Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

Transcript

1 Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne točke, vzporedni? 3. Naj bo premica p vzporedna q, premica q pa ni vzporedna r? Ali je lahko premica r vzporedna s premico p? 4. Naj bosta ravnini π 1 in π 2 vzporedni. Ravnina π 1 naj seka vzporedni ravnini v premicah p 1 in p 2. Ali sta premici vzporedni? Pojasni. 5. Premici p in q sta mimobežni, Koliko je ravni, v kateri leži premica p in ki so vzporedne s premico q? 6. Dokaži ali ovrzi: π 1 in π 2 sta poljubni nevzporedni ravnini v prostoru. Potem obstaja premica p, ki je skupna obem ravninam. 7. Dokaži ali ovrzi: tri paroma nevzporedne ravnine imajo skupno premico. 8. Dokaži ali ovrzi: Tri različne, paroma nevzporedne premice v prostoru, ki se paroma sekajo, ležijo v isti ravnini. 9. Dokaži ali ovrzi: če je π 1 π 2 in π 1 π 3, potem velja π 1 π Dokaži ali ovrzi: obstaja natanko ena pravokotnica na ravnino. 11. Kaj je lahko pravokotna projekcija daljica na ravnino? 12. Kaj je lahko pravokotna projekcija premice na ravnino? 13. Kaj je lahko pravokotna projekcija ravnine na ravnino? 14. Ali se pri pravokotni projekciji ohranja dolžina? 15. Premica p seka ravnino π. Na premici je daljica CD z dolžino 7 enot. Točka C je od ravnine oddaljena za 5 enot, točka D pa za 8 enot. Kolikšna je dolžina pravokotne projekcije daljice CD na ravnini? 16. V središču pravilnega šestkotnika ABCDEF s stranico a = 4 stoji pravokotnica ST na ravnino šestkotnika ( ST = 4). (a) Kolikšen je naklonski kot premice skozi A in T na ravnino osnovne ploskve? (b) Kolikšen je kot med ravnino osnovne ploskve in ravnino trikotnika BCT? 17. Naj premica p seka ravnino π v točki A. Dokaži ali ovrzi: (a) premica, pravokotna na normalo ravnine, je vzporedna z ravnino. (b) premica, pravokotna na premico, ki je vzporedna ravnini, je normala na to ravnino. 18. Naj bo v ravnini podano n premic, ki se vse sekajo v isti točki in velja, da poljubne tri izmed njih ne ležijo v isti ravnini. Koliko ravnin določa teh n premic? Razmisli za n = 3, 4, 5... in rezultat posploši (opomba: vsota prvih n števil je n = n(n+1) 2 ). 19. Naj bo v ravnini podano n točk, po tri skupaj nekolinearne. Koliko premic določajo? Razmisli za n = 3, 4, 5... in rezultat posploši. 20. V prostoru naj bo podanih 5 točk, po tri skupaj nekolinearne, po štiri nekomplanarne.koliko ravnin v prostoru določa 5 točk? Razmisli še za 6, 7,..., n. (Opomba: tri elemente lahko izmed n elementov izbremo na (n 1)(n 2)n 6 načinov; kaj kšno povezavo ima to z zastavljenim problemom?) 21. (projekcija) V oglišču D kvadrata ABCD s stranico a = 8 je postavljena pravokotnica na ravnino kvadrata. Točka E je na pravokotnici, tako da je DE = 10.enot. Kolikšen je kot med ravnino kvadrata in ravnino DCE? Nariši ustrezno sliko. 22. (projekcija) V središču S pravokotnika ABCD je postavljena pravokotnica na ravnino pravokotnika. Na pravokotnici je točka T, pri tem merijo : AB = 7, BC = 4, T S = 12. Kolikšen je naklonski kot daljice BT glede na ravnino pravokotnika? Kolikšen je kot med ravnino pravokotnika in ravnino trikotnika BCT? 23. (projekcija) V središču S enakostraničnega trikotnika ABC s stranico 8 je postavljena pravokotnica na ravnino trikotnika. Na pravokotnici je točka T, tako da je ST = 8. Izračunaj naklonski kot daljice AT glede na ravnino trikotnika in kot med ravninnama ABC in BCT.

2 24. (projekcija) Na ravnini je kvadrat ABCD s stranico a = 6 enot. Točka T je zunaj ravnine v takšni legi, da je njena pravokotna projekcija središče S kvadrata. Koliko je točka T oddaljena od ravnine, če je od vsakega oglišča kvadrata oddaljena za 6 enot? Kolikšen je naklonski kot premice, ki poteka skozi točki A in T proti ravnini? Kolikšen je kot med ravnino kvadrata in ravnino skozi točke B, C, T? q 25. (projekcija) V presečišču diagonal e = 8 in f = 6 romba ABCD je postavljena pravokotnica ST na ravnino romba ( ST = 10). Kolikšna sta naklonska kota premic AT in BT proti ravnini romba? 26. (projekcija) V ravnini je enakostranični trikotnik ABC s stranico a = 8 enot. V oglišču A je postavljena pravokotnica AT z dolžino a. Izračunaj naklonski kot daljice BT proti ravnini trikotnika in kot med ravninama,ki določa trikotnik ABC in ravnino, ki določa trikotnik BCT?

3 1 Vektorji 1.1 Definicija vektorja, osnovne lastnosti 1. S čim je določen vektor? 2. Kdaj sta dva vektorja enaka? 3. V ravnini je podan kvadrat ABCD. (a) Zapiši vse vektorje, ki jih določajo oglišča kvadrata. (b) Zapiši vse vektorje, ki so med sabo enaki. (c) Zapiši vse vektorje, nasprotne vektorju AB. 4. (enakost vektorjev, nasprotni vektorji, premik z vektorjem) V ravnini je podan pravilni šestkotnik ABCDEF. (a) Naj bo S sečišče glavnih diagonal šestkotnika. Zapiši vse vektorje, ki jih določajo oglišča šestkotnika in so enaka vektorju. F S. (b) Zapiši vse vektorje,ki jih določajo oglišča šestkotnika in so nasprotni vektorju DE. (c) Premakni šestkotnik za vektor AS. Kam se preslika točka F. 5. (enakost vektorjev, vsota, razlika, lega premic in ravnin v prostoru) V ravnini je podana kocka ABCDA B C D (A nad A). (a) Zapiši vse vektorje, enake vektorju CC. (b) Kakšna je lega premice p, ki poteka A in C, ter premice q, ki poteka skozi B in D? Pojasni. (c) Kakšna je lega premice q in premice r, ki poteka skozi D in C? Pojasni. (d) Kakšna je lega premice r in ravnine π, ki poteka skozi ABC D? Pojasni. (e) Izračunaj: i. AD + DC ii. AA + A D iii. DC + BA iv. AB AC v. DD + D A + AG vi. BD + DB DE 6. (enakost vektorjev, nasprotni vektorji) Dan je trikotnik ABC. Točke D, E, F po vrsti razpolavljajo stranice AB, BC, CA.Ugotovi, kateri pari vektorjev so med seboj enaki, vzporedni, nasprotni in različni: (a) AD, F E (b) DE, CA (c) DF, EB (d) BF, EC (e) F C, AC (f) EF, DA (g) DE, CF 7. (operacije z vektorji...) Izračunaj: (a) ( a b ) + ( b c ) ( a c )) (b) ( a + b c ) ( b c ) (c) ( a ( b c )) ( c ( b a )) 8. (izražanje vektorja...) Iz vektorske enačbe izrazi vektor x : (a) b + a x = d a (b) AB + x CD = DC BA (c) x ( AB BC) = BA 9. (načrtna naloga lin. komb. vektorjev v liku) Dan je romb ABCD. Načrtaj: (a) AB + BD (b) BD + DC (c) AC BC (d) BC + BD + DA 10. Nariši tri nekolinearne točke v ravnini. (a) Nariši vektor AB BC CA. (b) Pokaži, da velja: 2 AB = AB BC CA 1.2 Produkt vektorja s skalarjem 1. Dan je vektor a.nariši 2 a in 3 a. 2. Nariši dva nekolinearne vektorja a in b.nariši a + b + ( 2 a ) in 3 a 1 2 (3 a b ). 3. (iskanje skalarja) Diagonali paralelograma se sekata v točki S. Poišči število m,da velja: (a) AB = mcd (b) AC = m AS (c) BD = m SB (d) SC = m CA 4. (uporaba vektorskih enačb v fiziki) Pospešek in hitrost vektorski količini. Kateri skalar ju povezuje? Zapiši enačbo v vektorski obliki. 5. Pot in hitrost vektorski količini. Kateri skalar ju povezuje? Zapiši enačbo v vektorski obliki.

4 6. Teža visečega telesa raztegne vzmet. Poveži silo teže in razetzek v vektorski obliki z enačbo (Hookov zakon).. 7. (linearna komb. vektorjev v liku) Dan je pravilni šestkotnik ABCDEF, AB = a, BC = b. Izrazi z vektorjema a in b vektorje AD, AE, AC, BE, BF, DF. 8. (risanje enotskega vektorja) Podan je vektor z lastnostjo a = 4. Nariši enotki vektor, ki je vzporeden vektorju a. 9. (izračun skalarja v vektorski enačbi) Dan je vektor a 0. Kakšno vrednost ima skalar m, če je: (a) 2 a + 3 a m = 5 a (b) 3 a + 2m a = (m 1) a (c) 3m a (m + 2) a = 2(m 1) a (d) (m + 1) a + (m 1) a = 4 a 1.3 Premik z vektorjem 1. Premakni kvadrat ABCD v ravnini za vektor AS, kjer je S sečišče diagonal kvadrata. 2. V koordinatnem sistemu (vzporedno) premakni: (a) koordinatno izhodišče O(0, 0) z vektorjem a v točko A(2, 3); nariši. (b) Isti vektor uporabi za premik točke T (3, 1). Kam se premakne točka T? (c) Izrazi koordinate novih točk s starimi točkami 3. V kaj se preslika premica pri premiku z vektorjem premika? 4. V kaj se preslika parabola pri premiku z vektorjem premika? 5. Razmisli, ali drži: (a) pri premiku za neničelni vektor se premakne vsaka točka prostora; premik za ničelni vektor pusti vse točke pri miru (b) pri premiku se ohranjajo razdalje. 6. Naj bo podan paralelogram ABCD z ostrim kotom pri A. Točka M naj bo pravokotna projekcija točke D na stranico AB. Premakni trikotnik za vektor AB.(Razmisli o ploščini lika, ki ga dobiš s premikom). 1.4 Linearna kombinacija vektorjev, neodvisnost vektorjev, baza 1. Nariši dva vzporedna vektorja v ravnini. Ali sta linearno neodvisna? 2. Nariši dva nevzporedna vektorja.v ravnini Ali sta linearno neodvisna? 3. Nariši tri komplanarne vektorje. Ali so lin. neodvisni? 4. Podani so trije nekomplanarni vektorji. Ali so lin. neodvisni? 5. Kaj sestavlja bazo v dvodimenzionalnem prostoru? 6. Kaj sestavlja bazo v trodimenzionalnem prostoru? 7. V trikotniku ABC naj stranice predstavljajo vektorje a, b, c,tako da velja a + b + c = 0. Načrtaj linearno kombinacijo vektorjev 3 a + 2 b c. 8. (lin. komb. treh neodvisnih vektorjev v prostoru) V piramidi ABCD je točka E razpolovišče roba BC in točka F razpolovišče roba AD. Zapiši vektor EF kot linearno kombinacijo vektorjev a = AB, b = BC, c = CD. 9. (risanje vektorjev V ravnini izberi bazna vektorja a in b s skupnim začetkom O in vektor c z začetkom v O tako, da (a) c leži med vektorjema a in b.načrtaj lin. kombinacijo vektorjev a in b, da dobiš c. (b) c ne leži med vektorjema a in b. S sliko izrazi c kot linearno kombinacijo vektorjev a in b (pravimo, da smo c razstavili na komponente v smeri vektorjev a in b ). 10. (ničelna lin. kombinacija dveh neodvisnih vektorjev v ravnini) Naj bosta a in b linearno neodvisna vektorja. Določi vrednost skalarjev m in n, če velja (a) m(2 a b ) + a = n( a + b ) 4 b (b) (m + n) a + (m 1) b = 2( a + n b ) (c) m(2 a 3 b ) = 4 a n( a 2 b ) 6 b 11. Robovi kvadra naj bodo podani z vektorji a = AB, b = AD, c = AE. Določi vsoto vektorjev, ki leže na diagonalah mejnih ploskev kvadra in gredo iz oglišča A. 12. (razpolovišče daljice) V prostoru je dana daljica AB. Točka C ne leži na daljici AB.Točka S pa leži na razpolovišču daljice. Izrazi vektor CS z vektorjema CA in CB.

5 13. (lin. kombinacija vektorjev v trikotniku) Točka D je razpolovišče trikotnikove stranice BC. Z vektorjema AB in AC zapiši vektorje AD, BE, DC, DB. 14. (lin. kombinacija vektorjev v kocki)v ravnini je podana kocka ABCDA B C D (A nad A) z baznimi vektorji AB = a, AD = b, AA = c. (a) Naj bo M razpolovišče roba CC, P pa razpolovišče A D.Izrazimo vektorje AC, AM in CP z baznimi vektorji. (b) K je središče kvadrata BCC B, L pa razpolovišče robe CD. Izrazi vektor LK z baznimi vektorji. (c) Na robu BC je točka M, tako da je BM : MC = 3 : 2. S je središče kvadrata CDD C. Izrazi vektor SM z baznimi vektorji. 15. (paralelogram; računanje razmerja delitve stranic z baznimi vektorji) Dan je paralelogram ABCD. Iz točke E, ki deli stranico AB v razmerju AE : EB = 1 : 2,načrtajmo daljico ED, ki seka diagonalo v točki F. V kolikšnem razmerju deli točka F diagonalo AC?(Namig: postavi poljubno bazo vektorjev a = AB, b = AD,izrazi vektorje AE, ED, AC z baznimi vektorji in potem vektor AF na dva načina izrazi z baznima vektorjema...). 16. Prejšnjo nalogo posploši za pšoljubno razmerje AE : EB = m : n; ali pa vsaj za primere AE : EB = 3 : 4, AE : EB = 5 : (delitev težiščnice v trikotniku)v trikotniku ABC naj bo CD težiščnica na stranico c. Razpolovišče daljice CD označimo z E. Dokažimo, da premica skozi točki A in B odreže od stranice BC točno eno tretjino. 18. (uporaba naloge z vektorjem težišča) V trikotniku ABC naj bo T težišče. Izrazimo vektor AT z vektorjema AB = c, AC = b. 19. V paralelogramu ABCD točka P deli daljico DC v razmerju DP : P C = 3 : 2 in točka Q daljico AD v razmerju AQ : QD = 2 : 1. Nariši daljici AP in BG, ki se sekata v točki S. V kakšnem razmerju deli točka S daljico AP? 20. V prostoru imamo štiri nekomplanarne točke (sestavljajo četverec, tetraeder). Točka T 1 naj bo težišče trikotnika ABC in točka T 2 naj bo težišče trikotnika ABD. Pokažimo, da sta daljici T 1 T 2 vzporedni (pomagaj si z nalogo. o težišču trikotnika). 21. Tetraeder ABCD je določen z vektorji AB = a, AC = b, AD = c. Na robu CD je točka M, tako da je CD : M D = 4 : 3. Točka P je razpolovišče roba BC. Izrazimo vektor MP z danimi vektorji. 22. Točke A, B, C razpolavljajo stranice BC,CA, AB trikotnika ABC. (a) Preveri, ali veljajo naslednje enačbe: AB + AC = 2 AA, BA + BC = BB, CA + CB = 2CC. (b) Dokaži, da imata trikotnika ABC in A B C skupno težišče. 23. Dana sta paralelograma ABCD in EF GH. Naj bodo K, L, M in N zapored razpolovišča daljic AE, BF, CG, DH. Dokaži, da je KLMN paralelogram. (Namig: izrazi krajevne vektorje r B, r L, r M, r N,potem dokažemo enakost vektorjev KL = NM (izrazimo vektorjaad in BC s krajevnimi vektorji oglišč prvega paralelograma in vektorja EH in F G s krajevnimi vektorji oglišč drugega paralelograma ter dokažemo, da je KL = NM ) in KN = LM (podobno). 