ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ τους σύστημα έχει μια λύση ως προς και y. Η ευθεία γράφεται: y5 Το μεταξύ τους σύστημα είναι: y 3. Το σύστημα αυτό y 5 έχει μοναδική λύση όταν η ορίζουσα του D είναι διάφορη του μηδενός. D. Είναι: Πρέπει D0. Επομένως για οι ευθείες και τέμνονται. Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Για τις διάφορες τιμές των, R συστήματα:, να λυθούν τα παρακάτω α) y y β) y y
α) Βρίσκουμε πρώτα τις ορίζουσες D, D και D y του συστήματος. Είναι: D, D, D y Διακρίνουμε τώρα τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν D, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση τη: D D και D y y. D Άρα,y,. Αν D 00, τότε το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις ή θα είναι αδύνατο. Αντικαθιστώντας στο σύστημα, θα έχουμε: y y. y y Για είναι: y y, οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής,y,, R. Για, το σύστημα θα είναι αδύνατο. Επομένως για και, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, ενώ για και, το σύστημα είναι αδύνατο. β) Βρίσκουμε τις ορίζουσες D, D και D y του συστήματος.
D D D y Διακρίνουμε τώρα τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν D, το σύστημα θα έχει μοναδική λύση τη: D D και D y y D. Άρα,y,. Αν D0, θα έχουμε: y y y. y Επομένως το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις της μορφής,y y, y, y R. 3
Άσκηση 3 η Γραμμικά συστήματα Σε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, y ισχύει: D D Dy 4DD 5. α) Δείξτε ότι: β) Να βρεθούν τα, y. α) Είναι: y D D D y D D D 4DD 5 y D D D 4DD 50 y D 4D4D D D 0 y D D D β) Γνωρίζουμε ότι άθροισμα τετραγώνων όταν είναι ίσο με το μηδέν, κάθε όρος του αθροίσματος θα είναι ίσος με το μηδέν. Επομένως θα y D D D D 0 και D 0 είναι: και Dy 0, οπότε D, D και Dy 0. Επειδή D, το σύστημα θα έχει μοναδική λύση τη: D D και D y y D. Επομένως,y, 0. 4
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 4 η Μονοτονία - Ακρότατα Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις: α) f3 4 β) γ) f 4 δ) f 3 f, Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε, με ισχύει f f. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε, με ισχύει f f. α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία, R με και «χτιστά» θα κατασκευάσουμε τα f και f. Αν είναι f f τότε η f είναι γνησίως αύξουσα ενώ αν είναι f f f θα είναι γνησίως φθίνουσα. Θα έχουμε: τότε η 3 3 3 4 3 4 f f. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. 5
Έστω, R με. Θα έχουμε: f f. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ) Για το πεδίο ορισμού της f έχουμε: 4 0 4 επομένως f. Έστω,,4 A,4 με. Τότε θα είναι: 4 4 4 4 f f. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 3 δ) Η συνάρτηση f ορίζεται στο Έστω,,,. με. Τότε θα είναι:, 0 3 3 f f. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άσκηση 5 η Μονοτονία - Ακρότατα Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο M,4. Να λυθεί η ανίσωση f 4. Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα σ ένα διάστημα Δ όταν για κάθε, με ισχύει f f. 6
Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M,4 οπότε f 4. Επομένως θα έχουμε: f f 4 f f. Άσκηση 6 η Μονοτονία - Ακρότατα f Δείξτε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, παρουσιάζει μέγιστο στο 0 A όταν ισχύει f f 0 για κάθε A. Για είναι μέγιστο στο f f. Επομένως για να παρουσιάζει η f θα πρέπει να ισχύει f f για κάθε R. Πράγματι: για κάθε R ή f 0 0 το οποίο ισχύει για κάθε R. 7
Άσκηση 7 η Άρτιες - Περιττές συναρτήσεις Να εξετάσετε ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy και ποιες έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. α) f β) 6 γ) f δ) f 8 f 3 3 Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον yy ενώ η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επομένως εξετάζουμε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές. f α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 6 f είναι A R 0. Επομένως για κάθε Af και Af. Έχουμε: f f 6 6 Άρα η f είναι άρτια συνάρτηση και συνεπώς η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον yy.. β) Για να ορίζεται η συνάρτηση f 3 3 θα πρέπει να ισχύουν 3 0 και 3 0. Είναι: 8
3 0 3 30 3 3 Συναληθεύοντας τις και έχουμε. 3 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι κάθε A f, 3 3. Οπότε για, 3 3 και, 3 3. Θα έχουμε λοιπόν: f 3 3 3 3 3 3 f. Αφού είναι f f για κάθε Af η f είναι περιττή συνάρτηση και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. γ) Το πεδίο ορισμού της f είναι το R οπότε για κάθε R και R. Έχουμε: f f. Αφού είναι f f για κάθε R η f είναι άρτια συνάρτηση και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον yy. 9
f δ) Για να ορίζεται η συνάρτηση 8 θα πρέπει να είναι 8 8 8 8 0. Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι A R, f. Για κάθε Af και Af. Έχουμε: f f 8 8 8 Αφού είναι f f για κάθε Af η f είναι περιττή συνάρτηση και συνεπώς η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.. ε) Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Επομένως για κάθε R και R. Έχουμε: f 8 8 8 8 8 8 f. Άρα η f είναι άρτια συνάρτηση και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον yy. 0
Άσκηση 8 η Μετατόπιση καμπύλης Δίνεται η συνάρτηση () 5. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ: α) Κατά μονάδα προς τα δεξιά και μονάδες προς τα πάνω. β) Κατά μονάδες προς τα δεξιά και 6 μονάδες προς τα κάτω. γ) Κατά μονάδα προς τα αριστερά και μονάδες προς τα πάνω. δ) Κατά 4 μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα κάτω. α) Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g (c), c 0 προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Επομένως η συνάρτηση που προκύπτει όταν μετατοπίσουμε την () 5 κατά μονάδα προς τα δεξιά είναι η g() ( ) 5. Επίσης γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() g() c, c 0 προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της συνάρτησης g κατά c μονάδες προς τα πάνω. Συνεπώς η συνάρτηση που προκύπτει όταν μετατοπίσουμε την g() ( ) 5 κατά μονάδες προς τα πάνω είναι η f() g() ή f() () 7.
y y () 5 f() ( ) 7 O O β) Κατ αρχάς μετατοπίζουμε την συνάρτηση () 5 κατά δύο μονάδες προς τα δεξιά οπότε η συνάρτηση g που προκύπτει θα έχει τύπο g() ( ) 5. Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() () c, c 0 προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g κατά c μονάδες προς τα κάτω. Επομένως μετατοπίζοντας την συνάρτηση g() ( ) 5 κατά 6 μονάδες προς τα κάτω προκύπτει η συνάρτηση f() g() 6 ή f() ().