Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ)

. Κεφάλαιο 9 Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης (ΕΒΑ) (Internal Rate of Return - IROR) 9. Γενικά Ο ΕΒΑ είναι η τελευταία από τις τέσσερις µεθόδους αξιολόγησης αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών λύσεων. Αν και θεωρείται η πιο δύσκολη από όλες τις µεθόδους, σε περίπτωση που εφαρµοστεί χωρίς τη χρήση Η/Υ, χρησιµοποιείται ευρέως. Ο λόγος είναι ότι η µέθοδος αυτή παρουσιάζει το ποσοστό (%) της απόδοσης ως µεταβλητή απόφασης. Τα ποσοστά (%) που συνοδεύουν µια χρηµατοοικονοµική δραστηριότητα (δανεισµός, αποταµίευση, ρύθµιση χρεών κ.τ.λ.) τα συναντάµε καθηµερινά στη ζωή µας και κυρίως στις συναλλαγές µας µε τις τράπεζες. Το γεγονός αυτό βοηθάει ώστε η µέθοδος του ΕΒΑ να γίνεται εύκολα κατανοητή, τόσο στον επιχειρηµατικό χώρο, όσο και στον απλό κόσµο, σε αντίθεση µε τις υπόλοιπες µεθόδους οι οποίες παρουσιάζουν δυσκολίες ως προς την ερµηνεία τους. 9.2 Ορισµός Ο ΕΒΑ είναι η τιµή του επιτοκίου i για την οποία η εξίσωση της παρούσας αξίας (present worth) ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος (cash flow) µηδενίζεται: PW = B t (P/F,i,t) - C t (P/F,i,t) = 0 () Επίσης ο ΕΒΑ µπορεί να ορισθεί και ως το ποσοστό (%) που εξισώνει την παρούσα αξία των κερδών µε την παρούσα αξία των κοστών ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος. B t (P/F,i,t) = C t (P/F,i,t) (2) Μια λύση ικανοποιεί οικονοµικά το πρόβληµα εφόσον ο ΕΒΑ είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθµό απόδοσης) i*, δηλαδή εφόσον: i i* (3) 9.3 Άµεσος υπολογισµός του ΕΒΑ 9.3. Παράδειγµα Ένα πακέτο µετοχών µιας ασφαλιστικής εταιρείας αποκτήθηκε στις Νοεµβρίου του 978 στο ποσό του.500.000 δρχ. Πωλήθηκε στην ίδια ηµεροµηνία µετά από δύο χρόνια

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης για.777.800 δρχ. Ποιος ήταν ΕΒΑ της επένδυσης; Φόροι και πληθωρισµός δεν λαµβάνονται υπόψη. Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του προβλήµατος είναι το ακόλουθο:.777.800 0 2.500.000 ιάγραµµα 9- : Χρηµατοροές πακέτου µετοχών Χρησιµοποιώντας την σχέση (3) έχουµε: B t (P/F,i,t) = C t (P/F,i,t) (.777.800)(P/F,i,2) = (.500.000)(P/F,i,0) (P/F,i,2) = 0,8437 Ένας τρόπος να βρεθεί προσεγγιστικά απάντηση για το i είναι να συµβουλευτεί κάποιος τους πίνακες στη γραµµή 2 και στην στήλη (P/F) για να βρει τις τιµές που προσεγγίζουν το 0,8437 και τα ποσοστά που τις συνοδεύουν. Αυτές είναι : 0,847 µε 9% 0,8573 µε 8% Ο ΕΒΑ είναι περίπου 9% διότι το 0,8437 είναι πιο κοντά στο 0,847 απ ότι στο 0,8573. Μια γραµµική παρεµβολή (interpolation) θα µας δώσει πιο ακριβή απάντηση; P/F % 0,847 9.0 0,8437 ; 0,8573 8.0 ιάγραµµα 9-2: Πίνακας δεδοµένων 0, 8437 0, 847 i = 9,0 - (, 90 80,) 0, 8573 0, 847 i = 8,872 29

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας εν µπορούµε να είµαστε σίγουροι για το πόσο ακριβής είναι αυτή η λύση διότι η interpolation θεωρεί µια γραµµική σχέση µεταξύ P/F και i. Γνωρίζουµε ότι αυτές οι δύο ποσότητες συνδέονται µε τον ακόλουθο τύπο : (P/F,i,t) = t ( + i) Για να βρούµε µια ακριβή τιµή του i, αρκεί να αντικαταστήσουµε τα δεδοµένα: 0,8437 = (+i) 2 = ( +i ) 0, 8437 i = 0,0886944 i = 8,869% Η τιµή αυτή διαφέρει κατά 0,003 από τη τιµή που βρήκαµε µε την γραµµική παρεµβολή. Η γραµµική προσέγγιση γενικά γίνεται λιγότερο ακριβής όταν η διαφορά µεταξύ των τιµών προσέγγισης γίνεται µεγαλύτερη. Για παράδειγµα στο πρόβληµά µας εφαρµόζοντας interpolation µε τις τιµές του παρακάτω πίνακα θα έχουµε : P/F % 0,8264 0 0,8437 ; 0,907 5 ιάγραµµα 9-3 : Πίνακας δεδοµένων Παρατηρούµε ότι τώρα η διαφορά είναι 0,058 περίπου 9 φορές µεγαλύτερη από την πρώτη προσέγγιση. Όπως βλέπουµε στο Σχήµα 2, αν εφαρµόζαµε προσέγγιση µεταξύ του 0% και του 25% το σφάλµα θα ήταν περίπου 2% Συµπερασµατικά: Όταν χρησιµοποιείται η προσέγγιση για την εύρεση του ΕΒΑ µέσω πινάκων θα πρέπει το αποτέλεσµα που προκύπτει από τις τιµές προσέγγισης να είναι µέσα στα όρια σφάλµατος του ΕΒΑ. 9.4 Υπολογισµός του ΕΒΑ µέσω δοκιµής και σφάλµατος (Trial-and-error-computation of the IROR) 9.4. Παράδειγµα Μια εταιρεία αγόρασε πριν 3 χρόνια εξοπλισµό σε Η/Υ αξίας 60 εκατοµ. δρχ. Το καθαρό κέρδος εκτιµήθηκε στα 30 εκατοµ. δρχ. ανά έτος της οικονοµικής του ζωής, η οποία θεωρήθηκε 0 χρόνια. Τώρα ο εξοπλισµός έχει µηδέν τιµή µεταπώλησης και είναι έτοιµος 2 30

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης προς παροπλισµό. Η εταιρεία θα αποκτήσει νέο εξοπλισµό αξίας 05 εκατοµ. δρχ. και οικονοµικής ζωής 5 χρόνων. Το καθαρό κέρδος θα είναι 32, εκατοµ. δρχ. για το πρώτο έτος και 64,2 εκατοµ. δρχ. για καθ ένα από τα επόµενα τέσσερα. Αν αυτό το σύστηµα έχει µηδέν τιµή µεταπώλησης, ποιος είναι ο βαθµός απόδοσης; Φόροι και πληθωρισµός να µην ληφθούν υπ όψη Λύση Το πρόβληµα εισάγει τη χρήση µερικών εννοιών από προηγούµενα κεφάλαια, συγκεκριµένα τα (sunk cost). Ο εξοπλισµός αξίας 60 εκατοµ. δρχ. ο οποίος αποκτήθηκε πριν από 3 χρόνια, καθώς και όλα τα ποσά που συνδέονται µ αυτόν είναι τώρα βυθισµένο κόστος (sunk cost) και περασµένα κέρδη και δεν έχουν καµία σχέση µε το πρόβληµα. Εποµένως το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του προβλήµατος είναι το ακόλουθο : 32.00.000 64.200.000 0 2 3 4 5 05.000.000 9-4 ιάγραµµα χρηµατοροών Χρησιµοποιώντας την εξίσωση () έχουµε: PW = B t (P/F,i,t) - C t (P/F,i,t) = 0 PW = (32.00.000)(P/F,i,) + (64.200.000)(P/A,i,4) (P/F,i,) - 05000000 = 0 (4) Οι δύο άγνωστοι, (P/F,i,) και (P/A,i,4) κάνουν αδύνατη τον άµεσο υπολογισµό του i. Ο µόνος τρόπος επίλυσης είναι η µέθοδος δοκιµής-σφάλµατος. Η διαδικασία της µεθόδου αυτής είναι να γίνουν δοκιµές σε διάφορες τιµές δεικτών ώστε να βρεθούν οι δύο που θα προσεγγίζουν µια τιµή του ΕΒΑ, η οποία να βρίσκεται µέσα στα επιθυµητά όρια. Ο πραγµατικός ΕΒΑ βρίσκεται µεταξύ του 40% και 45%. i PW 40% 2.720.700 i* 0 45% -6.70.00 Πίνακας 9-5 3

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Το γράφηµα της γραµµικής παρεµβολής φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: 2.720.000 x 40 4 42 43 44 45 5-x 6.70.00 ιάγραµµα 9-6 : γραµµική παρεµβολή x = 5 x 2. 720. 700 67000.. x =,44 Ο ΕΒΑ είναι 4,44% ή 4% κατά προσέγγιση. Για την επίλυση παρόµοιων προβληµάτων, µπορεί να χρησιµοποιηθεί το πρόγραµµα EXCEL το οποίο διαθέτει περισσότερες από 50 έτοιµες συναρτήσεις για χρήση σε κάθε οικονοµική ανάλυση. Ετσι υπολογίζουµε γρήγορα και µε ακρίβεια δείκτες και οικονοµικά µεγέθη. Οι οικονοµικές συναρτήσεις του EXCEL βρίσκονται στο path: Insert / Function / Financial. Επίσης µπορούµε να κατασκευάσουµε γραφικές παραστάσεις για µια εποπτική εικόνα της εξέλιξής τους. Οσον αφορά το συγκεκριµένο παράδειγµα, δοκιµάστε αφού τοποθετήσετε στα κελιά τα δεδοµένα του προβλήµατος να υπολογίσετε τον ΕΒΑ: Γράφετε σε άλλα κελιά τις τιµές του i. Αρχίζοντας τις δοκιµές από µια τιµή i=0% και ανεβαίνοντας διαδοχικά έως το 45% παρατηρείτε ότι η εξίσωση της παρούσας αξίας µηδενίζεται για i µεταξύ 4 και 42% και κατόπιν παίρνει αρνητική τιµή. Αυτό βρίσκεται πολύ γρήγορα εάν για κάθε i ορίσετε να υπολογίζεται η παράσταση : -αρχική επένδυση+pv(i, εύρος τιµών). Καλώντας το υποπρόγραµµα κατασκευής διαγραµµάτων κατασκευάζετε τη σχετική γραφική παράσταση: 32

