ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν 0 Δίνεται η συνάρτηση f () α, άν 0 Να βρείτε το εδίο ορισμού της και στη συνέχεια να εξετάσετε για ια τιμή του α είναι συνεχής σε αυτό Δίνεται η συνάρτηση f () 1 i) Να βρείτε το εδίο ορισμού της και ση συνέχεια το f () ii) Είναι συνεχής η f σε κάθε σημείο του εδίου ορισμού της; iii) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο 0= Αν δεν είναι συνεχής στο 0=, ώς ρέει να οριστεί η τιμή της στο σημείο αυτό ώστε αυτή να είναι συνεχής; Να σχεδιάσετε τη γραφική της αράσταση στην ερίτωση αυτή ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1
Δίνεται η συνάρτηση f () i) Nα βρείτε το εδίο ορισμού της και στη συνέχεια το f () ii) Να εξετάσετε αν υάρχει το f () και να δικαιολογήσετε την αάντησή σας 5 Δίνεται η συνάρτηση f() 6 i) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής αράστασης της f με τους άξονες ii) Nα βρείτε τα διαστήματα στα οοία η γραφική αράσταση της f βρίσκεται κάτω αό τον άξονα iii) Να υολογίστε τα όρια: f () και 1 f () 1 6 Για μια συνάρτηση f ισχύει ότι (f () 8) 10 i) Μορεί να βρεθεί το f () κάνοντας χρήση της ιδιότητας του ορίου του αθροίσματος συναρτήσεων; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας ii) Να βρείτε το f () 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύους f () 9,, και g() 1 Α) Να βρείτε το εδίο ορισμού τους Β) Να ορίσετε τη συνάρτηση f h g Γ) Αν η γραφ αράσταση της h διέρχεται αό την αρχή των αξόνων και αό το σημείο Κ(9,) να βρείτε τα α, β Δ) Αν α = β = 1 να βρείτε το h() 1 Ε) Για α = β = 1 να εξετάσετε αν η συνάρτηση συνεχής στο 0=1 h(), [0,1) (1, ) p(), 1 είναι ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 1 Δίνεται η συνάρτηση f () Να βρείτε τις f(1), f (1) και f (0) 1 Δίνεται η συνάρτηση f με α) την f () f () 1 7, Να βρείτε: β) τα σημεία της καμύλης της συνάρτησης f στα οοία η αράγωγος είναι μηδέν 1 Αν f () ( 1) και f (α)=7, όου α ραγματικός αριθμός, να βρείτε την τιμή του α Δίνεται η συνάρτηση f με f () συν ημ α) Να δείξετε ότι f () f () 0 β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οοία ισχύει λ f f 5 Αν h() f (g()) και g(), g () 1 και f () 5,να βρείτε τον αριθμό h () 6 Δίνεται η συνάρτηση f()= ημ +009, [0, ] α) Να λύσετε την εξίσωση:f () (f () 009 1) β) Να βρείτε για οιες τιμές του ισχύει ότι: f () όου 7 Δίνεται η συνάρτηση f () e 5 1 1 1 005,,,, α) Να βρείτε τις f () και f () β) Να ροσδιορίσετε τις τιμές των α,β,γ ώστε f () βf () γf () f () ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ
8 Δίνεται η συνάρτηση f () 1 Να βρείτε: Α) Τον συντελεστή διεύθυνσης της εφατομένης της γραφ αράστασης της f στο τυχαίο σημείο ( 0, f ( 0 )) Β) Την εξίσωση της εφατομένης της γραφικής αράστασης της f: α) ου σχηματίζει με τον άξονα γωνία φ= β) ου είναι αράλληλη στον άξονα γ) ου είναι αράλληλη στην ευθεία (ε):10 5y 1 0 δ) ου είναι κάθετη στην ευθεία ( ): y 009 ε) ου διέρχεται αό το σημείο (-1,-1) 9 Μια συνάρτηση f : είναι αραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα f ( 1) 7 Να βρείτε i) τις f() και f () ii) την εξίσωση της εφατομένης της C f στο σημείο Α(,f()) 10 Δίνεται η συνάρτηση f()= +α, α Να βρείτε την τιμή του α ώστε στα σημεία της γραφικής αράστασης της f ου έχουν τετμημένες 1 =1 και =- οι εφατόμενες να είναι αράλληλες 11 Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f()=- και g()= + Να αοδείξετε ότι σε ένα αό αυτά έχουν κοινή εφατομένη 1 Δίνεται η συνάρτηση f : με α β f () με α,β i) Να υολογίσετε την αράγωγο της συνάρτησης f ii) Αν f (1) 5 και f () 6, να βρείτε τις τιμές των α, β 1 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ
iii) Για τις τιμές των α, β ου βρήκατε να βρείτε την εξίσωση της εφατομένης της Cf στο σημείο (0,f(0)) 1 Δίνεται η συνάρτηση f : με f () 9 α β με α,β Να υολογίσετε την αράγωγο της συνάρτησης f i) Aν f 6 (1) f () 5 και f 0, να βρείτε τις τιμές των α, β 5 6 ii) Για α=1 και β=1 να βρείτε: α) το ρόσημο της f β) την εξίσωση της εφατομένης της Cf στο σημείο Α(κ,λ) όου κ, λ είναι στοιχεία του συνόλου 1,0,1 1 Να βρείτε τα α, β ώστε η ευθεία y=-1 να εφάτεται στην καμύλη της συνάρτησης f () α β στο σημείο ( 1,f ( 1)) 15 Δίνεται η συνάρτηση f () α Έστω ότι η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό το σημείο (, 5) και η εφατομένη της γραφικής της β αράστασης σχηματίζει με τον άξονα γωνία φ i) Να βρείτε τα α, β ii) Για 1 α και β=8 να βρείτε την εφατομένη της γραφικής αράστασης της f στο σημείο ( 1, f ( 1)) 16 Έστω η συνάρτηση f με τύο α β f () e με, i) Να βρεθεί ο τύος της συνάρτησης αν η γραφική αράσταση διέρχεται αό τα \ σημεία A(1,e ) και B( 1, e) ii) Να βρεθεί το σημείο τομής της C f με τον άξονα yy ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 5
iii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφατόμενης της Cf στο αραάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ου ορίζει αυτή με τους άξονες iv) Αοδείξτε ότι: f "() f () 1 f () v) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφατόμενης για vi) Να υολογίσετε το e h 0 1 h 1 h h e 17 Δίνεται η συνάρτηση f () 10 α) Να βρείτε τα σημεία στα οοία η εφατομένη της γραφικής αράστασης της f, έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το ρυθμό μεταβολής της f στα σημεία αυτά β) Στο σημείο με τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφατομένης 18 Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και η θέση του δίνεται αό τη σχέση S(t)=t -0t +88t+1 όου ο χρόνος t είναι σε sec και το S σε m i) Βρείτε την ταχύτητα και την ειτάχυνσή του την χρονική στιγμή t ii) Πότε το κινητό κινείται στην θετική και ότε στην αρνητική κατεύθυνση; Πότε είναι ακίνητο; iii) Να βρείτε την ειτάχυνσή του τη χρονική στιγμή ου έχει ταχύτητα 15 m/sec iv) Να βρείτε το ολικό διάστημα ου έχει διανύσει το κινητό κατά τη διάρκεια των ρώτων 15 sec v) Πόσο μετατοίστηκε τα 15 ρώτα sec ; ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 6