi a k f λk }} o dérivable e λ k est doc libre. a ij < a ii Soit p le rag tel que x p = max x 1,..., x } 1 j j =p = 1 i i =k a i f λi }} dérivable e λ k ( ) O a x j C j = 0 doc à la p-ième lige x j a pj = xj a pj + xp a pp = 0 j=1 j=1 1 j j =p ( ) ( ) doc x p a pp = xj a pj x p a pp = xj a pj 1 j j =p PAUL MILAN 8 CPGE L1 - ALGÈBRE
9 3. FAMILLES LIBRES ET BASES Motros par l absurde que x p = 0. Supposos que x p = 0 alors : x p max (H) x j a pj a pj x p a pp 1 j j =p x p 1 j j =p < x p a pp cotradictio O e déduit que x p = 0 = x p et par suite i [[1, ]], x i = 0 = x i. Les coloes (C j ) j [[1,]] sot liéairemet idépedates doc A est iversible. EXERCICE 16 Soit g = a i f λi où (a i ) est ue famille presque ulle de R. i N La famille (λ i ) est ordoée das le ses décroissat et o a g = 0 C(R,R) g = 0 C(R,R) x R, + a i e λ ix = 0 Motros par récurrece que : N, a i = 0 Iitialisatio : Pour = 1 : x = 0, g(x) e λ 1x = 1 + e λ 1x a i e λix + = a 1 + i=2 Comme x N, g(x) = 0, o a <0 }} a i e(λ i λ 1 ) + a 1 a 1 = 0. La propositio est iitialisée. Hérédité : N. Supposos que i [[1, ]], a i = 0 D après HR o a : g(x) = x = 0, g(x) e λ +1 = 1 e λ +1 + a i e λ i. i=+1 Comme x N, g(x) = 0, o a + a i e λ i = a +1 + i=+1 + i=+2 <0 }} a i e ( λ i λ +1 ) + a +1 a +1 = 0. La propositio est héréditaire. O a motré que N, a = 0, la famille ( f λ ) λ R est libre. EXERCICE 17 Motros par récurrece sur N que la sous-famille ( f λ1,..., f λ ) est libre. Iitialisatio : = 1, f λ1 état pas la foctio ulle, la famille( f λ1 ) est libre. La propositio est iitialisée Hérédité : Soit N, tel que ( f λ1,..., f λ ) est libre. Motros que ( f λ1,..., f λ+1 ) est libre. Soit (a 1,..., a +1 R +1 tel que : +1 a i f λi = 0 C(R,R) x R, a i si(λ i x)+a +1 si(λ +1 x) = 0 (1) Dérivos deux fois l égalité (1) pour pouvoir élimier a +1 : x R, a i λ 2 i si(λ ix) a +1 λ 2 +1 si(λ +1 x) = 0 (1 ) PAUL MILAN 9 CPGE L1 - ALGÈBRE
10 EXERCICES - CORRECTION (1) λ (1 ) doe l égalité : x R, a i (λ 2 +1 λ2 i ) si(λ ix) = 0 (2) de HR, la famille ( f λ1,..., f λ ) est libre doc de (2) : i [[1, ]], a i (λ 2 +1 λ2 i ) = 0 (3) Comme i [[1, ]], λ i > 0 (λ 2 +1 λ2 i ) = 0 de (3), o e déduit alors : i [[1, ]], a i = 0 (1) a +1 = 0. La propositio est héréditaire. Coclusio : Par récurrece sur N, o a motré que toute sous famille ( f λ1,..., f λ ) de ( f λ ) λ R + est libre doc ( f λ ) λ R + est libre. EXERCICE 18 a) a i l p i = 0 avec i [[1, ]], a i Q. E multipliat par le déomiateur commu de a 1,..., a, o a : k i l p i = 0 a i l p i = 0 k i l p i = 0 ( l p k i i = 0 l p k i i Décomposos : pour tout i [[1, ]], Aisi pour tout i [[1, ]], ( p k i i ) p k ki i i = ) avec k i Z = 0 p k i i = 1 p k j j = 1 p k i i = j =i ( j =i p k j j ) ki p k2 i i }} N = p k j j j =i p k ik j j j =i La décompositio e facteurs premiers d u aturel o ul est uique : i [[1, ]], k 2 i = 0 k i = 0 a i = 0 La famille (l p) p P est libre. b) Par l absurde. Supposos qu il existe p, p 2 P tels que l p 1, l p 2 Q ( O a l p 1 + l p ) 1 l p 2 = 0. l p } 2 } Q La famille (l p 1, l p 2 ) est pas libre. Cotradictio. Coclusio : il existe au plus u ombre premier p tel que l p soit ratioel. PAUL MILAN 10 CPGE L1 - ALGÈBRE
11 4. BASES ET DIMENSION 4 Bases et dimesio EXERCICE 19 a) Toute famille libre de 3 vecteurs de R 3 forme ue base. Motros que (( 1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1)) est libre. a( 1, 1, 1)+b(1, 1, 1)+c(1, 1, 1) = (0, 0, 0) a+b+c = 0 a+b+c = 0 a b+c = 0 a+b c = 0 2c = 0 L 2 L 2 +L 1 2b = 0 L 3 L 3 +L 1 a = 0 b = 0 c = 0 La famille (( 1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (1, 1, 1)) forme ue base B de R 3. a( 1, 1, 1)+b(1, 1, 1)+c(1, 1, 1) = (8, 4, 2) a+b+c = 0 a+b+c = 8 a b+c = 8 a+b c = 4 2c = 12 L 2 L 2 +L 1 2b = 10 L 3 L 3 +L 1 a = 3 b = 5 c = 6 (8, 4, 2) = (3, 5, 6) B b) Toute famille libre de 3 vecteurs de R 2 [X] forme ue base. Motros que ( (X 1) 2, X 2, (X+ 1) 2) est ue famille libre de R 2 [X]. a(x 1) 2 + bx 2 + c(x+ 1) 2 = 0 R2 [X] X 2 (a+b+c)+x( 2a+2c)+a+ c = 0 R2 [X] idet. a+b+c = 0 2a+2c = 0 a+c = 0 a+b+c = 0 4c = 0 L 2 L 2 +2L 3 4a = 0 L 3 L 2 2L 3 a = 0 b = 0 c = 0 La famille ( (X 1) 2, X 2, (X+ 1) 2) forme ue base B de R 2 [X]. a(x 1) 2 + bx 2 + c(x+ 1) 2 = X 2 + X+ 1 a+b+c = 1 2a+2c = 1 a+c = 1 idet. a+b+c = 1 4c = 3 L 2 L 2 +2L 3 4a = 1 L 3 L 2 2L 3 Les coordoées de X 2 + X+ 1 das B sot : ( ) 1 4, 0, 3 4 c) Toute famille libre de 4 vecteurs de R 3 [X] forme ue base. Motros que (P, Q, R, S) est ue famille libre de R 3 [X]. a = 1 4 b = 0 c = 3 4 PAUL MILAN 11 CPGE L1 - ALGÈBRE
