Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών ( x, y ) που την επαληθεύει. Κάθε γραμμική εξίσωση παριστάνει ευθεία όταν τουλάχιστον ένα από τα α ή β ή γ είναι διάφορο του μηδενός. Κάθε γραμμική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης αx + βψ = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x,y) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση 2x+y =10 επαληθεύεται από το ζεύγος των αριθμών (4,2) οπότε λέμε ότι αυτό το ζεύγος είναι μία λύση της, αλλά δεν είναι η μοναδική. Δοκιμάστε να αντικαταστήσετε μια άλλη τιμή για το x! Θα δείτε ότι τελικά για κάθε τιμή του x, που δίνουμε βρίσκουμε και μια τιμή του y, αντίστοιχα. Δίνοντας τιμές στο x βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του y και δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών. Έτσι: 2 4+y =10 ή y = 10 8 = 2 2 5+y =10 ή y = 10 10 = 0 x 4 5 y 2 0 Αν ένα σημείο ανήκει σε μία ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Ισχύει και το αντίθετο, δηλαδή αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή. www.ma8eno.gr Σελίδα 1
2 Προσδιορίζουμε τα σημεία που καθένα έχει συντεταγμένες μια λύση της εξίσωσης 2x + y =10. 2x + y = 10 παρατηρούμε στο παραπάνω σχήμα ότι τα σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία (ε). Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας και αντιστρόφως. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή. www.ma8eno.gr Σελίδα 2
3 Ειδικές περιπτώσεις Η εξίσωση y = k Η εξίσωση ψ =κ, με κ 0 παριστάνει μία ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα ψ'ψ στο σημείο (0,κ), ενώ η εξίσωση ψ = 0 παριστάνει τον x'x. H εξίσωση x = κ μεκ 0 παριστάνει μία ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ψ'ψ και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο (κ,0), ενώ η εξίσωση x = 0 παριστάνει τον ψ'ψ. www.ma8eno.gr Σελίδα 3
4 Κάθε σημείο του άξονα x έχει την μορφή (x,0) Κάθε σημείο του άξονα ψ'ψ έχει την μορφή (0,ψ) Τα σημεία α και β στα οποία η ευθεία αx + βy = γ με α 0 και β 0 τέμνει τους άξονες x x, και y y, έχουν: Το α έχει τεταγμένη y = 0 και τετμημένη x με αx + β 0 = γ ή x = γ α. Το β έχει τετμημένη x = 0 και τεταγμένη y με α 0 + β y = γ ή y = γ β. H εξίσωση α x +β y = γ με α = β = 0 Η εξίσωση 0 x + 0y = 5 δεν παριστάνει ευθεία, αφού δεν υπάρχει ζεύγος αριθμών (x, y) που να είναι λύση της ( αδύνατη εξίσωση ). Η εξίσωση 0 x + 0 y = 0 επαληθεύεται για κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) (αόριστη εξίσωση ).Τα σημεία όμως, που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Άρα η εξίσωση 0 x + 0 y = 0 δεν παριστάνει ευθεία. www.ma8eno.gr Σελίδα 4
5 Παραδείγματα Να αποδείξετε ότι τα ζεύγη (3,2), (0,6), ( 3,10) είναι λύσεις της εξίσωσης 4x + 3y = 18. Απάντηση Για το ζεύγος (3,2) έχουμε : 4 3+3 2 = 12+6 =18 Για το ζεύγος (0,6) έχουμε : 4 0+3 6 = 0+18 =18 Για το ζεύγος ( 3,10) έχουμε : 4 ( 3) + 3 10 = 12+30 =18 Δίνεται η γραμμική εξίσωση: 7x + 2ψ = 9. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη είναι λύσεις της γραμμικής εξίσωσης. Α(1,1), Β( 3,-2), Γ(1,0). Απάντηση Για το σημείο Α: 7 1 + 2 1 = 7 + 2 = 9, άρα είναι λύση Για το σημείο Β: 7 3 + 2 (-2) = 21-4 = 17 9, άρα δεν είναι λύση Για το σημείο Γ: 7 1 + 2 0 = 7 9, άρα δεν είναι λύση Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Το σημείο (3, 2 ) ανήκει στην ευθεία ε : 3 x y = 7. β) Η ευθεία ε : 5x + y = -10 τέμνει τον άξονα x x στο σημείο ( 2, 0). Απάντηση α) Το σημείο (3, 2 ) δεν ανήκει στην ευθεία ε : 3 x y = 7 γιατί είναι 3 3- (-2) = 9+2 = 11 7 άρα είναι λάθος (Λ). www.ma8eno.gr Σελίδα 5
6 β) Η ευθεία ε : 5x + y = -10 τέμνει τον άξονα x x στο σημείο ( 2, 0),γιατί για x = -2 είναι 5 (-2)+y = -10 ή y = -10+10 ή y = 0 άρα είναι σωστή (Σ). www.ma8eno.gr Σελίδα 6