Afina in projektivna geometrija
|
|
- Καϊάφας Ζωγράφος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c + d + e + f = 0. Posamezni členi v zgornji enačbi imajo različne geometrijske pomene: Člen a + b + c določa tip stožnice in pa njeno orientacijo. Neizrojene stožnice so krožnica, elipsa, parabola in hiperbola, poleg njih pa obstajajo še izrojene stožnice. Člen d + e določa središče stožnice. Člen f določa velikost stožnice. Vsaki stožnici lahko priredimo simetrično matriko [ ] a b M =, b c ki nam pomaga pri skiciranju stožnice. Lastni vektorji matrike M določajo orientacijo stožnice, lastne vrednosti pa nam povedo, katerega tipa je stožnica. V našem primeru je Lastni vrednosti matrike M: M = [ Lastni vrednosti matrike M zadoščata enačbi 6 λ λ = λ λ + 6 = 0, od koder sledi, da sta lastni vrednosti matrike M števili Lastna vektorja matrike M: λ =, λ = 8. Lastna vektorja matrike M sta vektorja, ki napenjata jedri matrik M λ Id in M λ Id. To pomeni, da mora vektor v, ki pripada lastni vrednosti λ, zadoščati sistemu enačb [ ] [ ] = ].
2 Vrstici sta linearno odvisni, zato je dovolj poiskati vektor, ki reši zgornjo enačbo. Prvo koordinato si lahko izberemo poljubno, druga pa je nato natanko določena. Vzamemo lahko vektor v = (, ). Vektor v, ki pripada lastni vrednosti λ, pa mora rešiti sistem enačb [ ] [ ] = edaj lahko vzamemo vektor v = (, ). 3 6 Lastni vrednosti in lastna vektorja nam povedo, da imamo opravka z elipso, ki ima osi v smereh simetral lihih in sodih kvadrantov. Formalno to lahko pokažemo tako, da najprej z normiranjem lastnih vektorjev naredimo razcep M = P DP T = [ ] [ Prehodna matrika P določa zamenjavo koordinat: = ( ), = ( + ). ] [ V novih koordinatah lahko našo stožnico izrazimo z enačbo + 8 =, kar pomeni, da gre za elipso s polosema in v smeri simetral kvadrantov. ]. ' '
3 () Homogeniziraj dane enačbe in opiši stožnice v projektivni ravnini P (R 3 ), ki jih določajo: (a) + =, (b) =, (c) =. Rešitev: tožnici v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo a + b + c + d + e + f = 0, lahko priredimo stožnico v projektivni ravnini P (R 3 ) s homogenizacijo zgornje enačbe. To pomeni, da vsakemu členu dodamo potenco spremenljivke z, tako da imajo na koncu vsi členi stopnjo. Konkretno tako dobimo stožnico z enačbo a + b + c + dz + ez + fz = 0. Pri homogenizaciji torej iz kvadratne enačbe dveh spremenljivk dobimo kvadratno enačbo treh spremenljivk, ki določa neko ploskev v evklidskem prostoru R 3. Ker je dobljena enačba homogena, je ta ploskev premonosna (sestavljena iz premic), zato definira neko krivuljo v projektivni ravnini. Prvotna krivulja ustreza zožitvi te krivulje na afini del projektivne ravnine, ki je dan s pogojem z =. V splošnem pa lahko pri homogenizaciji krivulje dobimo še kakšno dodatno točko na premici v neskončnosti. (a) Pri homogenizaciji enačbe + = dobimo enačbo + = z. Ta enačba določa neko krivuljo v projektivni ravnini, katere slika na zaslonu z = je ravno prvotna krožnica. Poglejmo še, ali morda vsebuje še kakšno točko na premici v neskončnosti. Na premici v neskončnosti je z = 0, zato dobimo pogoj + = 0, od koder sledi = = 0. Rešitev enačbe je torej točka (0, 0, 0), ki pa ne definira nobene točke v projektivni ravnini. (b) Pri homogenizaciji enačbe = dobimo enačbo Na zaslonu z = tokrat dobimo hiperbolo. = z. 3
4 V preseku te projektivne krivulje s premico v neskončnosti so točke, za katere velja = 0. Takšni sta točki T = [ : : 0] in T = [ : : 0], ustrezata pa asimptotama hiperbole. Zanimivo je pogledati, kaj dobimo, če to krivuljo pogledamo na zaslonu =. Tam je podana z enačbo + z =, kar pomeni, da gre za krožnico. Točki (, 0) in (, 0) ustrezata točkama T in T, medtem ko zgornja in spodnja polkrožnica ustrezata desni in levi veji hiperbole. z desna veja hiperbole : :0 ::0 leva veja hiperbole (c) Za konec si poglejmo še parabolo =. Če to enačbo homogeniziramo, dobimo enačbo = z. Tokrat dobimo v neskončnosti še eno dodatno točko, in sicer T = [ : 0 : 0].