12 EXERCICES - CORRECTION ap+bq+cr+ds = 0 R3 [X] a+b+c+d = 0 2b 2c d = 0 b+2c+3d = 0 2b+c+2d = 0 a+b+c+d = 0 2b 2c d = 0 2c+5d = 0 idet. L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 +L 1 L 4 L 4 +L 1 7d = 0 L 4 2L 4 +L 3 a+b+c+ d = 0 a b c = 0 a + c+2d = 0 a+b + d = 0 a+b+c+d = 0 2b 2c d = 0 2c+5d = 0 c+d = 0 d = 0 c = 0 b = 0 a = 0 L 3 2L 3 +L 2 L 4 L 4 +L 2 La famille (P, Q, R, S) forme ue base B de R 3 [X] a+b+c+ d = 0 ap+bq+cr+ds = X 2 idet. a b c = 1 a + c+2d = 0 a+b + d = 0 a+b+c+d = 0 a+b+c+d = 0 2b 2c d = 1 L 2 L 2 L 1 2b 2c d = 1 b+2c+3d = 0 L 3 L 3 +L 1 2c+5d = 1 2b+c+2d = 0 L 4 L 4 +L 1 c+d = 1 d = 3 7 a+b+c+d = 0 2b 2c d = 1 c = 4 7 2c+5d = 1 b = 1 7d = 3 L 4 2L 4 +L 3 7 a = 2 7 ( ) 2 Les coordoées de X 2 das B sot : 7, 1 7, 4 7, 3 7 L 3 2L 3 +L 2 L 4 L 4 +L 2 EXERCICE 20 a) A est u pla das R 3. O a doc 2 degrés de liberté, e isolat z : z = x 2y. Il existe de ombreuses bases possibles. Par exemple e preat successivemet (x= 1, y=0) et obtiet la base suivate : B = ((1, 0, 1), (0, 1, 2)) (x= 0, y=1), o PAUL MILAN 12 CPGE L1 - ALGÈBRE
13 ( ) a b b) O pose M =. c d 4. BASES ET DIMENSION Il faut trouver des relatios qui uisset a, b, c et d. AM = 0 M2 (R) ( )( ) 1 2 a b = c d M2 (R) ( ) a+2c b+2d = 2a+4c 2b+4d ( ) O obtiet le système suivat : a+2c = 0 b+2d = 0 a = 2c b = 2d. O a deux degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (c=1, d=0) et (c=0, d=1) : (( ) ( )) B =, c) O pose P = ax 3 + bx 2 + cx+d. Il faut trouver des relatios qui uisset a, b, c et d : P(X 2 ) = (X 3 + 1)P ax 3 + bx 4 + cx 2 + d = ax 6 + bx 5 + cx 4 +(d+a)x 3 + bx 2 + cx+d b = 0 b = c = 0 O obtiet le système suivat : c = 0. d = a d+a = 0 O a u degré de liberté (droite vectorielle), ue base possible avec a = 1 ( ) B = X 3 1 d) x+y = 0 2x z+t = 0 y = x t = 2x+z O a deux degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (x=1, z=0) et (x=0, z=1) : B = ((1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 1)) e) O pose P = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx+e. P(1) = P(0) P(2) = P(0) a+b+c+d+e = e 16a+8b+4c+2d+e = e a+b+c+d = 0 8a+4b+2c+d = 0 a+b+c+d = 0 7a+3b+c = 0 L 2 L 2 L 1 c = 7a 3b d = a b c O a trois degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (a=1, b=0, e=0), (a=0, b=1, e=0) et (a=0, b=0, e=1) : ( ) B = X 4 7X 2 + 6X, X 3 3X 2 + 2X, 1 PAUL MILAN 13 CPGE L1 - ALGÈBRE
14 EXERCICES - CORRECTION EXERCICE 21 C sous-espace vectoriel de M 2 (R) : 0 M2 (R) C car 0 M2 (R) commute avec toute matrice. Soit M 1, M 2 C et λ, µ R : A(λM 1 + µm 2 ) = λam 1 + µam 2 C = λm1 A+µM 2 A = (λm 1 + µm 2 )A Doc λm 1 + µm 2 C ( ) a b Soit M = C c d ( )( ) ( )( ) 3 1 a b a b 3 1 AM = MA = 7 1 c d c d 7 1 ( ) ( ) 3a c 3b d 3a+7b a+b = 7a+c 7b+d 3c+7d c+d 3a c = 3a+7b 3b d = a+b 7b+c = 0 O obtiet le système suivat : a+2b d = 0 7a+c = 3c+7d 7a 2c 7d = 0 7b+d = c+d a+2b d = 0 7a 2c 7d = 0 7b+c = 0 L 1 L 2 L 2 L 3 L 3 L 1 a+2b d = 0 14b 2c = 0 7b+c = 0 L 2 L 2 7L 1 c = 7b d = a+2b O a deux degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (a=1, b=0) et (a=0, b=1) : B = (( ) , ( 0 )) EXERCICE 22 E sous-espace vectoriel de M (K). 0 M (R) E car tr(0 M (R)) = 0 Soit A, B E et λ, µ K : tr(λa+µb) liéarité = λtr(a)+µtr(b) E = 0 λa+µb E Soit A = (a ij ) E a ii = 0. E est u hyperpla de M (K) doc dim E = 2 1 EXERCICE 23 O rappelle la formule (1) : E sous-espace vectoriel de C(R, R). 0 C(R,R E, e preat A = 0. a cos x+b si x = a 2 + b 2 si(x+ ϕ). PAUL MILAN 14 CPGE L1 - ALGÈBRE
15 4. BASES ET DIMENSION Soit f 1, f 2 E et λ, µ R : pour tout x R (λ f 1 + µ f 2 )(x) = λa 1 si(x+ ϕ 1 )+µa 2 si(x+ ϕ 2 ) = λa 1 (si x cos ϕ 1 + cos x si ϕ 1 )+µa 2 (si x cos ϕ 2 + cos x si ϕ 2 ) = (λa 1 si ϕ 1 + µa 2 si ϕ }} 2 ) cos x+(λa 1 cos ϕ 1 + µa 2 cos ϕ 2 ) si x }} a b (1) = a 2 + b 2 si(x+ ϕ) Doc λ f 1 + µ f 2 E Motros que (si, cos) est ue base de E. x R, A si(x+ ϕ) = (A cos ϕ) si x+(a si ϕ) cos x Doc (si, cos) egedre E. Supposos que x R, a cos x+b si x = 0. E évaluat cette quatité pour x=0 et x= π 2 Doc la famille (si, cos) est libre. Comme (si, cos) est u base de E, dim E = 2 EXERCICE 24 a) dim M M (K) = 2. Doc toute famille de ( 2 + 1) vecteurs de M (K) est liée. Aisi la famille o trouve a = b = 0. (I, M, M 2,..., M 2 ) qui possède ( 2 + 1) vecteurs est liée. b) Comme la famille (I, M, M 2,..., M 2 ) est liée, il existe λ 1,..., λ 2 +1 K, 2 o tous uls, tels que λ i M i = 0. i=0 2 Le polyôme P = λ i X i est u polyôme aulateur de M. i=0 EXERCICE 25 O a vu à l exercice 23 que le sous-espace vectoriel E de C(R, R) egedré par les foctios x A si(x+ ϕ) est u espace vectoriel de dimesio 2. Les foctios f, g, h E, doc les foctios f, g, h sot liéairemet dépedates EXERCICE 26 a) Posos : P = X 3 + X+ 1, Q = X 3 2X+ 2, R = X 2 + 3X a+b = 0 idet. c = 0 c = 0 ap+bq+cr = 0 R4 [X] b = 0 L 2 L 4 L 1. a 2b+3c = 0 a = 0 a+2b = 0 La famille (P, Q, R) est libre das R 4 [X]. Comme R 4 [X] est u espace de dimesio 5, il faut rajouter deux vecteurs à cette famille libre. PAUL MILAN 15 CPGE L1 - ALGÈBRE
