HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1
Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουµε ότι η πρόταση P(n) είναι αληθής για κάθε φυσικό αριθµό n. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(0) k 0 (P(k) P(k+1)) n 0 P(n) (βάση της επαγωγής) (επαγωγικό βήµα) 2
Γεωµετρικό παράδειγµα Ποιο είναι το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n διαφορετικών ευθειών στο επίπεδο; 3
Γεωµετρικό παράδειγµα f (1) = 0 4
Γεωµετρικό παράδειγµα f (2) = 1 5
Γεωµετρικό παράδειγµα f (3) = 3
Γεωµετρικό παράδειγµα f (4) = 6 7
Γεωµετρικό παράδειγµα f (5) = 10 8
Γεωµετρικό παράδειγµα Έχουµε: n = 1, 2, 3, 4, 5 f (n) = 0, 1, 3, 6, 10 Ερώτηση: Ποια είναι η σχέση που συνδέει αυτές τις τιµές; 9
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: f (n) = f (n-1) + n 1 Ερώτηση: Πως βρίσκουµε µία «κλειστή» σχέση; 10
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 11
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 12
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 13
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 14
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 15
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n 2 + n 1 16
Γεωµετρικό παράδειγµα Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=1: 1. f (n) = f (n-1) + n 1 2. Άρα, f (n-1) = f (n-2) + n 2 3. Εποµένως: f (n) = f (n-2) + n 2 + n 1 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-2) f (n) = f (n-3) + n-3 + n 2 + n 1 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n 2 + n 1 6. Για να φτάσουµε στο n = 1, ας θέσουµε i = n 1 7. f (n) = f (1) + 1 + 2 + + n-3 + n 2 + n 1= 0 Πόσο είναι αυτό; n 1 + i = 1 i 17
Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 18
Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 19
Γεωµετρικό παράδειγµα e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 20 2 2 n n n( n 1) 2x + n = n x = x = 2 2
Επαγωγική απόδειξη Θεώρηµα: Το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n>0 ευθειών στο επίπεδο είναι n(n-1)/2. Βάση της επαγωγής: Για n = 1, υπάρχει µία µόνο ευθεία και εποµένως δεν υπάρχει κανένα σηµείο τοµής. Επίσης για n=1, n(n-1)/2 = 0. Εποµένως, η βάση της επαγωγής ισχύει. 21
Γεωµετρικό παράδειγµα Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν k ευθείες έχουν το πολύ k(k -1)/2 σηµεία τοµής, τότε οι k+1 ευθείες, έχουν το πολύ (k+1)k/2 σηµεία τοµής Παρατηρούµε ότι η προσθήκη µίας ευθείας σε k ευθείες, δηµιουργεί το πολύ k νέα σηµεία τοµής. Εποµένως, για k +1 ευθείες έχουµε k(k-1)/2 + k = (k(k-1)+2k)/2 =(k 2 +k)/2 = k(k+1)/2. Αυτό αποδεικνύει το επαγωγικό βήµα, κι εποµένως ολοκληρώνει την απόδειξη. 22
Επαγωγή και αναδροµή Η επαγωγή είναι ένα φυσικό εργαλείο για την απόδειξη ιδιοτήτων αναδροµικά ορισµένων αντικειµένων. Για παράδειγµα, θεωρείστε την ακολουθία Fibonacci: {f n } = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, που ορίζεται ως f 0 = 0, f 1 = 1, και για n>1 f n = f n-1 +f n-2. Θεώρηµα: Για όλους τους φυσικούς n, 2 f 3n. 23