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης 20000 00000 et present value 80000 60000 40000 20000 0-20000 0% 20% 30% 40% 4% 42% 45% opportunity cost 9.5 Σύγκριση εναλλακτικών λύσεων Όπως είπαµε και στον ορισµό του ΕΒΑ, µια λύση ικανοποιεί οικονοµικά το πρόβληµα εφόσον ο ΕΒΑ είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου (ή τον ελάχιστο αποδεκτό βαθµό απόδοσης) i* i i* όπου i: ΕΒΑ i*: κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου Περισσότερες από µια εναλλακτικές περιλαµβάνουν και την µηδενική (null) εναλλακτική. Για παράδειγµα η ερώτηση στο πρόβληµα (2) θα µπορούσε να ήταν: Θα πρέπει η εταιρεία να αγοράσει εξοπλισµό Η/Υ αν ο ελάχιστος ελκυστικός δείκτης είναι 30%. Τότε θα έπρεπε να συγκρίνουµε τις εναλλακτικές της αγοράς ή µη του εξοπλισµού. Επειδή 4% >= 30% η απόφαση θα ήταν να γίνει η αγορά. Επειδή στην πράξη ακολουθείται µια συγκεκριµένη µικροοικονοµική διαδικασία θα γίνουν επιλογές εναλλακτικών λύσεων δοκιµαστικά, ξεκινώντας µε αυτή που έχει τη χαµηλότερη αρχική επένδυση. Υπολογίζουµε τον ΕΒΑ αυτής της εναλλακτικής και τον συγκρίνουµε µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν εγκριθεί τότε δηµιουργούµε το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα της οριακής ανάλυσης αφαιρώντας το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα της εναλλακτικής µε τη χαµηλότερη επένδυση (πρώτη) από αυτό της εναλλακτικής µε την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη). Στη συνέχεια συγκρίνω τον οριακό ΕΒΑ, i µε το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου. Αν ο i είναι µεγαλύτερος ή ίσος µε το κόστος ευκαιρίας, τότε η εναλλακτική µε την υψηλότερη επένδυση (δεύτερη) γίνεται αποδεκτή, εάν όχι, απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική χαµηλότερης επένδυσης. Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουµε: 33

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Έστω οι λύσεις Α και Β διαταγµένες κατά σειρά αύξησης του αρχικού κόστους επένδυσης (a) Έστω ότι (ο ΕΒΑ της Α) και έστω ότι: i A i* (b) Αν i i* ( i: ο ΕΒΑ του Β-Α ) τότε επιλέγεται η Β (c) Αν i < i* επιλέγεται η Α (d) Αν πρέπει οπωσδήποτε µια από τις δύο να επιλεγεί, καταφεύγουµε άµεσα σε οριακή ανάλυση: i i* επιλέγεται η Β (δεύτερη), i < i* επιλέγεται η Α (πρώτη) Η οριακή ανάλυση στον ΕΒΑ είναι απαραίτητη όταν εξετάζονται αµοιβαία αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις (mutually exclusive alternatives). Από αυτή την άποψη η µέθοδος του ΕΒΑ είναι ανάλογη µε εκείνη του λόγου κόστος / κέρδος. 9.5. Παράδειγµα Τα στοιχεία δύο µετα-φόρων και πληθωρισµού χρηµατο-χρονοδιαγραµµάτων αµοιβαία αποκλειόµενων εναλλακτικών είναι τα ακόλουθα: Χρόνια 2 0-240.000-450.000-5 +20.000 +20.000 Πίνακας 9-7 :Στοιχεία χρηµατο-χρονοδιαγραµµάτων των 2 λύσεων Η µηδενική (null) εναλλακτική θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη a) Με 30% κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου και χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του ΕΒΑ, ποια εναλλακτική, αν υπάρχει κάποια, θα να επιλεγεί; b) Με 35% c) Με 40% d) Με 45% Όλα τα ποσοστά θα πρέπει να στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο ακέραιο. Λύση () 20.000 0 2 3 4 5 240.000 ιάγραµµα 9-8 : Εναλλακτική 34

