Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)"

Ἐπαφρᾶς Παπακώστας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

2 Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Σκοπός αυτού εργαστηρίου είναι η γνωριμία του φοιτητή με την έννοια της αριθμητικής παραγώγισης και τις διάφορες μεθόδους υλοποίησής της μέσα από το M Ειδικότερα, ο φοιτητής θα ασχοληθεί με τα παρακάτω αντικείμενα 1 Αριθμητική Παραγώγιση Διαφορές Πρώτη παράγωγος με προς τα εμπρός διαφορές Πρώτη παράγωγος με προς τα πίσω διαφορές Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

3 Αριθμητική Παραγώγιση Υπολογισμός Αριθμητικής τιμής της Παραγώγου σε σημείο x 0 Είσοδος τα δοθέντα σημεία Έξοδος η αριθμητική τιμή της παραγώγου στο σημείο x0 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

4 Διαφορές Δίνεται ο πίνακας τιμών x y Έχουμε 5 σημεία αρά θα υπολογίσουμε διαφορές μέχρι τέταρτης τάξης Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

5 Διαφορές Δημιουργούμε πίνακα τιμών των διαφορών x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

6 Διαφορές Υπολογισμός των διαφορών, σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

7 Διαφορές Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

8 Πρώτη παράγωγος ( NG) Για s = 0 υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο στο x = x 0 Επομένως, με βάση το n έχουμε Για n = 1 f (x 0 ) 1 h f 0 Για n = 2 [ f f 0 ] f (x 0 ) 1 h Για n = 3 [ f f f 0 ] f (x 0 ) 1 h Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

9 Πρώτη παράγωγος ( NG) Για n = k, με k περιττό f (x 0 ) 1 [ f 0 12 h 2 f f 0 + 1k ] k f 0 ή ισοδύναμα, με k άρτιο f (x 0 ) 1 [ f 0 12 h 2 f f 0 1k ] k f 0 Η αριθμητική παραγώγιση με το πολυώνυμο NG χρησιμοποιείται στα αρχικά σημεία παρεμβολής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

10 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Με το πολυώνυμο NG έχουμε Για x 0 = 0 έχουμε μέχρι 4 διαφορές, άρα f (0) 1 h [ f f f f 0 ] = ( 4) = 9 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

11 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

12 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 1 έχουμε μέχρι 3 διαφορές, άρα f (1) 1 [ f 0 12 h 2 f ] 3 f 0 = = 2 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

13 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 2 έχουμε μέχρι 2 διαφορές, άρα f (2) 1 [ f 0 12 ] h 2 f 0 = = 1 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

14 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 3 έχουμε μέχρι 1 διαφορές, άρα f (3) 1 h f 0 = 11 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

15 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x 0 = 4 δεν έχουμε προς τα εμπρός διαφορές και δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

16 Πρώτη παράγωγος ( NG) Για s = 0 υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο στο x = x n Επομένως, με βάση το n έχουμε Για n = 1 f (x n ) 1 h f n Για n = 2 [ f n f n ] f (x n ) 1 h Για n = 3 [ f n f n f n ] f (x n ) 1 h Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

17 Πρώτη παράγωγος ( NG) Για n = k f (x n ) 1 h [ f n f n f n + + 1k k f n ] Η αριθμητική παραγώγιση με το πολυώνυμο NG χρησιμοποιείται στα τελευταία σημεία παρεμβολής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

18 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Με το πολυώνυμο NG έχουμε Για x n = 0 δεν έχουμε προς τα πίσω διαφορές και δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο Για x n = 1 έχουμε μέχρι 1 διαφορές, άρα f (1) 1 h f n = 5 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

19 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 2 έχουμε μέχρι 2 διαφορές, άρα f (2) 1 [ f n + 12 ] h 2 f n = ( 4) = 1 2 σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

20 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 3 έχουμε μέχρι 3 διαφορές, άρα f (3) 1 [ f n + 12 h 2 f n + 13 ] 3 f n = = 6 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

21 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα σε M θα έχουμε Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

22 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Για x n = 4 έχουμε μέχρι 4 διαφορές, άρα f (4) 1 [ f n + 12 h 2 f n f n + 14 ] 4 f n σε M θα έχουμε = = 17 Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

23 Πρώτη παράγωγος - Παράδειγμα Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

24 Άσκηση Δίνεται ο πίνακας τιμών x y Να υπολογιστούν οι τιμές f (2), f (4), f (6), f (8) Απάντηση: f (2) =, f (4) =, f (6) =, f (8) = Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος / 24

Σχετικά έγγραφα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι