2. Bazele experimentale ale opticii electromagnetice

Transcript

1 Bazele expeimentale ale opticii electomagnetice.. Legea lui Coulomb În expeienţa lui Coulomb s-a stabilit că în uul unui cop încăcat cu sacină electică apae un câmp de foţă, cae acţionează asupa unei sacini electice de pobă aflate în apopiee. Inteacţiunea dinte sacinile electice se ealizează pin intemediul câmpului electic. acina electică de pobă se consideă punctifomă şi de valoae suficient de mică, pentu a nu petuba distibuţia câmpului electic. Legea lui Coulomb se expimă pin elaţia (.53) sau: Qq F (.) Qq 4π unde q este sacina copului de pobă, aflat în vid la distanţa de sacina punctifomă staţionaă Q. Foţa este epulsivă dacă sacinile au acelaşi semn şi este atactivă dacă sacinile sunt de semn conta. e defineşte intensitatea câmpului electic în vid ca apotul dinte foţa cae se execită în vid asupa copului de pobă şi sacina lui electică q atunci când aceasta din umă tinde pactic căte zeo. Tebuie să ţinem seama de faptul că nu putem diviza o sacină electică decît pînă la sacina electonului e, întucât sacina unei paticule este un multiplu înteg de sacini elementae q ± n e. Q F Qq E (.) Q 4π q Pentu o distibuţie discetă de sacini înt-un punct de coodonate x, y, z este: sau: E ( x, y, z) Q, Q,..., Q, intensitatea câmpului electic Q N N i i (.3) i 4π i i E E E... E (.3 ) N Această elaţie expimă pincipiul supepoziţiei câmpuilo electice (intensitatea câmpului electic ezultant este egală cu suma vectoială a intensităţilo câmpuilo electice geneate de fiecae sacină electică). Dacă susa câmpului electic este o distibuţie continuă de sacini, atunci în elaţia (.3) tebuie să înlocuim suma cu integala coespunzătoae: ρ ( ) ( x, y, z ) E x, y, z dx dy dz 4 V π (.4) unde ρ este densitatea volumică de sacină, definită ca limita apotului dinte sacina electică Q a unui element de volum v al copului şi espectivul element de volum, atunci când acesta din umă tinde căte volumul limită v cae coespunde sacinii electice m elementae e :

2 - 5 - Elementul de volum ρ lim Q v V V m (.5) d x dy dz este centat în uul punctului P (x, y, z ), ia vesoul este oientat de la punctul cuent P căte punctul P (x, y, z) în cae se detemină intensitatea câmpului electic. Vaiabilele de integae x, y, z mătuă înteg volumul v în cae se află sacini electice. Dacă sacina Q este epatizată în mod neunifom în volumul v, vom împăţi acest volum în elemente mici de volum v cae tebuie să fie suficient de mai ca să conţină un numă mae de sacini elementae discete (pentu ca sacina Q conţinută în v să poată fi consideată continuă) şi suficient de mici (pentu a considea sacina Q constantă în volumul v ). Pincipiul supepoziţiei poate fi ustificat în mod diect (cu autoul balanţei lui Cavendish) pin aceleaşi expeimente ce au stabilit valabilitatea legii lui Coulomb. Liniile de câmp electic sînt cube tangente în fiecae punct la diecţia locală a vectoului intensitate de câmp electic E. Înt-un câmp electostatic fiecae linie de câmp poneşte de pe o sacină pozitivă şi se sfâşeşte pe una negativă. Deoaece o linie de câmp electic este tangentă în fiecae punct P (x, y, z) la vectoul E (x, y, z) ezultă: dl c E i dx dy k dz c i E E k E ( ) x y z dx c E, dy c E, dz c E x y z dx dy dz (.6) E E E x y z unde dl este un element infinitesimal de pe linia de câmp electic, ia c este un scala abita. Relaţia (.6) epezintă ecuaţia difeenţială a liniilo de câmp electic... Lucul mecanic al foţelo electice. Enegia potenţială electică. Potenţialul câmpului electostatic Foţa (.) cae acţionează asupa unei sacini electice de pobă q aflate în câmpul electic geneat de o sacină Q este o foţă de tip cental. e ştie că foţele centale sunt foţe consevative, adică foţe cae deivă dint-un potenţial. Calculăm lucul mecanic efectuat pentu deplasaea unei sacini electice de pobă q în câmpul electostatic al sacinii electice Q din punctul în punctul, pe o taiectoie oaecae. Lucul mecanic elementa se expimă ca podusul scala dinte foţa F şi elementul dl dl q E dl q 4π F Qq Deoaece dl dl cos α d, ezultă: Qq d Qq L q E dl Q π 4 4π Qq de dum dl de pe taiectoia aleasă Qq dl (.7) (.8)

3 - 6 - e constată că lucul mecanic depinde numai de poziţia punctului iniţial şi a celui final. Dacă sacina de pobă se întoace în punctul iniţial pe o taiectoie oaecae, atunci lucul mecanic L efectuat de sacina de pobă împotiva câmpului este L L. Astfel lucul mecanic efectuat la deplasaea cu viteză constantă a unei sacini de pobă q pe o cubă închisă în câmpul unei sacini fixe Q (sau în geneal în câmpul unei distibuţii de sacini staţionae) este nul. q E Q dl E Q dl (.9) Relaţia (.9) expimă faptul că un câmp electostatic este un câmp consevativ (aceasta este una din popietăţile fundamentale ale câmpului electostatic). Aplicând teoema lui tokes (.) ezultă: ot E (.) adică un câmp electostatic (câmpul oicăei distibuţii de sacini fixe) este un câmp iotaţional. Relaţia (.) duce la concluzia că intensitatea câmpului electostatic poate fi scisă ca fiind gadientul unei măimi scalae V numită potenţial electic. E V (.) emnul minus aată că intensitatea câmpului electic E este oientată în sensul scădeii potenţialului V. Astfel E ae sensul opus vaiaţiei potenţialului ( E este îndeptat dinspe egiunea cu potenţial pozitiv spe egiunea cu potenţial negativ). Pentu deplasaea sacinii q din punctul până la infinit ( ) se consumă lucu mecanic: Qq d Qq L 4π (.) 4 π egal cu lucul mecanic necesa aduceii sacinii q de la infinit în punctul : Qq d Qq L 4π 4π acina q se deplasează în sensul în cae acţionează foţa lui Coulomb din patea sacinii Q asupa sacinii q. Am ţinut seama de faptul că foţa ce tebuie aplicată pentu a deplasa una din sacini (q) spe cealaltă (Q) este egală cu foţa lui Coulomb şi de sens opus acesteia. Astfel lucul mecanic nu depinde de odinea intoduceii sacinilo în sistem şi este independent şi de dumul pacus de sacini. Rezultă că acest lucu mecanic expimă o popietate a dispuneii finale a sacinilo şi de aceea se numeşte enegie potenţială electică a sistemului de sacini analizat. În cazul unui sistem în cae se află N sacini putem însuma pe peechi, astfel că enegia potenţială a sistemului este: q q q q q q N 3 3 q q k U... π π π (.3) π k 3 3 În (.3) se ia şi se însumează după k, 3, 4,..., N; apoi se ia şi se însumează după k, 3, 4,..., N; etc. pînă la N. Evident, în felul acesta fiecae peeche apae în sumă de două oi, de aceea în faţa sumei s-a pus factoul /. La definiea oicăei enegii potenţiale se consideă un nivel de efeinţă. În cazul nostu s-a ales enegia potenţială egală cu zeo pentu situaţia în cae sacinile există, da se află depătate una de alta la infinit. k

4 - 7 - Pin difeenţa de potenţial V V înte punctele şi se înţelege lucul mecanic efectuat de foţele câmpului electostatic pentu deplasaea sacinii electice pozitive, de valoae egală cu unitatea, din punctul în punctul : Q V V E dl π (.4) 4 Dacă potenţialul punctului final este zeo, atunci potenţialul în punctul este: V Q 4π (.5) adică potenţialul înt-un punct oaecae se detemină ca lucul mecanic efectuat de foţele câmpului electic pentu deplasaea sacinii electice pozitive egale cu unitatea din punctul espectiv până în punctul în cae potenţialul V este zeo. Punctul în cae potenţialul V este zeo poate fi ales abita. De egulă se consideă că punctul de potenţial nul se află la infinit şi în acest caz potenţialul V înt-un punct, oaecae, este dat de fomula: V Din elaţiile (.8) şi (.4) ezultă: E dl (.6) L q ( V V ) (.7) Pe baza definiţiei potenţialului înt-un punct, enegia potenţială electică a sistemului de N sacini din (.3) se scie: U N i q V i i Această elaţie poate fi pusă sub foma: q V q V... q V N N q q 4π q 4π q... 4π 3 N U ( ) 3 N (.8) q q q q q q 3 N N q q... 4π 4π 4π N 4π 4π 4π 3 N N N NN q q q q q q q q q q q q q q 3 N 3 4 N N N π 4π 4π 4π 4π 4π 4π N N 443 N N U U U U U... U N Pentu o distibuţie continuă a sacinii electice vom înlocui ρ d v ρ dx dy dz, ia suma tece înt-o integală de volum: U v ρ dv V N q din elaţia (.8) cu i (.9)

5 - 8 - Pincipiul supepoziţiei se aplică şi în cazul potenţialelo, la fel ca în cazul câmpuilo electice. Astfel potenţialul unei distibuţii continue de sacină electică este: ρ ( x, y, z ) dx dy dz V (x, y, z) π (.) 4 V unde x ( x ) ( y y ) ( z z ) este distanţa de la punctul P (x, y, z ) din elementul de volum d x dy dz (acest element de volum este centat în uul punctului P ) la punctul P (x, y, z) în cae se detemină potenţialul. e constată că difeenţa dinte această integală (.) şi integala cae dă intensitatea câmpului electic al distibuţiei de sacină (.4) constă în faptul că aici apae şi nu, ia integala este un scala şi nu un vecto. Dacă deteminăm potenţialul înt-un punct din inteioul distibuţiei continue de sacină pe baza fomulei (.) s-a păea că pentu potenţialul V a fi infinit. Acest lucu nu este adevăat, deoaece cu cât este mai mică aza unei pătui sfeice centate în uul punctului P, cu atât contibuţia acesteia la potenţial este mai mică. Astfel sacina dint-o pătuă sfeică de gosime d şi de ază centată în uul punctului P contibuie la elemental de potenţial dv cu 4π d ρ 4π d ρ / O pătuă sfeică de ază mai mică ae o contibuţie mai mică la potenţialul dv. Rezultă că potenţialul V este o funcţie convegentă (integala (.) este finită). La fel se aată că E din (.4) este o funcţie convegentă..3. Legea lui Gauss Fluxul intensităţii câmpului electic E pin supafaţa unei sfee de ază, în centul căeia se află o sacină electică punctifomă q, este: Φ E E da 4 E da E da π (.) 4π În geneal, fluxul vectoului E pint-o supafaţă închisă, de oice fomă, este egal cu suma algebică a sacinilo electice din inteioul volumului limitat de supafaţa espectivă, împăţită la pemitivitatea vidului : q E da q (.) i i Dacă în inteioul supafeţei sacinile electice sunt distibuite continuu, cu o densitate volumică de sacină electică ρ, vom înlocui în elaţia (.) suma cu o integală de volum: E da ρ dv (.3) V unde v este volumul limitat de supafaţa închisă. Relaţia (.) sau elaţia (.3) expimă legea lui Gauss sub fomă integală. În elaţia (.) am dedus legea lui Gauss pe baza legii lui Coulomb. Astfel legea lui Gauss este echivalentă cu legea lui Coulomb pentu sacini staţionae. Legea lui Gauss se aplică însă q

6 - 9 - şi în cazul sacinilo în mişcae ( chia şi în cazul sacinilo în mişcae acceleată). Legea lui Gauss poate fi obţinută în cazul geneal, dacă se ţine seama de faptul că integala din elementul de unghi solid da da cosα dω (.4) ( α este unghiul dinte intensitatea câmpului electic ce stăbate elementul de supafaţă da şi nomala la acesta) este egală cu 4 π : egali: q q E da (.) dω 4π (.5) Aplicând teoema divegenţei (.) membului stâng al elaţiei (.) ezultă: V div E dv ρ dv (.6) V Deoaece această ecuaţie este valabilă pentu oice volum finit v, integanţii sunt div E ρ (.7) Relaţia (.7) expimă legea lui Gauss sub fomă difeenţială. Legea lui Gauss sub fomă integală (.3) este o lege nelocală (se efeă la o egiune finită şi nu la un punct specific al spaţiului), ia legea lui Gauss sub fomă difeenţială este o lege locală (leagă compotaea lui E în vecinătatea infinitezimală a unui punct dat de valoaea densităţii de sacină în acel punct). Înlocuind în (.7) intensitatea câmpului electic din elaţia (.) obţinem ecuaţia lui Poisson: div ( gad V) ρ ( V) ρ V ρ (.8) Această ecuaţie leagă densitatea de sacină volumică locală (dint-un punct dat) de deivate spaţială de odinal doi a lui V în egiunea punctului espective. Pentu ρ, ecuaţia (.8) se numeşte ecuaţia lui Laplace: V (.9) Înlocuind ρ din (.8) în (.9) obţinem enegia potenţială U a unei distibuţii de sacină în funcţie de intensitatea câmpului electic: V U V dv V V dv ( V V) dv ( V)( V) ( ) ρ V ( ) ( ) V V da ( ) ( V)( V) dv ( ) ( V)( V) dv (.) dv ( ) E E dv E U dv (.3) V

7 - - V V ( acţionează ca un opeato de deivae), am extins integala de la volumul v cae include toate egiunile în cae există E la tot spaţiul şi am folosit teoema divegenţei pentu a tece una din integale înt-o integală pe supafaţa de la infinit, cae se anulează, deoaece pentu, (la distanţă mae V vaiază ca, V vaiază ca, supafaţa depinde de, astfel că Am folosit fomula ( V V) ( V)( V) ). Din (.3) ezultă că densitatea volumică de enegie electică este: e E ρ (.3) E Legea lui Gauss poate fi genealizată la cazul în cae volumul măginit de supafaţa cupinde pe lângă sacinile ee şi un dielectic ce conţine sacini legate (la o moleculă de apă centul sacinilo pozitive este sepaat de centul sacinilo negative). În acest caz ρ din ecuaţia (.7) epezintă densitatea de sacină totală ( ρ ρ ρ ), ia q din (.5) leg este sacina electică totală ( q q q ). leg Legea lui Gauss este valabilă şi în cazul în cae sacina q se mişcă unifom (cu viteză constantă). Acest lucu poate fi demonstat în cazul în cae sacina q se deplasează cu viteza v în lungul axei x, ia se consideă o sfeă imaginaă de ază şi aie 4π. Folosind elaţia (.63) şi luând elementul de aie sfeică egal cu da π sinθ dθ, obţinem: π E da 4π a sin q π 3 / ( β θ) sinθ dθ q a π sinθ dθ sin 3 / a ( β θ) a q π d ( cosθ) q π d ( cosθ) [ β ( cos θ) ] 3 / ( β cos θ β ) 3 / a 3 / x β q dx.4. Legea lui Ohm e defineşte cuentul electic de conducţie ca o deplasae odonată a uno sacini electice ee (electoni, ioni) sub acţiunea câmpului electic. e consideă că sensul cuentului electic coincide cu sensul de mişcae al sacinilo electice pozitive. Intensitatea cuentului electic I este sacina electică ce tece pin supafaţa secţiunii tansvesale a unui conducto în unitatea de timp: dq I (.3) dt Densitatea de cuent electic este un vecto a căui măime este egală în fiecae punct cu sacina electică ce tece, în unitatea de timp, pin unitatea de aie oientată nomal a q

8 - - la diecţia de deplasae odonată a paticulelo şi al căui veso coincide cu vesoul vitezei medii v de deplasae a paticulelo: dq v (.33) da dt v n Din elaţiile (.3) şi (.33) ezultă că intensitatea cuentului electic I este egală cu fluxul vectoului densitate de cuent : da (.34) I Dacă supafaţa stăbătută de cuent este închisă, atunci integala din (.34) epezintă viteza cu cae sacina electică păăseşte volumul măginit de supafaţa : d dq da dv dt ρ (.35) V dt emnul minus aată că o ceştee a fluxului sacinilo electice cae păăsesc supafaţa conduce la o scădee a sacinii electice cae ămâne în inteioul acelei supafeţe. Relaţia (.35) este foma integală a legii consevăii sacinii electice în egim dinamic. Aplicând teoema divegenţei la integala de supafaţă din (.35) obţinem: ρ div dv dv V (.36) V t Deivata totală din faţa integalei a tecut în deivată paţială sub integală, deoaece ρ poate depinde de x, y, z şi de t. Deoaece volumul de integae este abita, ezultă: ρ div (.37) t Această elaţie epezintă foma difeenţială a legii consevăii sacinii electice sau ecuaţia de continuitate a cuentului electic (este analoagă ecuaţiei de continuitate din hidodinamică). În egim staţiona, deşi sacinile electice nu se găsesc în echiu, măimile macoscopice sunt independente de timp şi deci: ρ t div (.38) Rezultă că în egim staţiona densitatea de cuent electic este un vecto solenoidal, liniile de cuent (cubele tangente la diecţia locală a lui ) fiind cube închise, astfel că un cuent electic staţiona se poate stabili numai în cicuite închise. Pentu a menţine un cuent electic înt-un conducto se foloseşte o susă electică, astfel că în inteioul acestei suse ae loc teceea sacinilo pozitive de la un potenţial mai scăzut la un potenţial mai idicat, sub acţiunea uno foţe neelectostatice (de natuă electochimică, electomagnetică etc.) numite foţe impimate (exteioae). Lucul mecanic efectuat de foţele impimate pentu deplasaea unităţii de sacină electică pozitivă pint-o poţiune de cicuit se numeşte tensiune electomotoae. Pe un cicuit înteg, în afaa foţelo impimate F, acţionează şi foţele electostatice, de natuă coulombiană F qe i C şi deci F F F q E E. ezultanta foţelo cae acţionează asupa sacinilo electice este ( ) Lucul mecanic efectuat de foţa totală F asupa sacinii electice q pe o poţiune de cicuit este: i C i

9 L q E dl q E dl q i - - Є q ( V ) V (.39) Lucul mecanic efectuat de foţele impimate şi de foţele electostatice pentu deplasaea unităţii de sacină electică pozitivă pe o poţiune de cicuit se numeşte tensiune electică (cădeea de tensiune) U : Pentu un cicuit închis U Є V V L /q (.4) V V (confom elaţiei (.9)), deci: Є L q E dl i (.4) adică tensiunea electomotoae pe întegul cicuit epezintă ciculaţia intensităţii câmpului electic impimat. Din elaţia (.4) ezultă că tensiunea electică este egală cu difeenţa de potenţial numai pe poţiunea de cicuit în cae nu acţionează foţele impimate, adică nu există suse de tensiune electomotoae. Legea lui Ohm aată că densitatea cuentului de conducţie I (.4) este popoţională cu intensitatea câmpului electic dint-un conducto: σ E E (.43) ( ) i 7 7 unde σ este conductivitatea electică ( σ 5,8 Ω m, σ 3,54 Ω m ). Cu Al Pentu un conducto filifom, omogen, izotop, de secţiune constantă, ezistenţa electică R depinde de lungimea l şi de natua conductoului: l R ρ (.44) ρ fiind ezistivitatea conductoului: ρ (.45) σ Din elaţiile (.39) şi (.4) obţinem: U ( E E )l (.46) i Pe baza elaţiilo (.4) (.46) se obţine foma legii lui Ohm cae a fost stabilită expeimental: U I (.47) R e constată că intensitatea cuentului electic pint-un conducto este popoţională cu difeenţa de potenţial aplicată la capetele conductoului.

10 Legea Biot-avat În cazul neelativist (a, β ), vectoul inducţie magnetică geneat de o sacină q în mişcae se obţine din elaţia (.64): µ Q ( v ) B Q 3 (.48) 4π acina Q aflată în oiginea sistemului se deplasează cu viteza v faţă de sistemul. Vectoul inducţie magnetică B espectă pincipiul supepoziţiei. Vom folosi acest pincipiu pentu a detemina inducţia magnetică geneată de un cuent continuu. Din elaţia (.33) ezultă: dq dl v dq v v ρ v (.49) da dl dt v dv v n Pentu un element de cicuit de lungime dl, volum dv şi secţiune vom înlocui în (.48) sacina Q cu ρ dv ρ d dl, astfel că podusul Q ( v ) tece în ρ dl v.49 dl I dl ( ) ( ) ( ) ( ) În acest caz elaţia (.48) tece în: µ I dl db 3 (.5) 4π Inducţia magnetică înt-un punct P din vecinătatea unui cicuit electic pin cae intensitatea cuentului staţiona este I se obţine efectuând integala lui db din elaţia (.5): µ I dl B π 3 (.5) 4 Această elaţie constituie legea Biot-avat, cae a fost obţinută şi expeimental. Deoaece: I dl dl d ( ) ( ) ( ) υ elaţia (.5) tece înt-o integală volumică: µ B dυ 4π υ 3 (.5) În cazul paticula al unui conducto linia infinit de lung, din elaţia (.5) ezultă că liniile vectoului B sunt cecui aflate înt-un plan pependicula pe conducto, ia măimea lui B vaiază inves popoţional cu distanţa R până la conducto. Înt-adevă: µ I dl µ I dl sinα db 3 3 4π 4π

11 - 4 - db µ I dβ R cosβ cosβ R B 4π, µ I 4 π dβ dl R cos β µ I 4π R π cosβ dβ π dl cosβ, l R tgβ dβ R R dβ R µ I π sin sin π 4 R π µ I π R µ I B e (.53) π R unde e este vesoul nomal pe planul figuii, oientat înspe figuă (egula bughiului dept). Folosind identitatea 3, elaţia (.5) devine: µ µ µ υ υ υ υ υ π υ π π B d d d (.54) unde am folosit identitatea: ( ) (.55) al doilea temen din (.55) fiind nul deoaece este o funcţie de x, y, z, ia în intă deivatele în apot cu x, y, z. Relaţia (.54) se poate scie sub foma: B A ot A (.56) unde: µ A υ π d 4 υ (.57) se numeşte potenţial vecto. Din elaţia (.56) se constată că B este o funcţie de deivatele spaţiale ale lui A, ia din elaţia (.) ezultă că E este o funcţie de deivatele spaţiale ale potenţialului scala V ( E V )..6. Legea fluxului magnetic Diac a postulat în 93 că un câmp magnetic a putea apae nu numai datoită deplasăii sacinilo electice, dacă a exista sacini magnetice numite monopoli magnetici. Până în pezent nu au fost puse în evidenţă paticule cu aceste popietăţi. Din elaţia (.56) ezultă: div B B A (.58) ( ) deoaece deteminantul coespunzăto acestui podus mixt ae două linii egale. Utilizând fomula divegenţei: B da div B dv (.59) ezultă că fluxul inducţiei magnetice B pin oice supafaţă închisă este nul: V

12 - 5 - B da (.6) Relaţia (.6) epezintă foma integală a legii fluxului magnetic, ia elaţia (.58) epezintă foma locală (difeenţială) a acestei legi. Relaţia (.6) putea fi scisă diect ţinând seama că liniile de câmp magnetic sunt închise (pentu fiecae element de cuent liniile lui B sunt cecui ca în cazul figuii coespunzătoae conductoului linia). Legea fluxului magnetic expimă faptul că nu există sacini magnetice ee (nu putem sepaa polii unui magnet). e spune uneoi că legea fluxului magnetic epezintă legea lui Gauss pentu vectoul B. Legile lui Gauss pentu E şi B sunt valabile şi în cazul geneal când E şi B depind de timp..7. Legea lui Ampèe pentu ciculaţia inducţiei magnetice Legea lui Ampèe stabileşte legătua dinte inducţia magnetică B şi susele sale (cuenţii electici caacteizaţi pin intensitatea I ), la fel cum legea lui Gauss face legătua înte intensitatea câmpului electic E şi susele acestuia (sacinile electice caacteizate pin valoaea q a acestoa). Ciculaţia lui B de-a lungul unei cube închise se poate expima pe baza teoemei lui tokes (.) astfel: B dl B d A d A A (.6) ( ) ( ) [ ( ) ] d unde am folosit identitatea: ot (ot A ) gad (div A ) A (.6) Din (.57) ezultă: µ µ υ υ υ A π d π υ d (.63) 4 4 unde am folosit identităţile: 3, 3 (.64) este calculat în punctul de coodonate (x, y, z ), ia este distanţa de la (x, y, z ) la (x, y, z). este calculat în punctul de coodonate (x, y, z) cu acelaşi. Folosind identitatea ( ) (.65) şi ecuaţia de continuitate pentu un câmp independent de timp (.37) ρ ρ, t t obţinem: A µ d d 4 µ υ π υ 4π (.66)

13 - 6 - unde am folosit fomula divegenţei şi faptul că pin supafaţa cae măgineşte volumul v densitatea de cuent este fie, fie se află în planul tangent la supafaţă, adică d, ( d ae diecţia nomalei la supafaţă). Înlocuind (.66) în (.6) obţinem: B dl A d (.67) Potenţialul scala V dat de ecuaţia (.) satisface ecuaţia lui Poisson (.8): V ρ ρ dυ, V 4π (.68) υ Pentu potenţialul vecto dat de elaţia (.57) putem scie elaţii analoage cu (.68) numai în cazul câmpuilo statice: A µ dυ, A ρ 4π (.69) υ unde olul lui din (.68) este ucat de µ în (.69). Înlocuind a doua elaţie din (.69) în (.67) obţinem legea lui Ampèe: B dl µ d µ I (.7) Astfel ciculaţia lui B de-a lungul unui contu închis este egală cu podusul dinte şi intensitatea I a cuentului ce stăbate supafaţa contuului. Din a doua elaţie din (.6) şi a doua elaţie din (.7) ezultă: B µ (.7) În cazul cuenţilo staţionai, legea lui Ampèe este valabilă şi în pezenţa mateialelo magnetice. Dacă este un cec de ază R centat pe un conducto aflat înt-un plan pependicula pe acesta, B ae aceeaşi valoae în toate punctele contuului şi este oientat tangenţial, astfel că ciculaţia lui B din (.7) devine: B dl B dl B dl π R B µ I µ I B (.7) π R Am egăsit astfel, în acest caz paticula, fomula (.53) obţinută pe baza legii Biot- avat. Relaţiile (.7) şi (.7) pot să fie scise în funcţie de intensitatea câmpului magnetic H B/ µ : H dl I (.73) H ot H (.74) Aceste elaţii sunt valabile numai în cazul cuenţilo staţionai. Ele pemit deteminaea intensităţii câmpului magnetic H. µ

14 - 7 - Foma cea mai geneală a legii lui Ampèe este valabilă şi în cazul cuenţilo nestaţionai: d H dl d D d (.75) dt D H (.76) t sau: E B dl µ d (.77) t E B µ (.78) c t Tensiunea magnetomotoae instantanee (ciculaţia lui H de-a lungul unui contu închis ), în lungul oicăei cube închise, este egală cu suma dinte intensităţile instantanee ale cuenţilo electici de conducţie şi de deplasae cae tec pin oice supafaţă spiinită pe contuul, cu condiţia ca în decusul timpului contuul să ămână acelaşi. Teceea de la fomele integale (.75), (.77) la cele difeenţiale (.76), (.78) se obţine folosind teoema lui tokes. Al doilea temen din (.75) se efeă, de exemplu, la un cicuit cae conţine un condensato (cicuitul nu este închis, da conţine o susă de tensiune altenativă) şi aată că înt-un asemenea cicuit există un cuent dacă fluxul câmpului electic este vaiabil în timp (cuentul ciculă cât timp ae loc încăcaea sau descăcaea condensatoului, când câmpul dinte plăcile condensatoului este vaiabil). Densitatea de cuent înte plăcile condensatoului se expimă astfel: I dq d d d dd d ( CV) V ( E) d dt dt dt d dt dt D d (.79) t q unde C este capacitatea condensatoului plan, cae se expimă în funcţie de V d pemitivitatea mediului dinte amătui, de supafaţa amătuii şi de distanţa d dinte amătui, E este intensitatea câmpului electic înte amătui V E, cae se expimă în funcţie de d difeenţa de potenţial V aplicată amătuilo, ia D E (.8) este inducţia electică. Deoaece D a fost numit deplasae electică, d a pimit denumiea de densitatea cuentului de deplasae. În geneal densitatea cuentului de deplasae se expimă ca E o sumă dinte un temen coespunzăto vidului şi un temen cae epezintă densitatea t P cuentului de polaizae, cae se datoează deplasăii sacinilo legate: t

15 d D t t P ( E P) E t t (.8) unde P este vectoul de polaizae electică (polaizaţia), cae epezintă momentul electic al unităţii de volum. Momentul electic al unei sacini punctifome q situate în vid, în apot cu o oigine O abitaă, este pin definiţie p q, unde este vectoul de poziţie (distanţa de la O la sacina q ). În cazul a două sacini electice punctifome q şi q situate la o distanţă d fixă una faţă de cealaltă, momentul electic total este : p q q q p q d (.8) ( ) ( ) Ansamblul celo două sacini constituie un dipol electic. Momentul de dipol electic din elaţia (.8) este un vecto oientat de la sacina negativă căte sacina pozitivă. Înt-un dielectic pola, fiecae moleculă ae un moment de dipol pemanent (centul sacinilo pozitive este sepaat de centul sacinilo negative). ub acţiunea unui câmp electic moleculele se oientează, astfel că momentul electic total ceşte. Moleculele unui dielectic nepola pot obţine un moment de dipol electic sub acţiunea unui câmp electic..8. Legea inducţiei electomagnetice (legea lui Faaday) Tensiunea electomotoae instantanee (ciculaţia lui E de-a lungul unui contu închis ), în lungul oicăei cube închise, este egală cu viteza instantanee de scădee a fluxului magnetic cae tece pin oice supafaţă deschisă, limitată de cuba, cu condiţia ca în decusul timpului contuul să ămână acelaşi. d d E dl B d Φ dt dt (.83) B Această elaţie expimă legea inducţiei electomagnetice sub fomă integală. Pe baza teoemei lui tokes elaţia de mai sus devine: d B E dl ( E) d B d d dt t Rezultă foma difeenţială a legii inducţiei electomagnetice: B E t (.84) Legea inducţiei electomagnetice aată că dacă un cicuit este intodus înt-un câmp magnetic vaiabil, atunci în cicuit se induce o tensiune electomotoae popoţională cu viteza de vaiaţie a fluxului magnetic pin supafaţa delimitată de cicuit. Fomulaea dată de Maxwell legii inducţiei electomagnetice pemite intepetaea acesteia în sensul unei legătui diecte existente, în egim vaiabil, înte componentele electică şi magnetică ale câmpului electomagnetic. În toate expeienţele cae au pus în evidenţă fenomenul de inducţie electomagnetică, intensitatea câmpului electic impimat E şi intensitatea câmpului electic coulombian E C sunt nule. Astfel tensiunea electomotoae indusă este egală cu ciculaţia intensităţii câmpului electic indus. Deoaece q ( v B) v este o foţă, ezultă că B ae aceeaşi dimensiune ca şi E. Aşada în locul lui E v din elaţia (.83) se poate pune B. Pin umae legea inducţiei se i

16 - 9 - aplică atunci când conductoul este defomat înt-un câmp cu B constant, sau atunci când conductoul este staţiona, da se află înt-un câmp cu B vaiabil în timp. Folosind fomula (.56) şi teoema lui tokes, putem scie fluxul inducţiei magnetice sub foma: Φ B d ( A) d A dl B (.85) Înlocuind în (.83) obţinem: d A E dl A dl dl dt (.86) t Deivata totală din faţa integalei devine o deivată paţială sub integală, deoaece A depinde şi de coodonatele spaţiale şi de timp. Din (.86) ezultă: A E dl t (.87) La fel cum am obţinut elaţia (.) din (.9) ezultă: A A E V E V t t (.88) unde V este potenţialul electic. e constată că înt-un anumit punct E se expimă în funcţie de deivatele lui V şi A în egiunea acelui punct. Compaând elaţiile (.7) şi (.58), pecum şi (.68) cu (.69) se obţine coespondenţa: E B, V A, µ, ρ µ (.89) Astfel elaţiile (.9) şi (.3) : e U v ρ dv, e E ρ V E (.9) tec în: U m A dv m B, ρ V E µ (.9) Pin umae densitatea volumică de enegie magnetică se poate expima în funcţie de A şi sau în funcţie de H şi B : m m B µ H H B ρ A, ρ E E µ (.9) Consideăm o spiă pacusă de un cuent de intensitate I şi o supafaţă deschisă spiinită pe contuul al spiei, cae este pependiculaă pe liniile de câmp magnetic (pe liniile lui H şi B ). Enegia magnetică se expimă astfel: m U H B dv H dl B d (.93)

17 - 3 - unde dv dl d este un element de volum având dl şi d paalele cu H. Pima integală din (.93) este egală cu I confom legii lui Ampèe (.73), ia integala a doua din (.93) este fluxul inducţiei magnetice B ( Φ B d ). Deci: ezultă: m U I Φ (.94) B Deoaece inductanţa este definită ca apotul dinte flux şi intensitatea cuentului: Φ L (.95) I m U L I (.96).9. Legea polaizaţiei electice Un dielectic difeă de un conducto pin faptul că nu posedă sacini ee. acinile unui dielectic sunt legate (conţinute) în atomii sau moleculele acestuia. Moleculele cae au un moment de dipol pemanent se numesc molecule polae. La moleculele nepolae centul sacinilo electice pozitive coincide cu centul sacinilo electice negative. În condiţii nomale un fotoconducto se compotă ca un dielectic, ia sub acţiunea luminii devine conducto. Dacă o moleculă nepolaă se află înt-un câmp electic de intensitate E, atunci centul sacinilo electice negative şi cel al sacinilo pozitive se deplasează în sensui opuse, ia molecula capătă un moment electic de dipol: p q d (.97) unde d este distanţa dinte centele sacinilo opuse. Consideând că molecula sufeă o defomae elastică, măimea d este popoţională cu foţa qe şi deci cu E : p α E (.98) unde constanta de popoţionalitate α, numită polaizabilitate, depinde de natua dielecticului. Polaizaţia electică P înt-un anumit punct se expimă ca podusul dinte număul n de molecule (dipoli) din unitatea de volum şi momentul de dipol mediu p al unei molecule în vecinătatea punctului consideat: P n p n α E (.99) Un dielectic în cae P este popoţional cu E şi oientat în aceeaşi diecţie este un dielectic linia şi izotop. În acest caz elaţia (.99) se poate pune sub foma: P χ E (.) e

