.5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα σηµείο εκτός ευθείας µία κάθετος άγεται προς την ευθεία ii) Προφανώς αφού είναι σωστό το (i) iii) ιότι τα ευθύγραµµα τµήµατα και ταυτίζονται 2. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ), σηµείο της βάσης του και οι προτάσεις π : Το είναι ύψος του τριγώνου π 2 :Το είναι διάµεσος του τριγώνου π : Το είναι διχοτόµος του τριγώνου ν για το ισχύει µία από τις προτάσεις π, π 2, π ισχύουν οι άλλες δύο; Ναι. ιατυπώστε τις ανακεφαλαιωτικές περιπτώσεις ισότητας ορθογωνίων τριγώνων i) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο οµόλογες πλευρές τους ίσες µία προς µία ii) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν µία πλευρά και την προσκείµενη σ αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες µία προς µία
2 4. Στο παρακάτω σχήµα έχουµε σχεδιάσει οκτώ ορθογώνια τρίγωνα. Καθένα από αυτά είναι ίσο µε ένα από τα υπόλοιπα. Να βρείτε τα ζεύγη των ίσων τριγώνων και να αναφέρετε τον λόγο για τον οποίο είναι ίσα 4 59 o 4 0 o 5 5 5 0 o 5 59 o Ζ Η i) Το είναι ίσο µε το διότι έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες µία προς µία ii) Το είναι ίσο µε το Ζ διότι έχουν µία κάθετη πλευρά και την προσκείµενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες iii) Το είναι ίσο µε το Θ διότι έχουν την υποτείνουσα και µία προσκείµενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες. iν) Το είναι ίσο µε το Η διότι έχουν τις υποτείνουσες και µία κάθετη πλευρά µία προς µία ίσες Θ 5. Συµπληρώστε τα κενά στην επόµενη πρόταση: Ο φορέας του αποστήµατος µίας χορδής είναι µεσοκάθετος της χορδής και διχοτοµεί το αντίστοιχο στην χορδή τόξο. 6. ν, είναι χορδές ενός κύκλου ( Κ ) και Κ, ΚΖ είναι τα αντίστοιχα αποστήµατα τους τότε α. = Κ = 2 ΚΖ β. = Κ > ΚΖ γ = Κ = ΚΖ δ. = 2 Κ = ΚΖ ε. = Κ < ΚΖ κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) διότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατα τους είναι ίσα
7. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σηµείων της διχοτόµου µίας γωνίας ; Ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας 8. ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές τους ίσες είναι πάντοτε ίσα ; αιτιολογήστε την απάντηση σας. Όχι, θα πρέπει οι πλευρές να είναι οµόλογες σκήσεις µπέδωσης. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του, είναι ίσα. Έστω = και, τα ύψη. τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια, έχουν = και ˆ κοινή. Άρα = 2. Να αποδείξετε ότι τα µέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i) από τη βάση ii) από τις ίσες πλευρές i) Έστω =, και τα µέσα και Κ, Λ οι αποστάσεις K Λ τρ. Κ = τρ. Λ διότι = ˆ ˆ, ορθογώνια και = σαν µισά ίσων ii) Θ Ι Έστω Ι, Θ οι αποστάσεις των µέσων τρ. Ι = τρ. Θ διότι ˆ κοινή, ορθογώνια και = σαν µισά ίσων
4. Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τµήµατος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το µέσο του. ε Κ Μ Λ Έστω το τµήµα µε µέσο Μ, ε η ευθεία και Κ, Λ οι αποστάσεις των, από την ε. τρ. ΜΚ = τρ. ΜΛ Κ = Λ 4. ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους, που αντιστοιχούν στα ίσες πλευρές, είναι ίσα. ' Έστω και αντίστοιχα ύψη. ' ' τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια µε = ˆ ˆ και =. Άρα = ποδεικτικές ασκήσεις. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ το µέσο της βάσης του. Να αποδείξετε ότι: i) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ii) η Μ είναι διχοτόµος της γωνίας που σχηµατίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές µεταξύ τους. 2 Μ Μ, Μ οι αποστάσεις i) τρ. Μ = τρ. Μ διότι είναι ορθογώνια, Μ κοινή και ˆ = ˆ 2 αφού η διάµεσος Μ είναι και διχοτόµος. Άρα Μ = Μ ii) τρ. Μ = τρ. Μ Μ=Μ ˆ ˆ Άρα Μ διχοτόµος της Μ ˆ.
5 2. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα και είναι και µ =µ α α τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. α=α, υ =υ α α ' 2 2 Μ ' ' Μ' ' τρ. Μ = τρ. Μ αφού είναι ορθογώνια µε ίση υποτείνουσα και ίση µία κάθετη πλευρά Μ ˆ =Μ ˆ άρα και Μ ˆ =Μ ˆ σαν παραπληρώµατά τους 2 2 ( Π Π ) τρ. Μ = τρ. Μ = ˆ ˆ και = ( Π Π ) τρ. =. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο οξυγώνια τρίγωνα και είναι α=α, υ =υ και υ =υ τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. β β γ ' γ ' ' τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια µε = και = Έ Άρα = ˆ ˆ τρ. = τρ. οµοίως. Άρα = ˆ ˆ ( Π ) τρ. = τρ.
6 4. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = ˆ ) και η διχοτόµος του. πό το φέρουµε, που τέµνει την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. τρ. = τρ. διότι ορθογώνια, κοινή και ˆ = ˆ. 2 Άρα = και = () Ζ 2 2 τρ. Ζ = τρ. διότι ορθογώνια, = και ˆ = ˆ 2 Άρα Ζ = (2) () + (2) Ζ = τρ. Ζ ισοσκελές. 5. ίνεται κύκλος (Ο, R), οι ίσες χορδές του, και τα αποστήµατά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. ν οι προεκτάσεις των και τέµνονται στο Μ, να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα ii) M = M και Μ = Μ i) Ίσες χορδές ίσα αποστήµατα ΟΚ = ΟΛ Άρα τρ. ΚΟΜ = τρ. ΛΟΜ Ο Λ Κ Μ ii) πό i) MK = MΛ () αλλά Κ = Κ = Λ = Λ µισά ίσων (2) () + (2) Μ = Μ () (2) Μ = Μ
7 Σύνθετα Θέµατα. Θεωρούµε τρίγωνο. Η διχοτόµος της γωνίας Â τέµνει τη µεσοκάθετο της στο σηµείο. Έστω και Ζ οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. i) Να συγκρίνεται τα τρίγωνα και Ζ ii) Να λύσετε το ίδιο πρόβληµα θεωρώντας την εξωτερική διχοτόµο της Â, η οποία τέµνει τη µεσοκάθετο της στο σηµείο, µε προβολές τα σηµεία, Ζ στις πλευρές και αντίστοιχα. iii) Nα αποδείξετε ότι EE = και ΖΖ = i) ανήκει στη µεσοκάθετο της = () ανήκει στη διχοτόµο της Â x y Ζ y M Ζ x = Ζ (2) Eˆ = Zˆ = () (), (2), () τρ. = τρ. Ζ ii) ανήκει στη µεσοκάθετο της = ( ) ανήκει στη διχοτόµο της Â εξ (2 ) = Ζ Eˆ = Zˆ = ( ) ( ), (2 ), ( ) τρ. = τρ. Ζ iii) πό i) = Ζ = x τρ. = τρ. Ζ διότι ορθογώνια, κοινή και διχοτόµος. Άρα = Ζ + x = x 2 x = (4) τρ. ΈΆ = τρ. ΖΆ διότι ορθογώνια, Ά κοινή και Ά εξ. ιχοτόµος. Άρα = Ζ = y πό ii) = Ζ + = ΖΆ + y = y 2 y = (5) (4), (5) x = y = 2 λλά = + + και = x + + y = 2 x + = + = ΖΖ = Ζ Ζ = y x = 2 x = ( ) =.
8 2. ν δύο ορθογώνια τρίγωνα, έχουν µία κάθετη πλευρά ίση και η περίµετρος του ενός είναι ίση µε την περίµετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ' Έστω = + + = + + Ά + = + Ά () ' ' ' Προεκτείνουµε την κατά τµήµα = και την κατά τµήµα = () = και επειδή = και ˆ ˆ = θα είναι τρ. = τρ. οπότε ˆ ˆ = (2) Τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ () () λλά = ˆ ˆ + ˆ σαν εξωτερική του τριγώνου Οµοίως Η (2) = ˆ ˆ = ˆ 2 ˆ ˆ = 2 ˆ Τελικά τρ. = τρ. αφού είναι ορθογώνια µε = και ˆ ˆ =.