Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα MSc in Accounting & Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μάθημα: ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων
Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Οτιδήποτε δύναται να μετρηθεί, δύναται και να ελεγχθεί. Κατά αυτή την έννοια για την επιτυχημένη διενέργεια επενδύσεων είναι απαραίτητο να ελέγχονται οι παράμετροι, τα μεγέθη και η ποσότητες προκειμένου να επιτυγχάνονται αποδόσεις, κάθε φορά με το αποδεκτό επίπεδο κινδύνου για τον επενδυτή..
Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Στις χρηματαγορές και κεφαλαιαγορές είναι απαραίτητοι διάφοροι υπολογισμοί, όπως για τις αναμενόμενες και τις πραγματοποιούμενες αποδόσεις των διαφόρων τίτλων. Η ακριβέστερη δυνατή μέτρηση του κινδύνου να μην επιτευχθεί τελικά μία αναμενόμενη απόδοση είναι ένα από τα σημαντικότερα ζητούμενα στις επενδύσεις. Αυτό συμβαίνει καθώς οι τιμές και οι αποδόσεις των επενδυτικών προϊόντων μεταβάλλονται συνεχώς.
Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Το μέτρο μέτρησης της μεταβλητότητας των τιμών και των αποδόσεων αποτελεί και μέτρο για τις αναμενόμενες αποδόσεις, αλλά και για τον κίνδυνο ως αποκλίσεις από αυτές. Ο προσδιορισμός της πιθανότητας επίτευξης κερδών ή ζημιών, έχει να κάνει με τον προσδιορισμό της πιθανότητας επίτευξης των αναμενόμενων αποδόσεων, αλλά και την πιθανότητα αποκλίσεων από αυτές.
Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Παράλληλα είναι απαραίτητο να πραγματοποιούνται όσο γίνεται ακριβείς υπολογισμοί, όπου εμπλέκονται χρηματικές ροές, είτε με την μορφή των εισπράξεων είτε με την μορφή πληρωμών, μέσα σε ένα ορισμένο χρονικό ορίζοντα, προκειμένου να αποτιμηθούν σωστά διάφορες περιουσιακές αξίες.
Μέτρηση Κινδύνου & Απόδοσης Επενδύσεων Παράλληλα είναι απαραίτητο να πραγματοποιούνται όσο γίνεται ακριβείς υπολογισμοί, όπου εμπλέκονται χρηματικές ροές, είτε με την μορφή των εισπράξεων είτε με την μορφή πληρωμών, μέσα σε ένα ορισμένο χρονικό ορίζοντα, προκειμένου να αποτιμηθούν σωστά διάφορες περιουσιακές αξίες.
Χρήσιμοι, Απαραίτητοι, Πρακτικοί Χρηματοοικονομικοί Υπολογισμοί, Βασικές στατιστικές έννοιες: Στη στατιστική οι τιμές και οι αποδόσεις των επενδυτικών προϊόντων ονομάζονται μεταβλητές. Η έννοια της μεταβλητής υποδηλώνει τα μεγέθη της μεταβάλλεται διαρκώς, οπότε στο χρόνο παίρνει διαρκώς μία νέα τιμή.
Χρήσιμοι, Απαραίτητοι, Πρακτικοί Χρηματοοικονομικοί Υπολογισμοί, Βασικές στατιστικές έννοιες: Το σύνολο αυτών των τιμών αποτελεί μία ομάδα μετρήσεων ή παρατηρήσεων. Στη στατιστική γίνεται διάκριση μεταξύ των ομάδων μετρήσεων σε συνολικό πληθυσμό και σε δείγμα. Ο συνολικός πληθυσμός αφορά το σύνολο όλων των μετρήσεων για μία μεταβλητή, ενώ το δείγμα ένα μέρος των μετρήσεων, που εκφράζεται ως υποσύνολο του συνολικού πληθυσμού.
Βασικές στατιστικές έννοιες Το πρώτο και βασικό στάδιο της στατιστικής ανάλυσης ενός πληθυσμού από την άποψη της μελέτης μιας ιδιότητας ή ενός χαρακτηριστικού μιας μεταβλητής, είναι η ταξινόμηση και εμφάνιση των πολυάριθμων παρατηρήσεων και συχνοτήτων, με τη μορφή ενός πίνακα. Σκοπός της εμφάνισης των στατιστικών δεδομένων με τη μορφή συνοπτικών πινάκων δεδομένων, είναι ο περιορισμός του όγκου των στοιχείων και η εύκολη μελέτη και περιγραφή της δομής του πληθυσμού που ερευνούμε.
Βασικές στατιστικές έννοιες Στις περισσότερες περιπτώσεις ένα σύνολο δεδομένων παρουσιάζει τάση συγκέντρωσης των τιμών του γύρω από μια κεντρική τιμή, που χαρακτηρίζεται ως κεντρική τάση. Έτσι για κάθε συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων, είναι δυνατό να επιλέξουμε μια τυπική τιμή ή μέσο που να περιγράφει τη συμπεριφορά των τιμών. Το μέτρο των παραπάνω μεταβλητών αποδίδεται κυρίως από τις παραμέτρους του αριθμητικού μέσου όρου και το εύρος μεταβολής τιμών.
Αριθμητικός Μέσος Όρος Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένα στατιστικό μέτρο που δείχνει τη μέση τιμή που παρουσίασε μία μεταβλητή σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Διακρίνεται σε: Αστάθμητο Μέσο Όρο Σταθμικό Μέσο Όρο
Αστάθμητος Μέσος Όρος Αστάθμητο Μέσο Όρο έχουμε όταν όλες οι τιμές των δεδομένων έχουν την ίδια βαρύτητα, δηλαδή κάθε τιμή της μεταβλητής έχει συντελεστή βαρύτητας τη μονάδα και αποτελεί την πιο κλασική μορφή αριθμητικού μέσου όρου. Πλήθους Δείγματος
Σταθμικός Μέσος Όρος Σταθμικό Μέσο Όρο έχουμε όταν κάθε τιμή της μεταβλητής έχει διαφορετικό συντελεστή βαρύτητας (στάθμισης) και χρησιμοποιείται κυρίως για να προσδιοριστεί ή να τονιστεί η επίδραση μιας παραμέτρου ή ενός μεγέθους.
Σταθμικός Μέσος Όρος Σταθμικό Μέσο Όρο έχουμε όταν κάθε τιμή της μεταβλητής έχει διαφορετικό συντελεστή βαρύτητας (στάθμισης) και χρησιμοποιείται κυρίως για να προσδιοριστεί ή να τονιστεί η επίδραση μιας παραμέτρου ή ενός μεγέθους.
Σταθμικός Μέσος Όρος Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις υπολογισμού του μέσου αριθμητικού: Α) Ασυνεχής Μεταβλητή Β) Συνεχής Μεταβλητή (δεδομένα με μορφή κατανομής συχνοτήτων κατά τάξεις)
Σταθμικός Μέσος Όρος Ασυνεχής Μεταβλητή Όπου: μ: ο σταθμικός μέσος όρος χ1, χ2, χ3,.χn: οι τιμές της μεταβλητής f1, f2, f3, fn: οι συντελεστές στάθμισης n: ο αριθμός παρατηρήσεων
Σταθμικός Μέσος Όρος Ασυνεχής Μεταβλητή Όπου: μ: ο σταθμικός μέσος όρος χ1, χ2, χ3,.χn: οι τιμές της μεταβλητής f1, f2, f3, fn: οι συντελεστές στάθμισης n: ο αριθμός παρατηρήσεων
Ποσοστό συμμετοχής Μέρους αξιών χαρτοφυλακίου fn % Σταθμικός Μέσος Όρος Ασυνεχής Μεταβλητή Μεταβολή Απόδοσης Xn % μ= 0,179 / 0,8 = 0,2237 ή 22,4% Μεταβολή απόδοσης χαρτοφυλακίου (Fn) X (Xn) 0,1 0,15 0,03 0,25 0,14 0,035 0,25 0,09 0,032 0,05 0,6 0,03 0,15 0,35 0,053 0,80 0,179 Χρησιμοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμό της μεταβολής μέσων αποδόσεων και μέσου κινδύνου χαρτοφυλακίου, όταν συγκροτείτε διαφορετικές ποσοστώσεις αξιών ή για τον σχηματισμό Δεικτών Αναφοράς π.χ. Γενικός Δείκτης του χρηματιστηρίου αξιών Αθηνών.
Σταθμικός Μέσος Όρος Συνεχής Μεταβλητή Πρόκειται για δεδομένα με μορφή κατανομής συχνοτήτων κατά τάξεις. Βρίσκουμε τις κεντρικές τιμές όλων των τάξεων, τις πολλαπλασιάζουμε επί τις αντίστοιχες συχνότητες κάθε τάξης, προσθέτουμε τα γινόμενα και διαιρούμε το άθροισμά τους με το άθροισμα των συχνοτήτων 19
Σταθμικός Μέσος Όρος Συνεχής Μεταβλητή Χρησιμοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμό της διακύμανσης των τιμών, ή αποδόσεων ή του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου, συνδυαστικά με την πιθανότητα επίτευξης τους. 20
Σταθμικός Μέσος Όρος Συνεχής Μεταβλητή 21
Σταθμικός Μέσος Όρος Συνεχής Μεταβλητή 22
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Διάμεσος (Median):η μεσαία τιμή μιας σειράς τιμών ιεραρχημένων σε αύξουσα τάξη μεγέθους Εάν δεν υπάρχουν δεσμοί (σύμπτωση τιμών μεταξύ τους), τότε οι μισές παρατηρήσεις θα είναι μικρότερες της διαμέσου και οι άλλες μισές μεγαλύτερες 23
Διάμεσος (Median) Άρα, η Διάμεσος δείχνει την τιμή που χωρίζει τις παρατηρήσεις σε 2 ίσες υποομάδες Α Περίπτωση: Περιττός Αριθμός Παρατηρήσεων Παράδειγμα: μισθός 11340,11448,11664, Τάξη: 1 2 3 Παράδειγμα: μισθός 11880,12204, 127444 Τάξη: 4 5 6 24
Διάμεσος (Median) Παράδειγμα: μισθός 13068,13500,14148 Τάξη: 7 8 9 Διάμεσος=n+1/2=5 η παρατήρηση, ήτοι 12204 Β Περίπτωση: Άρτιος Αρ. Παρατηρήσεων (λαμβάνουμε υπόψη τις 8 πρώτες παρατηρήσεις) Διάμεσος= ο απλός Μ.Α των 2 κεντρικών τιμών δηλ. των n/2 και n/2+1 25
Διάμεσος (Median) Στην περίπτωσή μας Διάμεσος Μισθός= ο Μ.Ο της 4 ης και 5 ης παρατήρησης (n/2=8/2=4 και n/2+1=8/2+1=5). Δηλ. 11880+12204/2=12042 26
ΔΙΑΣΠΟΡΑ Ο Μ.Α (και τα άλλα μέτρα) αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά έναν πληθυσμό εφόσον αυτός παρουσιάζει μεγάλη ομοιογένεια Όταν είναι ανομοιογενής, τα μέτρα κεντρικής τάσης και θέσης δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται Διασπορά: Ο βαθμός κατά τον οποίο οι διάφορες τιμές ενός πληθυσμού τείνουν να είναι διατεταγμένες γύρω από το Μ.Α 27
ΔΙΑΣΠΟΡΑ (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ) Υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές Χ και Ψ παίρνουν τις τιμές: xi:10,40,43,46,47,48,50,50,52,52,54 yi:7,14,15,23,38,48,50,50,75,85,90 Και στις 2 μεταβλητές μ=45 και Διάμεσος=48 Στη μεταβλητή Χ οι τιμές κυμαίνονται από10-54 Στην Y από 7-90 Άρα οι πληροφορίες που δίνει ο μ είναι ανεπαρκείς, διότι δε δίνει ενδείξεις για τον τρόπο συγκέντρωσης των τιμών της μεταβλητής γύρω από τον μ 28
ΔΙΑΣΠΟΡΑ (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ) Άρα είναι απαραίτητος ένας δείκτης που θα δίδει το βαθμό συγκέντρωσης ή διασποράς των τιμών της μεταβλητής από το μέσο αριθμητικό H παράμετρος που μας πληροφορεί για το βαθμό διαφοροποίησης των τιμών των δεδομένων γύρω από το Μ.Α ονομάζεται διασπορά ή μεταβλητότητα 29
ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Ή ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Εύρος Διασποράς (Range) Μέση Απόκλιση (Μ.Α) Διακύμανση Τυπική Απόκλιση Συντελεστής Μεταβλητικότητας 30
ΕΥΡΟΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ(R) Η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής των δεδομένων Άρα R= X max -X min Στο προηγούμενο παράδειγμα για τη Χ έχουμε R x = X max - X min =54-10=44 Ενώ για την Y έχουμε R Y = Y max -Y min =90-7=83 Είναι προφανές ότι η διασπορά της Yi είναι μεγαλύτερη Βασικό μειονέκτημα: οι επιρροές των ακραίων τιμών 31
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ (Μ.Α)- Αταξινόμητες Παρατηρήσεις Ορισμός: ο Μέσος Αριθμητικός όλων των απόλυτων διαφορών των τιμών μιας μεταβλητής από το Μ.Α της μεταβλητής Όπου Ν ο αριθμός παρατηρήσεων 32
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)- Αταξινόμητες Παρατηρήσεις/Παράδειγμα 33
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)-Αταξινόμητες Παρατηρήσεις/Παράδειγμα 34
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)-Ταξινομημένες Παρατηρήσεις/Τύπος Μ.Α= 35
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)-Ταξινομημένες Παρατηρήσεις/Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίδεται η κατανομή της απουσίας 21 εργαζομένων λόγω ασθενείας. Να υπολογισθεί η Μ.Α 36
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)-Ταξινομημένες Παρατηρήσεις/Παράδειγμα Τάξεις fi Κεντρικές Τιμές (xi) fixi xi-μ fi xi-μ 1-3 2 2 4 4 8 3-5 5 4 20 2 10 5-7 7 6 42 0 0 7-9 5 8 40 2 10 9-11 2 10 20 4 8 Σύνολα 21 126 36 37
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α)-Ταξινομημένες Παρατηρήσεις/Παράδειγμα (συν) Λύση Μέσος αριθμητικός μ= =126/21=6 Μέση Απόκλιση= 38
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α) Παρατήρηση: Για τον υπολογισμό της Μ.Α λαμβάνουμε υπόψη μόνο τις απόλυτες τιμές των διαφορών Αυτό γιατί αν πάρουμε το άθροισμα των αποκλίσεων μεταξύ των τιμών της μεταβλητής και του μ, αυτό είναι πάντα 0 39
ΜΕΣΗ ΑΠΟΚΛΗΣΗ(Μ.Α) Αυτό προκύπτει διότι: 40
Διακύμανση- Τυπική Απόκλιση (Variance-Standard Deviation) Για να αποφύγουμε το πρόβλημα των προσήμων των διαφορών μεταξύ των τιμών της μεταβλητής και του μ, υψώνουμε τις διαφορές στο τετράγωνο, ώστε οι ποσότητες να είναι πάντα θετικές. Ο Μ.Α των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής Χ από το Μ.Α, είναι επίσης μέτρο διασποράς και ονομάζεται Διακύμανση ( )ή Var(X)
Διακύμανση-Τύπος Επομένως, διακύμανση ενός πλήθους παρατηρήσεων ονομάζεται ο Μ.Α των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών των παρατηρήσεων από τον αριθμητικό μέσο και συμβολίζεται με το γράμμα σ 2 ή s 2 ανάλογα εάν πρόκειται για πληθυσμό ή δείγμα (Ν): 42
Διακύμανση Διακύμανση: Ο Μ.Α των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών των παρατηρήσεων από τον Αριθμητικό Μέσο Η Διακύμανση εκφράζεται σε μονάδες που είναι τα τετράγωνα των αρχικών μονάδων. Π.Χ εάν το εισόδημα είναι σε ευρώ η Διακύμανση εκφράζεται σε ευρώ στο τετράγωνο 43
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση Έτσι για να έχουμε δείκτη που να μετρά τη Διασπορά στις μονάδες της μεταβλητής, παίρνουμε την Τετραγωνική Ρίζα της Διακύμανσης Το μέτρο αυτό ονομάζεται Τυπική Απόκλιση( ) και είναι το μέσο που χρησιμοποιούμε στην πράξη για να μετρήσουμε τη Διασπορά Όσο μεγαλύτερη η Τ.Α, τόσο μεγαλύτερη η Διασπορά των παρατηρήσεων από το μ 44
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση η Τυπική Απόκλιση τετραγώνου ως μέτρο μεταβλητότητας αποτελεί το Μέτρο Κινδύνου Αγοράς για όλα τα επενδυτικά προϊόντα, και προέρχεται κυρίως από παράγοντες που αφορούν το ίδιο το χρηματοοικονιμικό προϊόν. (μη συστηματικός κίνδυνος) 45
Υπολογισμός Διακύμανσης και Τυπικής Απόκλισης 1) Αταξινόμητες Παρατηρήσεις Υποθέτουμε τις παρατηρήσεις με μέσο αριθμητικό μ Η Τυπική Απόκλιση δίδεται από τη σχέση: Και η Διακύμανση: Όπου Ν ο αριθμός των παρατηρήσεων (δείγμα ή πλήθος) 46
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση (Αταξινόμητες Παρατηρήσεις Ν ) Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η διακύμανση και η Τυπική Απόκλιση στις παρακάτω παρατηρήσεις: x i = 2, 3, 5, 8, 12 Λύση: Επειδή οι παρατηρήσεις δεν παρουσιάζουν συχνότητα (είναι αταξινόμητες), θα χρησιμοποιήσουμε τον προηγούμενο τύπο Υπολογίζουμε πρώτα τον μ με βάση τον τύπο 47
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση (Αταξινόμητες Παρατηρήσεις) Σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα x i X i -μ (x i μ) 2 2-4 16 3-3 9 5-1 1 8 2 4 12 6 36 Σύνολο 66 Οπότε η διακύμανση είναι: 48
Διακύμανση- Τυπική Απόκλιση (Αταξινόμητες Παρατηρήσεις ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν υπολογίζουμε τη διακύμανση δείγματος ή την Τυπική Απόκλιση, χρησιμοποιούμε τους ίδιους τύπους, μόνο που διαιρούμε δια n-1, όπου n= το πλήθος των όρων του δείγματος και n-1 οι βαθμοί ελευθερίας Άρα η Τυπική Απόκλιση είναι: 49
Διακύμανση- Τυπική Απόκλιση Ομαδοποιημένες Παρατηρήσεις Στην περίπτωση αυτή η διακύμανση υπολογίζεται με τον παρακάτω τύπο (υπάρχουν και άλλοι τύποι που δε θα μας απασχολήσουν εδώ) 50
Διακύμανση- Τυπική Απόκλιση (Ομαδοποιημένες Παρατηρήσεις) Δίδεται στον ακόλουθο πίνακα η ταχύτητα με την οποία αυτοκίνητα πέρασαν μια επικίνδυνη στροφή. Να ευρεθεί η διακύμανση και η Τ.Α Τάξεις σε χιλιόμετρα Αριθμός Αυτοκινήτων(f i ) 0-10 4 10-20 3 20-30 2 30-40 1 Σύνολο 10 51
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση (Ομαδοποιημένες Παρατηρήσεις) 52
Διακύμανση-Τυπική Απόκλιση (Ομαδοποιημένες Παρατηρήσεις) 53
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 54
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Αν όλες οι τιμές μιας μεταβλητής Χ αυξηθούν κατά μία σταθερά α, τότε η διακύμανση δεν μεταβάλλεται: Var(x+a) = Var(x) 55
ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ(Τ.Α) Η Τ.Α όχι μόνο εκφράζει τη Διασπορά γύρω από το Μέσο Αριθμητικό, αλλά πληροφορεί και για τον τρόπο συγκέντρωσης των τιμών γύρω από το μέσο Έτσι εάν μεταβλητή Χ έχει μέσο μ και Τ.Α, τότε μεταξύ των τιμών μ-σ και μ+σ συγκεντρώνεται περίπου το 68% των τιμών Μεταξύ μ-2σ και μ+2σ το 95% περίπου Μεταξύ μ-3σ και μ+3σ το 100% περίπου των τιμών 56
Συντελεστής Μεταβλητότητας- Coefficient of Variation (CV) Η σ που είναι το κυρίως χρησιμοποιούμενο μέτρο διασποράς εκφράζεται σε μονάδες της μεταβλητής και δίδει την απόλυτη διασπορά των τιμών της τυχαίας μεταβλητής από τον μ Όταν όμως θέλουμε να συγκρίνουμε 2 κατανομές που εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες ή όταν οι μ 2 μεταβλητών, έστω και αν εκφράζονται στις ίδιες μονάδες, διαφέρουν πολύ μεταξύ τους, τότε τα μέτρα της απόλυτης διασποράς δεν εξυπηρετούν και χρησιμοποιούνται μέτρα σχετικής διασποράς 57
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (CV). Εκφράζει την σ ως ποσοστό του μ. Είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών (είναι καθαρός αριθμός) και επιτρέπει τη σύγκριση τόσο ομοειδών όσο και ετεροειδών κατανομών 58
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ως μέτρο επιλογής επενδυτικών προϊόντων Όπου η τυπική απόκλιση σ εκφράζει την σ τον κίνδυνο και ο συντελεστής μ την αναμενόμενη απόδοση βάσει ιστορικών ή άλλων προϋπολογιστικών μοντέλων. Δείχνει τον αποδεκτό κίνδυνο, που δύναται να αναλάβει ο επενδυτής για κάθε μονάδα απόδοσης 59
Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV)- Παράδειγμα 60
Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV) 61
Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV) 62
Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV) 63
Σημασία του CV-Παράδειγμα Έστω 2 εταιρείες το ίδιο αξιόλογες. Ένα κριτήριο αξιολόγησης των μετοχών τους είναι και η μεταβλητότητα της τιμής τους Έστω για περίοδο 5-6 μηνών η μετοχή της Α έχει μέση τιμή μ=25 ευρώ και σ(α)= 5 ευρώ ενώ της Β είναι μ=12 ευρώ και σ(β)= 4 ευρώ Με βάση την τιμή της σ, η μετοχή της Α παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα και άρα μεγαλύτερο κίνδυνο 64
Σημασία του CV-Παράδειγμα Όμως επειδή οι μέσες τιμές των μετοχών της Α και της Β διαφέρουν, η σύγκριση της μεταβλητότητας των τιμών τους πρέπει να γίνει σε σχέση με το μέσο επίπεδο διαμόρφωσής τους Έτσι για την εταιρεία Α: CV(A)=σ(Α)/μ(Α)=5/25=20% Ενώ για τη Β:CV(Β)=σ(Β)/μ(Β)=4/12=33,3% Άρα σε σχέση με την τιμή της η μετοχή της Β είναι περισσότερο ασταθής από εκείνη της Α 65
Από τη Θεωρία των Πιθανοτήτων Κατανομή Πιθανοτήτων: Για μια συνεχή μεταβλητή, κατανομή πιθανοτήτων ονομάζεται η καταγραφή όλων των δυνατών τιμών της μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισής τους Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 1 Μια κατανομή Πιθανοτήτων δίδει όλες τις δυνατές τιμές της μεταβλητής Χ (Xi, i=1,2..n), και τις αντίστοιχες πιθανότητες P(Xi) δηλ. P(X=Xi)=P(Xi) 66
Από τη Θεωρία των Πιθανοτήτων Τα βασικά χαρακτηριστικά των εμπειρικών κατανομών ισχύουν και με τις κατανομές συχνοτήτων Για κάθε κατανομή πιθανοτήτων μας ενδιαφέρει κυρίως ο Μ.Ο και η Τ.Α Επειδή μια κατανομή πιθανοτήτων περιγράφει τη θεωρητική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, δηλ. την πιθανότητα που έχει μια τιμή της Χ να εμφανισθεί, αντί του όρου Μ.Α χρησιμοποιούμε τον όρο Μέση Αναμενόμενη Τιμή ή Αναμενόμενη Τιμή ή Μαθηματική Ελπίδα 67
Από τη Θεωρία των Πιθανοτήτων (συν) Η Μέση Αναμενόμενη Τιμή συμβολίζεται με Ε(Χ) ή με μ, επειδή αντιστοιχεί στον πραγματικό μέσο του πληθυσμού των πιθανών τιμών της Χ Υπολογίζεται ως εξής: 68
Από τη Θεωρία των Πιθανοτήτων Με ανάλογο τρόπο εκτιμούμε και τη Διακύμανση η οποία σε μια κατανομή πιθανοτήτων ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή των τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών της Χ από το μέσο μ και υπολογίζεται ως εξής: 69
Κατανομή Πιθανοτήτων-Παράδειγμα 70
Κατανομή Πιθανοτήτων-Παράδειγμα Η αναμενόμενη τιμή της κατανομής του αριθμού των παιδιών ανά οικογένεια είναι: Ε(Χ)=0 0,15+1 0,25+2 0,35+3 0,15+4 ο,ο7+5 ο,ο 2+6 ο,ο1=1,84 παιδιά Επίσης 71
Κατανομή Πιθανοτήτων-Παράδειγμα H Τυπική Απόκλιση προκύπτει από τη διακύμανση ως εξής: 72
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση δύο (2) Μεταβλητών Όταν ασχολούμαστε με τη μελέτη 2 μεταβλητών συγχρόνως ο στόχος είναι: Να διαπιστωθεί εάν υπάρχει αλληλεξάρτηση μεταξύ τους Να προσδιορισθεί ο τρόπος αλληλεξάρτησης Π.Χ υπάρχει αλληλεξάρτηση μεταξύ εγκληματικότητας και ανεργίας και αν ναι με ποιο τρόπο Ή μεταξύ βάρους και ύψους ομάδας ανθρώπων 73
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Δηλαδή στην περίπτωση που ασχολούμεθα συγχρόνως με τη μελέτη 2 (ή περισσοτέρων ) μεταβλητών, στόχος είναι: (1) Η πρόβλεψη των τιμών μιας μεταβλητής από τις τιμές της άλλης (ή των άλλων), με τη χρήση της ανάλυσης παλινδρόμησης (2) Η μέτρηση της έντασης ή του βαθμού συσχέτισης μεταξύ των 2 μεταβλητών 74
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Βασικός στόχος της ανάλυσης παλινδρόμησης δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών είναι: (α) ο προσδιορισμός μιας εξίσωσης που να δίδει εκτιμήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής από τις τιμές της/των ανεξάρτητης/των μεταβλητής/των (β) ο προσδιορισμός του ποσοστού της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής Y, που ερμηνεύεται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αυτό πραγματοποιείται με τον υπολογισμό του συντελεστή προσδιορισμούρ 2 75
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών (γ) ο υπολογισμός του μέτρου της διασποράς των τιμών y i της παρατήρησης και των θεωρητικών τιμών της γραμμής παλινδρόμησης. Το μέτρο αυτό της διασποράς ονομάζεται Τυπικό Σφάλμα Εκτίμησης και δίδεται από τη σχέση: εφόσον πρόκειται για πληθυσμό Ν 76
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Θεωρούμε πληθυσμό με Ν άτομα, εξετάζουμε δε καθένα ως προς 2 μεταβλητές-ιδιότητες Χ και Y Άρα οι παρατηρήσεις μας θα είναι Ν ορισμένα ζεύγη τιμών: (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ).(x N,y N ) Εάν τα ζεύγη αυτά τα παραστήσουμε σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, σχηματίζεται πλήθος σημείων, το νέφος σημείων ή διάγραμμα διασποράς Μια πρώτη ένδειξη αλληλεξάρτησης υπάρχει όταν το νέφος ακολουθεί μια νοητή γραμμή του επιπέδου 77
Νέφος Σημείων ή Διάγραμμα Διασποράς 78
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Σε πρώτο στάδιο χρησιμοποιείται η ανάλυση συσχέτισης για να διαπιστωθεί αν υπάρχει στατιστική σχέση μεταξύ των 2 μεταβλητών Αν συμπεράνουμε ότι οι μεταβλητές συσχετίζονται, τότε προχωρούμε στο 2 ο στάδιο της ανάλυσης παλινδρόμησης για να περιγραφεί αυτή η σχέση Η ποσοτική μέτρηση της έντασης της εξάρτησης μεταξύ των 2 μεταβλητών εκφράζεται με τη συνδιακύμανση 79
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Όμως στην πράξη η συνδιακύμανση δε χρησιμοποιείται διότι παρουσιάζει τα ίδια προβλήματα με τη διακύμανση και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Δηλαδή η συνδιακύμανση εκφράζεται στις μονάδες των X και Y ή στο γινόμενο των μονάδων αυτών και δεν επιτρέπει καμιάς μορφής σύγκριση Αν η συνδιακύμανση είναι 0 δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει αλληλεξάρτηση μεταξύ των μεταβλητών Αποκλείεται η γραμμική αλληλεξάρτηση και όχι η αλληλεξάρτηση άλλης μορφής 80
Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Μεταβλητών Η συνδιακύμανση 2 μεταβλητών δίδεται από τη σχέση: Ή μετά τις πράξεις 81
Συντελεστής Συσχέτισης Επειδή η συνδιακύμανση εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης των Χ και Y, παίρνουμε ως μέτρο γραμμικής συμμεταβολής των Χ και Y έναν καθαρό αριθμό, το συντελεστή συσχέτισης (ρ): 82
Συντελεστής Συσχέτισης 83
Συντελεστής Συσχέτισης Το ρ παίρνει τιμές από -1 (τέλεια αρνητική συσχέτιση) έως +1 (τέλεια θετική συσχέτιση) Εάν ρ=0 τότε οι 2μεταβλητές δε συσχετίζονται Ο ρ δεν εκφράζεται σε καμία μονάδα μέτρησης. Είναι καθαρός αριθμός Αυτό έχει το πλεονέκτημα ότι είναι δυνατή η σύγκριση των ρ για διαφορετικά είδη μεταβλητών Αν ρ=1 ή ρ=-1, οι μεταβλητές Χ και Y έχουν συναρτησιακή εξάρτηση γραμμικής μορφής 84
Παράδειγμα Έστω οι παρακάτω 2 μεταβλητές: x i y i 3 10 4 20 6 30 7 40 Σύνολο 20 100 Ζητείται: ο συντελεστής συσχέτισης 85
Λύση x i y i (x i - μ x ) (y i -μ y ) (x i -μ x ) 2 (x i -μ y ) 2 (x i -μ x )(y i -μ y ) x i y i x i 2 y i 2 3 10-2 -15 4 225 30 30 9 100 4 20-1 -5 1 25 5 80 16 400 6 30 1 5 1 25 5 180 36 900 7 40 2 15 4 225 30 280 49 1600 20 100 10 500 70 570 110 3.00 0 86
Λύση Εφαρμόζουμε τον τύπο: 87
Συντελεστής β Είναι ο δείκτης που μετρά τον βαθμό ευαισθησίας ή εξάρτησης ως προς την διακύμανση ενός αξιογράφου από την αγορά, συσχετίζοντας την διακύμανση ενός αξιογράφου με την διακύμανση ενός δείκτη αναφοράς, του οποίου θεωρητικά ισούται με την 1. Αξιόγραφα με β > 1 θεωρούνται επιθετικά ικανά για μεγαλύτερες αποδόσεις του μέσου όρου αλλά και μεγαλύτερους κινδύνους. Αξιόγραφα με β < 1 θεωρούνται αμυντικά με ισορροπημένες αποδόσεις και κινδύνους. Στην περίπτωση λοιπόν των μετοχών ο κίνδυνος εξαρτάται από τη μεταβλητότητα του χρηματιστηριακού δείκτη και από το συντελεστή βήτα της κάθε μετοχής. Συνεπώς ο συντελεστής β είναι μέτρο του συστηματικού κινδύνου. 88
Συνολικός Κίνδυνος Είναι το άθροισμα του συστηματικού και του μη συστηματικού κινδύνου Δηλ αποτελεί έκφράσεις της τυπικής απόκλισης σ και του συντελεστή β, ανα χρηματοοικονομικό προϊόν και ανά περίσταση. 89
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα MSc in Accounting & Finance ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Μάθημα: ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ
ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ Χρήμα είναι οτιδήποτε ΠΙΣΤΕΥΟΥΝ οι άνθρωποι, πως μπορεί να λειτουργήσει ως: Απόθεμα αξίας (πλούτος) Μονάδα μέτρησης Μέσον ανταλλαγής Μέσον πληρωμής. Κλειδί για την αξία του χρήματος αποτελεί το ΠΙΣΤΕΥΟΥΝ, καθώς χωρίς την εμπιστοσύνη των μελών μίας κοινωνίας στο ότι το χρήμα μπορεί να αναλάβει τις παραπάνω 4 λειτουργίες παύει να γίνεται αποδεκτό και καταρρέει.
ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ Η αξία του χρήματος διαφοροποιείται με την πάροδο του χρόνου, δηλαδή το χρήμα έχει διαφορετική αξία σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Η αλήθεια αυτή αποτελεί το βασικό αξίωμα και το θεμέλιο της χρηματοοικονομικής ανάλυσης.
ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ Το χρήμα έχει διαφορετική αξία σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, γιατί είναι σε άμεση συνάρτηση με την δυνατότητα αύξησης της αξίας που αντιπροσωπεύει ή την πιθανότητα συρρίκνωσής της, καθώς και από την άποψη και την θέση (πωλητού ή αγοραστού) που έχουν οι διαχειριστές του για αυτό. Έτσι εάν τα σημερινά χρήματα κατευθυνθούν σε κάποια επένδυση, αναμένεται μια (θετική) απόδοση, ανάλογα με την παραγωγικότητα των παραγωγικών συντελεστών στους οποίους κατευθύνεται η συγκεκριμένη επένδυση.
ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ Το χρήμα έχει διαφορετική αξία σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, γιατί είναι σε άμεση συνάρτηση με την δυνατότητα αύξησης της αξίας που αντιπροσωπεύει ή την πιθανότητα μείωσης της, καθώς και από την άποψη που έχουν οι διαχειριστές του σε αυτό.
ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ του ΧΡΗΜΑΤΟΣ Οι κύριοι μηχανισμοί αύξησης της αξίας του χρήματος είναι η αποταμίευση και κύρια η επένδυση. Έτσι εάν τα σημερινά χρήματα κατευθυνθούν σε κάποια επένδυση, αναμένεται μια (θετική) απόδοση, ανάλογα με την παραγωγικότητα των παραγωγικών συντελεστών στους οποίους κατευθύνεται η συγκεκριμένη επένδυση.
Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ μέσω της Επένδυσης Οι άμεσες ή παραγωγικές λεγόμενες επενδύσεις αφορούν τη χρησιμοποίηση του κεφαλαίου στην αγορά των παραγωγικών συντελεστών που είναι αναγκαίοι για τη διενέργεια της παραγωγικής διαδικασίας για την εξασφάλιση των ζητούμενων αγαθών από την κοινωνία. Οι έμμεσες ή χρηματοοικονομικές επενδύσεις κατευθύνονται εμμέσως στην υποβοήθηση της παραγωγικής διαδικασίας, αφού ο επενδυτής (χρηματοδότης της επένδυσης) και εκείνος που θέτει σε εφαρμογή την παραγωγική διαδικασία δεν ταυτίζονται.
Η Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ εκφράζεται: από το μέτρο της αναμενόμενης ή της πραγματοποιηθείσας Απόδοσης
Η Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ εκφράζεται: Η απόδοση της επένδυσης συνήθως εκφράζεται σε ποσοστιαία βάση σε σχέση με το αρχικό κεφάλαιο που χρησιμοποιήθηκε για την πραγματοποίησή της. Επίσης η απόδοση της επένδυσης εκφράζεται με διαφορετικούς όρους ανάλογα με τη μορφή της.
Η Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ εκφράζεται: Η απόδοση της επένδυσης συνήθως εκφράζεται σε ποσοστιαία βάση σε σχέση με το αρχικό κεφάλαιο που χρησιμοποιήθηκε για την πραγματοποίησή της. Επίσης η απόδοση της επένδυσης εκφράζεται με διαφορετικούς όρους ανάλογα με τη μορφή της.
Η Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ εκφράζεται: απόδοση ιδίων κεφαλαίων: για άμεση παραγωγική επένδυση επιτόκιο για επένδυση σε τραπεζικές καταθέσεις ή γενικά σε τίτλους σταθερής απόδοσης (έντοκα γραμμάτια, ομόλογα κλπ.) συνολική απόδοση για επένδυση σε μετοχές ή ακίνητα, όπου είναι το άθροισμα πρισσοτέρων συνιστωσών, όπως η μερισματική απόδοση ή τα ενοίκια και τα κεφαλαιακά κέρδη ή υπεραξίες.
Η Αύξηση της Αξίας του ΧΡΗΜΑΤΟΣ εκφράζεται: Η χρονική περίοδος για την οποία υπολογίζεται η απόδοση της επένδυσης συνήθως είναι το ένα έτος. Η τελική αξία που προκύπτει μετά το τέλος της χρονικής περιόδου κατά την οποία διαρκεί η επένδυση, περιλαμβάνει την αρχική αξία (αρχικό κεφάλαιο) και την αύξησή της η οποία προκύπτει ως αποτέλεσμα της επένδυσης που διενεργήθηκε.
Παρούσα και Μελλοντική Αξία θεωρία της χρονικής αξίας του χρήματος: «Ένα χρηματικό ποσό έχει διαφορετική αξία σε διαφορετικά χρονικά σημεία και αυτή η διαφορά στην αξία είναι ίση με τον τόκο που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα».
Παρούσα και Μελλοντική Αξία ΜΑ = Τ + ΠΑ ΜΑ: Μελλοντική Αξία Τ: Τόκος ΠΑ: Παρούσα Αξία Τ = ΠΑ x ε ε: επιτόκιο Τόκος που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο ποσό κατάθεσης: Οπότε η φόρμουλα της Μελλοντικής Αξίας για ένα έτος είναι: ΜΑ = ΠΑ x (1 + ε)
Μελλοντική Αξία για Διαφορετικές Χρονικές Περιόδους ΜΑ 2 = ΜΑ 1 x (1 + ε) = ΠΑ x (1 + ε) x (1 + ε) = ΠΑ x (1 + ε) 2 Όπου: ΜΑ 1 : Μελλοντική αξία στο τέλος της πρώτης περιόδου ΜΑ 2 : Μελλοντική αξία στο τέλος της δεύτερης περιόδου ε: επιτόκιο Μελλοντική αξία για ν έτη, η φόρμουλα είναι: ΜΑ ν = ΠΑ x (1 + ε) ν Όπου: ΜΑ ν : Μελλοντική αξία στο τέλος της ν περιόδου ε: επιτόκιο
Μελλοντική Αξία για για περίοδο τοκισμού μικρότερη του έτους Όπου: n: ημέρες τοκισμού (επένδυσης) Β: βάση ημερολογιακού έτους (πχ. 365, 366, 360 ημέρες). ε: επιτόκιο
Εύρεση Παρούσας Αξίας μιας Μελλοντική Αξίας
Παράγοντες που λαμβάνονται υπόψη κατά τη μέτρηση της Απόδοσης μιας Επένδυσης Το κεφάλαιο που χρησιμοποιήθηκε για τη διενέργεια της επένδυσης Η χρονική διάρκεια της επένδυσης Η τελική αξία της επένδυσης Η χρονική κατανομή των χρηματικών ροών (εισροών- εκροών) της επένδυσης.
Επενδύσεις χωρίς ενδιάμεσες χρηματικές ροές Επενδύσεις χωρίς ενδιάμεσες χρηματικές ροές είναι αυτές στις οποίες υπάρχει μια αρχική εκροή (αγορά επενδυτικού προϊόντος) και μία τελική εισροή (ρευστοποίησή του). Η διάρκεια της επένδυσης μπορεί να ποικίλει. Και διακρίνονται στις εξής περιπτώσεις: Επενδύσεις διάρκειας ενός έτους Επενδύσεις διάρκειας περισσοτέρων από ένα έτη Επενδύσεις διάρκειας μικρότερης του έτους.
εύρεση της συνολικής απόδοσης μιας επένδυσης χωρίς την ύπαρξη ενδιάμεσων χρηματικών ροών
Τύποι Εύρεσης Παρούσας και Μελλοντική Αξίας
ετησιοποιημένη απόδοση μιας επένδυσης με διάρκεια μεγαλύτερης του έτους Όπου ΧΡ: χρηματική ροή (στο τέλος της περιόδου)
ετησιοποιημένη απόδοση μιας επένδυσης με διάρκεια μικρότερης του έτους Όπου ΧΡ: χρηματική ροή (στο τέλος της περιόδου) n: ημέρες τοκισμού (επένδυσης) Β: βάση ημερολογιακού έτους (πχ. 365, 366, 360 ημέρες). ε: επιτόκιο
Επενδύσεις με ενδιάμεσες χρηματικές ροές Υπάρχουν δύο μέθοδοι για να υπολογίσουμε την απόδοση έχοντας προηγουμένως κάνει αυτή τη μετατροπή: Η μέθοδος της καθαρής παρούσα αξίας (net present value NPV) Η μέθοδος του συντελεστή εσωτερικής απόδοσης (internal rate of return IRR).
Επενδύσεις με ενδιάμεσες χρηματικές ροές ΚΠΑ = ΠΑ 1 + ΠΑ 2 + +ΠΑ ν Ε Όπου: ΚΠΑ: καθαρή παρούσα αξία ΠΑ 1 + ΠΑ 2 + +Πα ν παρούσα αξία χρηματικών ροών 1,2,, ν Ε: αξία επένδυσης
Παράδειγμα Καθαρής Παρούσας Αξίας Ποια είναι η καθαρή παρούσα αξία μιας επένδυσης όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως (100 χρηματικών μονάδων που αποδίδει 5 χρηματικές μονάδες σε 7 μήνες, 15 σε 2 έτη και 110 σε 5 έτη με τη ρευστοποίησή της) εάν η απαιτούμενη απόδοση είναι 5%; Εφαρμόζουμε τον τύπο: ΚΠΑ = ΠΑ 1 + ΠΑ 2 + +ΠΑ ν Ε
Παράδειγμα Καθαρής Παρούσας Αξίας Σύμφωνα με το προηγούμενο παράδειγμα, η συγκεκριμένη επένδυση αποδίδει το απαιτούμενο από τον επενδυτή ποσοστό του 5% και μάλιστα υπερβαίνει αυτήν την απόδοση δημιουργώντας ένα καθαρό σε όρους παρούσας αξίας χρηματικό ποσό 4,65 χρηματικών μονάδων.
Παράδειγμα Καθαρής Παρούσας Αξίας οι προηγούμενοι υπολογισμοί μπορεί να απλοποιηθούν σημαντικότατα, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση του Excel XNPV. Η συνάρτηση αυτή αφορά τον υπολογισμό της καθαρής παρούσας αξίας όταν οι χρηματικές ροές δεν προκύπτουν σε περιοδική βάση όπως είναι για παράδειγμα οι ετήσιες πληρωμές τοκομεριδίων ενός ομολόγου. Στην περίπτωση των ετήσιων περιοδικών χρηματικών ροών, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση NPV.
Μέθοδος Καθαρής Παρούσας Αξίας χρησιμοποιείται για δύο σκοπούς: 1 ον χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση κάποιας συγκεκριμένης επένδυσης: εάν η επένδυση παρουσιάζει θετική παρούσα αξία εγκρίνεται, ενώ εάν παρουσιάζει αρνητική, απορρίπτεται. 2 ον χρησιμοποιείται για την επιλογή κάποιας επένδυσης μεταξύ διαφόρων επενδυτικών επιλογών: προκρίνεται εκείνη η επενδυτική επιλογή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη (θετική) καθαρή παρούσα αξία από τις υπόλοιπες.
μέθοδος του Συντελεστή Εσωτερικής Απόδοσης αναζητά το ποσοστό απόδοσης που δημιουργεί μηδενική καθαρή παρούσα αξία. Από μαθηματική άποψη θέτει στη φόρμουλα της ΚΠΑ την καθαρή παρούσα αξία ίση με μηδέν και λύνει την εξίσωση ως προς το ποσοστό απόδοσης. Συγκεκριμένα λύνουμε την εξίσωση: ΠΑ 1 + ΠΑ 2 + +ΠΑ ν Ε = 0 ως προς το ποσοστό απόδοσης
μέθοδος του Συντελεστή Εσωτερικής Απόδοσης Η εύρεση της λύσης αυτής της εξίσωσης μπορεί να γίνει μόνο με διαδοχικές προσεγγίσεις. Η λύση βέβαια του προβλήματος διευκολύνεται πάρα πολύ εάν χρησιμοποιήσουμε την αντίστοιχη συνάρτηση του Excel η οποία δίνει το συντελεστή εσωτερικής απόδοσης για μια σειρά ετήσιων χρηματικών ροών. Η συνάρτηση αυτή είναι η IRR.
μέθοδος του Συντελεστή Εσωτερικής Απόδοσης