Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας και της Ανώτατης Εκκλησιαστικής Ακαδημίας Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Ανάλυση Fourier (Συνέχεια)
Σκοποί ενότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την ανάλυση Fourier. 5
Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Μετασχηματισμός Fourier. Φυσική σηµασία του μετασχηματισμού Fourier. Βασικοί Τύποι Μετασχηματισμού Fourier. Παράδειγµα: Ορθογώνιος Παλμός. Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier. Μετασχηµατισµός Fourier χαρακτηριστικών συναρτήσεων. 6
Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Παράδειγμα: Ημιτονικό σήμα. Παράδειγµα: Συνηµιτονικό σήµα. Άσκηση. Βασικές σχέσεις τετραγωνικού και τριγωνικού παλµού. Η συνάρτηση Λ(t) ή Τριγωνικός Παλµός. Βιβλιογραφία. 7
Μετασχηµατισµός Fourier (1/2) Αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourier στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη). Όπως και στις σειρές, οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια μιγαδικών εκθετικών διαφόρων συχνοτήτων. Ωστόσο, οι συχνότητες αυτές δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς. Έτσι η συνάρτηση έχει ένα συνεχές φάσμα. 8
Μετασχηµατισµός Fourier (2/2) Από την αναπαράσταση μίας συνάρτησης με εκθετική σειρά Fourier γνωρίζουμε ότι: c n = 1 T T/2 T/2 f x e i2πnx T dx = 1 T T/2 T/2 f x e inωx dx c n T = T/2 T/2 f(x)e inωx dx. Παίρνοντας το όριο T τότε c n T = f(x)e iωx dx. Συμβολίζουμε με F ω = f(x)e iωx dx και με αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση f(x) σε μία συνάρτηση με μεταβλητή την κυκλική συχνότητα ω. Αυτό ισχύει διότι Τ=2π/ω οπότε και το ολοκλήρωμα θα εξαρτάται από το ω. 9
Φυσική σηµασία του μετασχηματισμού Fourier O μετασχηματισμός Fourier μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα εργαλείο µε το οποίο βλέπουμε ένα σήµα από µια άλλη οπτική γωνία. Σχήμα 1. Φυσική σημασία του μετασχηματισμού Fourier. Η συχνότητα μετρά το ρυθµό της χρονικής μεταβολής ενός σήµατος. «Η υψηλή συχνότητα αντιστοιχεί στις γρήγορες μεταβολές συναρτήσει του χρόνου». «Η χαµηλή συχνότητα αντιστοιχεί στις αργές μεταβολές». 10
Βασικοί Τύποι Μετασχηματισμού Fourier Μετασχηµατισµός Fourier: X f = x(t)e j2πft dt X ω = x(t)e j2ωt dt. Αντίστροφος Μετασχηματισμού: F 1 X(f) = x t = X f e j2πft df, F 1 X(ω) = x t = 1 X ω e j2ωt dω. 2π, 11
Παράδειγµα: Ορθογώνιος Παλµός (1/3) Θεωρούµε τον ορθογώνιο παλµό g(t) διάρκειας Τ και πλάτους Α (βλέπε σχήµα 2). Για να τον ορίσουµε στα µαθηµατικά χρησιµοποιούµε την ορθογώνια συνάρτηση rec(t) η οποία είναι µοναδιαίου πλάτους και µοναδιαίας διάρκειας µε κέντρο το t = 0: Σχήμα 2. Ορθογώνιος παλμός. rec t = 1, 1 t 1 2 2 0, t > 1. 2 12
Παράδειγµα: Ορθογώνιος Παλµός (2/3) Ο μετασχηματισμός Fourier του ορθογώνιου παλμού g(t) δίνεται. 13
Παράδειγµα: Ορθογώνιος Παλµός (3/3) Οπότε στο πεδίο της συχνότητας ο μετασχηματισμός Fourier γίνεται: G f = AT sin(ωτ 2) ω Τ 2 = ΑΤ sin(πft) πft = ATsinc(fT). Σχήμα 3. Ο μετασχηματισμός Fourier στο πεδίο της συχνότητας. 14
Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Fourier (1/2) Γραμμικότητα: ag 1 t + bg 2 t ag 1 f + bg 2 (f). Αλλαγή κλίμακας στο χρόνο: g(at) 1 a G(f a ). Δυϊσμός: g(t) G(f) G(t) g( f). Χρονική ολίσθηση: g(t t 0 ) G f exp j2πft 0. Ολίσθηση συχνότητας: g t exp j2πf c t G(f fc). Συζυγείς συναρτήσεις: g (t) G ( f). 15
Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Fourier Ιδιότητες συνέλιξης. (2/2) 16
Μετασχηματισμός Fourier χαρακτηριστικών συναρτήσεων Συνάρτηση έλτα: + F δ(t) = δ t e jωt dt = e jω0 = 1. Μονάδα: F 1 = 2πδ ω = 2πδ ω = 2πδ 2πf = δ(f). Εκθετικές συναρτήσεις: F e +jω t 0 = F e +jω t 0 1 = 2πδ(ω ω 0 ), F e jω t 0 = F e jω t 0 1 = F e +j ω t 0 1 2πδ ω + ω 0. 17
Παράδειγμα: Ημιτονικό σήμα (1/2) X ω = F 1 2j (ejω 0 t e jω 0 t = 1 2j F ejω 0 t 1 2j F e jω 0 t = 1 2πδ ω ω 2j 0 1 2πδ ω + ω 2j 0 = π δ ω ω j 0 π δ(ω + j ω 0 ). Σχήμα 4. Ημιτονικό σήμα (1). 18
Παράδειγμα: Ημιτονικό σήμα (2/2) X f = π j δ ω ω 0 π j δ ω + ω 0 = π π j2π δ f + f 0 = 1 2j δ f f 0 1 2j δ(f + f 0). j2π δ f f 0 Σχήμα 5. Ημιτονικό σήμα (2). 19
Παράδειγµα: Συνηµιτονικό σήµα (1/2) x(t)=cos(2πf 0 t). Σχήμα 6. Συνημιτονικό σήμα (1). 20
Παράδειγµα: Συνηµιτονικό σήµα (2/2) X f = F cos(2πft) = F 1 2 (ej2πft + e j2πft ) = 1 2 F ej2πft + 1 2 F e j2πft = 1 2 δ f f 0 + 1 2 δ(f + f 0). Σχήμα 7. Συνημιτονικό σήμα (2). 21
Άσκηση Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier y t = cos 10πt (4 cos 6πt + 8cos 2 8πt). Λύση. 22
Άσκηση (συνέχεια) Λύση (συνέχεια). 23
Βασικές σχέσεις τετραγωνικού και τριγωνικού παλµού Πίνακας 1. Βασικές σχέσεις τετραγωνικού και τριγωνικού παλμού. Πεδίο χρόνου rect(t) sinc(t) tri(t) sinc 2 (t) Πεδίο συχνότητας sinc(f) rect(f) sinc 2 (f) tri(f) 24
Η συνάρτηση Λ(t) ή Τριγωνικός Παλµός (έχουμε επιπλέον) Σχήμα 8. Η συνάρτηση Λ(t) ή Τριγωνικός Παλµός. 25
Η συνάρτηση Λ(t) ή Τριγωνικός Παλµός Άσκηση (1/2) Άσκηση: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός: Λ 2t + 3 = tri(2t = 3). Λύση. Λ 2t + 3 = x at t 0 t0 = 3, a = 2. Ιδιότητα μετασχηματισμών συνδυασμού χρονικής ολίσθησης και αλλαγής κλίμακας. 26
Η συνάρτηση Λ(t) ή Τριγωνικός Παλµός Λύση (συνέχεια). Άσκηση (2/2) 27
Βιβλιογραφία «Συστήματα Επικοινωνίας», Simon Haykin, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Αρχές και Εφαρμογές Σημάτων και Συστημάτων, Χ. Δουληγέρης, Γ.Α. Τσιχριντζής, Εκδόσεις Βαρβαρήγου, Πειραιεύς, 2003. «Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες», Κωνσταντίνου, Καψάλη, Κώττη, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. «Αρχές Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων», Taub, Schilling, Εκδόσεις Τζιόλα. 28
Τέλος Ενότητας