IV. CALCULUL PLĂCILOR CIRCULARE PLANE

Transcript

1 IV.1. Ipoezele e lucu IV. CALCULUL PLĂCILOR CIRCULARE PLANE Moelul mecanic al uno elemene e ezisenţă cae au ouă imensiuni e acelaşi oin e măime ia a eia (gosimea fig. IV.1) mul mai mică în compaaţie cu pimele ouă se numeşe placă. Fig. IV.1 Elemenele e ezisenţă cae po fi consieae ca nişe plăci sun numeoase: capacele plane ale ezevoaelo flanşele ifeie ipui e iafagme şi ispoziive e eanşae pisoanele pompelo şi ale mooaelo cu aee inenă. in punc e veee geomeic o placă ese caaceizaă pin: a). supafaţa meiană - supafaţa meiană epezină locul geomeic al puncelo egal epăae e supafeţele exeioae ale plăcii. in aces punc e veee plăcile se împa în: plăci plane acă supafaţa meiană ese un plan ia upă foma conuului in plan al plăcii se eosebesc plăci plane ciculae epungiulae iungiulae inelae; plăci cube acă supafaţa meiană ese o supafaţă cubă (simeică sau sîmbă). b). gosimea plăcii () consană sau vaiabilă măsuaă pe nomala la supafaţa meiană. upă gosime se ising: plăci subţii (cu efomaţii mici/e igiiae mae sau cu efomaţii mai/e igiiae mică); plăci goase. Aceasă pezenae se ocupă cu suiul plăcilo subţii avân efomaţii mici (e mae igiiae). in punc e veee mecanic o placă ese caaceizaă pin: a). maeialul in cae ese confecţionaă placa cae se pesupune că ese omogen izoop şi ieal elasic. b). sacinile aplicae plăcii cae se pesupun că au o isibuţie axial-simeică şi cel mai fecven po fi: pesiune nomală pe supafaţa plăcii isibuiă upă o lege cunoscuă p=p() [N/m ]; foţe pepeniculae pe planul plăcii unifom isibuie pe conuui ciculae cu cenele pe axa e simeie penu a păsa simeia axială a încăcăii [N/m] sau foţe concenae acţionân în cenul e simeie [N]; momene cu efec e încovoiee unifom isibuie pe conuui ciculae [Nm/m]. c). moul e fixae (ezemae) cae ese funamenal în eeminaea consanelo e inegae. ). efouile secţionale (N T Mi) cae în cazul plăcilo se măsoaă pe uniaea e lungime a secţiunii pin placă (N [N/m] T [N/m] Mi [Nm/m]). 54

2 Ipoezele e calcul se pezină penu o placă ciculaă e gosime consană ezemaă înun mo oaecae şi încăcaă cu un sisem e sacini axial-simeice. aoiă simeiei saea e ensiune şi e efomaţie a plăcii va fi simeică în apo cu axa ei cenală z-z şi cu supafața meiană cae pin efomae va eveni o supafaţă e oaţie (evoluţie) numiă supafaţa elasică a plăcii sau supafaţa meiană efomaă (fig. IV.). Fig. IV. Ipoeza I-a. Se accepă că eplasăile w ale puncelo supafeţei meiane pe iecţia axei z sun cu mul mai mici ecâ gosimea a plăcii asfel încâ w. 5 Aceasă ipoeză pemie să se consiee că supafaţa meiană a plăcii se efomează făă să se înină especiv că eplasăile aiale ale puncelo ei se po neglija. Ipoeza a II-a. Ese cunoscuă sub numele e ipoeza lui Kicoff şi ese o genealizae la cazul copuilo e ip placă a ipoezei secţiunilo plane a lui Benoulli e la ginzi. Asfel puncele cae se află înaine e efomaea plăcii pe o nomală la planul meian ămân upă efomae o pe o eapă cae ese însă nomală la supafaţa elasică a plăcii. Cu ale cuvine aceasă ipoeza spune că secţiunile cilinice coaxiale conuului în saea neîncăcaă a plăcii se ansfomă în supafeţe conice în uma efomăii. (fig. IV.). Ipoeza a III-a. Se efeă la saea e ensiune a plăcii. Aceasă ipoeză amie o lipsă e ineacţiune îne sauile oizonale ale plăcii asfel că ensiunile nomale σz in secţiunile paalele cu planul meian sun neglijabile. Ipoeza ese aplicabilă numai penu plăcile la cae apoul ine gosimea a plăcii şi iameu ese mai mic ecâ 1/5 ( 5 ). Ipoeza simplifică legea lui Hooke neglijân emenii e foma νσz. O placă cae nu saisface aceasă coniţie se consieă placă goasă. 55

