Ένα κυβικό δοχείο ακµής α, είναι γεµάτο νερό και τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος (σχ. 13).

Ένα κυβικό δοχείο ακµής α, είναι γεµάτο νερό και τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος σχ. 3). i) Εάν στο κέντρο Ο µιας έδρας του δοχείου ανοίξουµε µικρή κυκλική οπή εµβαδού S, ποιο πρέπει να είναι το µήκος της ακµής του δοχεί ου, ώστε µε την εκτίναξη της υδάτινης φλέβας που θα προκύψει να επίκειται η χωρίς ολίσθηση ανατροπή του κύβου; ii) Για ποιές τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ του δοχείου και της επιφάνειας στήριξής του αποφεύγεται η ολίσθησή του; Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και η συνολική µάζα m του συστή µατος δοχείο-νερό. ΛΥΣΗ: i) Aν δεχθούµε ότι µε το άνοιγµα της µικρής κυκλικής οπής S<<α ) η δηµιουργούµενη εντός του δοχείου ροή του νερού είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές, τότε το µέτρο της οριζόντιας ταχύτητας εκροής v του νερού θα υπολογίζεται µε βάση το θεώρηµα Τοricelli, δηλαδή από την σχέση: v g/ g ) όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Ακόµη για να απλοποιήσουµε τους υπολο γισµούς µας θα δεχθούµε ότι κάθε στοιχειώδης µάζα dm νερού που εξέρχεται από την οπή, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+, έχει την στιγµή t περί που µηδενική ταχύτητα, που σηµαίνει ότι η µεταβολή της ορµής της στον χρόνο είναι: d P dm v dv v d P Sv v ) Σύµφωνα µε τον ο νόµο κίνησης του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, νόµος µεταβολής της ορµής) η µάζα dm δέχεται από την υπόλοιπη µάζα του νερού δυναµη F, για την οποία ισχύει: F d ) P F Sv v Sv v 3) Kατά το αξίωµα της ισοτητας δράσης-αντίδρασης η εκτοξευόµενη µάζα dm ασκεί επί του νερού δύναµη F αντίθετη της F, δηλαδή θα ισχύει: 3) F - F F -"Sv v δηλαδή η F είναι αντίρροπή της v και το µέτρο της είναι: ) F "Svv "Sv F "gs# 4) Eξετάζοντας µετά το άνοιγµα της οπής το σύστηµα δοχείο-νερό, αναγνωρίζουµε ότι δέχεται το βάρος του w, την F και την αντίδραση του οριζόντιου εδάφους

που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την τριβή T σχ. 3). Με την προυπόθεση ότι το δοχείο δεν ολισθαίνει και ότι επίκειται η ανατροπή του περί την ακµή του Α, τότε η τριβή θα είναι στατική και ο φορέας της θα διέρχεται από την ακµή Α, λόγω δε της οριακής ισορροπίας του συστήµατος το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών, περί την ακµή Α, όλων των δυνάµεων θα είναι µηδέν, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: Σχήµα 3 4) " A ) 0 F " / w" / gs" mg m/gs 5) ii) Eφ όσον απαιτούµε το δοχείο να µη ολισθαίνει, πρέπει το µέτρο της T να ικανοποιεί τις σχέσεις: T F " # T < nn$ 4) T gs" T < nmg # $ 5) gs" < nmg gs"m/gs < nmg n > όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δοχείου και εδάφους. P.M. fysikos To δοχείο του σχήµατος 4) περιέχει αέριο πυκνό τητος ρ, το οποίο µπορεί να εκτοξεύεται κατά µήκος του δοχείου από µια µικρή οπή εµβαδού S, που βρίσκεται σ ένα πλευρικό του τοίχω µα. Το δοχείο έχει µάζα M και αρχικά συγκρατείται επί λείου κεκλι µένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, εφαπτόµενο αυτού. Κάποια στιγµή αρχίζει η εκτόξευση του αερίου προς τα κάτω, µε την βοήθεια µιας µικρής ηλεκτροκίνητης αεραντλίας που είναι στερεωµένη στο εσωτε ρικό του δοχείου και τότε διαπιστώνεται ότι το δοχείο ηρεµεί, όταν αφεθεί ελεύθερο. Να βρεθεί η ισχύς του ηλεκτροκινητήρα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εκτοξεύε ται µια µάζα dm αερίου µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το κεκλιµένο επίπεδο. Επειδή το δοχείο είναι ακίνητο η µεταβολή d P

της ορµής της µάζας αυτής είναι ίση µε dm v και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή η µάζα dm δέχε ται από τα πτερύγια της αεραντλίας δύναµη F, για την οποία ισχύει η σχέση: F d P dm v " v dv Όµως ο όγκος dv της εκτοξευόµενης µάζας dm περιέχεται σε κύλινδρο µε βάση S και ύψος v, οπότε η σχέση ) γράφεται: F " v Sv "Sv v ) ) Σχήµα 4 Συµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης η µάζα dm εξασκεί στα πτερύγια της αερανλίας δηλαδή στο δοχείο) δύναµη F αντίθετη της F, οπότε θα έχουµε: F - F ) F -Sv v F Svv Sv 3) Όµως το δοχείο εκτός από την δύναµη F δέχεται ακόµη το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y και την αντίδραση N του λείου κεκλιµένου επιπέδου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο. Επειδή το δοχείο ηρε µεί η N εξουδετερώνει την w y και η w x την F. Έτσι θα έχουµε: 3) w x F Mgµ" #Sv v Mgµ" /#S 4) Εάν N είναι η ισχύς της αεραντίας, θα ισχύει: N dmv / v dv v Sv Sv3 4) N S Mg"µ# S Mg"µ# S Mg"µ# Mg"µ# S P.M. fysikos

O αέρας που περιέχεται στο δοχείο του σχήµατος 5) βρίσκεται υπό υπερπίεση ΔP σε σχέση µε τον ατµοσφαιρικό αέ ρα. Tο ύψος της ελεύθερης επιφάνειας του νερού από το στόµιο του κρουνού είναι h ο δε λόγος, των εµβαδών των διατοµών δοχείου και κρουνού είνα λ>. Nα βρεθεί το ύψος της κατακόρυφης υδάτινης φλέβας που θα δηµιουργηθεί, εάν ανοίξουµε τον κρουνό. Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας η δε ροή του νερού εντος του δοχείου και εντός του αέρα θα θεωρήθεί ασυµπίεστη, µόνιµη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας τον νόµο του ernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής A, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επί πεδο που διέρχεται από το στόµιο Β του κρουνού εκροής του νερού, θα έχουµε: P + "P + #gh + #v A / P + #v / P + "gh + "v A / "v / ) όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση και v A, v οι ταχύτητες ροής του νερού στα ση µεία Α και Β αντιστοίχως. Όµως από τον νόµο της συνέχειας παίρνουµε την σχέση: S v A S " v v A S / S " )v v /# ) Σχήµα 5 όπου S δ, S κ τα εµβαδά διατοµής του δοχείου και του στοµίου του κρουνού αντι στοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: P + "gh + "v /# "v / P + "gh) "v + /# ) v " + /# ) P + "gh P + "gh)# " # + 3) Eφαρµόζοντας εκ νέου τον νόµο ernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής Γ, όπου Γ το ανώτατο σηµείο ανόδου του νερού, θα έχουµε:

v " 0 P + "v / P + "v # / + "gh max 3) v gh max P + "gh)# " # + gh max h max P + "gh)# "g # + όπου h max το ζητούµενο µέγιστο ύψος που θα φθάσει το νερό. P.M. fysikos Δύο κυλινδρικά δοχεία Α και Β µε αντίστοιχες δια τοµές S, S συγκοινωνούν στην βάση τους, µέσω οριζόντιου σωλήνα αµελητέου όγκου, που φέρει στρόφιγγα αρχικά κλειστή. Προσθέτουµε στα δύο δοχεία υγρό πυκνότητας ρ φροντίζοντας να δηµιουργηθεί διαφορά ύψους h στις ελεύθερες επιφάνειες του υγρού στα δοχεία και κατόπιν ανοίγουµε την στρόφιγγα. i) Να βρεθούν οι ταχύτητες ροής του υγρού στα δύο δοχεία την στιγ µή που η στάθµη του βρίσκεται στην θέση ισορροπίας της. ii) Aν κατά την στιγµή αυτή εφαρµόσουµε τον νόµο ernoulli θα καταλήξουµε για τις ταχύτητες αυτές σε σωστό συµπέρασµα; Το υγρό θεωρείται ασυµπίεστο, απαλλαγµένο εωτερικής τριβής, η δε τριβή του µε τα τοιχώµατα των δοχείων είναι αµελήτέα. ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας του συστήµατος οι ελεύθερες επιφάνειες του υγρού στα δύο δοχεία βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ε), που απέχει από την βάση τους απόσταση h 0 η οποία θα βρεθεί από την µάζα m του υγρού, µέσω της σχέσεως: m S h 0 + S h 0 h 0 S + S ) h 0 m/ S + S ) ) Πριν ανοίξει η στρόφιγγα η ελευθερη επιφάνεια του υγρού στο µεν δοχείο Α βρίσκεται πάνω από το επίπεδο ε) σε απόσταση h στο δε δοχείο Β κάτω από το επίπεδο αυτό σε απόσταση h και ισχύει: h + h h ) Λόγω της ασυµπιεστότητος του υγρού θα ισχύει ακόµη η σχέση: h S h S 3) Συνδυάζοντας τις ) και 3) παίρνουµε: h hs / S + S " h hs / S + S # 4)

Την χρονική στιγµή που το σύστηµα βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά αφότου άνοιξε η στρόφιγγα, η µεν στήλη του υγρού στο δοχείο Α θα κατέρχεται µε ταχύτητα έστω v, η δε στήλη του υγρού στο δοχείο Β θα ανέρχεται έστω µε ταχύτητα v και η κινητική ενέργεια του υγρού θα είναι: Σχήµα 6 Σχήµα 7 K "#$ m v + m v S h $v 0 + S h $v 0 5) K "#$ h $ 0 S v + S v Επειδή η ροή του υγρού είναι ασυµπίεστη θα ισχύει: S v S v v S v / S η οποία συνδυαζόµενη µε την 5) δίνει: K "#$ h 0$ S v + S S ) v ' * S ) K "#$ m$s v $ S + S + S ' * ms v 6) ) S S Εφαρµόζοντας για το υγρό το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως ισορροπίας του, παίρνουµε: K "# + U "# K $" + U $" U "# K $" + U $" 7) H αρχική βαρυτική δυναµική ενέργεια U αρχ του υγρού, ως προς επίπεδο αναφο ράς την βάση των δύο δοχείων, είναι: U "# M g h +h 0 ) + M g h -h 0 ) S "g h +h 0 ) + S "g h -h 0 ) 8) όπου Μ, Μ οι µάζες του υγρού στα δοχεία Α και Β αντιστοίχως πριν ανοίξει η στρόφιγγα. Η 8) µε βάση τις σχέσεις ) και ) γράφεται:

U "# S "g $ m " S + S ' ) S + S ) + hs + S "g $ m " S + S ' ) S + S ) - hs U "# S "g $ m S + S ) " + hs ' ) S + "g S + S m $ " - hs ' ) "g U "# S + S $ m "g U "# S + S $ m "g U "# S + S S +h S " S + ms S h' " ) + $ m S +h S " S - ms S h' " ) " +h S + S S + S ' S S ) ) $ m ' " +h S S ) 9) Η αντίστοιχη βαρυτική δυναµική ενέργεια U ισορ του ύγρου στην θέση ισορρο πίας του είναι: U "#$ M gh 0 + M gh 0 gh 0 M +M ) gh m 0 ) U "#$ gm m $ S + S ) m g $ S + S 0) Η 7) µε βάση τις 6),9) και 0) δίνει: g S + S " m $ +h S S ' ms v m g + # S S + S gh S S ms v v S + S S gh S m S + S v hs g m S + S οπότε το µέτρο της v θα είναι: v S g hs S m S + S hs g m S + S ) )