24. V petkotniku ABCDE so M, N, P in Q zapored središča stranic AB, BC, CD, DE. Točki R in S ta zapored središči daljic NQ in MP. Dokaži, da je RS = AE 4 in RS AE. (Namig: postavi bazo v petkotniku- npr: AB = a, AE = b. Izrazi vektorju AP, AS, AQ, AN, AR in RS z baznimi vektorji, od tod sledi enostaven sklep do rešitve...). 1.5 Skalarni produkt.kosinusni izrek. Ortonormirana baza vektorskega prostora. 1. Nariši dva nekolinearna vektorja a in b s skupnim izhodiščem in določi pravokotno projekcijo vektorja a na b. Kaj je pravokotna projekcija, če je kot med vektorjema top? 2. Pokaži, da za dva vektorja velja proj c ( a + b ) = proj c a + projc b (skiciraj grafično). 3. Enotskima vektorjema e 1 in e 2 določi velikost projekcije vektorja e 1 na e 2, če je med njima kot. (a) 30 (b) 45 (c) 90 (d) Vektor a ima dolžino 6 enot. Koliko mora biti kot med a in b, če je dolžina vektorja b 10 enot in njegova projekcija na a enaka

6 (a) 2 enoti (b) 10 enot (c) 5 enot (d) 0 enot 5. Vektor a in b sta pravokotna in velja a = 2 2, b = 3. Izračunaj: (a) (2a + 3b)(2a 3b) (b) (a + 3b) 2 (c) (3 a 2 b )(4 a + 5 b ) 6. Izračunaj notranje kote trikotnikov: (a) a = 6cm, b = cm, c = 8.2cm (b) a = 4.5cm, b = 3.4cm, c = 7.2cm 7. Z vektorjema a = (5, 0) in b = (3, 4) določimo paralelogram. Izračunaj stranici paralelograma ter kot med njima. Kako bi izračunal ploščino paralelograma? 8. Premici iz enega oglišča pravokotnika s stranicama 6cm in 4cm razpolavljata nasprotni stranici. Določi kot med njima. 9. Kateri vektorji tvorijo ortonormirano bazo v ravnini, kateri v prostoru? Kakšen je skalarni produkt med temi baznimi vektorji? 10. Vektorji i, j, k tvorijo ortonormirano bazo. Določi (a) i j (b) (4 j ) (2 k ) (c) (5 j ) 2 (d) (3 i + 6 j )(2 j k ) 11. Katera točka je določena z linearno kombinacijo ortonormiranih vektorjev 3 i + 3 j 4 k v prostoru? (b) vzporedna? 14. Vektorju a določi neznano komponento x vektorja b, da bosta a in b pravokotna: (a) a = (3, 4), b = (x, 3) (b) a = (7, 1), b = ( 2, x) (c) a = (1, 0), b = (x, 3) (d) a = ( 3, 2 2), b = (4, x) 15. Zapiši linearno kombinacijo vektorjev s = 2a + 3b c, če je 1 2 (a) a = ( 1, 1, 2), b = (4, 3, 0), c = (3, 2, 1), (b) a = ( 1 2, 2 3, 1), b = (0, 2, 1 2 ), c = ( 2 3, 0, 1). 16. Ali sta naslednja vektorja vzporedna oziroma pravokotna: (a) a = (1, 3), b = ( 2, 2 3 ); nariši (b) a = (1, 2, 3), b = ( 2, 3), (c) a = ( 1 3, 2 3, 1), b = ( 1 2, 1, 3 2 ). 17. V koordinatnem sistemu nariši par vektorjev a in b ter izračunaj njihovo dolžino, kot med njima ter vrednost skalarnega produkta a b : (a) a = ( 4, 4), b = (4, 1) (b) a = (2, 1), b = ( 1, 3) (c) a = ( 1, 5), b = (4, 5). 18. Trikotnik ABC z oglišči A(1, 1, 1), B(2, 7, 9) in C(2, 5, 6) projiciraj na: (a) xy ravnino (b) yz ravnino (c) yz ravnino. 12. Podana sta vektorja a = (1, 2, 2) in b = ( 3, 4, 0) v pravokotnem koordinatnem sistemu: (a) seštej oba vektorja (b) izračunaj 2a+b (c) 1 2 a b (d) Določi skalarni produkt med a in b? Ali sta vektorja pravokotna? 13. Čemu je enak skalarni produkt dveh vektorjev, ki sta (a) pravokotna,

7 Vektorji - različne vaje 1. V kocki ABCDEFGH tvorijo bazo vektorji e 1 = AB, e 2 = AD, e 3 = AE. K je središče kvadrata DCGH, na robu BC pa je točka M, tako da je BM : MC = 3 : 2. (a) Izrazi z bazo vektorje EK, KM in AK ME! (b) Ugotovi, v kakšnem razmerju deli daljica MD diagonalo AC! 2. Določi števili m in n tako, da bosta vektorja a = 2 i + 3 j + n k in b = 3 i + m j + 5 k kolinearna! 3. V paralelogramu ABCD deli točka E stranico DC v razmerju 2 : 5. V kolikšnem razmerju deli točka F ( presečišče daljice AE in diagonale BD ) diagonalo BD? 4. Stranici paralelograma ABCD sta podani z linearnima kombinacijama: a = 2 m + nin b = m 2 n enotskih vektorjev m in n, ki oklepata kot 60. Izračunaj dolžini diagonal paralelograma! 5. V enakokrakem trikotniki ABC je CE višina na osnovnico. Na kraku BC je točka D, tako da velja BD : DC = 2 : 3. Presečišče daljice CE in AD je točka M. Izračunaj AM : AD! 6. Vektorji a, bin c so linearno neodvisni. Izračunajte števila x, y in z tako, da je (x + y 1) a (3y + 2z) b = (y 2z + 4) c. 7. V trikotniku ABC je točka N nožišče težiščnice na b, E pa deli stranico CB v razmerju 3 : 2. Zveznica AE seka zveznico BN v točki F. Določi razmerje BF : F N! 12. V paralelogramu ABCD deli točka E stranico AB v razmerju AE : EB = 1 : 1, točka F stranico BC v razmerju BF : F C = 1 : 4 in točka G stranico AD v razmerju AG : GD = 3 : 2. Točka S je presečišče daljic ED in FG. V kakšnem razmerju deli točka S daljico ED? 13. Ali so vektorji a = (1, 3, 1), b = (2, 5, 1) in c = (7, 1, 5) linearno neodvisni? Izračunaj kot med vektorjema a in b. 14. Kakšen mora biti x, da bo vektor a = ( 4, x, 3) dolg 13 enot? 15. Srednjica trapeza ABCD seka stranici d in b v točkah P in R. Dokaži, da velja: P R = 1 ( ) AB + DC V trikotniku ABC deli točka D stranico AB v razmerju AD : DB = 1 : 4. V kakšnem razmerju deli težiščnica na a daljico CD? 17. Razstavi vektor a = ( 1, 1, 4) na linearno kombinacijo vektorjev e 1 = ( 1, 3, 5), e 2 = (0, 1, 4) in e 3 = (1, 2, 6)! 18. Dokaži z vektorji, da se diagonali v kvadratu razpolavljata! 19. AC = e, BD = f sta diagonali paralelograma. Izrazi s tema vektorjema AB, BC, CD. 20. Izračunaj 2a 3b, če je a = i 2 j +3 k in b = 2 i k. Izračunaj ( a, b). 8. Na stranici CD paralelograma ABCD leži točka E, tako da velja DE : DC = 3 : 7. Zveznica AE seka diagonalo DB v točki T. Izračunaj razmerje BT : T D. 9. Dane so točke A(3, 1, 4), B(1, 3, 1) in C( 2, 1, 1). Zapiši vektor r = 4 r A r B r C. Določi koordinate težišča trikotnika ABC. Izračunaj notranje kote trikotnika,. 10. Dani so vektorji a = 4 i 7 j, e 1 = 2 i j in e 2 = i+2 j. Zapiši vektor a kot linearno kombinacijo vektorjev e 1 in e Dan je trikotnik ABC. Točka D leži na stranici AB tako, da velja AD : DB = 1 : 3, točka E leži na daljici BC tako da velja BE : EC = 1 : 2 in točka F deli daljico AC v razmerju CF : F A = 1 : 2. Točka G je presečišče daljic DC in EF. V kakšnem razmerju deli točka G daljico DC?