3 Fig. IV. 56

4 IV.. Saea e efomaţie În coniţiile ipoezelo amise se sabilesc expesiile penu efomaţiile specifice uilizân un sisem e cooonae polae. Asfel se izolează in placă un elemen e volum cu ajuoul a ouă plane aiale cae fac ungiul θ şi a ouă supafeţe cilinice concenice e aze şi (+) (fig. IV.4). În coninuae se analizează moul în cae se efomează segmenul MN e lungime iniţială afla la coa (isanţa) z e planul meian: puncele O şi P in planul meian al plăcii ămân upă efomaţie în supafaţa meiană efomaă la isanţele iniţiale şi (+) e axa z (eplasăile aiale ale puncelo apaţinân supafeţei meiane se neglijează upă pima ipoeză); segmenul AOB iniţial paalel cu axa z se oeşe cu un ungi φ faţă e axa z şi ămâne nomal la planul meian efoma. Segmenul eciliniu CP infini apopia e AOB se va oi cu ungiul φ+φ. Se inouce asfel funcţia φ() cu ajuoul căeia se va caaceiza saea e efomație a plăcii. Se efinesc: efomaţia specifică aială ε epezenân lungiea specifică în iecţia azei a elemenului e lungime MN ispus aial M' N' MN M' N' M' N MN M' N NN' MM' z z z z. (IV.1) efomaţia specifică cicumfeenţială ε epezenân lungiea specifică a unei fibe inelae cae ece pin puncul M (afla iniţial pe un cec e ază ia upă efomaea plăcii ece în M pe un cec e ază MM' z ) z z. (IV.) Fig. IV.4 57