ii) Ας δεχθούµε ότι κατά την ροή του υγρού στα δύο δοχεία ισχύει ο νόµος του ernulli και ας εφαρµόσουµε τον νόµο αυτόν κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής abcd του σχήµατος 7), την χρονική στιγµή που το υγρό διέρχεται από την θέση ισορροπίας του. Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε την σχέση: P a + v / + 0 P d + v / + 0 P "µ + #v / P "µ + #v / v v η οποία αντιφάσκει προς την ασυµπιεστότητα του υγρού. Αυτό σηµαίνει ότι στην εξεταζόµενη ροή του υγρού δεν ισχύει ο νόµος του ernulli και τούτο διότι η ροή αυτή είναι µη µόνιµη, αφου σε κάθε σηµείου του χώρου ροής η ταχύτητα του υγρού µεταβάλλεται χρονικά. P.M. fysikos Tο άκρο M της οµογενούς ράβδου MO του σχήµα τος 8) έχει διαµορφωθεί κατάλληλα, ώστε, όταν σ αυτό προσκρούει λεπτή οριζόντια φλέβα νερού εµβαδού διατοµής σ, να ανακλάται προς τα κάτω και να γίνεται κατακόρυφη, χωρίς απώλεια κινητικής ενέρ γειας. H ράβδος είναι αρθρωµένη στο άλλο της άκρο O σε οριζόντιο επίπεδο. Eάν η ταχύτητα της προσπίπτουσας φλέβας έχει µέτρο v, να βρεθεί η µάζα της ράβδου, όταν αυτή ισορροπεί υπό κλίση φ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Έστω ότι σ' ένα πολύ µικρό χρόνο 0) προσκρούει στο άκρο Μ της ράβδου µια στοιχειώδης µάζα dm νερού µε ταχύτητα v. H µεταβολή της ορµής της µάζας αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι -dm v, οπότε η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης κρούσεως που δέχεται από την ράβδο θα είναι ίση µε -dm/) v. Όµως σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Nεύτωνα, η Σχήµα 8 µάζα dm θα εξασκεί στο άκρο A της ράβδου οριζόντια δύναµη F οµόρροπη της v, µε µέτρο:

F dm $ # v " ' dv $ # v " F "v v "v Eξάλλου, η µάζα dm ανακλώµενη προς τα κάτω µε ταχύτητα v υφίσταται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση µεταβολή της ορµής της ίση µε dm v, οπότε η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης κρούσεως που δέχεται από το άκρο Μ της ράβδου ίση µε dm/) v. Έτσι θα εξασκεί στην ράβδο δύναµη F ίση προς -dm/) v, δηλαδή η F είναι αντίρροπη της v το δε µέτρο της θα είναι: F dm $ # v ' dv $ # v F "v v ) " " Όµως ισχύει v v v, οπότε οι σχέσεις ) και ) δίνουν: F F "v H ράβδος OA εκτός από τις δυνάµεις F, F δέχεται ακόµη το βάρος της w και την δύναµη A από την αρθρωση O, µε οριζόντια συνιστώσα A x και κατακόρυ φη συνιστώσα A y. Επειδή η ράβδος ισορροπεί, το αλγεβρικό άθροισµα των ρο πών περί το σηµείο O, όλων των δυνάµεων που δέχεται, είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: -F Lµ" + wlµ"/ - F L#$" 0 -F µ" + mgµ"/ - F #$" 0 3) mgµ" F #$" + F µ" ) mgµ" #$v $" + #$v µ" ) m "v g ' "#$ µ + µ * ), µ + m "v g "#$ + ) ) 3) όπου m η ζητούµενη µάζα της ράβδου και L το µήκος της. P.M. fysikos Φλέβα νερού προσπίπτει οριζοντίως στα πτερύγια ενός υδροστροβίλου µε ταχύτητα v, όπως φαίνεται στο σχήµα 9). H ταχύτητα v κάθε πτερυγίου κατά την στιγµή της πρόσκρουσης του νερού είναι οµόρροπη της v, µετά δε την κρούση δηµιουργούνται δύο ακριβώς όµοιες ανακλώµενες φλέβες που κινούνται αντίρροπα προς την v όλες οι ταχύτητες θεωρούνται ως προς το ακίνητο έδα

φος). Εάν η διατοµή της προσπίπτουσας φλέβας σε όλο το µήκος της έχει σταθερό εµβαδον S, να βρεθούν: i) η δύναµη που δέχεται κάθε πτερύγιο από το νερό και ii) ο µέγιστος ρυθµός προσφοράς υδραυλικής ενέργειας σε κάθε πτερύγιο. Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού, η ροή του οποίου θα θεωρηθεί ασυµ πίεστη και χωρίς τριβές και δεν λαµβάνεται υπ όψη η βαρύτητα. ΛYΣH: i) Έστω ότι πάνω σε κάθε πτερύγιο προσπίπτει µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ µια µάζα dm νερού µε ταχύτητα v και ανακλάται µε ταχύ τητα v. Η µεταβολή της ορµής της µάζας dm στον χρόνο είναι: d P dm v - dm v dm v - v ) ) Eφαρµόζοντας για την µάζα αυτή τον νόµο µεταβολής της ορµής παίρνουµε την σχέση: d P / F ) dm/) v - v ) F ) Σχήµα 9 όπου F η δύναµη κρούσεως* που δέχεται η µάζα dm από το αντίστοιχο πτερύ γιο. Όµως, σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Nεύτωνα αξίωµα ισότητας δράσηςαντίδρασης), η δύναµη F είναι αντίθετη της δύναµης F που δέχεται το πτερύ γιο από το νερό, οπότε η σχέση ) γράφεται: dm / ) v - v F " dm v - ----------------------------------- * Στην πραγµατικότητα η - v ) F 3) F αποτελεί την συνισταµένη δύο δυνάµεων, της δύνα µης επαφής από την κοιλότητα του πτερυγίου και της πιεστικής δύναµης από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Εάν όµως η ταχύτητα v είναι αρκετά µεγάλη, η δύναµη από τον αέρα είναι ασήµαντη σε σχέση µε την δύναµη επαφής και µπορεί να παραληφ θεί.

Από την διανυσµατική σχέση 3) προκύπτει ότι η δύναµη F έχει την φορά του διανύσµατος v - v, δηλαδή είναι οµόρροπη της ταχύτητας v. Θεωρώντας ως θετική φορά την φορά της προσπίπτουσας φλέβας, η 3) µετατρέπεται σε αλγεβ ρική σχέση που έχει την µορφή: dm v + v ) F 4) Eξάλλου, εφαρµόζοντας για την µάζα dm το θεώρηµα κινητικής ενέργειαςέργου παίρνουµε την σχέση: dmv - dmv 4) -F ds " F v + v ) dm/) dmv - v ) -dm v + v ) ds / ) v + v )v - v ) -v + v )v v v + v 5) όπου ds η µετατόπιση του πτερυγίου στον χρόνο. Συνδυάζοντας τις σχέσεις 4) και 5) παίρνουµε: F dm v + v + v ) F v + v 5) ) dm/) F v - v) dm/) 6) Όµως, στο χρόνο από κάθε διατοµή της προσπίπτουσας οριζόντιας φλέβας διέρχεται όγκος νερού Sv και στα πτερύγια προσπίπτει όγκος Sv -Sv, διότι στον χρόνο τα πτερύγια µετατοπίστηκαν οριζόντια κατά v. Έτσι θα έχουµε γιά την µάζα dm την σχέση: dm Sv - Sv) dm / S v - v) 7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 6) και 7) παίρνουµε: F "S v - v) 8) ii) O ρυθµός προσφοράς υδραυλικής ενέργειας στον υδροστρόβιλο είναι η ισχύς N της δύναµης F, για την οποία ισχύει η σχέση: 6) N F v N S v - v) v H ισχύς N γίνεται µέγιστη στην περίπτωση που το νερό ανακλάται µε µηδε νική ταχύτητα πάνω σε κάθε πτερύγιο, οπότε όλη η κινητική ενέργεια της προσπίπτουσας σε δεδοµένο χρόνο υδάτινης φλέβας θα µεταφέρεται στo πτε ρύγιo. Tότε θα έχουµε: 5) v 0 v - v 0 v v

και η µέγιστη αυτή ισχύς θα δίνεται από την σχέση: N max S v - v) v Sv 3 Παρατήρηση: Εάν εξετάσουµε στο σύστηµα αναφοράς του πτερυγίου τον όγκο του νε ρού που έχει επαφή µε τo πτερύγιο διακεκοµένη γραµµή σχ. 0) µπορούµε να ισχυριστούµε ότι στον όγκο αυτόν εισέρχεται νερό µε ταχύτητα v - v και εξέρχεται µε ταχύτητα v - v. Έαν dm είναι η µάζα του υγρού που εισέρχεται Σχήµα 0 στον όγκο αυτόν σ ένα στοιχειώδη χρόνο 0), τότε η αντίστοιχη εισερχόµενη στον όγκο ορµή είναι dm v - v ). Όµως στον χρόνο εξέρχεται από τον θεωρούµενο όγκο µάζα dm µε ταχύτητα v - v, οπότε η αντίστοιχη εξερχόµενη ορµή από τον όγκο θα είναι dm v - v ). Η µεταβολή d P της ορµής του όγκου στον χρόνο είναι: d P dm v - v )- dm v - v ) d P dm v - v ) 9) Εφαρµόζοντας για την ποσότητα του υγρού που περιέχεται στον όγκο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρνουµε: d P F 9) dv dm v - v ) F v ) v - v ) F " v - F 0) όπου dv ο όγκος του υγρού που αντιστοιχεί στην µάζα dm και Π η παροχή της προσπίπτουσας φλέβας στο σύστηµα αναφοράς του πτερυγίου, ενώ η δύναµη επαφής είναι πάλι F, λόγω της αρχής της σχετικότητας το σύστηµα αναφοράς του πτερυγίου είναι αδρανειακό). Όµως η παροχή Π είναι ίση µε Sv -v) oπότε η σχέση 0) γράφεται:

v - v ) - S v - v F S v - v v - v ) και µεταβαίνοντας σε αλγεβρικές τιµές παίρνουµε: S v - v) v +v ) F " ) Eξάλλου ο νόµος της συνέχειας µας επιτρέπει να γράψουµε ότι v -vv +v, δηλαδή v v -v και η ) γράφεται: F " S v - v) v +v - v) F " F "S v - v) κ.λ.π P.M. fysikos Στο δοχείο του σχήµατος ) περιέχεται ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ, στο δε στόµιο Β του κρουνού εκροής του δοχείου έχει συνδεθεί υδραντλία, η οποία εκτοξευει το υγρό κατακόρυφα. Εάν το µέγιστο ύψος στο οποίο φθάνει το υγρό είναι Η max, να βρεθεί η ωφέλιµη ισχύς της υδραντλίας. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας, η απόσταση h του στόµιου Β από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στο δοχείο, η παροχή Π της υδραντλίας και ότι η διατοµή του δοχείου είναι πολύ µεγαλύτερη της διατοµής του κρουνού. Η ροή του υγρού εκτος της υδραντλίας θα θεωρηθεί µόνιµη. ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας τον νόµο του ernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής A, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επί πεδο που διέρχεται από το στόµιο Β του κρουνού εκροής του νερού, θα έχουµε: P + "gh + "v A / P + "v / ) όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση, P η στατική πίεση του υγρού στο σηµείο εισό δου του Β στην υδρανλία και v A, v οι ταχύτητες ροής του στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως. Όµως η ταχύτητα ροής v A είναι πολύ µικρότερη κατά µέτρο της ταχύτητας v νόµος της συνέχειας), οπότε ο όρος ρv Α / µπορεί να παραλειφ θεί σε σχέση µε τον όρο ρv Β / και η σχέση ) γράφεται: P + "gh # P + "v / P - P "gh - "v / ) Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται στην υδραντλία µια µάζα dm υγού, οπότε στον χρόνο θα εξέρχεται ίση µάζα. Εάν dk είναι η αντίστοιχη µεταβολή της κινητικής ενέργειας του υγρού που περιέ χεται στην υδραντλία και dw * η αντίστοιχη ενέργεια που παρέχεται στο υγρό από τα πτερύγια της υδραντλίας, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα έργου-ενέργει ας θα έχουµε την σχέση: dk dw F + dw F + dw * 3)

όπου dw F, dw F τα έργα των πιεστικών δυνάµεων F, F στις άκρες εισόδου και εξόδου αντιστοίχως του νερού, στον χρόνο. Όµως για την ποσότητα dk ισχύει η σχέση: dk dmv / - dmv / 4) για δε τα έργα dw F, dw F έχουµε: Σχήµα dw F dw F F v P S v -F v -P " S v # $ 5) όπου S, S Γ τα εµβαδά των διατοµών εισόδου και εξόδου της αντλίας αντιστοί χως και v η ταχύτητα εξόδου του υγρού από την υδραντλία. Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3), 4) και 5) παίρνουµε: dmv / - dmv / P S v - P " S v + dw * dm v - v " $ # ' P S v - P S v + dw * " v # - v $ ' ) " P - P * + N * 6) όπου dv ο όγκος νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ τα πηλίκα dv/, dw * / εκφράζουν την παροχή Π και την ωφέλιµη ισχύ N * της αντλίας αντι στοίχως. Η 6) λόγω της ) γράφεται: " v # - v $ ' ) " gh - v / + N * " v # "gh + N * 7) Eφαρµόζοντας εκ νέου τον νόµο ernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής

ΓΔ, όπου Δ το ανώτατο σηµείο ανόδου του νερού, θα έχουµε: v " 0 P + "v # / P + "v $ / + "gh max v gh max 8) Η 7) λόγω της 8) γράφεται: "gh max "gh + N * N * "g H max - h) P.M. fysikos