Επαγωγή και αναδροµή Απόδειξη. Βάση επαγωγής n = 0. f 3 0 = f 0 = 0 το οποίο διαιρείται ακριβώς µε το 2 b Επαγωγικό βήµα, n > 0: Έστω ότι 2 f 3(k-1). Θα δείξω ότι 2 f 3k. Πράγµατι, f 3k = f 3k-1 +f 3k-2 = (f 3k-2 +f 3k-3 )+f 3k-2 = 2f 3k-2 +f 3k-3 = 2f 3k-2 +f 3(k-1) Από την επαγωγική υπόθεση, 2 f 3(k-1) εποµένως 2 (2f 3k-2 +f 3(k-1) ) κι εποµένως 2 f 3k. 24
2 η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: P(c) k c: ( i c i k P(i)) P(k+1) n c: P(n) P αληθής για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις Η διαφορά µεταξύ της 2 ης και της 1 ης αρχής της επαγωγής είναι ότι το συµπέρασµα P(k+1) του επαγωγικού βήµατος βασίζεται στην ισχυρότερη υπόθεση ότι η P(i) είναι αληθής για κάθε αριθµό i k, και όχι µόνο ότι P(k). 25
Απόδειξη προτάσεων µε βάση τη 2 η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής Για να αποδείξουµε την πρόταση n c P(n) κάνουµε το παρακάτω: Αποδεικνύουµε την βάση της επαγωγής, P(c) Θεωρώντας ένα τυχαίο k 0, αποδεικνύουµε ότι αν i c i k ισχύει η P(i), τότε P(k+1) Με βάση την 2 η αρχή της επαγωγής, αυτό αποδεικνύει ότι n c: P(n) 26
Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: είξτε ότι κάθε ακέραιος n>1 µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο p 1 p 2 p s s το πλήθος, πρώτων αριθµών. Απόδειξη: Έστω P(n)= Ο n µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο s το πλήθος, πρώτων αριθµών Βασικό βήµα: n=2, έστω s=1, p 1 =2. Επαγωγικό βήµα: Έστω n 2. ΕΥ: υποθέτω i 2 i k: P(i). Πρέπει να αποδείξω ότι P(k+1). Για τον k+1 υπάρχουν 2 περιπτώσεις: O k+1 είναι πρώτος. Tότε έστω s=1, p 1 =k+1. O k+1 δεν είναι πρώτος. Tότε υπάρχουν ακέραιοι a και b τέτοιοι ώστε k+1=ab, όπου 2 a k and 2 b k. Τότε (από ΕΥ) a=p 1 p 2 p t και b=q 1 q 2 q u. Συνεπώς, k+1 = p 1 p 2 p t q 1 q 2 q u, γινόµενο από s=t+u πρώτους. 27
2 ο παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των12 ευρώ µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. Απόδειξη: P(n)= ταχ. τέλος n>=12 ευρώ µπορεί να δηµ. µε γραµµατόσηµα των 4 και 5 ευρώ Βάση επαγωγής: 12=3 γρ. x 4 Ευρ., Επίσης, 13=2 γρ. x 4 Ευρ. + 1 γρ. x 5 Ευρ., 14=1γρ. x 4 Ευρ. + 2 γρ. x 5 Ευρ., 15=3 γρ. x 5 Ευρ. εποµένως, i 12 i 15, P(i). 28
Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Επαγωγικό βήµα: Έστω k 15. Έστω ότι i 12 i k P(i). Πρέπει να αποδείξουµε ότι P(k+1). Πράγµατι: Ξέρουµε ότι P(k 3), επειδή 12 k 3 k. Αλλά από την P(k 3) προκύπτει άµεσα η P(k+1): απλά προσθέστε ένα γραµµατόσηµο των 4 ευρώ! 29
Βρέστε το σφάλµα!!! Θεώρηµα : Όλα τα σύνολα αλόγων είναι οµοιόµορφα, µε την έννοια ότι όλα τα στοιχεία τους έχουν το ίδιο χρώµα (!?!?) Μέθοδος: επαγωγή πάνω στον πληθικό αριθµό του συνόλου P(x): Όλα τα σύνολα µε πληθικό αριθµό x είναι οµοιόµορφα
Βρέστε το σφάλµα Απόδειξη : Βασικό βήµα: P(1) (Τετριµµένο) Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι k (P(k) P(k+1)) Θεωρείστε ένα σύνολο S= {α 1,α 2,,α k+1 } από k+1 άλογα. Χωρίστε το S στα υποσύνολά του A και B καθένα από τα οποία έχει k στοιχεία: A= {α 1,α 2, α k } B= {α 2,α 3,,α k+1 } Και το A είναι οµοιόµορφο και το B είναι οµοιόµορφο. Επιπλέον ισχύει A B, και εποµένως το σύνολο A B είναι οµοιόµορφο. ΟΕ (!?!?!?!?!?)
Βρέστε το σφάλµα Στην απόδειξη χρησιµοποιήσαµε το ότι A B, αλλά αυτό *δεν* ισχύει γενικά! (πχ. έστε τι συµβαίνει για Α = Β = 1...) το πρώτο «ντόµινο» αρνείται να πέσει
Σχέσεις 33
ιµελής σχέση Έστω A, B οποιαδήποτε σύνολα. Μία διµελής σχέση R από το A στο B, είναι ένα υποσύνολο του A B. Το (a, b) R σηµαίνει ότι «το a σχετίζεται µέσω της R µε το b» Επίσης γράφεται ως arb ή ως R(a,b) Π.χ., έστω η σχέση ΚατοικείΣτηνΠόλη η οποία ορίζεται ως ένα υποσύνολο του A B όπου Α το σύνολο των ανθρώπων και Β το σύνολο των πόλεων. Αντώνης ΚατοικείΣτηνΠόλη Ηράκλειο (Αντώνης, Ηράκλειο) ΚατοικείΣτηνΠόλη ΚατοικείΣτηνΠόλη(Αντώνης, Ηράκλειο) 34
ιµελής σχέση Κι άλλο παράδειγμα: A = {Κώστας, Νίκος, Μαρία, Πάνος} Β = {Μακαρόνια, Μπριζόλες, Όσπρια, Σαλάτες} Σχέση Προτιμάει_το_φαγητό = {(Κώστας,Μπριζόλες), (Νίκος,Σαλάτες), (Μαρία,Όσπρια), (Πάνος, Σαλάτες)} 35
n-µελείς σχέσεις Μία n-µελής σχέση R στα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Αυτή είναι µία προφανής γενίκευση της διµελούς σχέσης. 3-µελείς σχέσεις, παραδείγµατα: Το a είναι µεταξύ του b και του c Ο a έδωσε το b στον c 36
n-µελείς σχέσεις Μία n-µελής σχέση R στα σύνολα A 1,,A n, είναι ένα υποσύνολο R A 1 A n. Τα σύνολα A i ονοµάζονται πεδία της R. Ο βαθµός της R είναι n. 37
Συµπληρωµατικές σχέσεις Έστω R:A, B µία διµελής σχέση. Τότε, R:A B, το συµπλήρωµα της R, είναι η διµελής σχέση που ορίζεται από R: {(a,b) A B (a,b) R}=(A B) R Το συµπλήρωµα της R είναι το R. Παράδειγµα: < = {(a,b) (a,b) <} = {(a,b) (a<b)} = 38
Αντίστροφες σχέσεις Κάθε διµελής σχέση R:A B έχει µία αντίστροφη σχέση R 1 :B A, που ορίζεται ως R 1 : {(b,a) (a,b) R}. Π.χ., < 1 = {(b,a) a<b} = {(b,a) b>a} = > Άλλο παράδειγµα: Εάν η R Άνθρωποι x Tροφή ορίζεται από a R b a τρώει την b, τότε: b R 1 a b τρώγεται από τον a. (παθητική φωνή) 39
Σχέσεις και πράξεις συνόλων Εφόσον οι διµελείς σχέσεις είναι σύνολα από διατεταγµένα ζεύγη, οι έννοιες της τοµής ένωσης διαφοράς συµµετρικής διαφοράς σχέσεων είναι αυτές που γνωρίζουµε ήδη από τη θεωρία συνόλων. 40
Σχέσεις επί συνόλου Μία (διµελής) σχέση από ένα σύνολο A στον εαυτό του ονοµάζεται σχέση επί του συνόλου A. Άρα, µία διµελής σχέση R επί του A ορίζεται ως R A A. Π.χ., η σχέση < µπορεί να είναι µία σχέση επί του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. 41
Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Μία σχέση R επί του A είναι ανακλαστική εάν και µόνο αν a A(aRa). Π.χ., η σχέση : {(a,b) a b} είναι ανακλαστική. Η R είναι µη-ανακλαστική εάν και µόνο αν a A( (ara)) Σηµειώστε τη διαφορά µεταξύ µιας σχέσης που είναι µη ανακλαστική ( a A( (ara))) από µία σχέση που απλά δεν είναι ανακλαστική ( ( a A(aRa)), δηλαδή, a A (αra). 42
Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση ανακλαστική; 43
Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A(aRa) 44
Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση µη ανακλαστική; 45
Ιδιότητες: Ανακλαστική ιδιότητα Έστω η σχέση R=Θαυµάζει ={(Γ,Μ), (Β,Μ), (Μ,Β), (Γ,Γ)} ορισµένη επί του συνόλου Α={Β,Γ,Μ} Είναι η σχέση µη ανακλαστική; Όχι, γιατί δεν ισχύει ότι a A( (ara)) Π.χ. (Γ,Γ) R 46