18 - 3 - unde χ este susceptibilitatea (susceptivitatea) electică a mediului dielectic (măime e adimensională). Relaţia (.) expimă legea polaizaţiei electice tempoae (polaizaţia pemanentă nu depinde de câmpul electic exteio). Un dielectic este omogen dacă susceptibilitatea electică a acestuia este independentă de coodonate. Polaizaea electonică este un tip de polaizae electică în cae, sub acţiunea câmpului electic exteio, centul de sacină (analog centului de masă din mecanică) al pătuilo electonice dint-o moleculă se deplasează faţă de centul de sacină al nucleului, pe 6 o distanţă foate mică (de odinul a cm). În cazul în cae ionii de sacini contae dint-un cistal ionic (ex. NaCl ) sufeă deplasăi în sensui opuse, sub acţiunea câmpului electic exteio, avem o polaizae ionică. Polaizaea de oientae se obsevă la moleculele polae cae posedă un moment electic de dipol datoat unei asimetii în stuctua moleculei, constând în alinieea moleculelo faţă de câmpul electic exteio. Datoită agitaţiei temice a moleculelo au loc ciocnii cae distug paţial alinieea momentelo de dipol electic. Asupa unui dipol electic aflat înt-un câmp electic omogen acţionează un cuplu de foţe al căui moment ae măimea: M F ( ) F C qe ( ) ( qe) d qe qe sinθ qde sinθ pe sin θ p E M C p E (.) Efectul momentului cuplului M este acela de a oienta dipolul electic în lungul C câmpului electic. Înt-un câmp electic omogen ezultanta foţelo cae acţionează asupa sacinilo dipolului este nulă [ q E ( q) E ], ceea ce face ca dipolul să nu sufee o mişcae de tanslaţie. Vaiaţia enegiei potenţiale a dipolului aflat în câmp electic este egală cu lucul mechanic necesa pentu vaiaţia unghiului θ cu d θ (pentu schimbaea oientăii dipolului în câmpul electic exteio): du dl M dθ pe sinθ dθ C (.) Integând de la o valoae iniţială θ la o valoae finală θ, obţinem: θ θ U pe sinθ dθ pe ( cosθ) pe cosθ pe cosθ θ θ Întucât suntem inteesaţi numai de schimbaea (vaiaţia) enegiei potenţiale, vom alege o oientae de efeinţă θ 9 la cae U, astfel că: U pe cos θ p E (.3) Pentu θ enegia potenţială este minimă, U p E, ia momentul cuplului este nul.

19 - 3 - Consideăm un element de aie din inteioul unui dielectic nepola cae este polaizat sub acţiunea unui câmp electic exteio. ub acţiunea câmpului electic n sacini pozitive tec pin supafaţa elementaă deptunghiulaă consideată, în sensul momentului de dipole p qd al unei molecule, ia n sacini negative tec pin aceeaşi supafaţă elementaă în sens conta. acina netă cae tavesează supafaţa d în diecţia lui d este: n q n q n n q n d d q n p d P (.4) dq ( ) ( ) d unde d este distanţa dinte centul sacinii pozitive q a unei molecule şi centul sacinii negative q a aceleiaşi molecule, n n n d d este număul de molecule din inteioul paalelipipedului de volum d d, ia P np este polaizaţia electică definită de elaţia (.99). acina netă cae ămâne în inteioul unui volum υ delimitat de o supafaţă se obţine integând elaţia (.4): q P d (.5) pol unde semnul minus este legat de faptul că sacina de polaizae din inteioul supafeţei este negativă, în timp ce oientaea vectoului P este spe exteioul supafeţei. Dacă ρ este densitatea volumică a sacinii legate ămase în inteioul volumului υ atunci, folosind teoema divegenţei, elaţia (.5) devine: v q d P d div P d pol ρ υ leg υ υ υ ρ div P P (.6) leg În cazul în cae volumul măginit de supafaţa cupinde atât sacini ee, cât şi sacini legate, legea lui Gauss (.7) se scie astfel: sau: unde Înlocuind ρ ρ leg E (.7) ρ din (.6) în (.7) obţinem: leg E ρ P ( E P) ρ leg (.8) D ρ (.9) D E P (.)

20 este inducţia electică. Înlocuind P din (.) în (.) obţinem: D ( χ ) E E E (.) e unde este pemitivitatea absolută a dielecticului. Pentu ae la tempeatuă şi pesiune nomală,536; pentu apă la 5 6 C, 8 la Hz, 78, la Hz, 34 la Hz, ia pentu titanatul de baiu 5 la Hz, 4 la 6 Hz, la Hz. Laseul cu azot foloseşte condensatoae cu titanat de baiu datoită valoii mai a lui. Nu putem pivi pe D ca pe un câmp vectoial a căui susă este distibuţia de sacină eă ρ (vezi elaţia (.9) ) în acelaşi sens în cae distibuţia de sacină totală ρ este susa lui E (elaţia (.7) ). Câmpul electostatic E este deteminat în mod unic exceptând adăugaea unui câmp constant de distibuţia de sacină ρ, deoaece pe lângă elaţia (.7) există şi condiţia univesală ot E. Întucât ot D nu este în geneal nul, ezultă că pentu deteminaea lui D pe lângă elaţia (.9) mai sunt necesae condiţiile de fontieă. D se obţine integand elaţia (.9) şi impunând condiţiile la limită. Din elaţiile (.9) şi (.) ezultă: ( E) ρ ( ) ρ E (.) Compaând (.) cu legea lui Gauss (.7) obţinem: E E (.3) unde E este intensitatea câmpului electic în vid. Din (.3), (.) şi (.) obţinem: ( χ ) E E E E E χ E e e P E E (.4) Oientaea vectoilo din elaţiile (.4) şi (.) este ilustată uşo în cazul unui dielectic aflat înte amătuile unui condensato plan încăcat. e constată că D conectează numai sacinile ee, P este dependent numai de sacinile legate, ia E eflectă atât pezenţa sacinilo ee, cât şi pe cea a sacinilo legate.

21 Pin analogie cu densitatea volumică de enegie magnetică (.9) : m H B ρ E se poate scie densitatea volumică de enegie electică: (.) E D ρ e E ( E P) E e E ρ E P E (.5) unde pimul temen a fost dedus sepaate (elaţia (.3) ), ia temenul al doilea este datoat polaizaţiei. Înt-un dielectic izotop, D E, putem scie: e E D E ρ E ( χ ) E (.6) E e Enegia de polaizae este dominantă în dielecticii obişnuiţi, deoaece susceptibilitatea electică χ este cupinsă înte şi 4. e.. Legea magnetizaţiei Un dipole magnetic este o buclă ciculaă pacusă de un cuent electic continuu. e defineşte momentul dipolului magnetic m ca podusul dinte intensitatea cuentului I cae tece pin buclă şi aia oientată a buclei: m I (.7) Diecţia şi sensul vectoului m se detemină cu autoul egulii bughiului dept: se aşează un bughiu dept pependicula pe planul buclei, se oteşte bughiul în sensul cuentului pin buclă, ia sensul înaintăii bughiului este sensul lui m. În figua de mai os pezentăm compaative liniile de câmp magnetic ale unui dipol magnetic şi liniile de câmp electic ale unui dipol electic. dipol magnetic liniile de câmp ale dipolului magnetic liniile de câmp ale dipolului electic

22 Intoducând bucla înt-un câmp magnetic de inducţie acţionează un cuplu de foţe C : B, se constată că asupa sa C m B (.8) cae tinde s-o oienteze astfel ca m şi B să aibă aceeaşi diecţie şi acelaşi sens. m din (.7) coespunde lui p din (.97), ia C din (.8) coespunde lui M din (.). C Din punct de vedee magnetic, un mic cop magnetizat este echivalent cu o buclă pacusă de cuent electic. În cazul unui cop de dimensiuni mai, fiecăei poţiuni elementae i se poate substitui un sistem de bucle de cuent. Mişcaea electonilo pe obitele din uul nucleelo este echivalentă cu o buclă elementaă pacusă de cuent, cae posedă un moment magnetic de dipol, numit moment magnetic obital. Magnetizaţia M înt-un punct se expimă ca podusul dinte număul de atomi (dipoli magnetici) n din unitatea de volum şi momentul de dipol magnetic mediu m al unui atom în vecinătatea punctului consideat: M n m (.9) Magnetizaţia M dint-un mediu magnetic coespunde polaizaţiei P din dielectici (elaţia (.99) ). Unele copui pezintă o magnetizae pemanentă, fiind caacteizate de magnetizaţia pemanentă M. Dacă un asemenea cop este intodus înt-un câmp magnetic exteio, atunci P el dobândeşte o magnetizae suplimentaă, caacteizată de magnetizaţia tempoaă M. t Magnetizaţia totală a copului în pezenţa câmpului magnetic exteio este: M M M (.) P t În absenţa câmpului magnetic exteio magnetizaţia tempoaă dispae. Alte copui nu pezintă o magnetizae pemanentă. Legea magnetizaţiei tempoae aată că magnetizaţia tempoaă M este popoţională t cu intensitatea câmpului magnetic H : M χ H (.) t m unde χ este susceptibilitatea (susceptivitatea) magnetică. La mateiale diamagnetice pue m 5 χ <, χ ; la mateiale paamagnetice m m 6 substanţele feomagnetice m magnetizaţiei tempoae (.) devine: M χ m χ >, χ, ia la m m χ. În absenţa magnetizăii pemanente ( M ), legea P H (.) Analog densităţii cuentului de polaizae (vezi elaţia (.8) ): P P (.3) t există o densitate de cuent de magnetizae m : m ot M M (.4) 5 3

23 Integăm această elaţie pe o supafaţă tasată în inteioul unui cop magnetizat şi folosim teoema lui tokes: d di ot M d M dl di M dl (.5) di d M ( dl d) dm M dυ (.6) Am obţinut o elaţie cae coespunde definiţiei magnetizaţiei M (magnetizaţia M este o măime vectoială definită pin limita apotului dinte momentul magnetic m al substanţei dint-un mic domeniu de volum υ şi volumul domeniului, când υ tinde căte zeo). m dm M lim (.7) υ υ dυ Relaţia (.7) ( B µ ) ea valabilă în cazul când nu aveam mateiale magnetice. În pezenţa mateialelo magnetice tebuie să avem în vedee densitatea cuentului de magnetizae: B µ (.8) ( ) m ( M) B µ B M (.9) µ Compaând elaţiile (.9) şi (.74) obţinem: B H M (.3) µ H şi M se măsoaă în A/m. Din (.9) şi (.3) ezultă că în cazul staţiona (câmpui statice) este satisfăcută elaţia: H (.3) Din (.3) se obţine umătoaea elaţie de mateial: B µ H M (.3) ( ) Înlocuind M din (.) în (.3) obţinem: B µ ( χ ) H µ µ H µ H (.33) m unde µ χ (.34) m este pemeabilitatea magnetică elativă, ia µ este pemeabilitatea magnetică a mediului. Dacă ţinem seama de densitatea cuentului de deplasae d (elaţia (.8)), de densitatea cuentului de magnetizae m (elaţia (.4)) şi de densitatea cuentului datoat mişcăii sacinilo ee, în locul elaţiilo (.7) şi (.8) putem scie o elaţie mai geneală:

24 ( ) m d B µ (.35) sau: µ M t P t E B (.36) ( ) m pol t E B µ µ (.37) µ µ M t P t E B (.38) În aceste condiţii, foma geneală a legii Biot-avat este: υ υ π µ d M t P t E 4 B 3 (.39)