16 EXERCICES - CORRECTION Il est évidet que (X 4, P, Q, R) est libre. Motros que (P, Q, R, 1) est libre a+b = 0 idet. c = 0 ap+bq+cr+d = 0 R4 [X] a 2b+3c = 0 a+2b+d = 0 (X 4, P, Q, R, 1) est ue base de R 4 [X] c = 0 b = 0 L 2 L 3 L 1. a = 0 d = 0 b) Les coordoées état pas proportioelles, ((8, 4, 1, 2), (1, 3, 0, 5)) est libre. Les deux premières coordoées de (8,4,1,2) et (1,3,0,5) état pas proportioelles, o peut rajouter les vecteurs (0, 0, 1, 0) et (0,0,0,1) pour e faire ue base de R 4. c) Les coordoées de b 1 = (1, 2, 1) et b 2 = (0, 1, 1) das la base (e 1, e 2, e 3 ) e sot pas proportioelles, la famille (b 1, b 2 ) est libre das E. Les deux premières coordoées de b 1 et b 2 état pas proportioelles, o peut rajouter le vecteur b 3 = e 3 pour e faire ue base de E. EXERCICE 27 Si la famille de vecteurs est libre alors la dimesio est 4. a(1, 2, 1, 0)+b(4, 2, 1, 1)+c(7, 2, 4, 2)+d(11, 4, 1, 3) = (0, 0, 0, 0) idet. a+4b+7c+11d = 0 2a 2b+2c+4d = 0 a+b+4c+d = 0 b+2c+3d = 0 a b+c+2d = 0 b+2c+3d = 0 5b+6c+9d = 0 O trouve alors 2b+3c d = 0 L 2 L 4 a b+c+2d = 0 a+4b+7c+11d = 0 L 3 L 2 L 1 L 4 L 3 L 1 La dimesio du Vect est doc 4. EXERCICE 28 a+b+4c+d = 0 b+2c+3d = 0 a b+c+2d = 0 b+2c+3d = 0 4c 6d = 0 c 7d = 0 d = c = b = a = 0 la famille est libre. 1) La famille est ue base si la famille est libre. u v w L L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 5L 2 L 4 L 4 2L 2 }}}}}} a(2, 0, α)+b(2, α, 2)+c(α, 0, 2) = (0, 0, 0) idet. 2a+2b+αc = 0 b = 0 b = 0 α =0 αb = 0 2a+αc = 0 2a+αc = 0 αa+2b+2c = 0 αa+2c = 0 (α 2 4)c = 0 L 3 αl 2 2L 3 PAUL MILAN 16 CPGE L1 - ALGÈBRE
17 4. BASES ET DIMENSION α =±2 c = 0 b = 0 a = 0 La famille est ue base si, et seulemet si α R \ 2, 2} E effet si α = 0, v = w, si α = 2, u = w et si α = 2, u = w 2) La famille est ue base si la famille est libre. a(1, 0, 2, 1)+b(0, 1, 1, 2)+c(2, 0, 1, 1)+d(2, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) idet. a+2c+2d = 0 b+d = 0 2a+b+c = 0 a+2b+c+d = 0 a+2c+2d = 0 b+d = 0 3c 5d = 0 c 3d = 0 L 3 L 3 L 2 a+2c+2d = 0 b+d = 0 b 3c 4d = 0 2b c d = 0 d = 0 c = 0 b = 0 a = 0 L 4 L 4 2L 2 L 3 L 3 2L 1 L 4 L 4 L 1 La famille est ue base EXERCICE 29 i [[0, ]], P i = a ij X j avec a ii = 0 et j > i, a ij = 0. j=0 Motros que pour tout N, la famille (P i ) i [[0,]] est libre. i=0 }} a λ i P i = 0 K[X] ( ) a 10 a λ 0... λ = ( ) a 0 a 2... a Comme A est triagulaire de coefficiets diagoaux ( o uls, ) A est ( iversible ) et doc le système admet ue uique solutio : λ0... λ = Motros que pour tout N, la famille (P i ) i [[0,]] est géératrice. Pour tout polyôme Q de degré, Q = b i X i i=0 λ i P i = Q ( ) ( ) λ 0... λ A = b0... b i=0 ( ) ( ) λ 0... λ = b0... b A 1 La famille (P i ) i N est libre et géératrice doc elle forme ue base de K[X]. EXERCICE 30 Ō pose i [[1, 2]], v i = u i + u i+1 et v 2+1 = u u 1. A Motros que la famille (v i ) i [[1,2+1]] est libre. PAUL MILAN 17 CPGE L1 - ALGÈBRE
18 EXERCICES - CORRECTION 2+1 }} λ i v i = 0 E ( ) λ 1... λ = ( ) La matrice A est presque triagulaire. Faisos l opératio suivate sur la derière lige : L 2+1 L 1 + L 2 + L 2 L 2+1 A La derière lige deviet alors : ( ). La matrice deviet alors triagulaire dot les coefficiets diagoaux sot o uls, elle est doc iversible. La seule solutio du système est alors ( λ 1... λ 2+1 ) = ( ). 5 Somme de deux espaces vectoriels EXERCICE 31 Si F et G sot deux sous-espace vectoriels de E alors F + G est aussi u sousespace vectoriel de E. D après l exercice 5 si F G sous-espace vectoriel alors F G ou G F. Réciproquemet : si F G ou G F alors F G = G = F+G ou F G = F = F+G. EXERCICE 32 Soit dim E =, dim F = p, dim G = q avec p+q > Soit (u 1,..., u p ) ue base de F et (u p,..., u p+q ) ue base de G. Comme p+q > la famille (u 1,..., u p+q ) est liée. i [[1, p+q]], u i = 1 j p+q j =i Si u i F, comme (u 1,..., u p ) est ue base F, le vecteur u i e peut s exprimer qu avec (u p,..., u p+q ) doc u i G Même raisoemet avec u i G. Coclusio EXERCICE 33 u i F G Comme les coordoées de a et b e sot pas proportioelles la famille (a, b) est libre doc dim F = 2. λ j u j PAUL MILAN 18 CPGE L1 - ALGÈBRE
19 5. SOMME DE DEUX ESPACES VECTORIELS Motros que la famille (u, v, w) est libre. α+γ = 0 αu+ βv+γw = (0, 0, 0, 0) idet. β+γ = 0 α β+γ = 0 γ = 0 Doc dim G = 3. dim F+G dim R 4 dim F+G 4. Motros que la famille (a, b, u, v) est libre. β+γ = 0 αa+ βb+γu+δv = (0, 0, 0, 0) idet. β+δ = 0 α+γ δ = 0 β = 0 La famille (a, b, u, v) est libre et doc dim F+G = 4. γ = 0 β = 0 α = 0 β = 0 γ = 0 δ = 0 α = 0 La famille (a, b, u, v, w) est alors liée et doc o peut exprimer w e foctio de a, b, u et w. Mais la famille(u, v, w) est libre doc o peut exprimer w e foctio de a et b. F G = Vect(w) doc dim F G = 1 EXERCICE 34 Détermios ue base de F : x+y+z = 0 y z+t = 0 z = x y t = y+z = x 2y O a deux degrés de liberté, ue base B possible e preat successivemet (x=1, y=0) et (x=0, y=1) est B = ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2)) = (a, b) Soit G = Vect((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)) = Vect(u, v). Les coordoées de u et v e sot pas proportioelles, (u, v) est ue base de G. Ue famille libre de 4 vecteurs est ue base de R 4 doc si l o motre que la famille (a, b, u, v) est libre, cette famille sera ue base de R 4 et doc F et G serot supplémetaires. α+γ = 0 α+γ = 0 αa+ βb+γu+δv = 0 R 4 α+γ = 0 β+δ = 0 γ+2δ = 0 2γ+2δ = 0 idet. L 3 L 3 +L 2 L 4 L 4 +2L 2 β+δ = 0 α β+δ = 0 α 2β+γ = 0 α+γ = 0 β+δ = 0 γ+2δ = 0 γ = 0 L 4 L 4 L 3 β+δ = 0 β+γ+δ = 0 2β+2γ = 0 γ = 0 δ = 0 α = 0 β = 0 L 3 L 3 +L 1 L 4 L 4 +L 1 EXERCICE 35 O pose u = λ, λ, 1), v = (1, λ, 1) et w = (2, 1, 1). PAUL MILAN 19 CPGE L1 - ALGÈBRE
20 EXERCICES - CORRECTION Soit F = Vect(u) et G = Vect(v, w). F et G sot supplémetaires das R 3 si, et seulemet si, (u, v, w) est libre. au+bv+cw = 0 R 3 idet. a+b+c = 0 (1 λ)b+c = 0 (1 λ)c = 0 λa+b+2c = 0 λa+λb+c = 0 a+b+c = 0 L 2 L 2 λl 1 L 3 L 3 λl 1 λ =1 c = 0 b = 0 a = 0 Si λ = 1, u = v la famille (u, v, w) est pas libre. F et G sot supplémetaires si, et seulemet si, o a λ = 1 EXERCICE 36 Motros que F G = 0 C([0,1],R) }. Soit g G et a R, o a t [0, 1], g(t) = a. 1 g(t) dt = [ at ] 1 = a doc g F a = Motros que F+G = C ([0, 1], R) a+b+c = 0 λa+b+2c = 0 λa+λb+c = 0 Soit h C ([0, 1], R), h est cotiue, elle admet ue primitive H sur [0,1]. L 1 L 3 L 2 L 1 L 3 L 2 f g O pose alors t h(t) H(1)+ H(0) et t H(1) H(0). 1 [ ] 1 f(t) dt = H(x) H(1)t+ H(0)t = H(1) H(1)+ H(0) H(1) = 0. 0 doc f F. De plus, o a h = f + g et g costate doc g G. Coclusio : EXERCICE 37 F+G = C ([0, 1], R). Détermios ue base de E. O pose P = ax 3 + bx 2 + cx+ d, a, b, c, d R. 0 P(X 2 ) = X 2 P(X) ax 6 + bx 4 + cx 2 + d = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 Doc E = Vect(X 2 ) idet. a = c = d = 0 P = bx 2 Détermios ue base de F. O pose P = ax 3 + bx 2 + cx+ d, a, b, c, d R. P(2) = P(1) 8a+4b+2c+d = a+b+c+d 7a+3b+c = 0 c = 7a 3b O a trois degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (a=1, b=0, d=0), (a=0, b=1, d=0), et (a=0, b=0, d=1) : F = Vect(X 3 7X, X 2 3X, 1). PAUL MILAN 20 CPGE L1 - ALGÈBRE
21 5. SOMME DE DEUX ESPACES VECTORIELS Comme dim R 3 [X] = 4, E et F supplémetaires (X 2, X 3 7X, X 2 3X, 1) libre ax 2 + b(x 3 7X)+c(X 2 3X)+d = 0 idet. b = 0 a+c = 0 7a 3c = 0 d = 0 b = 0 d = 0 c = 0 a = 0 La famille (X 2, X 3 7X, X 2 3X, 1) est libre, E et F sot supplémetaires. EXERCICE 38 Il est immédiat que P et I sot des sous-espaces vectoriels de R R. La foctio ulle est paire et impaire. f, g P, x R, λ f( x)+µg( x) = λ f(x)+µg(x) f, g I, x R, λ f( x)+µg( x) = (λ f(x)+µg(x)) Soit f P I o a alors : x R, f( x) = f(x) f( x) = f(x) f( x) = f( x) f(x) = 0 Doc P I = 0 R R}. Soit f R R, posos x g Il est clair que x R, h(x) f = g+h. g( x) = f( x)+ f(x) 2 f(x)+ f( x) 2 Doc g P et h I doc R R = P +I Coclusio : P et I sot supplémetaires. et x h = g(x) et h( x) = f(x) f( x). 2 f( x) f(x) 2 = EXERCICE 39 a) L itersectio de deux sous-espaces vectoriels est u espace vectoriel doc (F 1 G) et (F 2 G) sot des sous-espaces vectoriels. F 1 et F 2 sot e somme directes doc F 1 F 2 = 0 E }. Comme l itersectio est ue loi commutative et associative, o a : (F 1 G) (F 2 G) = (F 1 F 2 ) G = 0 E } G = 0 E } Coclusio : F 1 G et F 2 G sot e somme directe. b) F 1 G et F 2 G e sot pas écessairemet supplémetaire das G. Pour s e covaicre. Soit das R 2 PAUL MILAN 21 CPGE L1 - ALGÈBRE
22 EXERCICES - CORRECTION F 1 = Vect((1, 0)) et F 2 = Vect((0, 1)). Il est immédiat que F 1 et F 2 sot des sous-espaces vectoriels supplémetaires : F 1 F 2 = R 2 Soit G = Vect((1, 1)), F 1 G = (0, 0)} et F 2 G = (0, 0)} doc (F 1 G) (F 2 G) = (0, 0)} = G F 1 G et F 2 G e sot pas supplémetaires das G. F 2 F 1 G EXERCICE 40 a) La famille ((1, 2, 1, 1),( 2, 2, 1, 1), (0, 2, 1, 1)) est pas libre : ((1, 2, 1, 1),( 2, 2, 1, 1)) est libre (coordoées o pro- Par cotre la famille portioelles) (0, 2, 1, 1) = 2(1, 2, 1, 1) (2, 2, 1, 1) Complétos cette famille pour trouver u supplémetaire de A das R 4. Proposos par exemple A = Vect((0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)). Pour motrer que A est u supplémetaire de A das R 4, motros que la famille ((1, 2, 1, 1),( 2, 2, 1, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) est ue base de R 4 ce qui reviet à motrer la liberté de cette famille. a(1, 2, 1, 1)+b( 2, 2, 1, 1)+c(0, 0, 1, 0)+d(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) idet. a+2b = 0 a+2b = 0 b = 0 L 1 L 1 L 2 2a+2b = 0 a+b = 0 L L 2 a = 0 a+b+c = 0 2c = 0 L 3 2L 3 L 2 c = 0 a+b+d = 0 2d = 0 d = 0 La famille L 4 2L 4 L 2 ((1, 2, 1, 1),( 2, 2, 1, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) est libre. A = Vect((0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)) est u supplémetaire de A das R 4. b) Détermios ue base de B : x+y+2z t = 0 x+3z 2t = 0 L1 L 1 L 2 x = 3z+2t y z+t = 0 y z+t = 0 y = z t O a deux degrés de liberté, doc ue base possible e preat successivemet (z=1, t=0) et (z=0, t=1) est (( 3, 1, 1, 0), (2, 1, 0, 1) Complétos cette famille pour trouver u supplémetaire de B das R 4. Proposos par exemple B = Vect((1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0)). Pour motrer que B est u supplémetaire de B das R 4, motros que la famille (( 3, 1, 1, 0),( 2, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) est ue base de R 4 ce qui reviet à motrer la liberté de cette famille. PAUL MILAN 22 CPGE L1 - ALGÈBRE
23 5. SOMME DE DEUX ESPACES VECTORIELS a( 3, 1, 1, 0)+b(2, 1, 0, 1)+c(1, 0, 0, 0)+d(0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) idet. 3a+2b+c = 0 a = 0 a b+d = 0 b = 0 a = 0 c = 0 b = 0 d = 0 La famille (( 3, 1, 1, 0),(2, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) est libre. B = Vect((1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0)) est u supplémetaire de B das R 4. c) C est l esemble des polyômes paires de R 3 [X], doc ue base de C est (X 2, 1). U supplémetaire C de C das R 3 [X] est alors C = Vect(X 3, X) d) D doit avoir deux degrés de liberté pour pouvoir fixer les images d ue foctio et de sa dérivée e 0. Proposos pour D l esemble des foctios affies : D = f D(R, R)/ x R, f(x) = ax+b, a, b R} Il est immédiat que D est u sous-espace vectoriel de D(R, R) car 0 D(R,R) est ue foctio affie et la combiaiso liéaire de deux foctios affies est ue foctio affie. f(x) = ax+b b = 0 f D D f(0) = f (0) = 0 a = 0 f = 0 D(R,R) Motros que D+D egedre D(R, R). Soit f D(R, R) et g D, motros qu o peut détermier h D tel que f = g+h. h(0) = f(0) h(0) = b h = f g h (0) = f (0) or h (0) = a Doc pour toute foctio f D(R, R), o peut choisir ue foctio h D telle que f = g+h avec g D. Coclusio : D est u supplémetaire de D. e) Détermios l esemble E. Soit P = ax 3 + bx 2 + cx+d P + 3P = P(0)X 3 + P(1)X+P(1) 3aX 3 +(3a+3b)X 2 +(2b+3c)X+c+3d = dx 3 +(a+b+c+d)x+a+b+c+d 3a = d 3a = d 3a = d idet. 3a+3b = 0 a+b = 0 a+b = 0 2b+3c = a+ b+c+d a b 2c+d = 0 2d = 0 L 3 L 2 L 4 c+3d = a+b+c+d a+b 2d = 0 a b 2c+d = 0 } O e déduit alors que a = b = c = d doc E = 0 R3 [X] Le supplémetaire de E est alors E = R 3 [X] PAUL MILAN 23 CPGE L1 - ALGÈBRE
24 EXERCICES - CORRECTION EXERCICE 41 a) F est u sous-espace vectoriel car : 0 C(R,R) F immédiat. Soit f et g deux foctios de F alors pour tout λ, µ R k [[1, ]], λ f(x k )+µg(x k ) = 0 b) U supplémetaire F de F doit avoir degrés de liberté pour fixer les images d ue foctio e x 1,..., x. Soit F l esemble des foctios polyomiales de degré ( 1) ( = 0). F } = f C(R, R)/ x R, f(x) = a i (x x j ), a i R 1 j j =i Il est immédiat que F est u sous espace vectoriel de C(R, R) car : 0 C(R,R) F, o pred i [[1, ]], a i = 0 La combiaiso liéaire de deux foctios polyomiales de degré ( 1) est ecore ue foctio polyomiale de de degré ( 1). f F F k [[1,]] f(x k ) = 0 } Doc F F = 0 C(R,R) f(k) = a k (x k x j ) j =k k [[1,]] a k = 0 Motros que F+F egedre C(R, R). Soit f C(R, R) et g F, o peut choisir ue foctio h F telle que f = g+h. h = f g k [[1,]] h(x k ) = f(x k ) k [[1,]] a k = j =k f(x k ) (x k x j ) Coclusio : U supplémetaire de F est l esemble des foctios polyomiales de degré ( 1). PAUL MILAN 24 CPGE L1 - ALGÈBRE
COURBES EN POLAIRE. I - Définition
Y I - Définition COURBES EN POLAIRE On dit qu une courbe Γ admet l équation polaire ρ=f (θ), si et seulement si Γ est l ensemble des points M du plan tels que : OM= ρ u = f(θ) u(θ) Γ peut être considérée
Διαβάστε περισσότεραLa Déduction naturelle
La Déduction naturelle Pierre Lescanne 14 février 2007 13 : 54 Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction naturelle, on raisonne avec des hypothèses. Qu est-ce que la déduction naturelle? En déduction
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότερα* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Courbes en polaires Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Διαβάστε περισσότεραCorrigé exercices série #1 sur la théorie des Portefeuilles, le CAPM et l APT
Corrigé exercices série # sur la théorie des ortefeuilles, le CA et l AT Exercice N et Q ayant la même espérance de rentabilité, formons un portefeuille de même espérance de rentabilité, de poids investi
Διαβάστε περισσότεραΒασιλική Σαμπάνη 2013. Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας
Βασιλική Σαμπάνη 2013 Μαντάμ Μποβαρύ: Αναπαραστάσεις φύλου και σεξουαλικότητας 200 Διαγλωσσικές Θεωρήσεις μεταφρασεολογικός η-τόμος Interlingual Perspectives translation e-volume ΜΑΝΤΑΜ ΜΠΟΒΑΡΥ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραTD 1 Transformation de Laplace
TD Transformation de Lalace Exercice. On considère les fonctions suivantes définies sur R +. Pour chacune de ces fonctions, on vous demande de déterminer la transformée de Lalace et de réciser le domaine
