5. Phương trình vi phân

5. Phương trình vi phân (Toán cao cấp 2 - Giải tích) Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle

Nội dung 1 Khái niệm Phương trình vi phân Bài toán Cauchy 2 Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li (tách biến) Phương trình vi phân với biến số phân li Phương trình đẳng cấp Phương trình dạng y = f (ax ( + by) ) ax + by + c Phương trình dạng y = f a 1 x + b 1 y + c 1 Phương trình vi phân tuyến tính 3 Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 4 Bài tập

Phương trình vi phân Định nghĩa phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình chứa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó. Ví dụ. xy (x) y(x) = 0, phương trình này có thể viết ở dạng ngắn gọn xy y = 0 hoặc dạng vi phân xdy ydx = 0 (do y = dy dx ). Một số khái niệm 1 Cấp (bậc) của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình. Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là F(x, y(x), y (x), y (x),..., y (n) (x)) = 0 trong đó F là một hàm số n + 1 biến số cho trước và y là hàm số cần tìm. 2 Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số thỏa mãn phương trình đó. Ví dụ. Phương trình xy y = 0 có nghiệm y = Cx với C bất kì.

Phương trình vi phân Các loại nghiệm của phương trình vi phân Cho phương trình vi phân cấp n: F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. 1 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là nghiệm phụ thuộc vào một hoặc một số tham số. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n thường phụ thuộc n tham số C 1, C 2,..., C n. 2 Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các tham số nhận các giá trị cụ thể. 3 Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát cho dù các tham số lấy bất kỳ giá trị nào.

Bài toán Cauchy Khái niệm Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân thỏa một hoặc nhiều điều kiện đầu (điều kiện biên). 1 Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp 1: { F(x, y, y ) = 0 y(x 0 ) = y 0 2 Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp 2: F(x, y, y, y ) = 0 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1 trong đó x 0, y 0, y 1 là các số thực cho trước.

Bài toán Cauchy Ví dụ. Cho bài toán Cauchy { xy y = 0 y(1) = 3 Các nghiệm của phương trình xy y = 0 là y = Cx với C là hằng số bất kì. Để nghiệm này thỏa y(1) = 3 ta cần có C = 3. Vậy bài toán Cauchy trên có nghiệm là hàm số y = 3x.

PTVP với biến số phân li Phương trình vi phân với biến số phân li Dạng 1: f (x)dx + g(y)dy = 0. Cách giải: Lấy tích phân 2 vế f (x)dx + g(y)dy = C. Dạng 2 (dạng tổng quát): f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y)dy = 0. Cách giải: 1 Nếu g 1 (b) = 0 với b R thì y = b là một nghiệm kì dị. 2 Nếu f 2 (a) = 0 với a R thì x = a là một nghiệm kì dị. 3 Xét trường hợp f 2 (x)g 1 (y) 0. Chia cả 2 vế cho f 2 (x)g 1 (y) để đưa phương trình về dạng 1: f 1(x) f 2 (x) dx + g 2(y) dy = 0. g 1 (y)

Ví dụ. Giải phương trình Giải. PTVP với biến số phân li dx 1 + x 2 + dy 1 + y 2 = 0. dx 1 + x 2 + dy 1 + y 2 = C. Nghiệm của phương trình: arctan x + arctan y = C. Ví dụ. Giải phương trình x(1 + x 2 )dy (1 + y 2 )dx = 0. Giải. x = 0 là một nghiệm kì dị của phương trình. dy 1 + y 2 dx x(1 + x 2 ) = 0 dy 1 + y 2 dx x(1 + x 2 ) = C. Ta có dx x(1 + x 2 ) = dx x Nghiệm tổng quát: xdx 1 + x 2 = ln x 1 2 ln(1 + x2 ) + C. arctan y ln x + 1 2 ln(1 + x2 ) = C.

PTVP với biến số phân li Ví dụ. Giải phương trình ( xy + x)y y = 0. Giải. Phương trình trên được viết lại dy y + 1 x( y + 1) dx y = 0 dy dx = 0. y x Ta có y = 0 là một nghiệm kì dị của phương trình. Lấy tích phân 2 vế y + 1 y dy dx x = C. Nghiệm tổng quát: 2 y + ln y 2 x = C.

PTVP đưa về biến số phân li Phương trình đẳng cấp Dạng phương trình: y = f ( y x ). Cách giải: Đặt u = y x ta có y = xu, suy ra y = u + xu. Do đó: u + xu = f (u) xdu = (f (u) u)dx. Đây là phương trình vi phân với biến số phân li dạng 2.

PTVP đưa về biến số phân li Ví dụ. Giải phương trình y xy = y ln x y. Giải. y = y x + y x ln y x Đặt u = y x y = u + xu. Do đó u + u ln u = u + xu xu = u ln u du dx u ln u = x ln ln u = ln x + C ln u = C x u = e C x. Thay u = y x ta có nghiệm tổng quát y = xec x.

PTVP đưa về biến số phân li Ví dụ. Giải phương trình (x 2 + y 2 )dx 2xydy = 0. Giải. y = dy dx = x2 + y 2 2xy Đặt u = y x y = u + xu. Do đó = 1 + (y/x)2. 2(y/x) 1 + u 2 2u = u + xu xu = 1 u2 2u 2u dx 1 u 2 du = x ln 1 u 2 = ln x + C x(1 u 2 ) = C. Thay u = y 2 y ta có nghiệm tổng quát x x x = C. Ta có 1 u 2 = 0 u = ±1 y = ±x là 2 nghiệm kì dị.

PTVP đưa về biến số phân li Phương trình dạng y = f (ax + by) Cách giải: Đặt u = ax + by ta có u = a + by. Do đó: u = a + bf (u) du = (a + bf (u))dx. Đây là phương trình vi phân với biến số phân li dạng 2. Ví dụ. Giải phương trình y = 1 2x 3y. Giải. Đặt u = 2x + 3y, ta có u = 2 + 3y = 2 + 3(1 u) = 5 3u. du = (5 3u)dx Ta có 5 3u = 0 u = 5 3 2x + 3y = 5 là một nghiệm kì dị. 3 Xét 5 3u 0, du 5 3u = dx du 5 3u = dx 1 ln 5 3u = x + C. 3 Nghiệm tổng quát: 1 ln 5 6x 9y = x + C. 3

PTVP đưa về biến số phân li ( ) ax + by + c Phương trình dạng y = f a 1 x + b 1 y + c 1 Cách giải: Xét 2 trường hợp Trường hợp 1: ab 1 = a 1 b. Khi đó a 1 a = b 1 b ( ax + by + c y = f k(ax + by) + c 1 = k nên ta có: Đây là phương trình có dạng y = g(ax ( + by) ) mà ta đã biết cách giải u + c trong phần trước, trong đó g(u) = f. ku + c 1 ).

PTVP đưa về biến số phân li ( ) ax + by + c Phương trình dạng y = f a 1 x + b 1 y + c 1 Trường hợp 2: ab 1 a 1 b. Khi đó hệ phương trình { ax + by + c = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất (x 0, y 0 ). Đặt u = x x 0 và v = y y 0 ta có ( ) au + bv a + b v ( v = f = f u v ) a 1 u + b 1 v v = g, a 1 + b u 1 u ( ) a + bt trong đó g(t) = f. Đây là phương trình vi phân đẳng cấp a 1 + b 1 t mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ. Giải phương trình y = Giải. Đặt u = 2x + 3y, ta có PTVP đưa về biến số phân li 1 2x 3y 4x + 6y 5. u = 2 + 3y = 2 + 3 1 u 2u 5 = u 7 2u 5. 2u 5 2u 5 du = dx u 7 u 7 du = dx 2 + 9 u 7 du = dx 2u + 9 ln u 7 = x + C Thay u = 2x + 3y, ta có nghiệm tổng quát là 3x + 6y + 9 ln 2x + 3y 7 = C.

PTVP đưa về biến số phân li Ví dụ. Giải phương trình (1 x + y)dy (x + y 3)dx = 0. Giải. y = x + y 3 1 x + y. Hệ phương trình { x + y 3 = 0 1 x + y = 0 có nghiệm duy nhất (2, 1). Đặt u = x 2, v = y 1, ta có v = (u + 2) + (v + 1) 3 1 (u + 2) + (v + 1) = u + v u + v = 1 + v/u 1 + v/u. Đây là phương trình đẳng cấp, ta giải tiếp bằng cách đặt w = v/u thì v = wu nên w + w u = v = 1 + w 1 + w. w u = 1 + w 1 + w w = 1 + 2w w 2 1 + w du dw = 1 + w 1 + 2w w 2 u

PTVP đưa về biến số phân li Tích phân 2 vế để được 1 + w 1 + 2w w 2 dw = du u 1 2 ln 1 + 2w w 2 = ln u + C u 2 (1 + 2w w 2 ) = C Thay u = x 2, w = (y 1)/(x 2) ta được nghiệm tổng quát (x 2) 2 + 2(x 2)(y 1) (y 1) 2 = C

Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính Dạng phương trình: y + p(x)y = q(x). Cách giải: Nhân 2 vế với e p(x) dx ta có y e p(x) dx + p(x)e p(x) dx y = q(x)e p(x) dx ( ye ) p(x) dx = q(x)e p(x) dx ye p(x) dx = q(x)e p(x) dx dx + C ( y = e p(x) dx ) q(x)e p(x) dx dx + C. Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của p(x) khi áp dụng công thức trên.

Phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ. Giải phương trình y y cot x = sin x. Giải. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với p(x) = cot x, q(x) = sin x. p(x) dx = Nghiệm tổng quát ( y = e p(x) dx cos x d(sin x) cot x dx = sin x dx = = ln(sin x). sin x ( sin x = sin x sin x dx + C = (x + C) sin x. ) q(x)e p(x) dx dx + C )

Phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ. Giải phương trình (1 x)(y + y) = e x, y(2) = 1. Giải. y + y = e x là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với 1 x p(x) = 1, q(x) = e x 1 x, p(x) dx = dx = x. Nghiệm tổng quát ( y = e p(x) dx ) q(x)e p(x) dx dx + C ( ) e = e x x 1 x ex dx + C ( ) = e x dx 1 x + C = e x ( ln 1 x + C). Với điều kiện y(2) = 1 1 = e 2 ( ln 1 2 + C) C = e 2. Vậy nghiệm của bài toán là y = e x ( ln 1 x + e 2).

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng 1 Dạng thuần nhất: 2 Dạng không thuần nhất: y + py + qy = 0. y + py + qy = f (x). Trong đó p, q là các số thực và f là một hàm số cho trước. Ta gọi phương trình đại số k 2 + pk + q = 0 là phương trình đặc trưng của 2 phương trình vi phân trên. Định lí về nghiệm của phương trình không thuần nhất Nếu y 0 : nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y r : một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là y = y 0 + y r.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Giải phương trình thuần nhất y + py + qy = 0 Giải phương trình đặc trưng: k 2 + pk + q = 0. Có 3 trường hợp: 1 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k 1 và k 2 : Nghiệm tổng quát: y 0 = C 1 e k 1x + C 2 e k 2x. 2 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k 0 : Nghiệm tổng quát: y 0 = C 1 e k 0x + C 2 xe k 0x. 3 Phương trình đặc trưng không có nghiệm thực. Khi đó phương trình đặc trưng sẽ có nghiệm phức k = a ± bi: Nghiệm tổng quát: y 0 = e ax (C 1 cos bx + C 2 sin bx).

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Tìm một nghiệm riêng của y + py + qy = e αx P n (x) Với α R và P n (x) là một đa thức bậc n, ta có thể tìm một nghiệm riêng y r của phương trình không thuần nhất dưới dạng y r = x s e αx Q n (x), trong đó Q n (x) là một đa thức bậc n (cùng bậc với P n (x)) và s là bội của nghiệm α của phương trình đặc trưng k 2 + pk + q = 0, nghĩa là 1 s = 0 nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, 2 s = 1 nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, 3 s = 2 nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Các bước giải phương trình y + py + qy = e αx P n (x) 1 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát y 0 của phương trình thuần nhất y + py + qy = 0. 2 Tìm một nghiệm riêng y r của bài toán. 3 Kết luận: nghiệm tổng quát của bài toán là y = y 0 + y r. Các bước giải phương trình y + py + qy = f 1 (x) + f 2 (x) 1 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát y 0 của phương trình thuần nhất y + py + qy = 0. 2 Tìm một nghiệm riêng y r của bài toán dưới dạng y r = y r1 + y r2, trong đó: 1 y r1 là một nghiệm riêng của: y + py + qy = f 1 (x). 2 y r2 là một nghiệm riêng của: y + py + qy = f 2 (x). 3 Kết luận: nghiệm tổng quát của bài toán là y = y 0 + y r.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ví dụ. Giải phương trình y 5y + 6y = e x. Giải. Phương trình đặc trưng k 2 5k + 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt k 1 = 2, k 2 = 3 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y 0 = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng y r = x s e αx Q n (x) trong đó α = 1, Q n (x) = A (vì P n (x) = 1 là đa thức bậc 0) và s = 0 (vì α = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng). y r = x 0 e x A = Ae x, y r = Ae x, y r = Ae x. y r 5y r + 6y r = e x Ae x + 5Ae x + 6Ae x = e x A = 1 12. Vậy y r = e x 12. Phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: y = C 1 e 2x + C 2 e 3x + e x 12.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ví dụ. Giải phương trình y + 4y = x 2. Giải. Phương trình đặc trưng k 2 + 4 = 0 có nghiệm phức k = ±2i nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y 0 = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x. Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng y r = x s e αx Q n (x) trong đó α = 0, Q n (x) = Ax 2 + Bx + C (vì P n (x) = x 2 là đa thức bậc 2) và s = 0 (vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng). y r = Ax 2 + Bx + C, y r = 2Ax + B, y r = 2A. y r + 4y r = x 2 2A + 4(Ax 2 + Bx + C) = x 2 A = 1 4, B = 0, C = 1 8. Nghiệm tổng quát: y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + x2 4 1 8.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ví dụ. Giải phương trình y + 2y = 3x. Giải. Phương trình đặc trưng k 2 + 2k = 0 có 2 nghiệm phân biệt k 1 = 0, k 2 = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y 0 = C 1 + C 2 e 2x. Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng y r = x s e αx Q n (x) trong đó α = 0, Q n (x) = Ax + B (vì P n (x) = 3x là đa thức bậc 1) và s = 1 (vì α = 0 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng). y r = x(ax + B) = Ax 2 + Bx, y r = 2Ax + B, y r = 2A. y r + 2y r = 3x 2A + 2(2Ax + B) = 3x A = 3 4, B = 3 4. Nghiệm tổng quát: y = C 1 + C 2 e 2x + 3 4 x 3 4.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ví dụ. Giải phương trình y 2y + y = 2e x. Giải. Phương trình đặc trưng k 2 2k + 1 = 0 có nghiệm kép k = 1 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y 0 = C 1 e x + C 2 xe x. Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng y r = x s e αx Q n (x) trong đó α = 1, Q n (x) = A (vì P n (x) = 2 là đa thức bậc 0) và s = 2 (vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng). y r = Ax 2 e x, y r = (Ax 2 + 2Ax)e x, y r = (Ax 2 + 4Ax + 2A)e x. y r 2y r + y r = 2e x 2Ae x = 2e x A = 1. Vậy y r = x 2 e x. Nghiệm tổng quát: y = C 1 e x + C 2 xe x + x 2 e x.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ví dụ. Giải phương trình y 4y + 4y = x + e 2x. Giải. Phương trình đặc trưng k 2 4k + 4 = 0 có nghiệm kép k = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y 0 = C 1 e 2x + C 2 xe 2x. Ta tìm một nghiệm riêng của y 4y + 4y = x dưới dạng y r1 = x s e αx Q n (x) trong đó α = 0, Q n (x) = Ax + B (vì P n (x) = x là đa thức bậc 1) và s = 0 (vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng). y r1 = Ax + B, y r 1 = A, y r 1 = 0. y r 1 4y r1 + 4y r1 = x A = B = 1 4. Vậy y r 1 = x + 1 4.

PTVP tuyến tính với hệ số hằng Ta tìm một nghiệm riêng của y 4y + 4y = e 2x dưới dạng y r2 = x s e αx Q n (x) trong đó α = 2, Q n (x) = A (vì P n (x) = 1 là đa thức bậc 0) và s = 2 (vì α = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng). y r2 = Ax 2 e 2x, y r 2 = A(2x 2 + 2x)e 2x, y r 2 = A(4x 2 + 8x + 2)e 2x. y r 2 4y r2 + 4y r2 = e 2x A = 1 2. Vậy y r 2 = x2 e 2x 2. Một nghiệm riêng của đề bài là y r = y r1 + y r2. Nghiệm tổng quát của đề bài là y = C 1 e 2x + C 2 xe 2x + x + 1 + x2 e 2x 4 2.

Dạng 1: Phương trình vi phân cấp 1 Giải các phương trình vi phân sau: 1 xyy = 3x 2 y 2 ( x 2 + 1 ) yy = e y 2 3 y = x y y x 4 y 2 x y = x3 5 yy x + ey = 0 thỏa mãn điều kiện y(0) = 1 6 (x + y)dx + (x y)dy = 0 thỏa y(1) = 1 7 y y x = tan y x 8 y = y 2 + 2xy xy 9 y + y = e x thỏa y(0) = 1 10 y = y x y + x

Dạng 2: Phương trình vi phân cấp 2 Giải các phương trình vi phân sau: 1 y 9y + 14y = e 4x 2 y + 2y + 10y = 10x 2 + 24x + 1 3 y 6y + 9y = x, thỏa y(0) = 1 3 và y (0) = 1 4 y + 6y + 8y = xe 3x 5 y 4y = 12x 2 + 6x 4 6 y 5y + 4y = xe 2x 7 y + y = 2xe x 8 y 6y + 9y = 4e 3x 9 y + y = 4xe x 10 y + y = x 2 e x