5 IV.. Expimaea ensiunilo cu ajuoul funcţiei φ() Pe baza ipoezei a III-a ensiunile nomale pe secţiunile paalele cu planul meian (σz=0) sun absene legea lui Hooke genealizaă (I.5a) pimin foma mai simplă: 1 E 1 E E 1 E 1 ze 1 ze 1 (IV.) une efomaţiilo specifice ε şi ε le coespun ensiunile nomale σ şi σ. Se obsevă in ecuaţiile (IV.) că ensiunile nomale σ şi σ sun nule în supafaţa meiană penu z 0 şi vaiază popoţional cu isanţa z e la planul meian; ele sun ensiuni e îninee sub planul meian penu z 0 şi e compesiune e cealală pae a supafeţei meiane. Aceasă isibuţie e ensiuni epine în plus e moul e încăcae şi e ezemae a plăcii. Acese ensiuni nu se po penu momen calcula eoaece funcţia φ() ese necunoscuă. IV.4. Relaţiile e ecivalenţă Penu suiul săii e ensiune se ecupează in placă un elemen e volum ABCEFHG cu ajuoul a pau supafeţe e secţionae: ouă plane aiale cae fac îne ele ungiul infini mic θ şi ouă supafeţe cilinice concenice coaxiale cu axa z cu azele şi (+) (fig. V.5). Pe feţele acesui elemen e volum apa ensiunile umăoae: pe secţiunile aiale (ABC şi EFHG) aoiă simeiei geomeice şi a încăcăii exeioae nu ese posibilă apaiţia ensiunilo angenţiale τ şi τz (efomaea plăcii se face asfel încâ nu apa efomaţii ungiulae secţiunile aiale ABC şi EFHG nu lunecă una în apo cu cealală nici în iecţia axei z nici în iecţia axei ). Pe acese supafeţe apa numai ensiunile nomale cicumfeenţiale σ aceleaşi în oae secţiunile aiale aflae la isanţa e axa z. pe secţiunile peifeice ABEF şi CGH (cae upă efomaea plăcii umează nişe supafeţe conice lunecân una în apo cu cealală) po să apaă ensiuni angenţiale e ipul τz. În plus apa ensiunile nomale aiale σ cae au aceeaşi valoae în oae puncele siuae la un anumi nivel z e planul neuu confimân simeia axială accepaă. Pe acese supafeţe nu apa ensiunile angenţiale τ neexisân ualele lo in secţiunile aiale (τ=0). Efouile secţionale cae în fig. IV.5 acţionează asupa elemenului e volum epezenân ezulanele foţelo ineioae ce lucează pe feţele lui sun umăoaele: foţele angenţiale elemenae e foma τza e pe secţiunea ABEF au ca ezulană o foţă ăieoae e inensiae T iijaă paalel cu axa z şi isibuiă pe uniaea e lungime a acului θ [N/m] egală cu (Tθ). În secţiunea infini apopiaă CGF foţa ăieoae capăă o ceşee infini mică evenin [Tθ+(Tθ)] (fig. IV.5). Foţele ăieoae epezenae pe cele ouă supafeţe peifeice sun consieae ca fiin poziive (pe supafaţa peifeică ineioaă foţa ăieoae poziivă ese oienaă în sensul poziiv al axei z ia pe cea exeioaă foţa ăieoae poziivă ese oienaă spe paea negaivă a axei z). în secţiunile peifeice ABEF şi CGF mai acţionează ca ezulane ale momenelo foţelo ineioae nomale e foma σa momenele încovoieoae aiale e inensiae M isibuie pe acul θ [Nm/m]. Asfel pe supafaţa ABEF momenul încovoieo ese (Mθ) ia pe supafaţa CGF infini apopiaă ese [Mθ+(Mθ)]. 58

6 Fig. IV.5 Egaliaea ine momenele foţelo elemenae ineioae în apo cu uma supafeţei neue în planul secţiunii şi efouile secţionale luae ca soliciăi exeioae conuce pin inegae pe gosimea plăcii şi inoucân expesiile (IV.) ale ensiunilo la: M A z z z E 1 E M (IV.4) 11 une cu s-a noa igiiaea la încovoieea cilinică a plăcii z z 59

7 E (IV.5) 11. momenele încovoieoae cicumfeenţiale elemenae e inensiae M ce acţionează pe secţiunile aiale ABC şi EFGH sun ezulanele momenelo foţelo ineioae e ipul (σa); acesea sun egale cu (M) şi sun consieae poziive acă pe gosimea plăcii în puncele căoa le coespun valoi poziive ale cooonaei z se pouc ensiuni nomale e îninee; pin inegae pe gosimea plăcii se obţine: M M E z z 1 z E. (IV.6) 11 pe feţele elemenului e volum în coniţiile isibuţiilo e ensiuni ae e expesiile (IV.) efouile secţionale nomale N sun nule ca ezulane ale euceii foţelo elemenae nomale (σa) şi (σa). Asfel penu faţa ABC a elemenului e volum se obţine efoul N: Ez E N ABC z z z z şi analog se emonsează că NABEF=0 şi penu faţa ABEF. z Inoucân elaţiile (IV.4) şi (IV.6) în (IV.) se sciu elaţiile penu ensiunile nomale: Ez 1 Ez 1 Ez 1 Ez 1 M M 1 M 1 M z z (IV.7) evienţiin isibuţia simeică a aceso ensiuni pe gosimea plăcii cu valoile maxime obţinue penu z la supafaţa plăcii: 6M 6M max ; max. (IV.8) in elaţiile (IV.4) şi (IV.6) se obţine şi expesia ungiului e oaţie φ() a nomalei în funcţie e inensiăţile momenelo încovoieoae: M M 1 M M. (IV.9) 1 E 60