Διαβάστε περισσότεραΘέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών
Μάθημα: Συνταγματικό Δίκαιο Εξάμηνο: Α Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Δημητρόπουλος Ανδρέας Θέμα εργασίας: Η διάκριση των εξουσιών Ονοματεπώνυμο: Τζανετάκου Βασιλική Αριθμός μητρώου: 1340200400439 Εξάμηνο: Α
Διαβάστε περισσότερα[ ] ( ) ( ) ( ) Problème 1
GEL-996 Analyse des Signaux Automne 997 Problème 997 Examen Final - Solutions Pour trouver la réponse impulsionnelle de e iruit on détermine la réponse fréquentielle puis on effetue une transformée de
Διαβάστε περισσότεραTABLE DES MATIÈRES. 1. Formules d addition Formules du double d un angle Formules de Simpson... 7
ième partie : TRIGONOMETRIE TABLE DES MATIÈRES e partie : TRIGONOMETRIE...1 TABLE DES MATIÈRES...1 1. Formules d addition.... Formules du double d un angle.... Formules en tg α... 4. Formules de Simpson...
Διαβάστε περισσότεραPlanches pour la correction PI
Planches pour la correction PI φ M =30 M=7,36 db ω 0 = 1,34 rd/s ω r = 1,45 rd/s planches correcteur.doc correcteur PI page 1 Phases de T(p) et de correcteurs PI τ i =10s τ i =1s τ i =5s τ i =3s ω 0 ω
Διαβάστε περισσότεραI Polynômes d Hermite
SESSION 29 Concours commun Mines-Ponts DEUXIEME EPREUVE FILIERE PSI I Polynômes d Hermite Pour x R, h (x et h (x 2 ex2 ( 2xe x2 x Soit n N Pour x R, h n(x ( n 2 n 2xex2 D n (e x2 + ( n 2 n ex2 D n+ (e
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 3 : Méthode Directe ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΓΑΛΛΙΚΑ
ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (Τµήµα Α1 και Α2) Méthode : Action.fr-gr1, σελ. 8-105 (Ενότητες 0, 1, 2, 3 µε το λεξιλόγιο και τη γραµµατική που περιλαµβάνουν) Οι διάλογοι και οι ερωτήσεις κατανόησης (pages 26-27, 46-47,
Διαβάστε περισσότεραPlan. Analyse tensorielle. Principe méthodologique. Tenseurs. Scalaires constante numérique, 0, dτ, champ scalaire. Vecteurs contravariants
1 / 36 Plan 2 / 36 Principe de covariance Analyse tensorielle Erwan Penchèvre 30 mars 2015 Vecteurs et tenseurs Algèbre tensorielle Pseudo-tenseurs Connexion affine et changement de coordonnées La dérivée
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)
1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a
Διαβάστε περισσότεραPhotoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus
Photoionization / Mass Spectrometry Detection for Kinetic Studies of Neutral Neutral Reactions at low Temperature: Development of a new apparatus , 542, id.a69 X 3 Σg Nouvelles surfaces d'énergie potentielle
Διαβάστε περισσότεραSession novembre 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ MINISTÈRE GREC DE L ÉDUCATION NATIONALE ET DES CULTES CERTIFICATION EN LANGUE FRANÇAISE NIVEAU ÉPREUVE B1 sur l échelle proposée
Διαβάστε περισσότεραLogique Propositionnelle. Cédric Lhoussaine. Janvier 2012
Logique Propositionnelle Automates et Logiques Cédric Lhoussaine University of Lille, France Janvier 2012 1 Syntaxe 2 Sémantique 3 Propriétés de la logique propositionnelle 4 Déduction naturelle Le système
Διαβάστε περισσότεραX x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. (Σχολείο).
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Ενιαίο Πρόγραμμα Σπουδών των Ξένων Γλωσσών Πιλοτική Εφαρμογή 2011-12 Εξετάσεις Γυμνασίου Δείγμα εξέτασης στη Γαλλική ΕΠΙΠΕΔΟ Α1+ στην 6βαθμη κλίμακα
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 4: Méthode Audio-Orale (MAO) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραIntroduction à l analyse numérique
Introduction à l analyse numérique Jacques Rappaz Marco Picasso Presses polytechniques et universitaires romandes Les auteurs et l éditeur remercient l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne dont le
Διαβάστε περισσότεραCorrigé de la seconde épreuve de l agrégation interne de mathématiques Février Transformée de Laplace et théorème d Ikehara
Corrigé de la seconde épreuve de l agrégation interne de mathématiques Février 2 Transformée de Laplace et théorème d Ikehara I. La transformée de Laplace 1. Un premier exemple Dans cette question la fonction
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΓΛΩΣΣΩΝ Ενότητα 5: Structuro-Globale Audio-Visuelle (SGAV) ΚΙΓΙΤΣΙΟΓΛΟΥ-ΒΛΑΧΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΤΜΗΜΑ ΓΑΛΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ
8 Raimon Novell ΤΟ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ Η ΜΑΡΙΑΝΉ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΤΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ 1.- ΑΠΟΣΤΟΛΗ, ΧΑΡΙΣΜΑ, ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΜΑΡΙΑΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΦΟΣ
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότερα1 Γραμμικές συναρτήσεις
Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη.
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραTransfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage
Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage José Marconi Rodrigues To cite this version: José Marconi Rodrigues. Transfert sécurisé d Images par combinaison
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. (Σχολείο).
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Ενιαίο Πρόγραμμα Σπουδών των Ξένων Γλωσσών Πιλοτική Εφαρμογή 2011-12 Εξετάσεις Γυμνασίου Δείγμα εξέτασης στη Γαλλική ΕΠΙΠΕΔΟ Α2 στην 6βαθμη κλίμακα
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραPoints de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes
Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραΗαχόρταγη μικρή κάμπια. La chenille qui fait des trous. Ηαχόρταγη μικρή κάμπια. La chenille qui fait des trous
Ηαχόρταγη μικρή κάμπια La chenille qui fait des trous Ηαχόρταγη μικρή κάμπια La chenille qui fait des trous Μια νύχτα με φεγγάρι κάποιο μικρό αυγoυλάκι ήταν ακουμπισμένο πάνω σ ένα φύλλο. Dans la lumière
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές του δράματος και Διδακτική των ζωντανών γλωσσών. Η συμβολή τους στη διαμόρφωση διαπολιτισμικής συνείδησης
Αντώνης Χασάπης 839 Αντώνης Χασάπης Εκπαιδευτικός, Μεταπτυχιακός ΠΔΜ, Ελλάδα Résumé Dans le domaine de la didactique des langues vivantes l intérêt de la recherche scientifique se tourne vers le développement
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραΥ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραRéseau de diffraction
Réseau de diffraction Réseau de diffraction Structure de base: fentes multiples Rappel:diffraction par fentes multiples θ Onde plane incidente d a θ 0. θ I( norm. sin ( Nγa / sin ( γd / sin ( γa / ( γd
Διαβάστε περισσότεραΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες. KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΕ-ΓΛΩ-21 Αξιολόγηση δεξιοτήτων επικοινωνίας στις ξένες γλώσσες KE-GLO-21 Évaluation des compétences de communication en langue étrangère
Διαβάστε περισσότεραBusiness Order. Order - Placing. Order - Confirming. Formal, tentative
- Placing Nous considérons l'achat de... Formal, tentative Nous sommes ravis de passer une commande auprès de votre entreprise pour... Nous voudrions passer une commande. Veuillez trouver ci-joint notre
Διαβάστε περισσότεραMontage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX. Mini & Box
Montage - Raccordement Implantation EURO-RELAIS MINI & BOX 3 Fiche technique EURO-RELAIS MINI & BOX DESCRIPTIF La borne Euro-Relais MINI est en polyester armé haute résistance totalement neutre à la corrosion
Διαβάστε περισσότεραPhilologie et dialectologie grecques Philologie et dialectologie grecques Conférences de l année
Annuaire de l'école pratique des hautes études (EPHE), Section des sciences historiques et philologiques Résumés des conférences et travaux 145 2014 2012-2013 Philologie et dialectologie grecques Philologie
Διαβάστε περισσότεραPlasticité/viscoplasticité 3D
Ecoulement viscoplastique ε. p Elasticité f 0 Contraintes Plasticité/viscoplasticité 3D Georges Cailletaud MINES ParisTech Centre des Matériaux, CNRS UMR 7633 Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique
Διαβάστε περισσότεραγ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραPlutarque : Vie de Solon, 19 Le constituant (594)
1 Plutarque : Vie de Solon, 19 Le constituant (594) Ἔτι δ ὁρῶν τὸν δῆμον οἰδοῦντα καὶ θρασυνόμενον τῇ τῶν χρεῶν ἀφέσει, δευτέραν προσκατένειμε βουλήν, ἀπὸ φυλῆς ἑκάστης (τεσσάρων οὐσῶν) ἑκατὸν ἄδρας ἐπιλεξάμενος,
Διαβάστε περισσότεραZakelijke correspondentie Bestelling
- plaatsen Εξετάζουμε την αγορά... Formeel, voorzichtig Είμαστε στην ευχάριστη θέση να δώσουμε την παραγγελία μας στην εταιρεία σας για... Θα θέλαμε να κάνουμε μια παραγγελία. Επισυνάπτεται η παραγγελία
Διαβάστε περισσότεραErrata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)
Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y
Διαβάστε περισσότεραΥ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα. Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υ-ΓΛΩ 12 Φωνητική-Φωνολογία με εφαρμογές στη Γαλλική γλώσσα Y-GLO-12 Phonétique-Phonologie Applications à la langue française Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραANNEXE 1. Solutions des exercices. Exercice 1.1 a) Cette EDP est linéaire, non homogène et d ordre 2. Pour montrer que l EDP est linéaire, considérons
ANNEXE 1 Solutions des exercices. Chapitre 1 Exercice 1.1 a Cette EDP est linéaire, non homogène et d ordre. Pour montrer que l EDP est linéaire, considérons l opérateur u Lu u x x y. Celui-ci est linéaire.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΤΗΣ ΠΕΤΡΑΣ. Ήπειρος (Ελλάδα)
Ονοματεπώνυμο ΚΑΛΑΜΠΟΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 1969 Μιχαλίτσι (Ήπειρος) Έτη δραστηριότητας ως τεχνίτης Δουλεύει από 15 ετών Ήπειρος (Ελλάδα) Οργανώνει το συνεργείο κατά περίπτωση Έμαθε την τέχνη από τον πατέρα και
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραLa notion de vie chez Aristote GLOSSAIRE
La notion de vie chez Aristote GLOSSAIRE 0 A- Constitution organique du vivant et introduction Pages du mémoire GREC transcription Pp 3 et 4 - ζωή : zoèe - La Vie dans son sens générique - La vie son sens
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΜΙΑ ΕΥΡΕΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΟΧΥΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΦΟΡΕΙΣ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ
Περιεχόμενα 191 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ...9 PREFACE (ΠΡΟΛΟΓΟΣ)...13 ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ... 17 ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ...21 Ι. Ξενόγλωσσες...21 ΙΙ. Ελληνικές... 22 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ...25 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 29 Ι.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΦΩΝΙΑ - ΠΛΑΙΣΙΟ. Αθήνα, 3-4 Ιουλίου T:#211#770#0#670! F:#211#770#0#671! W:!www.gmlaw.gr! Ακαδημίας!8,!10671!Αθήνα!
Αθήνα, 3-4 Ιουλίου 2014 T:#211#770#0#670! F:#211#770#0#671! E:!info@gmlaw.gr! W:!www.gmlaw.gr! Ακαδημίας!8,!10671!Αθήνα! ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΥΠΟΛΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ ΠΛΑΙΣΙΟ Δοµή Εισήγησης I. Επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΜετανάστευση Στέγαση. Στέγαση - Ενοικίαση. Θα ήθελα να ενοικιάσω ένα. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι.
- Ενοικίαση γαλλικά Je voudrais louer. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να ενοικιάσετε κάτι une chambre un appartement un studio une maison individuelle une maison jumelée une maison mitoyenne Combien coûte
Διαβάστε περισσότεραΦλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης
Φλώρα Στάμου, Τριαντάφυλλος Τρανός, Σωφρόνης Χατζησαββίδης. H «ανάγνωση» και η «παραγωγή» πολυτροπικότητας σε μαθησιακό περιβάλλον: πρώτες διαπιστώσεις απο μια διδακτική εφαρμογή. Μελέτες για την ελληνική
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραVers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Διαβάστε περισσότεραAsk seic Algebrac -1.
Ask seic Algebac. : Θεωρούμε τον πίνακα A = ω ω ω ω () όπου ω είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος (φανταστική). Να υπολογίσετε τους πίνακες A, A, A. : Ας είναι οι πίνακες M = ( x /x ) (, N = y ) και P =
Διαβάστε περισσότερα(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Διαβάστε περισσότεραA8-0176/54. Κείµενο που προτείνει η Επιτροπή. επίπεδα.
1.7.2015 A8-0176/54 Τροπολογία 54 Michèle Rivasi εξ ονόµατος της Οµάδας Verts/ALE Josu Juaristi Abaunz εξ ονόµατος της Οµάδας GUE/NGL Piernicola Pedicini εξ ονόµατος της Οµάδας EFDD Έκθεση A8-0176/2015
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP
Η ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ERP 2 1 ΠΛΑΙΣΙΟ ΓΙΑΤΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΣΗΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ErP? Αντιμετωπίζοντας την κλιματική αλλαγή, διασφαλίζοντας την ασφάλεια της παροχής ενέργειας2 και την αύξηση της ανταγωνιστικότητα
Διαβάστε περισσότεραLogique et Interaction : une Étude Sémantique de la
Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].
Διαβάστε περισσότεραx y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k
Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν
Διαβάστε περισσότεραLes Mondes Fantastiques Melun Ville d Europe 2016
Les Mondes Fantastiques Melun Ville d Europe 2016 E Participation grecque à MVE 2016 École Jeanne d Arc Melun Ville d Europe 2016 Κόσμοι της Φαντασίας Θα συμμετάσχουμε και φέτος, για 24 η χρονιά, στο Ευρωπαϊκό
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότεραMicroscopie photothermique et endommagement laser
Microscopie photothermique et endommagement laser Annelise During To cite this version: Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα
Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2009-2014 Επιτροπή Αναφορών 20.9.2013 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ Θέμα: Αναφορά 1504/2012, της Chantal Maynard, γαλλικής ιθαγένειας, σχετικά με διπλή φορολόγηση της γερμανικής σύνταξής
Διαβάστε περισσότεραΕπιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη
Επιτραπέζιος Η/Υ ASUS M12AD and M52AD Εγχειρίδιο χρήστη M12AD M52AD GK9559 Πρώτη Έκδοση Ιούλιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΨηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ
Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ
Διαβάστε περισσότερα1 Galois Theory, I. Stewart. https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/731/4/book Galois theory.
Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 10 Απριλίου 2016 Με βάση την ομιλία (30.3.16) στην 8η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα «Θεωρία Galois σε 30 λεπτά» Ελληνική Μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραAnswers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
Διαβάστε περισσότεραMATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81
1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then
Διαβάστε περισσότεραΕπιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη
Επιτραπέζιος Η/Υ K30AM / K30AM-J Εγχειρίδιο χρήστη GK9380 Ελληνικα Πρώτη Έκδοση Μάιος 2014 Copyright 2014 ASUSTeK Computer Inc. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα. Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος
Διαβάστε περισσότεραVotre système de traite vous parle, écoutez-le!
Le jeudi 28 octobre 2010 Best Western Hôtel Universel, Drummondville Votre système de traite vous parle, écoutez-le! Bruno GARON Conférence préparée avec la collaboration de : Martine LABONTÉ Note : Cette
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΣΕ ΠΙΝΑΚΑ
5.2 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΣΕ ΠΙΝΑΚΑ 5.2. Εισαγωγή Αν η λογική συνάρτηση που πρόκειται να απλοποιήσουμε έχει περισσότερες από έξι μεταβλητές τότε η μέθοδος απλοποίησης με Χάρτη Καρνώ χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΓΑΛΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ Α ΣΑΞΗ ΚΟΜΜΩΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ
ΓΑΛΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ Α ΣΑΞΗ ΚΟΜΜΩΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Α. COMPREHENSION 1 : Lisez, puis répondez aux questions suivantes ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ 1: Διαβάστε, μετά απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις 1) Comment
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραTransformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation
Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation Florent Jousse To cite this version: Florent Jousse. Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation.
Διαβάστε περισσότεραSheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
Διαβάστε περισσότεραModule #8b Transformation des contraintes et des déformations 2D-3D : Cercle de Mohr
Introduction Mohr D ( σ) σ&ɛ planes Mohr 3D ( σ) ɛ Mesures de ɛ Résumé Module #8b Transformation des contraintes et des déformations D-3D : Cercle de Mohr (CIV1150 - Résistance des matériaux) Enseignant:
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότεραVous pouvez me montrer où c'est sur le plan? Vous pouvez me montrer où c'est sur le plan? Παράκληση για ένδειξη συγκεκριμένης τοποθεσίας σε χάρτη
- Τόπος Je suis perdu. Όταν δεν ξέρετε που είστε Je suis perdu. Vous pouvez me montrer où c'est sur le plan? Vous pouvez me montrer où c'est sur le plan? Παράκληση για ένδειξη συγκεκριμένης ς σε χάρτη
Διαβάστε περισσότερα8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..
இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16
Διαβάστε περισσότεραDramaturgie française contemporaine
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Dramaturgie française contemporaine Unité 5 Les grandes théories du drame contemporain Catherine Naugrette Kalliopi Exarchou Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα