Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1
Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός Δ διαιρείται με τον δ δίνοντας ως αποτέλεσμα το άθροισμα αριθμών π + υ. Δ:δ = π + υ Διαιρετέος διαιρέτης πηλίκο υπόλοιπο Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και σαν γινόμενο: Αυτή η σχέση λέγεται ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. Δ = δ π + υ Το υπόλοιπο είναι πάντοτε μικρότερο του πηλίκου: υ < π. Όταν δ =1 τότε: Δ :1 =1 Όταν Δ=0 τότε: 0:δ=0 Όταν Δ=δ=α τότε: Δ:δ = α:α =1 www.ma8eno.gr Σελίδα 2
ΤΕΛΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ως τέλεια χαρακτηρίζουμε μια διαίρεση όταν το υπόλοιπο είναι μηδενικό, δηλαδή: Διαιρετέος διαιρέτης πηλίκο υ = 0 Στην τέλεια διαίρεση, ο Δ αποκαλείται και πολλαπλάσιο του δ και ο δ διαιρετής του Δ. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι οι άπειροι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή τα πολλαπλάσια του α είναι: 0 α, 1 α, 2 α, 3 α,.ν α. Όλοι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 2, είναι άρτιοι αριθμοί. Ενώ όσοι είναι της μορφής 2ν +1 λέγονται περιττοί. www.ma8eno.gr Σελίδα 3
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Με βάση τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν ορισμένες ιδιότητες: Κάθε φυσικός αριθμός α διαιρεί (ακριβώς) όλα τα πολλαπλάσιά του. Ο κάθε φυσικός αριθμός α που διαιρείται από τον φυσικό αριθμό β, είναι πολλαπλάσιο του β. Ο κάθε φυσικός αριθμός α που διαιρεί τον φυσικό αριθμό β, διαιρεί και τα πολλαπλάσια του β. ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΔΥΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορίζουμε ως κοινά πολλαπλάσια δυο φυσικών αριθμών α και β τους αριθμούς οι οποίοι είναι ταυτόχρονα πολλαπλάσια και του α και του β. Το 0 είναι κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών, αφού α 0 = 0 για κάθε α. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των α και β, σε συντομογραφία ΕΚΠ (α, β), ονομάζεται το μικρότερο μη μηδενικό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών. ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν τον αριθμό α ( διαιρέτες). Δηλαδή στην ισότητα: α = δ π, οι αριθμοί δ και π είναι διαιρέτες του α. www.ma8eno.gr Σελίδα 4
Χαρακτήρες διαιρετότητας - Ιδιότητες Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσια του. Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο φυσικό αριθμό είναι πολλαπλάσιο του. Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλον φυσικό αριθμό θα διαιρεί και τα πολλαπλάσια του. Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί δυο άλλους φυσικούς αριθμούς, τότε διαιρεί το άθροισμα τους και τη διαφορά τους. Κάθε φυσικός αριθμός α έχει διαιρέτες το 1 και τον α. Κάθε φυσικός αριθμός α που έχει ως διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του ονομάζεται πρώτος αριθμός. Πχ, οι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47, 51, κοκ, διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους, άρα είναι παραδείγματα πρώτων αριθμών. Τους πρώτους αριθμούς από το 2 έως το 100 τους βρίσκουμε με το κόσκινο του Ερατοσθένη. Κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο. http://micphl.eb.com/number/sieve.swf www.ma8eno.gr Σελίδα 5
Οι αριθμοί που έχουν ως ΜΚΔ το 1 λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. Κάθε φυσικός αριθμός α που έχει ως διαιρέτες και άλλους φυσικούς αριθμούς εκτός από το 1 και τον α, ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Πχ, οι αριθμοί: 4, 6, 8, 190,, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24...κοκ, διαιρούνται και με άλλους φυσικούς αριθμούς εκτός του 1 και του εαυτού τους, άρα είναι παραδείγματα σύνθετων αριθμών. Το 1, ως ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος που είναι πρώτος αριθμός. ΚΟΙΝΟΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΔΥΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορίζουμε ως κοινούς διαιρέτες δυο φυσικών αριθμών α και β τους αριθμούς οι οποίοι είναι ταυτόχρονα διαιρέτες και του α και του β. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των α και β (ΜΚΔ) (α, β), ονομάζεται ο μεγαλύτερος διαιρέτης των δύο αριθμών. Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείς να εξασκηθείς στους διαιρέτες. www.ma8eno.gr Σελίδα 6
Οδηγίες Διαλέγεις τους αριθμούς που θέλεις να βρεις τους διαιρέτες τους χρησιμοποιώντας τα βελάκια. Οι διαιρέτες των δύο αριθμών παρουσιάζονται στο κάτω μέρος της οθόνης με καφέ χρώμα. Σύρε τον κάθε διαιρέτη στον αριθμό που αντιστοιχεί. Αν είναι σωστή η κίνησή σου, ο διαιρέτης γίνεται πράσινος. Αν όχι, ο διαιρέτης γίνεται κόκκινος και τον μετακινείς αλλού. Στο μέρος όπου ενώνονται οι δύο κύκλοι (σύνολα) βάζεις τους διαιρέτες που είναι κοινοί και για τους δύο αριθμούς. http://www.teacherled.com/resources/vennfactors/vennfactorload.ht ml www.ma8eno.gr Σελίδα 7
ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να εκφραστεί και ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων). Μπορούμε να αναλύσουμε ένα σύνθετο αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, με δεντροδιαγράμματα ή με διαδοχικές διαιρέσεις Δεντροδιάγραμμα Γράφουμε το γινόμενο που μας δίνει τον αριθμό 30. Εδώ γράψαμε 2 Χ 15. Ο αριθμός 2 είναι πρώτος, οπότε συνεχίζουμε τη διαδικασία για τον αριθμό 15, του οποίου το γινόμενο είναι 3 Χ 5.Στην τρίτη σειρά γράφουμε τον αριθμό 2 και το γινόμενο 3 Χ 5. Η ανάλυση τελειώνει, όταν όλοι οι παράγοντες είναι πρώτοι αριθμοί όπως εδώ (2, 3 και 5). Άρα ο αριθμός 30 μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 30 = 2 Χ 3 Χ 5 www.ma8eno.gr Σελίδα 8
Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε αν ξεκινούσαμε από το γινόμενο 3 Χ 10. Διαδοχικές διαιρέσεις 36 2 18 2 9 3 3 3 Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε κάτω από το 36 το πηλίκο της διαίρεσης. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 18.Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε το πηλίκο της διαίρεσης που είναι το 9. 1 Η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν προκύπτει πηλίκο ίσο με 1. Άρα ο αριθμός 36 εκφράζεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 36 = 2 2 3 3 www.ma8eno.gr Σελίδα 9
Στους παρακάτω συνδέσμους μπορείτε να εξασκηθείτε στα δενδροδιαγράμματα. http://www.mathplayground.com/m anipulatives/factortree_final_secu re.swf http://www.teacherled.com/resourc es/primefactors/primefactorload.ht ml ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ ΔΥΟ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ Ο ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους με το μικρότερο εκθέτη. Το ΕΚΠ δύο ή περισσότερων αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων παραγόντων τους με το μεγαλύτερο εκθέτη. www.ma8eno.gr Σελίδα 10
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ Για να βρούμε γρήγορα και εύκολα αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο, χρησιμοποιούμε κάποιους κανόνες που τους ονομάζουμε Κριτήρια Διαιρετότητας. Διαίρεση με το 2 : Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο, δηλαδή αν ο α είναι άρτιος. Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 4, 26, 48, 244 διαιρούνται με το 2. Διαίρεση με το 3 : Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Για παράδειγμα οι αριθμοί 117, 585 διαιρούνται με το 3 αφού 1+1+ 7 = 9, 5 + 8 + 5 =18 και οι αριθμοί 9 και 18 διαιρούνται με το 3. Διαίρεση με το 9 : Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Για παράδειγμα οι αριθμοί 567, 1.998 διαιρούνται με το 9 αφού 5 + 6 + 7 =18, 1+9+9+8=27 και οι αριθμοί 18 και 27 διαιρούνται με το 9. Διαίρεση με το 5 : Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Πχ, οι αριθμοί 50, 105, 255, 500 διαιρούνται με το 5. Διαίρεση με τα 10, 100, 1.000 κοκ: Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με1 τ0α, 100, 1.000 αν το τελευταία του ψηφία είναι αντίστοιχα 0, 00, 000. Πχ, οι αριθμοί 30, 400 και 5.000 διαιρούνται με τ1α0, 100 και 1.000 αντίστοιχα. Διαίρεση με το 4 ή το 25 : Ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται με το 4 ή το 25, αν ο αριθμός που σχηματίζεται από τα δυο τελευταία ψηφία του α διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα. Για παράδειγμα ο αριθμός 77.816 διαιρείται με το 4 γιατί τα δυο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό 16, ο οποίος διαιρείται με το 4, ενώ ο 4.975 διαιρείται με το 25 γιατί τα δυο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό 75, ο οποίος διαιρείται με το 25. www.ma8eno.gr Σελίδα 11
Παραδείγματα: 1. Ο αριθμός 174 διαιρείται με το 3 γιατί 1+7+4=12 (2+1=3) 2. Ο αριθμός 969 το ίδιο γιατί 9+6+9=24(2+4=6) κλπ. 3. Ο αριθμός 324 διαιρείται με το 4, γιατί και το 24(δύο τελευταία) είναι διαιρετό από το 4. 4. Ο 678 είναι διαιρετός από το 6 γιατί διαιρείται και με το 2(ζυγός) και με το 3(6+7+8=21=2+1=3). 5. Ο αριθμός 351 διαιρείται ακριβώς με το 9 γιατί 3+5+1=9. 6. Ο αριθμός 459 διαιρείται ακριβώς με το 9 γιατί 4+5+9=18(8+1=9) Παραδείγματα 1. Να βρεθούν όλα τα πολλαπλάσια του 8 που είναι μικρότερα του 100. Λύση: Π = { 0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96 } 8 2. Να βρεθούν όλα τα πολλαπλάσια του 4 που είναι μικρότερα του 30 και μεγαλύτερα του 10. Λύση: { 12,16,20,24,28 } 3. Να βρεθούν οι διαιρέτες του 16 Λύση: 16 { } Δ = 1,2,4,8,16 4. Να βρεθούν οι διαιρέτες του 21 Λύση: 21 { } Δ = 1, 3, 7, 2 1 www.ma8eno.gr Σελίδα 12
5. Να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ο αριθμός 840 Λύση: 840 2 5 84 2 42 2 21 3 7 7 1 3 Άρα 840 = 2 3 5 7 6. Να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ο αριθμός 1.188 Λύση: 1.188 2 594 2 297 3 99 3 33 3 11 11 1 2 3 Άρα 1.188 = 2 3 11 7. Να βρεθεί ο ΜΚΔ(840, 1.188) Λύση: Αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 840 και 1.188.(το έχουμε κάνει στα παραπάνω παραδείγματα) 3 840 = 2 3 5 7 2 3 1.188 = 2 3 11 Άρα 2 ΜΚΔ ( 840,1.188 ) = 2 3 = 8 3 = 24 www.ma8eno.gr Σελίδα 13
8. Να βρεθεί το ΕΚΠ (840, 1.188) Λύση: Αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 840 και 1.188.(το έχουμε κάνει στα παραπάνω παραδείγματα) 3 840 = 2 3 5 7 2 3 1.188 = 2 3 11 Άρα ( ) 3 3 ΕΚΠ 840,1.188 = 2 3 5 7 11 = 8 27 5 7 11 = = 40 27 11 = 440 27 = 11.880 Ποιοί αριθμοί είναι πρώτοι και ποιοί σύνθετοι; Το 19 έχει διαιρέτες τους 1 και 19, άρα είναι πρώτος αριθμός. Το 20 έχει διαιρέτες τους 1, 2, 4, 5 10 και 20, άρα είναι σύνθετος αριθμός. Το 21 έχει διαιρέτες τους 1, 3, 7 και 21, άρα είναι σύνθετος αριθμός. Το 22 έχει διαιρέτες τους 1, 2, 11, και 22, άρα είναι σύνθετος αριθμός. Το 23 έχει διαιρέτες τους 1 και 23, άρα είναι πρώτος αριθμός. Το 24 έχει διαιρέτες τους 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, και 24, άρα είναι σύνθετος αριθμός. www.ma8eno.gr Σελίδα 14