5 Če na to stožnico pogledamo iz različnih zornih kotov, dobimo različne slike na zaslonih. Pri izbiri zaslona + z = tako dobimo krivuljo z enačbo: ( ) + =, = ( ), ki pa je v bistvu krožnica. Na tem zaslonu ima standardna premica v neskončnosti enačbo = in se dotika naše krivulje v točki (, 0), ki je v bistvu točka T = [ : 0 : 0]. Iz tega zornega kota dobro vidimo, da je premica v neskončnosti tangenta na našo parabolo, čeprav na začetku to ni bilo jasno. premica v :0:0 3 Opomba: Iz zgornjih primerov je razvidno, da v projektivni ravnini krožnice, elipse, parabole in hiperbole vse predstavljajo isto stožnico, ki pa jo opazujemo iz različnih zornih kotov. V projektivni ravnini namreč do projektivne ekvivalence natanko obstaja le en tip neizrojenih stožnic. V afini in evklidski ravnini je situacija drugačna. Tam z izometrijami oziroma afinimi transformacijami ne moremo preslikati elipse v parabolo ali hiperbolo. (3) V projektivni ravnini P (R 3 ) je dana stožnica = {[ : : z] + z = 0}. (a) Izračunaj polare točk = [0 : 0 : ], B = [ / : 0 : ], C = [0 : : ] in D = [ : : ] glede na stožnico. (b) Poišči pola premic p = {[ : : z] z = 0} in q = {[ : : z] = 0} glede na. Rešitev: Pri tej nalogi bomo spoznali geometrijska opisa polare in pola glede na stožnico v projektivni ravnini. Naj bo neprazna, neizrojena stožnica v projektivni ravnini P (R 3 ) in M simetrična 3 3 matrika, ki ji pripada. Nadalje naj bo P (R 3 ) poljubna točka in a R 3 poljuben vektor na premici skozi izhodišče, ki določa točko. Polara točke glede na stožnico je projektivna premica p = {[ : : z], Ma = 0}. Če je p poljubna premica v projektivni ravnini, je njen pol tista točka v projektivni ravnini, katere polara je premica p. (a) tožnici = {[ : : z] + z = 0} pripada simetrična matrika M =
6 Polara točke = [0 : 0 : ] glede na : Pri računanju polare v bistvu iščemo ortogonalni komplement vektorja Ma v R 3. Tako dobimo ravnino v R 3 (vektor Ma je njena normala), ki določa polaro v projektivni ravnini. V našem primeru je Ma = (0, 0, ), zato je p = {[ : : z] z = 0}. Polara točke je torej premica v neskončnosti. polara Polara točke B = [ / : 0 : ] glede na : edaj je Mb = ( /, 0, ), zato je p B = {[ : : z] + z = 0}. Na zaslonu z = ima polara točke B enačbo =. polara B Polara točke C = [0 : : ] glede na : V tem primeru je Mc = (0,, ), od koder dobimo p C = {[ : : z] z = 0}. Na zaslonu z = ima polara točke C enačbo =. Vidimo, da je polara v tem primeru kar tangenta na krožnico skozi točko C. 6
7 C polara Polara točke D = [ : : ] glede na : edaj imamo Md = (,, ). Od tod sledi p D = {[ : : z] + z = 0}. Na zaslonu z = lahko polaro točke D podamo z enačbo + =. D polara (b) edaj bomo imeli dano neko premico v projektivni ravnini, iskali pa bomo točko, katere polara je ta premica. Denimo, da je premica p v P (R 3 ) določena z neko ravnino v R 3 z normalo n. Potem je pol premice p določen z enačbo Ma = n. Pol premice p = {[ : : z] z = 0} glede na : Iščemo vektor a, ki reši enačbo Ma = (, 0, ), oziroma: = z Od tod sledi, da je pol premice p točka = [ : 0 : ]. Vidimo, da premica p vsebuje svoj pol. To se zgodi natanko takrat, ko je premica tangentna na stožnico, pol pa je v tem primeru kar dotikališče premice in stožnice. 7
8 p Pol premice q : {[ : : z] = 0} glede na : edaj iščemo vektor a, ki reši enačbo Ma = (, 0, 0), oziroma (,, z) = (, 0, 0). Pol premice q je točka = [ : 0 : 0], ki leži na premici v neskončnosti. Točka je presečišče tangent na stožnico v presečiščih premice q in stožnice. q Opomba: Pojma polare in pola po naši definiciji sta posplošitvi pojmov polare in pola glede na krožnico v evklidski ravnini. Denimo, da sta in B inverzni točki glede na krožnico K. Potem gre polara točke skozi točko B in je pravokotna na zveznico točk in B. nalogno velja tudi za polaro točke B. Polara točke B seka krožnico K natanko v dotikališčih tangent na K, ki potekata skozi B. p B p K B 8
9 () V projektivni ravnini P (R 3 ) je dana stožnica = {[ : : z] + + z + z + z = 0}. (a) Določi polaro točke = [0 : : 0] glede na. (b) Določi pol premice p = {[ : : z] + + z = 0} glede na. (c) li je premica q = {[ : : z] + + z = 0} tangentna na stožnico? Rešitev: tožnici = {[ : : z] + + z + z + z = 0} pripada simetrična matrika M = 0. (a) Polara točke = [0,, 0] je premica p = {[ : : z] + z = 0}. Ker točka leži na stožnici (v neskončnosti), je polara točke tangenta na stožnico v projektivni ravnini. Na zaslonu z = pa polara sovpada z asimptoto hiperbole. polara (b) Pol premice p mora rešiti enačbo 0 =, z kar pomeni, da je pol premice p točka = [0 : 0 : ]. p 9
10 (c) Za testiranje, ali je dana premica tangentna na stožnico, imamo na voljo dokaj preprost kriterij. Premica je namreč tangentna na stožnico natanko takrat, ko vsebuje svoj pol. Pol premice q zadošča enačbi 0 = z od koder sledi, da je pol točka = [0 : : ]. Preverimo lahko, da točka leži na premici q, kar pomeni, da je q tangentna na stožnico. q () Parametriziraj šop stožnic, ki ga določata stožnici: ter poišči vse izrojene stožnice v tem šopu. = {[ : : z] + z = 0}, = {[ : : z] + z = 0} Rešitev: Poglejmo si najprej skici obeh stožnic na zaslonu z =. T T 3 T 3 T 3 Presečišča obeh stožnic zadoščajo sistemu enačb: + =, + =, 0
11 ( katerega rešitve so T, ( ), T, ( ), T 3, ) ( in T, Označimo z M in M matriki, ki pripadata stožnicama in. Zanimala nas bo družina stožnic, ki potekajo skozi te štiri točke. Tej družini rečemo šop stožnic, ki ga določata in, stožnice v tej družini pa lahko opišemo z matrikami M = αm + βm, kjer je [α : β] P (R ) (večkratniki matrike M namreč določajo isto stožnico v P (R 3 )). V našem primeru dobimo 0 0 M = αm + βm = α β 0 0 α + β = 0 α + β α β Izrojene so tiste stožnice v tem šopu, katerih pripadajoče matrike niso obrnljive. pomeni, da imajo ničelno determinanto, od koder sledi det(m) = ( α + β) ( α + β ) ( α β) = 0. Ker nas zanima samo razmerje α in β in ker rešitve [0 : 0] ne upoštevamo, lahko postavimo α =. V danem šopu so potem tri izrojene stožnice. α =, β = /: V tem primeru dobimo izrojeno stožnico { / = [ : : z] 6 3 } z = 0. Na zaslonu z = dobimo unijo dveh vzporednih premic = ±. α =, β = : edaj je izrojena stožnica { = [ : : z] } = 0, ki je na zaslonu z = unija simetral kvadrantov α =, β = : = ±. V tem primeru dobimo izrojeno stožnico { = [ : : z] 6 3 } = 0, ki je na zaslonu z = unija premic = ±. ). To
12 Poglejmo si sliko stožnic, ter vseh treh izrojenih stožnic. 3 3 Zanimivo je še pogledati, kako se spreminja oblika stožnice, ko spreminjamo parameter β. 3 3 Pri dani vrednosti β dobimo stožnico, ki je na zaslonu z = dana z enačbo ( ) ( + β + + β ) = + β. tožnica ustreza vrednosti β = 0, stožnica pa vrednosti β =. edaj bomo opisali, kako se spreminja oblika stožnice, ko β preteče realna števila. Pri vrednostih β dobimo elipse, ki od zunaj aproksimirajo elipso. Ko nato β narašča od do, dobimo elipse, ki so čedalje bolj raztegnjene v navpični smeri. Pri β = se elipsa pretrga, nastaneta pa dve navpični premici, ki tvorita prvo izrojeno stožnico iz šopa. Za parametre < β < dobimo vodoravne hiperbole, katerih asimptote so sprva skoraj navpične, nato pa se približujejo k simetralam kvadrantov, ki ustrezata drugi izrojeni stožnici pri β =. Na intervalu < β < / dobimo navpične hiperbole, ki se pri vrednosti β = / izrodijo v dve vodoravni premici. Pri vrednostih / < β < 0 pridejo na vrsto elipse, ki se čedalje bolj od zunaj prilegajo elipsi, ki ustreza parametru β = 0. Do vrednosti β = se nato elipse približujejo krožnici, ki poteka skozi štiri skupne točke, za parametre β > pa dobimo elipse, ki čedalje bolje od znotraj aproksimirajo elipso.
13 (6) Poišči stožnico v projektivni ravnini P (R 3 ), ki vsebuje točke T = [0 : 0 : ], T = [ : 0 : ], T 3 = [ : : ], T = [0 : : ] in T = [ : 3 : ]. Rešitev: Kot smo videli pri prejšnji nalogi, štiri točke še ne določajo natanko stožnice v ravnini. Če pa imamo pet točk v splošni legi, je stožnica z njimi natanko določena. Začeli bomo s splošno enačbo stožnice a + b + c + dz + ez + fz = 0. Če v to enačbo vstavimo danih pet točk, dobimo sistem petih enačb za šest neznank. Ker je enačba homogena, lahko eno neničelno neznanko fiksiramo, tako da ostanemo s samo petimi neznankami, ki jih nato dobljeni sistem natanko določa. V našem primeru dobimo sistem enačb: f = 0, a + d + f = 0, a + b + c + d + e + f = 0, c + e + f = 0, a + b + 9c + d + 6e + f = 0. Fiksirajmo recimo a =. Potem sledi b = 0, c = /3, d = /, e = /6 in f = 0, od koder sledi, da je iskana stožnica { } = [ : : z] z z = 0. Zožitev te stožnice na afino ravnino ima enačbo: = 0, ( ) ( ) = 3 6. Gre za hiperbolo s središčem v točki T (, ). 3 T T T 3 T T 3 3
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότερα1 3D-prostor; ravnina in premica
1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραPravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica
Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA NPZ
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:
Διαβάστε περισσότεραNaloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραŽiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO
Žiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO Ljubljana 2015 ii naslov: REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOME- TRIJO avtorske pravice: Žiga Virk izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότερα