LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE"

Ἀδελφός Αλεξόπουλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais loceklis aritmētiskā progresijā, kuras pirmais loceklis ir u otrais 40 Tātad diferece ir Tas ozīmē, ka 00-ais loceklis būs vieāds ar ( 00 ) a) Nē, evar Pieņemsim pretējo, ka tas ir iespējams Dotā piecstūra virsotes apzīmēsim ar ABCDE Taise sadala plaki divās pusplakēs (sauksim tās par pirmo u otro) Ja taise krusto visas piecstūra malas u pukts A atrodas pirmajā pusplakē, tad puktam B jāatrodas otrajā pusplakē, puktam C -- pirmajā pusplakē, puktam D -- otrajā pusplakē, puktam E -- pirmajā pusplakē Bet tad taise ekrusto malu AE Pretrua b) Jā, var Skat 9 zīm 9 zīm 9 Iegūtais skaitlis ir vieāds ar AA A 0 Ievērosim, ka skaitlis 0 ir pirmskaitlis Tātad skaitļa AA dalītāji ir visi skaitļa A dalītāji u šie dalītāji, pareiziāti ar 0 Tātad kopējais dalītāju skaits ir 94 Baltus iekrāsosim taišņu (, ), (, ), (, ), (, 4), (4, ) krustpuktus; pārējos krustpuktus iekrāsojam melus Tad uz katras taises atradīsies balti u meli pukti

2 9 Nē, evar (skat 96 zīm) a d b c 96 zīm Aplūkosim skaitļus pretrua a, b, c, d Tad o dotā seko, ka a < b < c < d < a, bet tā ir 96 Pukts atrodas otrajā kvadratā 97 Ja kaut vieā o vieādībām (piemēram x y + z ) skaitļu zīmes ir pretējas, tad uzreiz iegūstam prasīto vieādību: x y + z x + y + z 0 Ja visās vieādībās skaitļu zīmes ir vieādas, tad saskaitot šīs vieādības, iegūstam prasīto x y + z, y x + z, z x + y ; 98 Katru reizi o jaua uzrakstīto skaitļu reiziājums ir iepriekš uzrakstīto skaitļu reiziājuma kvadrāts; tātad vieāds ar Tas ozīmē, ka visu skaitļu reiziājums emaiās u visu laiku ir egatīvs 99 Ja 0 a + b dalās ar 7, tad arī ( 0a b) 7( a + b) ( a b) Ja + dalās ar 7; līdz ar to a b dalās ar 7 a b dalās ar 7, tad ( a b) + 7( a + b) 0a + b dalās ar 7 90 Pavisam ir līija Lai ar vieas krāsas autobusiem varētu aizbraukt o katras pilsētas uz katru, vajag vismaz 6 līijas Tāpēc vairāk par krāsām evar būt Ar krāsām uzdevuma osacījumi ir realizējami: A B C D E F G A krāsa, A C E G B D F A krāsa, A D G C F B E A krāsa 9 Atverot iekavas u savelkot līdzīgos locekļus, iegūstam vieādojumu x Atbilde: x

3 9 Ja x y, tad ( x + y + x y ) ( x + y + x y) x max( x, y) Ja x < y, tad ( x + y + x y ) ( x + y x + y) y max( x, y) Formula, kas izsaka mazāko o skaitļiem ir šāda: ( x + y x y ) Pierādījums ir aaloģisks iepriekšējam 9 Tāds leņķis izveidoties evar Starp ovilktajiem stariem jebkurš leņķis ir vieāds ar 90 No vieādības k 0 seko vieādība jo edalās ar 94 Veidojas šāda skaitļu virke:,, 4, 6, 7, 8, 89, 4, 4, 0, 4, 90 k, k, N k, bet šī vieādība av iespējama, Tā ir periodiska ar perioda garumu 8 Tā kā , tad 989-ais skaitlis būs vieāds ar piekto skaitli, tātad ar 7 9 Neatkarīgi o skaitļu izvietojuma aplūkojamā summa ir mazāka par ( ) ( ) Ievērojam, ka ( ) < Izpildās vieādība ( 0 ) Ievērosim, ka skaitļu ( 0 + ), ( 0 + ), ( 4) skaitļi ir e mazāki par 0 + pēdējie cipari av Tālākie ( 0 + ) > > Tātad pirmās zvaigzītes vietā ir jāieraksta cipars, bet otrās zvaigzītes vietā -- cipars 0 97 Pieņemsim, ka a b a + b + ab + a ab + b a b a + Tad iegūstam b + a ( b + ) b( a + ) a b 98 Aplūkosim 97 zīmējumu a b

4 C Y X A P Q B 97 zīm Novilksim perpedikulus PY u QX pret trijstūra katešu malām Tad o Talesa teorēmas seko, ka CY CA b, YP CB a, CX CB a, QX AC b Tālāk, izmatojot Pitagora teorēmu, iegūstam: CP 9 + PQ + CQ ( a + b ) + c c 9 ( a) + ( b) + ( c) + ( a) + ( b) 99 Aplūkosim 98 zīmējumu C A B D E P V Q F L T R S G K J H I 98 zīm Pieskaršaās puktus apzīmēsim ar P, Q, R, S, T, V No teorēmas par pieskaru vieādību iegūstam: AP AT AB + BP AL + LT, CF CV CD + DQ CB + BV, ER EP EF + FR ED + DP, GS GQ GH + HS GF + FQ, IT TR IJ + JT IH + HR, KV KS KL + LV KJ + JS 4

5 Saskaitot šīs vieādības iegūstam AB + CD + EF + GH + IJ + KL ( ) + ( BP + DQ + FR + HS + JT + LV ) ( AL + CB + ED + GF + IH + KJ ) + ( LT + BV + DP + FQ + HR + JS ) Izmatojot vēlreiz teorēmu par pieskaru vieādību, iegūstam BV BP, DP DQ, FQ FR, HR HS, JS JT, LT LV / Saskaitot šīs vieādības, iegūstam ( BP + DQ + FR + HS + JT + LV ) ( LT + BV + DP + FQ + HR + JS ) Atņemot šo vieādību o iepriekšējās vieādības, iegūstam prasīto vieādību ( AB + CD + EF + GH + IJ + KL) ( AL + CB + ED + GF + IH + KJ ) 90 Ja starp doto skaitļu atlikumiem pēc moduļa 7 ir sastopami visi atlikumi o 0 līdz 6, tad šo skaitļu summa pēc moduļa 7 ir vieāda ar ( mod 7) ; tātad dalās ar 7 Pretējā gadījumā atlikumu skaits epārsiedz 6 Tā kā , tad o Dirihlē pricipa seko, ka atradīsies vismaz 7 skaitļi, kas ir kogrueti pēc moduļa 7 Protams, ka to summa dalīsies ar 7 9 Pieņemsim, ka skaitlis s ir abu vieādojumu kopīgā sake; tad 989s 989s + as as Atņemot o otrās vieādības otro u izdalot ar , iegūstam vieādību s 0 Tātad s ± Ja s, tad a a 880 Ja s, tad 989 a a Tabulu var aizpildīt tā kā parādīts 9 zīmējumā zīm

6 Tabulas augšējā labajā stūrī jāieraksta skaitlis 9 Apskatīsim 96 zīmējumu B N M O A C 96 zīm Ar O apzīmēsim ievilktās riņķa līijas cetru; tad ON u OM ir perpedikuli pret atbilstošajām malām Taisleņķa trijstūri ONB u OMB ir vieādi, jo OB kopīga hipoteūza Tātad ON OM u BN BM ; o dotā AM CN No šejiees seko trijstūru AMB u CNB vieādība (leņķis B tiem ir kopīgs) Tātad AB BC 94 Pieņemsim, ka ir tikai divu garumu ogriežņi Septiņus puktus savieo ogriezis; tātad ir vismaz viea garuma ogriežņi Tiem ir galapukti Tā kā puktu ir 7, tad o kāda pukta O iziet vismaz 4 vieāda garuma ogriežņi To galapukti A, B, C, D atrodas uz riņķa līijas ar cetru puktā O Tā kā starp tiem attālumi var pieņemt tikai divas vērtības, tad tiem jāatrodas kvadrāta virsotēs Bet tādā gadījumā attālums AO pieņem trešo vērtību Iegūta pretrua 9 Apzīmēsim dotos skaitļus ar x < x < L < x69 No uzdevuma osacījumiem seko, ka x (Ja x, tad x 4, x, K, x69 0; tā ir pretrua) Apskatīsim 67 savā starpā atšķirīgus skaitļus x + x, x + x, K, x + x68 u 67 savā starpā atšķirīgus skaitļus x69 x, x69 x, K, x69 x68 Tie visi atrodas itervālā o līdz Tā kā aplūkojamo skaitļu kopskaits ir 4, tad kaut kādi divi o tiem ir vieādi; ti x + xi x69 x j No šejiees iegūstam prasīto atrisiājumu x + xi + x j x69 6

7 96 Skat 97 zīm B P C T A D X Q B C M R S Y A D 97 zīm Viegli redzēt, ka taise XY paralēla plakei paralēli XY (ti paralēli CB ) Apzīmējam BB C C Tātad šķēluma līija PQ Jāvelk M PQ BC Velkam taisi MY Tā pieder šķēluma plakei Tās krustpuktus ar ogriežņiem AB u CD apzīmējam atbilstoši ar S u R Velkam taisi SX Tās krustpuktu ar ogriezi A B Apzīmējam ar T Prasītais šķēlums ir piecstūris PQRST 97 Jā, var Ņemsim skaitļus, summu, k k k + + L+, k < k < L, K, r Aplūkosim jebkuru šo skaitļu r < k Šī summa dalās ar k, bet edalās ar lielāku divieka pakāpi; tātad pirmskaitlis ieiet šajā summā kā reiziātājs epāra pakāpē, u šī summa av aturāla skaitļa kvadrāts 98 Aplūkosim vieības vektorus ar koordiātēm ( x, cos x), ( si y, cos y), ( si z, cos z) si To summa ir ulles vektors; tātad šie vektori veido regulāra trijstūra kotūru, u leņķi starp tiem ir 0 99 Aplūkosim 98 zīmējumu B M K P A C N 98 zīm 7

8 Tā kā AKMC -- ievilkts četrstūris, tad pierāda, ka u MKC MAC BKM 80 AKM ACM Līdzīgi AKN ACM No ievilkto leņķu īpašības seko, ka NKC NBC No teorēmas par krustojošos hordu ogriežņu reiziājumiem seko vieādības Tātad AP PM CP PK u CP PK BP PN AP BP AP PM BP PN u ; tāpēc trijstūri APN u BPM ir līdzīgi u PN PM PAN PBM No šejiees AKC BKC 90 u CK ir augstums Tā kā PAN PKN, tad ap četrstūri AKPN var apvilkt riņķa līiju; tāpēc ANP 80 AKP 90 u arī BN ir augstums Līdzīgi pierāda, ka AM ir augstums 90 Ar a apzīmēsim, cik komadas var izveidot, ja ridā stāv studeti (ieskaitot tukšu komadu) Tad redzam, ka a, a Pieņemsim, ka ridā stāv studeti: epiedalās x, x, K, x Aplūkosim komadas, kurās x Tā kā atlikuši studeti, tad šādu komadu skaits ir a Komadas, kurās iekļauts x, evar piedalīties x a No šejiees iegūstam rekuretu sakarību + a a a ; tātad šādu komadu skaits ir Tālāk pakāpeiski izrēķiām: a +, a + 8, a + 8, K, a Tā kā tukšo komadu mēs eieskaitām, tad atbilde ir 76 9 Dotās fukcijas atvasiājums ir fukcija y ax + bx + c Ja a 0, tad tai ir e vairāk kā divas sakes; tātad a 0 y bx + c Ja b 0, tad tai ir tikai viea sake; tātad b 0 Iegūstam fukciju Ja c 0, tad fukcijai y c vispār av sakņu; tātad c 0 Iegūstam, ka y d tātad tā ir kostata fukcija 9 Pieņemsim pretējo, ka tādus skaitļus izvēlēties evar Sakārtosim dotos skaitļus augošā secībā a < a < a < a4 < a < a6 Skaidrs, ka a, a u a Ja a 4 < 6, tad skaitļu trijieks a, a, a4 apmieriātu uzdevuma osacījumus; tātad a a a 6 4 Līdzīgi iegūstam a a a 6 8, a a a Iegūta pretrua 4 ar uzdevuma osacījumiem; apgalvojums pierādīts 6 4, u 8

9 9 Aplūkosim vieības vektorus e ( a b), e ( c, d ), e ( e, f ) skalārā reiziājuma formulas seko, ka e, e e e cos e, e cos e e ac + ( ) ( ) ( ) bd,, No Līdzīgi iegūstam, ka cos ( e, e ) ae + bf u cos ( e, e ) ce + df Starp vektoriem e, e, e vismaz vies leņķis epārsiedz 0 Pretējā gadījumā leņķi summā pārsiegtu 60 Šī leņķa kosīuss av mazāks par Apgalvojums pierādīts 94 Papildiām trijstūri ABC līdz vieādsāu trapecei ABCD; tad P atrodas uz tās simetrijas ass (skat 99 zīm) D A B C P Apzīmējam 99 zīm ABC α ; tad BCA α, DAC 80 α Tā kā DAB ABC α, tad BAC 80 α No vieādības DBA DBC ABC ACB ABC α α α DAB seko, ka trijstūris BDA ir vieādsāu; tātad BD DA No šejiees seko, ka trijstūris PDA ir regulārs ( PA PD o simetrijas; PA AC BD DA ); tātad BAP 60 α BAC, ko arī vajadzēja pierādīt k 9 Aplūkosim patvaļīgu epāra skaitli u skaitļu grupu,,, K,, kas epārsiedz 00 Katrā šādā grupā drīkst izvēlēties katru otro skaitli Tātad skaitļu grupā,, 4, 8, 6,, 64 var maksimāli izvēlēties četrus skaitļus:, 4, 6, 64 Skaitļu grupā, 6,, 4, 48, 96 var maksimāli izvēlēties skaitļus :,, 48 Skaitļu grupā, 0, 0, 40, skaitļus:, 0, 80 Skaitļu grupā 7, 4, 8, 6 -- skaitļus: 7, 8 Skaitļu grupā 9, 8, 6, 7 -- skaitļus: 9, 6 9

10 Skaitļu grupā,, 44, skaitļus:, 44 Skaitļu grupā, 6, -- skaitļus:, Skaitļu grupā, 0, skaitļus:, 60 Skaitļu grupā 7, 4, skaitļus: 7, 68 Skaitļu grupā 9, 8, skaitļus: 9, 76 Skaitļu grupā, 4, skaitļus:, 84 Skaitļu grupā, 46, 9 -- skaitļus:, 9 Skaitļu grupā, 0, skaitļus:, 96 Grupās, kas atbilst pārējiem epāra skaitļiem o 7 līdz 99 (tādu ir 7) ir e vairāk kā divi skaitļi; o tiem var izvēlēties tikai vieu Kopā izāk, ka var izvēlēties 67 skaitļus 96 Skaitļu kvadrāti pēc moduļa pieņem vērtības 0 u Tātad o kogrueces a + b 0 ( mod ) seko, ka a b 0 ( mod ) arī a + b dalās ar 9 97 Vieādojumu pārveidojam: si x + si x si Atbilde: 4si cos x cos x x cos Tā kā a u b dalās ar, tad x 0 x cos cos x 0 a u ( 4si x ) ( cos x ) 0 cos x ( cos x) 0 π x + πk, ± arccos + πk, k Z 98 Nē, tāds daudzskaldis eeksistē x b dalās ar 9; līdz ar to Pieņemsim pretējo, ka katrai skaldei ir vismaz 6 malas Aplūkosim visu daudzskaldņa skaldņu leņķu vidējo lielumu S 0 Katrai skaldei leņķu vidējais lielums ir e mazāks par 0 ; tātad S 0 Leņķu summa pie izliekta daudzskaldņa virsotes ir mazāka par 60 ; tā kā leņķu ir vismaz, tad leņķu vidējais lielums pie virsotes ir mazāks par 0 No šejiees seko, ka S < 0 Iegūta pretrua 0

11 940 Apskatām fukcijas y si t Y grafiku itervālā [ 0, α] t 0 α α α 408 zīm Pierādāmā evieādība izsaka faktu, ka pakāpieveida figūras laukums lielāks par laukumu zem fukcijas grafika, kas ir vieāds ar tiek izmatots fakts, ka fukcija y si t dotajā itervālā ir augoša α 0 si t dt cosα Protams šeit

Σχετικά έγγραφα

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu: trisiājumi Latvijas 6 matemātikas olimpiāde posms 9 Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme 0, ja > 0? risiājums Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilo kvadrātu: 0 ( ) 0 0 0 0 0 Tā kā kvadrāts viemēr