ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού Οριακού Στρώματος (Laminar Boundary Layer), το οποίο δημιουργείται κατά τη διέλευση ομοιόμορφης ροής αέρα με ταχύτητα ελευθερου ρεύματος (free stream),, πάνω από μια επίπεδη και οριζόντια επιφάνεια με μηδενική γωνία προσβολής (angle of attack). Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τις έννοιες που διέπουν τη μελέτη του Στρωτού Οριακού Στρώματος και η ανάπτυξη δεξιοτήτων στη μελέτη του οριακού στρώματος γενικότερα. Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για πρώτη φορά από τον Prandtl το 1904. Με την επινόηση αυτή, ο Prandtl κατάφερε να συνδέσει την άτριβη ροή με τη ροή πραγματικών ρευστών. Συγκεκριμένα, κατά τον Prandtl, στην περίπτωση κίνησης ρευστών μικρού σχετικά ιξώδους πάνω από στερεά, η επίδραση της εσωτερικής τριβής περιορίζεται μόνο σε ένα πολύ λεπτό στρώμα ρευστού που βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια του στερεού, το οποίο είναι γνωστό ως Οριακό Στρώμα (Ο.Σ.). Έτσι, το πεδίο ροής μπορεί να χωριστεί σε δύο διακριτές περιοχές, το οριακό στρώμα και την εκτός του Ο.Σ., στην οποία το ιξώδες παύει να αποτελεί σημαντικό παράγοντα στη διαμόρφωση της ροής. Η του πεδίου ροής, η γειτονική προς την πλάκα, στην οποία παρατηρείται μεταβολή της ταχύτητας του ρευστού, ονομάζεται Ο.Σ. Στο Σχήμα 1 παρουσιάζεται η εικόνα της ανάπτυξης του Ο.Σ. πάνω από μια οριζόντια επίπεδη επιφάνεια. y,v x,u Τυρβώδης δ Μεταβατική Στρωτό υπόστρωμα x e x Στρωτό Μεταβατική Τυρβώδες οριακό στρώμα Σχήμα 1. Δημιουργία οριακού στρώματος πάνω από οριζόντια στερεή επίπεδη επιφάνεια. Σημαντικό ρόλο στη μελέτη ροών γύρω από στερεά σώματα παίζουν και τα χαρακτηριστικά μεγέθη του οριακού στρώματος. Αυτά είναι το πάχος του οριακού στρώματος (boundary layer thickness) που συνήθως συμβολίζεται με δ, το πάχος μετάθεσης ή μετατόπισης (displacement thickness) που συμβολίζεται με δ 1 και το πάχος απώλειας ορμής (momentum thickness) που συμβολίζεται με δ 2. Το πάχος, δ, του Ο.Σ. που περιγράφει τη γειτονική στην πλάκα, στην οποία παρατηρείται μεταβολή της ταχύτητας του ρευστού, δεν είναι σταθερό κατά την αξονική ως προς την πλάκα διεύθυνση, αλλά γενικά αυξάνεται καθώς μεγαλύτερες ποσότητες ρευστού επιβραδύνονται υπό την επίδραση των διατμητικών 1

τάσεων που αναπτύσσονται εντός του Ο.Σ. Για πρακτικές, όμως, εφαρμογές, το δ ορίζεται ως η κάθετη απόσταση από την επιφάνεια του τοιχώματος, όπου η ταχύτητα γίνεται ίση με u=0.99.. Το πάχος του Ο.Σ., δ, αυξάνεται, με: α) αύξηση της απόστασης x από το χείλος προσβολής β) αύξηση του ιξώδους, μ, του ρευστού γ) ελάττωση της πυκνότητας, ρ, του ρευστού δ) ελάττωση της ταχύτητας του ελεύθερου ρεύματος,. Ως πάχος μετατόπισης ή μετάθεσης, δ 1, ορίζεται ως το πάχος ενός ιδεατού στρώματος ρευστού, ταχύτητας ίσης με του ελεύθερου ρεύματος, μέσα στο οποίο η παροχή του ρευστού είναι ίση με τη μείωση της παροχής μέσα στο οριακό στρώμα, λόγω επιβράδυνσης της ροής. Ή διαφορετικά, η απόσταση κατά την οποία μετατίθεται η εξωτερική ροή (επειδή η ταχύτητα στο οριακό στρώμα ελαττώνεται) για να διατηρηθεί η συνέχεια της μάζας στο οριακό στρώμα πάχους δ. Η επιβράδυνση του ρευστού μέσα στο οριακό στρώμα έχει σαν συνέπεια τη μείωση της παροχής σε σχέση με την παροχή που θα υπήρχε εάν η πλάκα δεν βρισκόταν στην πορεία του ελεύθερου ρεύματος. Η αρχή διατήρησης της μάζας επιβάλει μία προς τα άνω μετατόπιση των ροϊκών γραμμών, ώστε να αυξάνονται οι διατομές και να διατηρείται σταθερή η παροχή. Το πάχος μετατόπισης δ 1 του Ο.Σ., όπως και το πάχος δ, δίνεται ως συνάρτηση της απόστασης x από την αρχική ακμή. Σχήμα 2. Πάχος μετατόπισης οριακού στρώματος με βάση τη μετατόπιση των ροϊκών γραμμών Η ανάγκη ικανοποίησης της αρχής διατήρησης της ορμής οδηγεί στον ορισμό του πάχους ορμής κατ αναλογία με τον ορισμό του πάχους μετατόπισης. Ως πάχος απώλειας ορμής, δ 2, λοιπόν, ορίζεται το πάχος ενός ιδεατού στρώματος ρευστού, ταχύτητας ίσης με του ελεύθερου ρεύματος, για το οποίο η εισροή ορμής είναι ίση με την αντίστοιχη μείωση αυτής δια μέσου του οριακού στρώματος, λόγω επιβράδυνσης της ροής. Το πάχος ορμής δ 2 δίνεται, πάλι ως συνάρτηση της απόστασης x από την αρχική ακμή. Σε μόνιμη ροή, αντί των δ 1 και δ 2 παρουσιάζεται το πάχος απώλειας κινητικής ενέργειας, δ 3, το οποίο ορίζεται ως το πάχος του ιδεατού στρώματος ενέργειας ίσης με την απώλεια ενέργειας στο πραγματικό οριακό στρώμα πάχους δ. Η μέσα στην οποία για μικρή απόσταση από την αρχική ακμή της πλάκας (x=0) (χείλος προσβολής - leading edge), όλα τα στοιχεία του ρευστού κινούνται παράλληλα προς την επιφάνεια και μεταξύ τους, ονομάζεται στρωτό Ο.Σ., ενώ στην, όπου η ροή παρουσιάζει κάποια σημάδια αστάθειας με την άτακτη και ακανόνιστη γένεση και απόσβεση δινών με αύξουσα συχνότητα ονομάζεται μεταβατική. Τέλος, μετά από κάποια απόσταση, η ροή καταλήγει να είναι πλήρως τυρβώδης. Στο τυρβώδες Ο.Σ., όλη η χαρακτηρίζεται από υψηλά επίπεδα τύρβης εκτός μιας πολύ λεπτής ζώνης γνωστής ως στρωτό υπόστρωμα (laminar sublayer), η οποία βρίσκεται πολύ κοντά και σε επαφή με το στερεό τοίχωμα. Το αριθμητικό κριτήριο που καθορίζει το είδος της ροής είναι ο τοπικός αριθμός Reynolds ( ), ο οποίος είναι και αυτός συνάρτηση της απόστασης x κατά μήκος της πλάκας ή του αγωγού από την αρχική θέση x = 0. Ο τοπικός αριθμός Reynolds ορίζεται με βάση τη σχετική ταχύτητα της πλάκας ή του αγωγού ως προς την αντίστοιχη ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος,. r uσχ x r r r Re x =, uσχ = u u (1) πλάκα ή αγωγός ν Στην περίπτωση ροής πάνω από επίπεδη οριζόντια επιφάνεια, η κρίσιμη τιμή του Re (Re cr ) για τη μετάβαση από τη στρωτή στη μεταβατική είναι 2 10 5, ενώ για τη μετάβαση από τη μεταβατική στην πλήρως τυρβώδη είναι 5 10 5. Δηλαδή, αν 2 10 5 έχουμε στρωτό ΟΣ, ενώ αν 5 10 5 έχουμε τυρβώδες ΟΣ. 2

Στην περίπτωση εσωτερικής ροής σε αγωγό οι αντίστοιχες τιμές είναι περίπου 2300 και 2500. Λύση BLASIUS: Στρωτό ΟΣ Για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών μεγεθών του στρωτού ΟΣ, ο Blasius πρότεινε μια σειρά από εξισώσεις που ουσιαστικά είναι η επίλυση μιας σειράς διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν με τη σειρά τους από τις εξισώσεις κίνησης Navier-Stokes. Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά στρωτού ΟΣ. κατά Blasius Πάχος Στρωτού Οριακού Στρώματος ( x) Πάχος Μετατόπισης ή Μετάθεσης Στρωτού Οριακού Στρώματος Πάχος Ορμής Στρωτού Οριακού Στρώματος 2 ( x) Πάχος Απώλειας Κινητικής Ενέργειας Στρωτού Οριακού Στρώματος 5x δ = (2) 1.73x δ 1 ( x) = (3) 0.664x δ = (4) ν x δ3 ( x) = 0.996 (5) u Διατμητική τάση στα τοιχώματα ( ) ( ) 1 2 2 τ0 x = 0.332ρu (6) Διατμητική Δύναμη (Αντίστασης) FD = 0.664wu μρ Lu (7) FD 1.328 CD = = Συντελεστής Τριβής (Αντίστασης) 1 2 ρwlu Re (8) L 2 Η λύση της ροής του BLASIUS, εκφράζεται με τη μορφή σειράς άπειρων όρων, ενώ έχουν αναπτυχθεί και προσεγγιστικές μέθοδοι, όπως η μέθοδος ολοκλήρωσης της Ορμής ή μέθοδος VON KARMAN. Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Η πειραματική μελέτη του στρωτού οριακού στρώματος σε επίπεδη πλάκα πραγματοποιείται στο δισδιάστατο θάλαμο μετρήσεων της υποηχητικής αεροσήραγγας του Εργαστηρίου Ρευστομηχανικής. Η αεροσήραγγα και διάγραμμα της μετρητικής διάταξης φαίνονται στα Σχήματα 3 και 4, αντίστοιχα. Σχήμα 3. Δισδιάστατη υποηχητική αεροσήραγγα. Σχήμα 4. Σκαρίφημα επίπεδης πλάκας στο θάλαμο μετρήσεων. Η αεροσήραγγα είναι εξοπλισμένη με ένα σωλήνα Pitot και ένα σωλήνα Pitot-Static. Η τομή ενός σωλήνα Pitot παριστάνεται στο Σχήμα 5. Ο σωλήνας περιλαμβάνει ένα κάθετο κυλινδρικό στέλεχος και ένα 3

οριζόντιο, το άκρο του οποίου φέρει μικρή εμπρόσθια οπή. Ο άξονας του σωλήνα Pitot, τοποθετείται παράλληλα προς την τοπική διεύθυνση ροής, κι επομένως, η ταχύτητα του ρευστού στο στόμιό του είναι μηδέν. Σε αυτό το σημείο, η πίεση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή, ίση με την ολική πίεση του ρευστού. Για τη μέτρηση της ολικής πίεσης, ο σωλήνας Pitot, συνδέεται με μανόμετρο (πιεζομετρικό σωλήνα) στο άλλο άκρο του. Σχήμα 5. Σκαρίφημα σωλήνα Pitot Σχήμα 6. Σκαρίφημα σωλήνα Pitot-static Η μορφή του σωλήνα Pitot-static (σχήμα 6) είναι παρόμοια αυτής του Pitot, με τη διαφορά, ότι το οριζόντιο στέλεχος φέρει επιπλέον οπές πλευρικά, για τη μέτρηση της στατικής πίεσης του ρευστού (πέραν της ολικής), εντός του πεδίου ροής. Στατική είναι η πίεση, την οποία έχει το ρευστό, όταν βρίσκεται σε στατική ισορροπία. Το άλλο άκρο του σωλήνα Pitot-static συνδέεται με πιεζομετρικό σωλήνα. Για τη μέτρηση της στατικής πίεσης, πλησίον του σωλήνα Pitot, υπάρχει οπή τοποθετημένη επάνω στο τοίχωμα της αεροσήραγγας, κάθετα στην επιφάνειά της, με οξεία χείλη, στην οποία έχει προσαρμοσθεί κατάλληλα ένας πιεζομετρικός σωλήνας. Όλοι οι πιεζομετρικοί σωλήνες επικοινωνούν υδραυλικά μεταξύ τους, οπότε οι πειραματικές μετρήσεις αξιολογούν τις υψομετρικές διαφορές, που παρουσιάζονται. Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Με τη βοήθεια της αεροσήραγγας και των δύο σωλήνων Pitot-Static (Prandtl) και Pitot και που βρίσκονται στις θέσεις x 1 = 0.2m και x 2 = 0.5m αντίστοιχα από το χείλος προσβολής της οριζόντιας επίπεδης επιφάνειας της αεροσήραγγας, λαμβάνουμε μετρήσεις στατικής και ολικής πίεσης και συμπληρώνουμε τον Πίνακα 2. 1. Να καταγραφεί η θερμοκρασία (θ) σε C και η ατμοσφαιρική πίεση (Η) σε mmhg από το βαρόμετρο του εργαστηριακού χώρου. Στη συνέχεια, να διορθωθεί η ένδειξη της ατμοσφαιρικής πίεσης λόγω θερμικής συστολής-διαστολής του Hg και του υάλινου σωλήνα του βαρόμετρου, σύμφωνα με την έκφραση (9), όπου Τ (Κ) = θ ( C) + 273.15: (9) 2. Να υπολογιστεί η πυκνότητα του αέρα (ρ α ) σε kg/m 3 με βάση τη σχέση (10): (10) 3. Να υπολογιστεί το μοριακό ιξώδες του αέρα (μ α ), με τη βοήθεια της σχέσης Sutherland, η οποία δίνεται από τη σχέση (11): (11) 4

4. Με βάση τις παρακάτω πειραματικές τιμές και την εξίσωση (12) να υπολογιστεί η ταχύτητα του αέρα σε κάθε ύψος (y) για κάθε θέση x 1 και x 2 και να συμπληρωθούν κατάλληλα οι αντίστοιχες στήλες του Πίνακα 2. (12) Πίνακας 2. Πειραματικές τιμές στατικής και ολικής πίεσης των δύο σωλήνων Pitot στις θέσεις x 1 και x 2 A/A x 1 = 0.2m x 2 = 0.5m y (mm) h s (mm) h t (mm) u (m/s) y (mm) h s (mm) h t (mm) u (m/s) 1 0.5 20 19.99 1.0 38 37.99 2 1.0 20 19.95 1.5 38 37.95 3 1.5 20 19.85 2.0 38 37.92 4 2.0 20 19.80 2.5 38 37.88 5 2.5 20 19.72 3.0 38 37.83 6 3.0 20 19.65 3.5 38 37.79 7 3.5 20 19.61 4.0 38 37.74 8 4.0 20 19.55 4.5 38 37.70 9 4.5 20 19.44 5.0 38 37.66 10 5.0 20 19.44 5.5 38 37.61 11 5.5 20 19.44 6.0 38 37.57 12 6.5 38 37.52 13 7.0 38 37.49 14 7.5 38 37.44 15 8.0 38 37.44 5. Να υπολογιστεί ο αριθμός Re στις θέσεις x 1 και x 2 των δύο σωλήνων Pitot. Τι είδος ροής παρατηρείται στις θέσεις x 1 και x 2 των δύο σωλήνων Pitot; 6. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 2, και με διάνυσμα κλίμακας 1cm να αντιστοιχεί σε ταχύτητα αέρα ίση με 0.5m/s, να γίνει το διάγραμμα κατανομής ταχυτήτων για τις δύο θέσεις x 1 και x 2 των δύο σωλήνων Pitot. 7. Τέλος, να υπολογιστεί το θεωρητικό πάχος δ(x) του Στρωτού Ο.Σ. στις δύο θέσεις x 1 και x 2 των δύο σωλήνων Pitot. Να γίνει το διάγραμμα δ(x) = f(x) τόσο για τις θεωρητικές όσο και για τις πειραματικές τιμές του πάχους δ(x) του Στρωτού Ο.Σ., και να σχολιασθούν τυχόν αποκλίσεις. 5