ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλουσ τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που ικανοποιοφν τισ πιο κάτω ςυνκικεσ: Όλα τα ψθφία τουσ είναι πρϊτοι αρικμοί. Είναι πολλαπλάςια του. Πρόβλημα 2 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Πρόβλημα 3 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετϊν, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δϊςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρϊνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρϊνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετϊν είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα το είναι ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο με εμβαδόν, το οποίο χωρίςτθκε ςε μικρότερα ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα. Αν οι αρικμοί και αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων ςε, να υπολογίςετε τθν τιμι του.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Πρόβλημα 2 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετών, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δώςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρώνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρώνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από 100. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετών είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Πρόβλημα 3 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Πρόβλημα 4 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ώςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα:
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Στο διπλανό ςχήμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Πρόβλημα 2 (α) Να βρείτε ςταθεροφσ πραγματικοφσ αριθμοφσ, ϊςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άθροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άθροιςμα: Πρόβλημα 3 Να γράψετε την παράςταςη ςτη μορφή όπου και θετικοί ακζραιοι αριθμοί. Πρόβλημα 4 Αν και να υπολογίςετε την τιμή του θετικοφ ακζραιου αριθμοφ.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο αιεζεύεη ε αλίζσζε Πρόβλημα 2: Αλ ν είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο κε, λα απνδείμεηε όηη ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο. Πρόβλημα 3: Αλ, λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο είλαη Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν. Από ηηο θνξπθέο θέξνπκε θάζεηεο πξνο ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ θαη έζησ ηα ίρλε ησλ θαζέησλ πάλσ ζηηο πιεπξέο αληίζηνηρα. Ολνκάδνπκε ην ζεκείν ηνκήο ησλ πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ. I. Αλ ηα κέζα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη νξζνγώλην. II. Φέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ ζην ζεκείν Να απνδείμεηε όηη ε είλαη παξάιιειε κε ηελ επζεία
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο κε ( ) κε θαη κε, όπνπ. α) Να βξείηε ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν. β) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη. Πρόβλημα 2: Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλωλ ζεωξνύκε ηα ζεκεία I. Να βξείηε κηα εμίζωζε 2 νπ βαζκνύ γηα ηελ νπνία μέξνπκε όηη νη ξίδεο ηεο είλαη ίζεο κε ηηο θιίζεηο ηωλ δύν επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην θαη ρωξίδνπλ ην ηξαπέδην ζε ηξία ηζεκβαδηθά κέξε. II. Αλ είλαη ε νμεία γωλία ηωλ επζεηώλ λα απνδείμεηε όηη Πρόβλημα 3: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγωλν θαη επζεία παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά, πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ζηα ζεκεία αληίζηνηρα. Έζηω ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. α) Να απνδείμεηε όηη ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη από ηελ θνξπθή πξνο ηνπο θύθινπο θαη είλαη ίζα. β) Αλ είλαη ην έλα από ηα ζεκεία ηνκήο ηωλ θύθιωλ θαη, λα απνδείμεηε όηη ε επζεία είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Πρόβλημα 4: Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζωηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Πρόβλημα 1: Να βξείηε όια ηα δεύγε αθεξαίωλ ( ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζωζεο Πρόβλημα2: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν. Να κειεηήζεηε ηελ ωο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Έζηω ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε Απνδείμηε ηελ αληζόηεηα Πρόβλημα 3: Σε νμπγώλην ηξίγωλν θέξνπκε ηηο δηακέζνπο θαη. Έζηω ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. Από ηελ θνξπθή θέξνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη πξνο ηνπο θύθινπο θαη αληίζηνηρα. Αλ έλα από ηα θνηλά ζεκεία ηωλ θύθιωλ θαη, ε επζεία ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Η δηρνηόκνο ηεο γωλίαο ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο θαη λα απνδείμεηε όηη ε είλαη κνλαδηθή.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλουσ τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που ικανοποιοφν τισ πιο κάτω ςυνκικεσ: Όλα τα ψθφία τουσ είναι πρϊτοι αρικμοί. Είναι πολλαπλάςια του. Προτεινόμενη Λύση Από τθν πρϊτθ ςυνκικθ προκφπτει ότι τα ψθφία των ηθτοφμενων αρικμϊν ανικουν ςτο ςφνολο * +. Αφοφ και οι αρικμοί είναι πρϊτοι μεταξφ τουσ, θ δεφτερθ ςυνκικθ είναι ιςοδφναμθ με το να βροφμε τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που διαιροφνται με το και το. Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του, ςυμπεραίνουμε ότι οι ηθτοφμενοι αρικμοί τελειϊνουν ςε, ι. Αν είναι το ψθφίο των χιλιάδων και το ψθφίο των εκατοντάδων των ηθτοφμενων αρικμϊν, αντίςτοιχα, τότε: και Διακρίνουμε τισ ακόλουκεσ τρεισ περιπτϊςεισ: Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δίνει τον αρικμό, που δεν ζχει λφςεισ ςτο Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δεν ζχει λφςεισ ςτο, που δεν ζχει λφςεισ ςτο Αρικμοί που τελειϊνουν ςε Από το κριτιριο διαιρετότθτασ του προκφπτει ότι. Άρα:, που δίνει τον αρικμό, που δίνει τον αρικμό
Πρόβλημα 2 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Προτεινόμενη Λύση Η μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Η ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι.
Πρόβλημα 3 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετϊν, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δϊςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρϊνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρϊνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετϊν είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Προτεινόμενη Λύση Θζτουμε το ποςό που δόκθκε για προκαταβολι και το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ, όπου κετικοί ακζραιοι αρικμοί,. Ζχουμε: { Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και ςυμπεραίνουμε ότι ο διαιρεί τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ των και. Ζχουμε: } Τελικά, ςυμπεραίνουμε ότι αφοφ ο διαιρεί τον και, τότε.
Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα το είναι ορκογϊνιο παραλλθλόγραμμο με εμβαδόν, το οποίο χωρίςτθκε ςε μικρότερα ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα. Αν οι αρικμοί και αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων ςε, να υπολογίςετε τθν τιμι του. Προτεινόμενη Λύση Αρικμοφμε ςχιμα. τα «μικρά» ορκογϊνια παραλλθλόγραμμα, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω Ονομάηουμε τα εμβαδά των αντίςτοιχων ορκογωνίων παραλλθλογράμμων. Τα και ζχουν το ίδιο μικοσ και. Τα και ζχουν το ίδιο μικοσ. Επιπλζον, ζχουν τα ίδια πλάτθ με τα και, αντίςτοιχα. Άρα,. Ομοίωσ: Αφοφ, τότε. Δθλαδι,. Το εμβαδόν του ορκογωνίου παραλλθλογράμμου είναι. Ζχουμε:
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέταςησ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Αν και είναι τζςςερεισ διαφορετικοί αρικμοί από το ςφνολο { } να υπολογίςετε τθ μζγιστη και τθν ελάχιστη θετική τιμι που μπορεί να πάρει θ παράςταςθ: Προτεινόμενη Λύση Η μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ μζγιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Η ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ λαμβάνεται με ζναν από τουσ πιο κάτω τρόπουσ: Ο αρικμθτισ να είναι ο μικρότεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ κετικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι:
Ο αρικμθτισ να είναι ο μεγαλφτεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει και ο παρονομαςτισ να είναι ο μικρότεροσ αρνθτικόσ αρικμόσ που προκφπτει με αρικμοφσ μζςα από το ςφνολο. Δθλαδι: Επομζνωσ, θ ελάχιςτθ κετικι τιμι τθσ παράςταςθσ είναι. Πρόβλημα 2 Τρεισ φίλοι αγόραςαν από μια μοτοςικλζτα και. Για τθν εξόφλθςθ των μοτοςικλετών, ο πωλθτισ ηιτθςε από τον κακζνα να του δώςει αρχικά μια προκαταβολι και ςτθ ςυνζχεια να πλθρώνει μια ςυγκεκριμζνθ δόςθ κάκε μινα. Οι τρεισ φίλοι ζδωςαν το ίδιο ποςό χρθμάτων για προκαταβολι και κα πλθρώνουν τθν ίδια μθνιαία δόςθ. Το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ είναι ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ από 100. Αν το ςυνολικό κόςτοσ των μοτοςικλετών είναι για τθν, για τθν και για τθν, να υπολογίςετε το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ. Προτεινόμενη Λύση Ονομάηουμε με το ποςό που δόκθκε για προκαταβολι και με το ποςό τθσ μθνιαίασ δόςθσ, όπου κετικοί ακζραιοι αρικμοί,. Ζχουμε: { Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και παίρνουμε: Από τισ και ςυμπεραίνουμε ότι ο διαιρεί τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ των και. Ζχουμε: } Τελικά, ςυμπεραίνουμε ότι αφοφ ο διαιρεί τον και, τότε.
Πρόβλημα 3 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Προτεινόμενη Λύση Προεκτείνουμε τα ευκφγραμμα τμιματα και προσ το μζροσ των και, αντίςτοιχα, και ονομάηουμε το ςθμείο τομισ των δφο προεκτάςεων, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω ςχιμα. Από το άκροιςμα των γωνιών του τριγώνου, ζχουμε. Άρα, το τρίγωνο είναι ορκογώνιο και ιςοςκελζσ με. Ομοίωσ, από το τρίγωνο ζχουμε και. Άρα,
Πρόβλημα 4 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ώςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: Προτεινόμενη Λύση (α) Ζχουμε: Δοκιμάηουμε τισ τιμζσ. Πράγματι: Άλλοσ τρόποσ Άρα,. (β) Χρθςιμοποιώντασ τθ ςχζςθ που αποδείξαμε ςτο (α) ερώτθμα για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε: (γ) Δουλεφοντασ με όμοιο τρόπο όπωσ ςτο (α) ερώτθμα, αποδεικνφουμε εφκολα ότι: Χρθςιμοποιώντασ τθ ςχζςθ αυτι για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε:
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέταςησ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Στο διπλανό ςχιμα δίνεται τετράπλευρο με, και. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τετραπλεφρου. Προτεινόμενη Λύση Προεκτείνουμε τα ευκφγραμμα τμιματα και προσ το μζροσ των και, αντίςτοιχα, και ονομάηουμε το ςθμείο τομισ των δφο προεκτάςεων, όπωσ φαίνεται ςτο πιο κάτω ςχιμα. Από το άκροιςμα των γωνιϊν του τριγϊνου, ζχουμε. Άρα, το τρίγωνο είναι ορκογϊνιο και ιςοςκελζσ με. Ομοίωσ, από το τρίγωνο ζχουμε και. Άρα,
Πρόβλημα 2 (α) Να βρείτε ςτακεροφσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, ϊςτε να ιςχφει: (β) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: (γ) Να υπολογίςετε το άκροιςμα: Προτεινόμενη Λύση (α) Έχουμε: Δοκιμάηουμε τισ τιμζσ. Πράγματι: Άλλοσ τρόποσ Άρα,. (β) Χρθςιμοποιϊντασ τθ ςχζςθ που αποδείξαμε ςτο (α) ερϊτθμα για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε: (γ) Δουλεφοντασ με όμοιο τρόπο όπωσ ςτο (α) ερϊτθμα, αποδεικνφουμε εφκολα ότι: Χρθςιμοποιϊντασ τθ ςχζςθ αυτι για τον κάκε όρο του ακροίςματοσ, ζχουμε:
Πρόβλημα 3 Να γράψετε τθν παράςταςθ ςτθ μορφι όπου και κετικοί ακζραιοι αρικμοί. Προτεινόμενη Λύση Έχουμε: ( ) Αντικακιςτϊντασ τισ και ςτθν παράςταςθ παίρνουμε: ( ) ( ) (Το ( ) μπορεί να βρεκεί δοκιμάηοντασ και το ( ), το οποίο καταλιγει ςε μια δευτεροβάκμια εξίςωςθ.) Πρόβλημα 4 Αν και να υπολογίςετε τθν τιμι του κετικοφ ακζραιου αρικμοφ. Προτεινόμενη Λύση Πολλαπλαςιάηοντασ με το και τα δφο μζλθ τθσ πρϊτθσ ςχζςθσ, παίρνουμε διαδοχικά: Αντικακιςτϊντασ ςτθ δεφτερθ ςχζςθ, παίρνουμε: Άλλοσ τρόποσ }
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη β) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο αιεζεύεη ε αλίζσζε Λύση α), β) Έρνπκε δηαδνρηθά, γηα : ή ή ή ή
απ όπνπ Σπλεπώο, Πρόβλημα 2: Αλ ν είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο κε, λα απνδείμεηε όηη ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο. Λύση Παξαγνληνπνηνύκε ηελ παξάζηαζε Άξα Παξαηεξνύκε όηη ε παξάζηαζε είλαη γηλόκελν πέληε δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ. Επνκέλσο ην θαη επίζεο ην, αθνύ αλ έρνπκε πέληε δηαδνρηθνύο θπζηθνύο αξηζκνύ ηνπιαρηζηνλ έλαο δηαηξείηαη κε ην θαη κε ην Επίζεο ηνπιάρηζηνλ δύν από ηνπο παξάγνληεο ηνπ γηλνκέλνπ είλαη άξηηνη θαη ηνπιάρηζηνλ έλαο δηαηξείηαη κε ην θαη επόκέλσο ην γηλόκελν δηαηξείηαη θαη κε ην. Επεηδή νη νηξηζκνί είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, ζπκπεξαίλνπκε όηη ην γηλόκελν δηαηξείηαη κε ην. Άξα ην θιάζκα είλαη αθέξαηνο αξηζκόο γηα Πρόβλημα 3: Αλ, λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο είλαη Λύση
Έρνπκε, Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν. Από ηηο θνξπθέο θέξνπκε θάζεηεο πξνο ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ θαη έζησ ηα ίρλε ησλ θαζέησλ πάλσ ζηηο πιεπξέο αληίζηνηρα. Ολνκάδνπκε ην ζεκείν ηνκήο ησλ πςώλ ηνπ ηξηγώλνπ. I. Αλ ηα κέζα ησλ επζπγξάκκσλ ηκεκάησλ αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη νξζνγώλην. II. Φέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ ζην ζεκείν Να απνδείμεηε όηη ε είλαη παξάιιειε κε ηελ επζεία Λύση I. Επεηδή ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ, ζα έρνπκε Επίζεο, ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ. Άξα έρνπκε
Άξα ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. Όκσο ζην ηξίγσλν, ην ζεκείν είλαη κέζνλ ηνπ θαη κέζνλ ηνπ. Επνκέλσο Επεηδή όκσο, έπεηαη όηη θαη Από ηηο παίξλνπκε όηη. Άξα ην παξαιιειόγξακκν είλαη νξζνγώλην. II. Από ην νξζνγώλην ηξίγσλν έρνπκε,. Όκσο,, επεηδή είλαη εγγεγξακκέλεο ζην ίδην ηόμν ηνπ θύθινπ πνπ πεξλά από ηηο θνξπθέο ηνπ νξζνγσλίνπ Επνκέλσο, Σην νξζνγώλην ηξίγσλν ε είλαη δηάκεζνο, άξα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο. Σπκπεξαίλνπκε ινηπόλ όηη. Επνκέλσο ε πξνεγνπκελε ηζόηεηα γξάθεηαη, Επεηδή όκσο ηα ηξίγσλα είλαη νξζνγώληα θαη ην κέζνλ ηεο θνηλήο ηνπο ππνηείλνπζαο, ζα έρνπκε. Δειαδή ππάξρεη θύθινο πνπ πεξλά από ηα ζεκεία. Άξα αθνύ είλαη εγγεγξακκέλεο ζην ίδην ηόμν Από ηηο θαη παίξλνπκε Επεηδή όκσο νη δύν πιεπξέο απηώλ ησλ ίζσλ γσληώλ είλαη θάζεηεο δύν νμείεο ζα έρνπκε Όκσο από ηελ ππόζεζε θαη είλαη θαη νη Άξα,
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο κε ( ) κε θαη κε, όπνπ. α) Να βξείηε ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν. β) Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη. Λύση Τα πεδία νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ είλαη: ) θαη ). α) Είλαη, θαη ( ). Άξα ην ην επξύηεξν ππνζύλνιν ηνπ, ζην νπνίν είλαη ην ).
β) Γηα ), έρνπκε, δηαδνρηθά: απ όπνπ ή ή ή ή Σπλεπώο, ) ( Πρόβλημα 2: Σε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αμόλσλ ζεσξνύκε ηα ζεκεία I. Να βξείηε κηα εμίζσζε 2 νπ βαζκνύ γηα ηελ νπνία μέξνπκε όηη νη ξίδεο ηεο είλαη ίζεο κε ηηο θιίζεηο ησλ δύν επζεηώλ πνπ δηέξρνληαη από ην θαη ρσξίδνπλ ην ηξαπέδην ζε ηξία ηζεκβαδηθά κέξε. II. Αλ είλαη ε νμεία γσλία ησλ επζεηώλ λα απνδείμεηε όηη Λύση
I. Τν εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ είλαη θαη ην. Επεηδή ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ είλαη, ε κηα επζεία είλαη ε, πνπ έρεη εμίζσζε θαη θιίζε. Η άιιε επζεία είλαη ε επζεία ηεο δηακέζνπ ηνπ ηξηγώλνπ, πνπ, όπσο είλαη γλσζηό, δηαηξεί ην ηξίγσλν ζε δπν ηζνδύλακα κέξε. Επεηδή ην είλαη ην κέζνλ ηνπ, είλαη θαη ε θιίζε ηεο είλαη. Σπλεπώο θαη. Έηζη ε εμίζσζε 2 νπ βαζκνύ πνπ έρεη ξίδεο ηα είλαη ή II. Είλαη, θαη έζησ (ζρήκα). Τόηε έρνπκε απ όπνπ ή Πρόβλημα 3: Δίλεηαη νμπγώλην ηξίγσλν θαη επζεία παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά, πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ζηα ζεκεία αληίζηνηρα. Έζησ ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. α) Να απνδείμεηε όηη ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη από ηελ θνξπθή πξνο ηνπο θύθινπο θαη είλαη ίζα. β) Αλ είλαη ην έλα από ηα ζεκεία ηνκήο ησλ θύθισλ θαη, λα απνδείμεηε όηη ε επζεία είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Λύση α) Έζησ ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά θαη ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά. Τόηε θαη. Από ην εγγξάςηκν έρνπκε:
Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο (1) θαη (2) θαη παίξλνπκε πνπ ζεκαίλεη όηη θαη άξα από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο. β) Αθνύ από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο (εξώηεκα α)), ην ζεκείν αλήθεη ζην ξηδηθό άμνλα ησλ θύθισλ, πνπ είλαη ε θνηλή ρνξδή ηνπο (ζρήκα). Η θνηλή ρνξδή είλαη θάζεηε ζηε δηάθεληξν ησλ δπν θύθισλ, ε νπνία ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ θαη ζπλεπώο είλαη παξάιιειε πξνο ηε βάζε ηνπ. Έηζη, ηειηθά έρνπκε όηη ε είλαη θάζεηε ζηελ πιεπξά. Πρόβλημα 4: Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο. Λύση i) Αλ ε γίλεηαη: θαη επεηδή παίξλνπκε Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ηεο έρνπκε Γηα Αλ ε γίλεηαη ε γίλεηαη
θαη ιόγσ ησλ Επνκέλσο ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Αλ ζέζνπκε ζηελ παίξλνπκε Όκσο, αθνύ από ηελ ππόζεζε έρνπκε, έπεηαη όηη Πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε επαιεζεύεη ηηο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημεπομηνία: 10/12/16 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα.κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο. 2. Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη (ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη) 3. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ. 4. Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Να βξείηε όια ηα δεύγε αθεξαίσλ ( ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζσζεο Λύση Η εμίζσζε γξάθεηαη, πνπ, ζεσξνύκελε σο δεπηεξνβάζκηα σο πξνο, έρεη δηαθξίλνπζα. Αξρηθά πξέπεη, αθνύ ν είλαη αθέξαηνο. Τόηε θαη, επεηδή ν είλαη αθέξαηνο, ην κε πξέπεη λα είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν πεξηηηνύ, δειαδή πξέπεη απ όπνπ πνπ είλαη αθέξαηνο γηα θάζε, αθνύ είλαη δηαδνρηθνί αθέξαηνη θαη κάιηζηα, αθνύ Τόηε από ηελ (1) έρνπκε: Έηζη όια ηα δεύγε αθεξαίσλ ( ( ). { ) πνπ απνηεινύλ ιύζεηο ηεο εμίζσζεο, είλαη: ( ) ή ( ), κε.
Πρόβλημα2: (α) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε κε ηύπν. Να κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηεο. (β) Έζησ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε Απνδείμηε ηελ αληζόηεηα Λύση (α) Παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Επνκέλσο, Από ηνλ πίλαθα κνλνηνλίαο ηεο ζα έρνπκε + - + Επνκέλσο ε είλαη Γλεζίσο αύμνπζα ζηα δηαζηήκαηα ( ] θαη [ ) Γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα [ ] (β) Επεηδή ε δεδνκέλε αληζόηεηα γίλεηαη Θέηνπκε, ηόηε παίξλνπκε όηη Επεηδή είλαη γλσζηό όηη ηζρύεη, ζα έρνπκε Με ηνλ κεηαζρεκαηηζκό απηό ε γίλεηαη Άξα αξθεί λα απνδείμνπκε ηελ Επεηδή, από ηελ κνλνηνλία ηεο έρνπκε όηη είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα [ ). Επνκέλσο
Πρόβλημα 3: Σε νμπγώλην ηξίγσλν θέξνπκε ηηο δηακέζνπο θαη. Έζησ ν θύθινο δηακέηξνπ θαη ν θύθινο δηακέηξνπ. Από ηελ θνξπθή θέξνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα πνπ άγνληαη πξνο ηνπο θύθινπο θαη αληίζηνηρα. Αλ έλα από ηα θνηλά ζεκεία ησλ θύθισλ θαη, ε επζεία ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Η δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ηέκλεη ην ζην θαη ηελ πιεπξά ζην. Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά. Λύση Έζησ ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά θαη ην ζεκείν πνπ ν ηέκλεη ηελ πιεπξά. Τόηε θαη. Από ην εγγξάςηκν έρνπκε: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηηο (1) θαη (2) θαη παίξλνπκε ζεκαίλεη όηη πνπ θαη άξα από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο. Δειαδή είλαη ηζνζθειέο. Άξα, ε δηρνηόκνο ηεο γσλίαο από ην νπνίν ζπκπεξαίλνπκε όηη, θαη επνκέλσο ην ηξίγσλν είλαη θαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ, Αθνύ από ην άγνληαη ίζα εθαπηόκελα ηκήκαηα πξνο ηνπο δπν θύθινπο, ην ζεκείν αλήθεη ζην ξηδηθό άμνλα ησλ θύθισλ, πνπ είλαη ε θνηλή ρνξδή ηνπο (ζρήκα). Η θνηλή ρνξδή είλαη θάζεηε ζηε δηάθεληξν ησλ δπν θύθισλ, ε νπνία ζπλδέεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ηξαπεδίνπ θαη ζπλεπώο είλαη παξάιιειε πξνο ηε βάζε ηνπ. Έηζη, ηειηθά έρνπκε όηη ε. Από παίξλνπκε όηη ηα ζεκεία είλαη νκνθπθιηθά.
Πρόβλημα 4: Να βξείηε ηηο ζπλαξηήζεηο γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ θαη. i) Να απνδείμεηε όηη. ii) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο θαη λα απνδείμεηε όηη ε είλαη κνλαδηθή. Λύση i) Αλ ε γίλεηαη: θαη επεηδή παίξλνπκε Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ηεο έρνπκε Γηα ε γίλεηαη Αλ ε γίλεηαη θαη ιόγσ ησλ Επνκέλσο ε είλαη άξηηα ζπλάξηεζε. ii) Αλ ζέζνπκε ζηελ παίξλνπκε Όκσο, αθνύ από ηελ ππόζεζε έρνπκε, έπεηαη όηη Πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε επαιεζεύεη ηηο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Έζησ όηη ππάξρεη θαη κηα δεύηεξε γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ νη ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Τόηε κε ηελ ίδηα επεμεξγαζία θαηαιήγνπκε όηη Άξα. Επνκέλσο ε είλαη κνλαδηθή.