8 IV.5. Ecuaţiile e ecilibu saic Asupa elemenului e volum pezena în fig. IV.5 se aplică foţele exeioae povenie in acţiunea unei pesiuni nomale pe supafaţa exeioaă a plăcii isibuiă upă o lege p=p() alăui e efouile secţionale T M M. Penu că elemenul e volum ese infini mic se pesupune că pesiunea p [N/mm ] ese consană ia foţa concenaă ezulană ecivalenă in punc e veee saic cu aceasa ae valoaea pa=p θ (fig. IV.6). Fig. IV.6 Ecuaţiile e ecilibu ale elemenului e volum sun: poiecţia uuo foţelo upă axa z (ţinân con că măimea θ nu vaiază cu aza) T T T T p 0 p T p. suma momenelo uuo foţelo aplicae elemenului în apo cu axa Δ (IV.10) 61

9 M M M M sin T T M M sin T T p 0. p 0 Neglijân emenii ce epezină infiniţi mici e oin supeio şi accepân că obţine: sin se M M T 0 : 0 M M T. (IV.11) aoiă coniţiilo e simeie accepae celelale ecuaţii e ecilibu sun saisfăcue în mo ienic. Cele ouă ecuaţii e ecilibu (IV.10) şi (IV.11) conţin ei funcţii necunoscue T() M() M() poblema fiin saic neeeminaă. Soluţionaea poblemei pesupune apelul la celelale aspece ale poblemei (geomeic şi fizic) obţinânu-se o singuă ecuaţie ifeenţială cu o necunoscuă şi anume funcţia ezolvană φ(). IV.6. Ecuaţia ifeenţială a plăcilo ciculae în funcţia φ() in ecuaţia (IV.10) pin inegae în coniţiile în cae se cunoaşe funcţia p = p() se poae eemina inensiaea foţei ăieoae ca funcţie e ază T = T(). O ală moaliae e eeminae a funcţiei T() ese epezenaă e examinaea ecilibului păţii cenale cilinice (e ază cuenă ) a plăcii exemplificaă penu o placă ciculaă încăcaă cu o pesiune isibuiă unifom p = cons. şi o foţă concenaă F aplicaă în cenul plăcii (fig. IV.7). Fig. IV.7 in ecuaţia e ecilibu ce epezină suma poiecţiilo foţelo upă axa z ezulă: F p T F p 0 T N. (IV.1) m 0 0 6

10 Se obsevă că funcţia T() se poae eemina în mo inepenen e celelale ouă funcţii necunoscue M() M() conţinue e ecuaţia ifeenţială e ecilibu (IV.11). Înlocuin în aceasa in umă expesiile (IV.4) şi (IV.6) ale celo ouă funcţii necunoscue se va obţine o ecuaţie ifeenţială cu o singuă funcţie necunoscuă φ() aică funcţia ungiului e oie a nomalei la planul meian. Funcţia φ() îneplineşe olul unei funcţii ezolvane similaă funcţiei e ensiune a lui Aiy înucâ cu ajuoul ei se po ezolva poblemele pivin săile e ensiune şi efomaţie ale plăcii. Asfel acă gosimea plăcii ese consană in (IV.4) pin muliplicae cu ezulă: M M ia cu (IV.6) înlocuin în ecuaţia ifeenţială e ecilibu (IV.11) ezulă ecuaţia 1 T (IV.1) enumiă ecuaţia ifeenţială a plăcilo ciculae. Ecuaţia se inegează elaiv uşo obsevân că se poae scie sub foma umăoae: 1 T. (IV.14) in aceasă ulimă elaţie se obţine expesia ungiului e oie φ() pin ublă inegae: 1 T C 1 T C1 T C1 C C C 1 T 1. (IV.15) une consanele e inegae C1 şi C se eemină penu fiecae caz paicula punân coniţiile la limiă coespunzăoae. 6

11 IV.7. Ecuaţia ifeenţială a plăcilo ciculae în funcţia eplasae w() e mule oi se pefeă alegeea săgeţii w() ep necunoscuă unică (ep funcţie ezolvană) a poblemei în locul ungiului e oie a nomalei φ() (fig. IV.8). Penu plăcile e mae igiiae (cu eplasăi mici) legăua analiică ine w() şi φ() se sabileşe elaiv simplu. Fig. IV.8 in fig. IV.8 noân cu w() eplasaea puncelo plăcii aflae pe un cec e ază se scie w g (IV.16) aică la ceşeea azei ungiul φ ceşe ia săgeaa w scae; ia e aici: w C (IV.17) une consana e inegae C se eemină in coniţia la limiă (e obicei eplasăile pe conuul e ezemae al plăcii sun nule). acă se lucează cu aceasă necunoscuă w() ţinân con că w şi w ecuaţia ifeenţială a plăcilo ciculae (IV.1) se ansfomă asfel: w 1 w 1 w T (IV.18) ia expesiile (IV.4) şi (IV.6) ale momenelo încovoieoae evin M w w 1 w w şi M. (IV.19) Inegaea ecuaţiei (IV.18) se efecuează penu fiecae in poţiunile plăcii cu fome ifeie ale funcţiei T() ia număul consanelo e inegae ceșe. 64

12 IV.8. Coniţii la limiă penu calculul plăcilo Rezolvaea unei pobleme e placă ciculaă pesupune eeminaea unei funcţii φ() cae să saisfacă ecuaţia ifeenţială (IV.1) şi anumie coniţii la limiă (coniţii e ezemae) pe conu. Se subliniază însă fapul că eeminaea consanelo e inegae C1 C in (IV.15) ese inepenenă e calculul consanei C in (IV.17). Se ising ouă caegoii e coniţii la limiă: A). Coniţii e ezemae pe un conu încasa al plăcii (fig. IV.9) une φ=0 şi w=0 ia îne inensiăţile momenelo încovoieoae exisă elaţia M=νM (în baza IV.9). Fig. IV.9 pe un conu aicula sau libe al plăcii pe cae nu sun aplicae cuplui exeioae se accepă că M=0. Penu cazul în cae pe aces conu se aplică un cuplu exeio unifom isibui e inensiae ±m [Nm/m] coniţia la limiă va fi e foma M=±m (fig. IV.10). Fig. IV.10 la plăcile cae nu au un oificiu cenal consana C ese nulă eoaece ungiul e oaţie in coniţiile e simeie la = 0 ese nul; asfel in (IV.15) se obţine C = 0. B). Coniţii e coninuiae În cazul în cae placa ae mai mule poţiuni e igiiae ifeiă sau mai mule omenii concenice pe cae funcţia T() ae fome analiice ifeie se uilizează penu eeminaea consanelo e inegae coniţiile e coninuiae (număul consanelo e inegae va fi egal cu ublul număului e omenii eoaece expesia ungiului φ() conţine câe ouă consane e inegae pe fiecae poţiune). Coniţiile e coninuiae expimă fapul că supafaţa elasică a plăcii ese o supafaţă coninuă făă zone e isconinuiae sau vaiaţii bușe ale paameilo geomeici. În fomă analiică aceasă obsevaţie fizică se scie (fig. IV.11): la conacul poţiunilo (i) şi (i+1) e ază comună i+1 in coniţia e coninuiae a eplasăilo ezulă φi=φi+1 cu i=1 n; in coniţia e egaliae a foţelo ineioae se poae scie că M(i)=M(i+1) aceasă coniţie fiin ecivalenă cu egaliaea eivaelo ungiuilo e oaţie pe conuul comun celo ouă poţiuni φi =φi+1 ; Fig. IV.11 penu eeminaea consanelo e inegae Ci se scie coniţia e egaliae a săgeţilo pe aza comună a poţiunilo consieae wi = wi+1. 65

13 IV.9. Soluționaea ecuațiilo ifeențiale penu plăci În aplicaţiile pacice se ising fecven umăoaele siuaţii: acă inensiaea foţei ăieoae T() se poae euce in-o ecuaţie e ecilibu (aşa cum e exemplu s-a obţinu elaţia (IV.1)) pin sepaaea unei poţiuni e placă pin-o secţiune upă un conu cicula cae nu conţine conuul e ezemae aunci soluţionaea poblemei poneşe e la ecuaţia în φ (IV.14) 1 T cae se inegează succesiv e ouă oi şi se obţine expesia oiii φ. Consanele e inegae C1 şi C se eemină in coniţiile la limiă cae se pun însă numai în oiile φ şi momenele încovoieoae M. upă eeminaea compleă a funcţiei φ se calculează efouile secţionale M M cu elaţiile (IV.4) şi (IV.6): M ; M. Penu calculul săgeţilo se inouce funcţia φ în (IV.17) C w şi pin inegae se obţine expesia w epenenă e o consană e inegae C cae se eemină in-o coniţie la limiă expimaă în săgeţile w. În cazul plăcilo cu ouă sau mai mule conuui e ezemae soluţia se obţine ponin e la ecuaţia (IV.10) T 1 T p p în cae se înlocuieşe T in (IV.14) 1 T şi φ in (IV.16) ezulân ecuaţia ifeenţială a săgeţii w 1 1 w p (IV.0) a căei fomă ezvolaă ese: 4 w w 1 w 1 w p. (IV.1) 4 Pin inegaea ecuaţiei (IV.0) se obţine soluţia penu w în cazul sacinilo unifom isibuie: 4 p w C1 C C ln C4 ln (IV.) 64 R R une R ese o ază cunoscuă ia consanele e inegae se eemină in coniţiile la limiă expimae în săgeţi oii momene M şi foţe ăieoae. 66

14 Calculul ensiunilo. in expesiile (IV.7) se obţin ensiunile nomale în funcţie e momenele secţionale: 1 M z ; 1 M z isibuţia aceso ensiuni pe gosimea plăcii fiin liniaă. Penu feţele infeioaă şi supeioaă ale plăcii se obţin valoile exeme (penu z = ±/) in (IV.8): max 6 M ; max 6 M. Tensiunile angenţiale τz (uilizân un aţionamen simila cu cel e la sabiliea fomulei lui Juavski) se expimă cu T z z z 1 4 (IV.) aică ensiunile angenţiale sun isibuie paabolic pe gosimea plăcii (fig. IV.1) sun nule pe supafeţele supeioaă şi infeioaă ale plăcii (z = ±/) especiv maxime în supafaţa meiană (la z = 0): T z max. (IV.4) Fig. IV.1 espe saea e ensiune în-o seie e punce caaceisice pe gosimea plăcii se pecizează: în puncele siuae pe supafeţele exeioae neîncăcae ale plăcii saea e ensiune ese biaxială; cele ei ensiuni pincipale sun: ; 0. 1 ; 67

15 acă pe supafaţa plăcii acţionează o pesiune exeioaă p aunci şi pe supafaţa încăcaă a plăcii se pouce o sae iaxială e ensiune cu ensiunile pincipale: 1 ; ; p. în puncele siuae în supafaţa meiană saea e ensiune ese biaxială şi anume e fofecae puă; în oae celelale punce ale plăcii aoiă ensiunilo angenţiale in secţiunile cilinice coaxiale se pouce o sae e ensiune iaxială; secţiunile aiale ale plăcii epezină una in supafeţele pincipale penu că pe ele nu acţionează ensiuni angenţiale. e aceea ensiunea cicumfeenţială σ ese înoeauna o ensiune nomală pincipală (e exemplu σ1). Celelale ouă ensiuni nomale pincipale se calculează cu elaţia: 1 4z. (IV.5) În fibele exeme ale plăcii coniţia e ezisenţă upă eoia ensiunilo angenţiale maxime (Tτ) ese: (IV.6) ec max ; ; a ia upă eoia enegiei poenţiale e eviaţie (TE): ec (IV.7) 5 a. 68