Λ υσεις του ιαγων ισµατος της Μηχανικ ης Ι Φε ρου αριος 2002

Transcript

1 Λυσεις του ιαγωνισµατος της Μηχανικης Ι Φερουαριος 2002 ΘΕΜΑ 1: (α) Προκειµενου να κινειται ακτινικα ο πλανητης θα πρεπει να κινειται αρχικα ακτινικακαιηδυναµη που ασκειται πανω του να ειναι ακτινικη. Η δεδοµενη δυναµη οµως ειναι παντοτε καθετη στην ακτινα ( Ü. Αν οµως η κινηση ειναι ακτινικη ηδυναµη µηδενιζεται οποτε εξακολουθει νακινειται ακτινικακαιµαλιστα µε σταθερη ταχυτητα. Εποµενως η απαιτουµενη αρχικη συνθηκη ειναι Ù Ù, οποτε Ù Ø.// (β) Αφουηδυναµη ειναι καθετη στην ταχυτητα η ταχυτητα δεν αλλαζει µετρο, οπως γνωριζουµε απο τηνκινηση φορτισµενου σωµατιου σε µαγνητικο πεδιο. Αυτο φαινεται απο την ακολουθη σχεση: Ù Ù Ù Ñ Οµοια και για τη στροφορµη Ù Ù Ø Ø Ø Ù Ù Ù Ø (1) Ä Ä Ñ Ü Ùµ Ñ Ù Ù Ü Ùµ Ñ Ü Ùµ Ü Ü Ùµ (2) αφου η τετραγωνη αγκυλη ειναι καθετη στην παρασταση Ü Ù. Εποµενως γαι τον ιδιο λογο, οπως και για την ταχυτητα, η στροφορµη διατηρει σταθερο τοµετρο της. (γ) Αφου Ü Ê, ηταχυτητα θα ειναι Ù Ü Ê Ê. Ετσι ٠ʵ Ê (3) Ø αφου οπως γνωριζουµε η παραγωγος ενος µοναδιαιου διανυσµατος ειναι καθετη στο διανυσµα αυτο (εποµενως οι δυο οροι της ταχυτητας ειναι καθετοι ο ενας στον αλλο). Ηδε στροφορµη εχει µετρο Ä Ñ Ü Ùµ ÑÊ Ê Ê µ ÑÊ (4) Ø Η τελευταια σχεση προκυπτει απο την καθετοτητα του µοναδιαιου ακτινικουδιανυσµατος και της παραγωγου του. Εχοντας δειξει οτι η ταχυτητα και η στροφορµη εχουν σταθεροµετρο, µπορουµε να συµπτυξουµε τις δυο σχεσεις 3,4, απαλειφοντας την παραγωγο του µοναδιαιου διανυσµατος ٠ʵ Ä Ñ Ê (5) (δ)με απευθειας παραγωγιση της εκφρασης Ê «Ô Ø Ø µ Ø ½, βλεπουµε οτι η σχεση 5 ικανοποιειται αν «Ù και ÙØ ½ Ä. Εποµενως ο παραγοντας «ειναι η σταθερηταχυτητα, ενωοø ½ που εχει διαστασεις χρονου ειναι τετοιος ωστε ÙØ ½ Ä ÑÙ Ê, η συνιστωσα Ñ«της θεσης που ειναι καθετη στη στιγµιαια ταχυτητα. Ετσι η Ê ειναι σταθερη κατα την κινηση. Τελος, ο παραγοντας Ø ειναι τετοιος ωστε ÙØ να δινει την αλλη συνιστωσα της Ê, Ê, για Ø, δηλαδη ÙØ Ê. 1

2 (ε) Κατοπιν της παραπανω ταυτοποιησης των παραµετρων η ακτινικηκινηση θα περιγραφεται απο Ø ½ ÙØ Ê, οποτε παιρνουµε την οµαλη κινηση Ê ÙØ Ê. ΘΕΜΑ 2: (α) Η βαρυτικη δυναµη σε µια µαζα στο κεντρο του ηµισφαιριου απο ενα στοιχειωδες τµηµα της ηµισφαιρικης επιφανειας η οποια βρισκεται στην κατευθυνση του µοναδιαιου διανυσµατος ειναι Ñ Ë. Η συνολικη δυναµη θα προκυψει απο την ολοκληρωση της παραπανω σχεσης. Λογω αζιµουθιακης συµµετριας γυρω απο τοναξονα Þ συµµετριας του ηµισφαιριου η συνολικη δυναµη θα βρισκεται πανω στον αξονα αυτο. Αρκει λοιπον να ολοκληρωσουµε τη συνιστωσα αυτη µονο της δυναµης. Χρησιµοποιωντας σφαιρικες συντεταγµενες: Þ Ó και Ò. Συνεπως Þ Ó Ò Þ (6) Το ενδιαφερον στο προηγουµενο αποτελεσµα ειναι οτι η δυναµη δεν εξαρταται απο την ακτινα του ηµισφαιρικουφλοιου. Αυτοειναι αναµενοµενο αφουηδυναµη ειναι αντιστροφου τετραγωνου και η µαζα ειναι αναλογη της επιφανειας η οποια αυξανεται µε το τετραγωνο της ακτινας. (β) Ενα οµογενες ηµισφαιριο µπορουµε να το διαχωρισουµε σε ηµισφαιρικους φλοιους απειροστου παχους. Τοτε για τον καθε ηµισφαιρικο φλοιο η επιφανειακη πυκνοτητα µαζας ειναι µ Ñ µ Ë µ σµα 6,. Εποµενως, ολοκληρωνοντας το αποτελε- Þ Ê Þ Ê (7) Ô (γ) Ηπεριοδος ενος εκκρεµους ειναι Ì Ð. Οταν τοποθετησουµε ενα τετοιο εκκρεµες στο κεντρο της βασης ενος ηµισφαιρικου βουνου το της βαρυτητας θα ειναι ελαφρως µικροτερο, αφου ηβαρυτητα ανα µοναδα µαζας στην επιφανεια της Γης ειναι Ê Ê ενω στηβαση του βουνου θαπρεπει να αφαιρεσει κανεις απο την παραπανω τη βαρυτητα ανα µοναδα µαζας εξαιτιας της µαζας του βουνου, δηλαδη Ê Êµ. Συνεπως η µεταολη που θα προκληθει στην περιοδο του εκκρεµους αν µεταφερθει µεσα στο βουνο θαειναι Ì Ì Ê Ê (8) Το θετικο αποτελεσµα σηµαινει οτι η πειοδος µεγαλωνει, πραγµα φυσικο αφου ηβαρυτητα γινεται ασθενεστερη εξαιτιας του βουνου. Ετσι µεσα σε µια µερα το ρολοι θα εκτελεσει λιγοτερες αιωρησεις µε πρακτικο αποτελεσµα το ρολοι να χανει. Συµφωνα µε τα δεδοµενα της ασκησης ÌÌ ½, δηλαδη Ê Ê ½ ³ ½ (9) Το βουνο εχει υψοµετρο, περιπου 1950m. Στα παραπανω υποθεσαµε οτι η πυκνοτητα της Γης και του υλικου του βουνου ειναι ιδια. 2

3 Ô ΘΕΜΑ 3: (α) Θεωρωντας την κινηση µονοδιαστατη επιτουαξονα Ü η διαφορικηεξισωση κινησης ειναι ĐÜ Ü. Η συχνοτητα των ταλαντωσεων θα ειναι. (β) Μια συγκεκριµενη χρονικη στιγµη η ορµη του βαγονιου ειναι Ô Øµ Ù Ñ, αφου καθολου νερο δενµενει στο βαγονετο, ενω οδευτερος ορος περιγραφει την ποσοτητα της βροχης που θα εισελθει στο συστηµα την αµεσως εποµενη στιγµη. Λιγο αργοτερα που θα προστεθει µιαµικρη ποσοτητα Ñ βροχης, ηοποια οµως ταυτοχρονα θα φυγει απο τοβαγονετο, η ορµη θαγινει Ô Ø Øµ Ñ Ñµ Ù Ùµ Ñ Ù Ùµ ѵ Ù Ùµ. Εδωοδευτερο ορος ειναι η ποσοτητα της βροχης που ετρεξε αποτις τρυπες του βαγονετου. Γραφοντας τωρα το δευτερο νοµο του Νευτωνα εχουµε Ü Ô Ô Ø Øµ Ô Øµ Ù Ñ Ø Ø Ø Ù (10) Ø Αναδιοργανωνοντας λιγο τους ορους της εξισωσης αυτης, καταληγουµε στην ακολουθη εξισωση κινησης. ĐÜ Ñ Ü Ü (11) Ø (γ) Στην παραπανω εξισωση αναγνωριζει κανεις, στην περιπτωση σταθερου ρυθµου ÑØ προσπτωσης της βροχης, την εξισωση αρµονικου ταλαντωτη µεαποσεση. Ολογος που η βροχη παιζει ακριως τον ιδιο ρολο µε την αντισταση κινησης σε καποιο µεσο ειναι οτιοισταγονες της βροχης πεφτοντας ειτε στα πλευρικατοιχωµατα του βαγονιουειτε στον πατο αυτουασκουν µια δυναµη αναλογη της µεταφορας ορµης που δινεται στις σταγονες της βροχης οι οποιες απο ακινητες ως προς τον αξονα Ü κινουνται στη συνεχεια µαζι µετοβαγονετο. Η αλλαγη της ορµης αυτων ειναι αναλογη µε την ταχυτητα του βαγονετου, οποτε και η δυναµη που ασκειται σε αυτο ειναι αναλογη της ταχυτητας του. Ηµονη διαφοραειναι ως προς την τιµη του παραγοντα της αντιστασης αφουστην περιπτωση αεριου µεσου τα µορια του αεριου ανακλωνται ελαστικα, ενω στην περιπτωση µαςµετιςσταγονες της βροχης η κρουση ειναι πλαστικη. (δ) Γιαναµηνπερασει το βαγονετο απο το σηµειο ισορροπιας θα πρεπει η κινηση να ειναι µη ταλαντωτικη, δηλαδηηαποσεση να ειναι ειτε υπερκρισιµη ειτε το πολυκρισιµη. Στην περιπτωση της κρισιµης αποσεσης η εξισωση κινησης ειναι Ü Øµ Ø Ø µ, µε, ενω στην περιπτωση της υπερκρισιµης ειναι Ü Øµ ½Ø Ø, µε Õ ½. Αφου οιαρχικες συνθηκες ειναι Ü µ Ü Ü µ, στην µεν κρισιµη αποσεση Ü, στην δε υπερκρισιµη Ü ½. Συνεπως στην περιπτωση της κρισιµης αποσεσης µø η ακριης εξισωση κινησης ειναι Ü Øµ Ü Ø ½ (12) το οποιο για θετικη αρχικη αποµακρυνση Ü ειναι συνεχως θετικη, ενω γιατηνυπερκρισιµη αποσεση η εξισωση κινησης ειναι Ü Øµ Ü ½ ½Ø ½ Ø µ (13) 3

4 Μεαντικατασταση των εχουµε Ü Ü Øµ Õ Õ Ø Õ Ø (14) Οι δυο οροι εντος της τετραγωνης αγκυλης ειναι εµφανως ο πρωτος µεγαλυτερος του δευτερου, εποµενως Ü Øµ συνεχως. Και στις δυο λοιπον περιπτωσεις εξασφαλιζεται οτι το βαγονετο δεν θα ξεπερασει το σηµειο ισορροπιας. Η συνθηκη λοιπον για να συµει Ô ½ Ó. Õ αυτο ειναι η η Ô. ΘΕΜΑ 4: Η εκφραση που διδεται στην ασκηση ως περιγραφη της τροχιας του διαστηµοπλοιου ειναι η αναλυτικη µορφη τηςεξισωσης κωνικης τοµης (α) Αφου τοδιαστηµοπλοιο, µετα την αποµακρυνση τουαπο τον πλανητη, ειναι σε θεση να αποµακρυνθει εντελως αποτοηλιακοσυστηµα θα διαγραψει µια ανοιχτηκωνικη τοµη, δηλαδη, µια υπερολη η οριακα µια παραολη. Για να συµει αυτο θαπρεπει η ταχυτητα του να ξεπερνα τηνταχυτητα διαφυγης απο τοηλιακοσυστηµα: Ù Õ, οπου ηµαζα του Ηλιου και ηαρχικη θεση του διαστηµοπλοιου, περιπου δηλαδη ηακτινα της τροχιας του εν λογω πλανητη, αφου οταν θα εχει ουσιαστικα ξεφυγει απο τη βαρυτικηεπιδραση του πλανητη θα βρισκεται ακοµη στη γειτονιατου(αυτοισχυει για τους πλανητες του ηλιακου µας συστηµατος που ειναι πολυ µικροι σεσχεση µε τον ιδιο τον Ηλιο). (β) Παρατηρωντας το σχηµα και τη συµµετρια αυτουγυρω αποτηθεση του περιηλιου απ οπου και µετραται η γωνια, βλεπουµε οτι ÑÜ (15) οπου ÑÜ ηµεγιστη γωνια θεσης του διαστηµοπλοιου που αντιστοιχει σεαπειρη αποσταση του διαστηµοπλοιου απο τον πλανητη. Απο τηνπολικη εξισωση της τροχιας του διαστηµοπλοιου εχουµε οτι Ó ÑÜ ½. Εποµενως Ò Ò ÑÜ µ Ó ÑÜ ½ (16) (γ) Αρχικα το διαστηµοπλοιο στο συστηµα αυτο εχει κινητικηενεργεια ÑÙ. Προκειµενου να µελετησουµε την κρουση πιο ευκολα θα καταφυγουµε στο συστηµα κεντρου µαζας, δηλαδη στοσυστηµα του πλανητη. Στο συστηµα αυτο το διαστηµοπλοιο πλησιαζει τον πλανητη µε ταχυτητα Ù Î. Το συστηµα αυτο εχει την ιδιατεροτητα να διατηρειταµετρα των ορµων των 2 σωµατων ιδια πριν και µετατηνκρουση, συνεπως στο συστηµα αυτο το διαστηµοπλοιο θα αποµακρυνθειαπο τον πλανητη µε την ιδια ακριως ταχυτητα κατα µετρο. Εστω Ü το µοναδιαιο ανυσµα προσεγγισης του διαστηµοπλοιου στον πλανητη αρχικακαιò το µοναδιαιο ανυσµα αποµακρυνσης του τελικα. Αποτοσχεδιο της ασκησης ειναι φανερο οτι Ü Ò Ó. Επανερχοµενοι στο αρχικο συστηµα αναφορας λοιπον η ταχυτητα του διαστηµοπλοιου θα ειναι Ù Ò Ù Î µ Ü Î και η αντιστοιχη κινητικητουενεργεια ½Ñ Ù Î µ Î Î Ù Î µ Ó. Η µεταολη 4

5 της κινητικης ενεργειας θα ειναι η ζητουµενη ÑÎ Ù Î µ ½ Ó µ (17) Προφανως η ενεργεια αυτηαφαιρεθηκε αποτηνκινητικηενεργεια του πλανητη και προστεθηκε στο διαστηµοπλοιο. Λογω µεγαλης διαφορας µαζας οµως ο πλανητης θα αλλαξει ανεπαισθητα την ταχυτητα του. (δ) Αν θελουµε να κερδισουµε πολυ ενεργεια θα πρεπει συµφωνα µε την παραπανω σχεση να πετυχουµε µεγαλη γωνια εκτροπης, και για να συµει αυτο θαπρεπει το βαρυτικοπεδιο του πλανητη να γινει ιδιαιτερα αισθητοαποτοδιαστηµοπλοιο, εποµενως το διαστηµοπλοιο πρεπει να προγραµµατιστει ναπερασει κονταστονπλανητη, αν ειναι δυνατον ξυστα πανω απο τηνεπιφανεια του. Εξαλλου απο τησχεση 16 ηγωνια εκτροπης ειναι τοσο µεγαλυτερη οσο µικροτερη ειναι η εκκεντροτητα, ηοποια συµφωνα µε το δεδοµενο της ασκησης ειναιõ½ Ð. Για δεδοµενη ταχυτητα προσεγγισης του διαστηµοπλοιου και αρα ενεργειας αυτου η γινεται τοσο µικροτερη οσο η, η στροφορµη, γινεται Ñ µικροτερη. Θα πρεπει λοιπον να µειωθει η παραµετρος κρουσης στο ελαχιστο δυνατο. Το γιατισεαυτητηνπεριπτωση πετυχαινουµε το µεγιστο δυνατοκερδος σε κινητικηενεργεια γινεται προφανες στο αναλογο προληµα κρουσης: Ενα µπαλλακι του πιγκ-πογκ παιρνει τοσο περισσοτερη ενεργεια οσο πιο µετωπικακτυπησει στη ρακετα που κινειται κατα πανω του. Η αναλογια ειναι απολυτη αφου καιστιςδυο περιπτωσεις εχουµε ελαστικη κρουση. 5