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης 20.000 (2) 0 2 3 4 5 450.000 ιάγραµµα 9-9 : Εναλλακτική 2 (2-) 90.000 0 2 3 4 5 20.000 ιάγραµµα 9-0 : Συνολικό (2-) a) Επειδή πρέπει να ληφθεί υπ όψη η µηδενική εναλλακτική, η χαµηλότερου αρχικού κόστους εναλλακτική θα πρέπει να συγκριθεί µε αυτή. χρησιµοποιώντας την εξίσωση () στην πρώτη εναλλακτική του Σχήµατος 4 έχουµε: PW = -240.000 + 20.000(P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,000 Χρησιµοποιώντας τους πίνακες βρίσκουµε ότι i = 4%. Επειδή: 4% > 30% η εναλλακτική θα πρέπει να γίνει αποδεκτή σύµφωνα µε την σχέση (3). Τώρα δοκιµάζουµε την εναλλακτική 2 χρησιµοποιώντας την οριακή ανάλυση (2-) του διαγράµµατος 9-0: PW = -20.000 + 90.000(P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,3333 i = 32% Επειδή: 32% > 30% η εναλλακτική 2 επιλέγεται έναντι της b) ουλεύοντας όπως και στο α) έχουµε: i = 4% > 35% επιλέγεται η και i (2-) =32% < 35% η 2 απορρίπτεται και επιλέγουµε την c) Οµοίως i =4% > 40% η γίνεται αποδεκτή και i (2-) =32% < 40% η γίνεται αποδεκτή d) Εδώ έχουµε: i = 4% < 45% η απορρίπτεται 35

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Τώρα η 2 πρέπει να συγκριθεί µε τη µηδενική: PW = - 450.000 + 20.000(P/A,i,5) = 0 (P/A,i,5) = 2,43 Η προσέγγιση βρίσκει i = 37%.Επειδή 37% < 45% η 2 επίσης απορρίπτεται και η µηδενική γίνεται αποδεκτή. Αυτό σηµαίνει ότι η επένδυση είναι 45%. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την διαδικασία: Κόστος Ευκαιρίας (%) (%) (%) i I (2-) Απόφαση 30 4 32 2 35 4 32 40 4 32 (2-0) 45 4 37 0 9- Πίνακας συγκρίσεων µε βάση τα δεδοµένα 9.6 ΕΒΑ και η µέθοδος της παρούσας αξίας Η µέθοδος του ΕΒΑ αµφισβητήθηκε από αρκετούς, διότι τα αποτελέσµατα της δεν συµφωνούσαν πάντα µε αυτά της µεθόδου της παρούσας αξίας. Η λανθασµένη αυτή εκτίµηση οφείλεται στο γεγονός της µη σωστής χρήσης της µεθόδου. Η διαδικασία επιλογής µιας εναλλακτικής µε βάση το µεγαλύτερο ΕΒΑ θα οδηγήσει σε εσφαλµένη απόφαση. Όπως είδαµε και προηγούµενα, όταν εξετάζουµε αµοιβαία αποκλειόµενες εναλλακτικές λύσεις, είναι απαραίτητη η οριακή ανάλυση. 9.6. Παράδειγµα Έστω δύο αµοιβαία αποκλειόµενες λύσεις Α και Β: Α 4.000 3.000 Β 5.000 0 2 0 2 9.000 5.000 ιάγραµµα 9-2 : Λύση Α 0.000 ιάγραµµα 9-3 : Λύση Β 36

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης Ο ΕΒΑ της Α είναι: i A = 27,2%, ενώ αντίστοιχα της Β είναι: i B = 23,%, και του οριακού Β-Α χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: i (B-A) = 20%. Αν υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου είναι: i* = 0%, τότε ποια από τις δύο λύσεις πρέπει να επιλεγεί; Λύση Πολύ εύκολα κάποιος µπορεί να επιλέξει την Α διότι έχει µεγαλύτερο ΕΒΑ, όµως αυτή η απόφαση θα ήταν λάθος. Αυτό το βλέπει κανείς από το γεγονός ότι για i*=0% η παρούσα αξία της Β είναι µεγαλύτερη από αυτή της Α: PW B =,983 > PW A =,6 Το λάθος έγινε διότι αγνοήσαµε τον ΕΒΑ του οριακού µεταξύ τους χρηµατοχρονοδιαγράµµατος, δηλαδή του Β-Α, όπως θα έπρεπε. Πράγµατι, ο ΕΒΑ του Β-Α είναι:20%. Αυτό σηµαίνει ότι εφόσον η Α ικανοποιεί το πρόβληµα, δηλαδή i A =27,2% > 0%, και εφόσον i (B-A) =20%>0% η Β πρέπει τελικά να επιλεγεί. Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα είναι σύµφωνο και µε το κριτήριο της παρούσας αξίας αφού PW B-A) @ 0%= 0,867 > 0. Άρα δεν τίθεται θέµα υπεροχής της µιας µεθόδου έναντι της άλλης, όπως εσφαλµένα, υποστηρίζεται από πολλούς συγγραφείς. 9.7 Η περίπτωση ίσων αρχικών επενδύσεων Για την εφαρµογή της µεθόδου του ΕΒΑ σε αµοιβαία αποκλειόµενες λύσεις ίσων αρχικών επενδύσεων, απαιτούνται κάποιοι ειδικοί χειρισµοί. Έχει παρατηρηθεί, ότι εάν οι εναλλακτικές ληφθούν µε µια σειρά, η απόφαση θα είναι σωστή. Αν ληφθούν µε διαφορετική σειρά, η απόφαση θα είναι λανθασµένη. Ο D.R.Bergmann απέδειξε πώς στις περιπτώσεις αυτές οι λύσεις θα πρέπει να διατάσσονται µε τέτοιο τρόπο ώστε κατά την οριακή σύγκριση τους να προκύπτει χρηµατοχρονοδιάγραµµα όπου η πρώτη χρηµατοροή θα είναι αρνητική. 9.7. Παράδειγµα Έστω δύο λύσεις Α και Β: Y A B B-A A-B 0-00 -00 0 0 20 70 50-50 2 40 50 0-0 3 60 40-20 20 4 80 20-60 60 9-4 Πίνακας δεδοµένων Ας υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας είναι: i*=0%.ποιά λύση θα πρέπει να επιλεγεί; 37

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας Λύση Αν εφαρµόσουµε τη µέθοδο του ΕΒΑ και ξεκινήσουµε από την Α θα έχουµε: i A =27% > 0%. Επίσης: i (B-A) =% Άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Β. Αν τώρα ξεκινήσουµε από την Β θα έχουµε: i B =36% > 0% και i (Α-Β) =% > 0% Άρα θα πρέπει να επιλεγεί η Α. Αν, τέλος, επιλέξουµε την Β επειδή έχει µεγαλύτερο ΕΒΑ δεν είµαστε σύµφωνοι µε το κριτήριο της παρούσας αξίας, αφού PW A για 0%=50,9 ενώ PW B για 0%=48,4 που σηµαίνει ότι πρέπει να επιλέξουµε την Α. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Bergmann στη προκειµένη περίπτωση βλέπουµε ότι πρέπει να ξεκινήσουµε από την Β καταλήγοντας στο συµπέρασµα ότι επιλέγουµε την Α. Το αποτέλεσµα αυτό είναι σύµφωνο µε εκείνο που προκύπτει από την εφαρµογή της παρούσας αξίας. 9.8 Βαθµός απόδοσης ενός οµολόγου Η αγορά ενός οµολόγου γίνεται συχνά σε µια τιµή χαµηλότερη από την ονοµαστική του. Όταν αυτό συµβαίνει, ο βαθµός απόδοσης του οµολόγου δεν είναι ο ίδιος µε τον εσωτερικό βαθµό απόδοσης της επένδυσης του οµολόγου. Κάνοντας την ερώτηση: Θα πρέπει να αγοράσω αυτό το οµόλογο; είναι ίδια µε: Πώς ο ΕΒΑ του οµολόγου συγκρίνεται µε το προσωπικό κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου για επενδύσεις µε τον ίδιο κίνδυνο; 9.8. Παράδειγµα Σκεφτόµαστε την αγορά ενός οµολόγου στην τιµή του.425.000 δρχ. Το οµόλογο έχει ονοµαστική τιµή.500.000 δρχ. και απόδοση 0%, µε επιτόκιο που αποδίδεται εξαµηνιαίως σε χρονικό ορίζοντα 20 ετών. Ποιος ο ΕΒΑ του οµολόγου; Λύση Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα του οµολόγου είναι το ακόλουθο:.500.000 60.000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 37 38 39 40.425.000.00 20.000.000 ιάγραµµα 9-5 Χρηµατο-χρονοδιάγραµµα οµολόγου Ο ΕΒΑ βρίσκεται µε την µέθοδο δοκιµής-σφάλµατος και έχουµε: -.425.000 + 60.000(P/A,i,40) +.500.000(P/F,i,40) = 0 38

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης i =4,26% Αυτός είναι ο ΕΒΑ ανά περίοδο. Η ονοµαστική τιµή του ΕΒΑ ανά έτος είναι: r = (2)(4,26) = 8,53% µικρότερο του 0%. Άρα η επένδυση του οµολόγου απορρίπτεται. 9.9 Πολλαπλοί βαθµοί απόδοσης (Multiple Rates of Return) Υπάρχουν περιπτώσεις όπου σ ένα χρηµατο-χρονοδιάγραµµα, εµφανίζονται περισσότερες από µια τιµές του ΕΒΑ. Για αρκετό καιρό το φαινόµενο αυτό εξεταζόταν σε θεωρητικό επίπεδο, καθώς οι πρακτικές του εφαρµογές περιορίζονταν κυρίως σε περιπτώσεις εξορυκτικών έργων. Τελευταία έχει αναγνωριστεί πως το θέµα των πολλαπλών ΕΒΑ έχει ευρεία εφαρµοστικότητα. Πιθανές περιπτώσεις εµφάνισης πολλαπλών ΕΒΑ είναι ακόµα κατά την οριακή ανάλυση λύσεων και την σεναριακή εξέταση µιας επένδυσης. Έχει παρατηρηθεί ότι σ ένα χρηµατο-χρονοδιάγραµµα υπάρχουν τόσοι ΕΒΑ (θετικοί, αρνητικοί, φανταστικοί), όσες είναι οι διακυµάνσεις του σήµατος του. Για Παράδειγµα παρατηρούµε ότι στο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Α) του σχήµατος που ακολουθεί, έχουµε δυο αλλαγές σήµατος, άρα πρέπει να περιµένουµε και δυο τιµές του ΕΒΑ. Στο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Β), αντίστοιχα θα υπάρχουν τρεις τιµές του ΕΒΑ. Το δίληµµα είναι τώρα ποιος από αυτούς θα πρέπει να επιλεγεί. (Α).500 3.000 0 2 3 4 (Β) 2.000 3.000 0 2 3 4 3.500 4.000.500 2.500 4.000 2.000 ιάγραµµα 9-6 : Λύση Α ιάγραµµα 9-7 : Λύση Β 9.9. Ο κανόνας των σηµείων του Descartes Η εξίσωση της παρούσας άξιας ενός χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: ή PW= -P+ A t (P/F,I,t) 39

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας -P+A + A 2 2 + + A =0 + i + i + i όπου Αj, j=,2,..ν µπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά ποσά, ενώ το P είναι η αρχική επένδυση, P >0. Αν αντικαταστήσουµε το /(+i)=x τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: -P+ A x+ A 2 x 2 +.+ A x = f(x) Ο κανόνας του Descartes µας πληροφορεί ότι: αν σε µια εξίσωση f(x) υπάρχει µια αλλαγή πρόσηµου τότε υπάρχει µόνο µια θετική (πραγµατική) λύση. Γενικά:. Αν το έχει 2m+, µ=0,,2, αλλαγές πρόσηµου, είναι δυνατόν να έχει:,3,,2m+ θετικές λύσεις. 2. Αν το f(x) έχει 2m+2, m=0,,2, αλλαγές πρόσηµου, είναι δυνατόν να έχει: 0,2,4,,2m+2 θετικές λύσεις. 9.9.. Παρατηρήσεις. Η περίπτωση µιας αλλαγής πρόσηµου είναι η πιο συνηθισµένη. 2. Παρατηρούµε ότι θετική τιµή του x δεν σηµαίνει και θετική τιµή για το.i =(-x)/x 3. Ο κανόνας του Descartes αφορά πολυώνυµα και όχι χρηµατοχρονοδιαγράµµατα. 9.9.2 Η συνθήκη του ostrom Ο ostrom απέδειξε ότι ένα διάγραµµα µε συντελεστές (P,A,A 2,,A ) µε συσσωρευτικό διάγραµµα (P,P+A,P+A +A 2..+P+ Ai) έχει µια µοναδική θετική λύση ΕΒΑ, εφόσον το συσσωρευτικό διάγραµµα έχει µια αλλαγή πρόσηµου και ο τελευταίος του συντελεστής είναι µη µηδενικός, δηλαδή: P+ Ai=0 Η παραπάνω συνθήκη είναι µόνο ικανή και όχι αναγκαία. 9.9.3 Παράδειγµα Θεωρούµε το ακόλουθο χρηµατο-χρονοδιάγραµµα 40

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης 0.000.000 0.. 0.. 20 6.000 2.000 ιάγραµµα 9-8 : Χρηµατοροές Παρατηρούµε ότι το διάγραµµα αυτό ικανοποιεί τη συνθήκη του ostrom αφού: Αρχικό διάγραµµα: -6,,,,,,,,,,9,,,,,,,,,,- Συσσωρευτικό: -6,-4,-3,-2,-,0,,0,,2,3,4,5,6,7,8,9,20,2,20=0 9.0 Παράδειγµα Η παραπάνω ευκαιρία παρουσιάζεται σ'ένα Μηχανικό Ορυκτών Πόρων (ΜΟΠ) : Υπογραφή σύµβασης βάσει της οποίας αναλαµβάνει την υποχρέωση κατά τα επόµενα δύο χρόνια να ασχοληθεί µε την εξόρυξη κάποιου ορυκτού από ένα ορυχείο που είναι από χρόνια εγκαταλελειµένο. Ο ιδιοκτήτης του ορυχείου είναι διατεθειµένος να διαθέσει προς τον ΜΟΠ άµεσα 00 εκατ. δρχ. Σ'αντάλλαγµα ζητά πληρωµή 400 εκατ. δρχ. σ'ένα χρόνο και τίποτα άλλο. Επίσης στα πλαίσια της συµφωνίας αυτής ο ιδιοκτήτης παραχωρεί µετά την λήξη του πρώτου χρόνου το ορυχείο στον ΜΟΠ. Εδώ θάπρεπε να τονισθεί ότι εκτός από τα 400 εκατ. ο ΜΟΠ προσδιορίζει ότι θα του στοιχίσει άλλα 400 εκατ. η λειτουργία του ορυχείου κατά τον πρώτο χρόνο (µείον τις εισπράξεις). Τέλος, ο ΜΟΠ εκτιµά ότι κατά τον δεύτερο χρόνο θα µπορέσει να αποκοµίσει καθαρό κέρδος 200 εκατ. από εισπράξεις και πώληση του ορυχείου. Ποιός είναι ο ΕΒΑ της συµφωνίας αυτή; Το χρηµατο-χρονοδιάγραµµα (Χ - Χ) είναι : Υ Χ - Χ (εκατ. δρχ.) 0 00-800 2 +,200 Το προφίλ (της παρούσας αξίας) του παραπάνω χρηµατο-χρονοδιαγράµµατος είναι: 4

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας PW 00 500 i Προφανώς υπάρχουν δύο τιµές επιτοκίου για τις οποίες PW = 0, i = 00% και i 2 = 500%.Τί σηµαίνουν όµως; Τί θάπρεπε να κάνει ο ΜΟΠ; Πριν συνεχίσουµε θάπρεπε να παρατηρήσουµε ότι ο ΜΟΠ δεν προσδιορίζει a-priori κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου (opportunity cost of capital) - i*. Αυτή είναι πολύ σηµαντική παρατήρηση διότι µη υπάρχοντος i* υπολογισµός της Παρούσας ή Ετήσιας Αξίας (και κατά συνέπεια του λόγου οφέλους/κόστους ή του ΕΒΑ) δεν έχει νόηµα ή µε άλλα λόγια δεν είναι δυνατόν να παρέχει σηµαντική για το πρόβληµα πληροφορία. Πέρα απ'αυτό και αφού οι "άγνωστοι του προβλήµατος είναι δύο" θα καταφύγουµε στην λογική µε την οποία µπορεί να λυθεί η εξίσωση x+y=a (άγνωστοι x, y). Ο µόνος τρόπος λύσης της εξίσωσης αυτής είναι η παραµετρική προσέγγιση του ενός αγνώστου σαν συνάρτηση του άλλου, π.χ. x=a-y. Πράγµατι θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε τα 00 εκατ. δρχ. που εισπράττει ο ΜΟΠ µε την υπογραφή της συµφωνίας σαν δάνειο (µε την έννοια ότι δεν χρειάζεται να δανεισθεί τα χρήµατα αυτά από αλλού). Αν υποθέσουµε ότι το ανώτερο επιτόκιο δανεισµού που θα ήταν αποδεκτό από τον ΜΟΠ είναι 25% (το y της υπόθεσης) τότε η οριακή απόδοση της συµφωνίας που πρόκειται να εµπλακεί ο ΜΟΠ είναι 78% που υπολογίζεται ως εξής : 42

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης 00 00(+0.25) 200 0 2 ÖÁÓÇ "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Õ" ÖÁÓÇ "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇÓ" 800 800-00(+0.25) = 675-675+200(P/F,i,)=0 Þ / (+i) = 0.5625 Þ i = 78 % Ο ΜΟΠ θάπρεπε να εµπλακεί µε την συµφωνία εφόσον θεωρεί ότι η απόδοση του 78% είναι ικανοποιητική. Π.χ., θάπρεπε να συγκρίνει την συµφωνία αυτή µε µία εναλλακτική επιλογή απασχόλησης, ας πούµε έναντι 2,000,000 τον χρόνο (καθαρές αποδοχές). Από την άλλη µεριά στο τέλος των δύο χρόνων θα έχει συσσωρεύσει :,200 χιλ. ρχ. µείον (800-96) (*υποθέτουµε ότι καταναλίσκει 2 εκατ. ρχ. τον χρόνο) µείον 76 (25% τόκος στις 800-96 που πρέπει να δανεισθεί),συνολο: 320 εκατ. δρχ. 200 /.75 200 2 800 Προκύπτει επιτόκιο δανεισµού 4%. 43

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 00 0 800-686=4 Το πρόβληµα θα µπορούσε να λυθεί και αντίστροφα ξεκινώντας από το τέλος, δηλ. την φάση της επένδυσης. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι ο ΜΟΠ προσδιορίζει ελάχιστο βαθµό απόδοσης 75%. Στην περίπτωση αυτή ο ΜΟΠ θα επιλέξει την συµφωνία εφόσον το επιτόκιο δανεισµού που προκύπτει είναι µικρότερο από το ανώτερο που είναι διατεθειµένος να επωµισθεί. 9. Παράδειγµα Εξετάζεται το ενδεχόµενο επένδυσης όπου σύµφωνα µε την εξέλιξη ενός σεναρίου "να πάνε όλα άσχηµα" το χρηµατοχρονοδιάγραµµα και το προφίλ αναµένεται ότι θα είναι : 25,000 0 2 4,000 25,000 PW 400 i 25-4,000 44

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης Ας υποθέσουµε ότι το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου i* της εταιρείας που εξετάζει την επένδυση είναι 30%. Προφανώς το 30% αντιπροσωπεύει και το µέγιστο αποδεκτό επιτόκιο εσωτερικού δανεισµού µέσα στην επιχείρηση. Εφόσον υπάρχουν εναλλακτικές ευκαιρίες επένδυσης µέσα στην επιχείρηση το 30% αντιπροσωπεύει το επιτόκιο δανεισµού κεφαλαίων µέσα στην επιχείρηση. Η λογική που διέπει την ανάλυση αυτή είναι ότι δεν έχει νόηµα να "δανεισθεί" ένας τοµέας της επιχείρησης κεφάλαια µε επιτόκιο µεγαλύτερο από 30% διότι αυτό είναι το κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου της επιχείρησης που σηµαίνει ότι τα διαθέσιµα κεφάλαια µπορεί να επενδυθούν µε 30%. Πράγµατι, 25,000 9,800 Ðñï ê ýðôåé åðéôüê éï äáíåéóìïý ßóï ìå 26 % 0 2 4,000 4,000 (+0.3) "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇ " "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Ó" 25,000 Η επένδυση ακόµη "και όταν όλα πάνε άσχηµα" είναι οικονοµικά συµφέρουσα. Αν αναλύαµε την κατάσταση ξεκινώντας από την φάση του ανεισµού έχουµε : 45

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 5,769 25,000 0 2 4,000 25,000 / (+0.30) "ÅÐÅÍ ÄÕÓÇ" "ÄÁÍ ÅÉÓÌ Ï Ó" 25,000 Τώρα προκύπτει οριακή απόδοση του επενδεδυµένου κεφαλαίου ίση µε 44%. Και πάλι η επένδυση είναι οικονοµικά συµφέρουσα. Ποιό θα ήταν το αποτέλεσµα αν το i* αντί 30% ήταν (α) 20%, (β) 50%, (γ) 200. Τα αποτελέσµατα θα ήταν (ξεκινώντας από την φάση της επένδυσης) : i* Προκύπτον επιτόκιο δανεισµού Απόφαση 20% 24% ΟΧΙ 50% 32% ΝΑΙ 200% 92% ΝΑΙ Παρατηρείστε ότι τα παραπάνω αποτελέσµατα είναι σύµφωνα και µε τα αντίστοιχα που προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου της Παρούσας Αξίας, όπως φαίνεται και από το προφίλ του χρηµατοχρονοδιαγράµµατος. Πράγµατι, PW για 20% = -528 PW για 30% = 438 PW για 50% =,556 PW για 200% =,556 Τελικά τί συµπέρασµα µπορεί να βγάλει κανείς διευρύνοντας τα αποτελέσµατα των παραδειγµάτων 8.5 & 8.6.. Εφόσον δεν υφίσταται i* (κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου) το προφίλ του χρηµατοχρονοδιαγράµµατος δεν παρέχει χρήσιµες για την λύση του προβλήµατος πληροφορίες. Αυτό ισχύει γενικώτερα, δηλαδή και σε περιπτώσεις διαγραµµάτων µε µία αλλαγή προσήµου. Η οποιαδήποτε απόφαση θα στηριχθεί στις παρακάτω συγκρίσεις : Η επένδυση είναι οικονοµικά συµφέρουσα εφόσον : α. {Η οριακή απόδοση} {Αναµενόµενη ελάχιστη απόδοση} ή β. {Το προκύπτον επιτόκιο δανεισµού} {Μέγιστο επιτρεπόµενο απόδοση} 2. Εφόσον υπάρχει i* (κόστος ευκαιρίας κεφαλαίου) το προφίλ του διαγράµµατος αποτελεί οδηγό για τη λύση του προβλήµατος. Αν για λόγους απλοποίησης της παρουσίασης 46

Εσωτερικός Βαθµός Απόδοσης περιοριστούµε στην περίπτωση όπου υπάρχουν 2 λύσεις i και i 2 και σε αντιστοιχία µε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις έχουµε : Η λύση είναι αποδεκτή εφόσον : 0 i* i και i 2 ι* PW (á) i i i 2 Η λύση είναι αποδεκτή εφόσον : i i* i 2 PW (â) i i 2 i 3. Σύµφωνα µε την παραπάνω θεώρηση παρατηρείτε ότι οι µέθοδοι της Παρούσης Αξίας και του ΕΒΑ συµφωνούν απόλυτα µεταξύ τους. Πάλι, λοιπόν, δεν τίθεται θέµα "υπεροχής" της µιας έναντι της άλλης. 9.2 Προβλήµατα 9. Υποστηρίζεται από πολλούς συγγραφείς ότι το ελάχιστο ζητούµενο προκειµένου µια επένδυση να είναι οικονοµικά συµφέρουσα είναι η Παρούσα Αξία της για i* = 0 να είναι θετική. Συµφωνείτε; Γιατί, γιατί όχι. 9.2 Να λυθεί το Παράδειγµα 5..2 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 9.3 Να λυθεί η 'Ασκηση 5.2 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 9.4 Να λυθεί η 'Ασκηση 8.6 µε την µέθοδο του ΕΒΑ. 47

Β.Μουστάκης - Γ. ούνιας 9.5 Στα πλαίσια της σύναψης συµβολαίου ετήσιας συντήρησης ενός υπολογιστικού συστήµατος για τα επόµενα έξι χρόνια υπάρχουν δύο προτάσεις (µεταξύ τους τεχνικά ισοδύναµες). Αν το i* = 5% ποιά πρόταση θάπρεπε να επιλεγεί. Χρησιµοποιήσατε την µέθοδο του ΕΒΑ. (χιλιάδες δρχ.) Χρόνος ΠΡΟΤΑΣΗ Α ΠΡΟΤΑΣΗ Β 500 500 2 000 500 3 500 500 4 2000 500 5 2500 500 6 3000 500 9.6 Στα πλαίσια της χάραξης πολιτικής για την εξόρυξη κάποιου µετάλλου προτείνονται δύο λύσεις, Α και Β, για τα επόµενα 0 χρόνια (=ορίζοντας προγραµµατισµού). (εκατ. δρχ.) Χρόνος Α Β 0-00 -22 00 2 00 3 50 50 4 50 50 5 50 50 6 50 50 7 50 50 8 50 50 9 50 50 0 50 90 Χρησιµοποιείστε την µέθοδο του ΕΒΑ. Ποιά από τις δύο λύσεις θάπρεπε να επιλεγεί αν : () i* = 0%, (2) i* = 25%, (3) i* = 50%. 48