ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηεο Cf θαη είλαη ζπκκεηξηθέο σο πξνο ηελ επζεία ς=ρ 1 Cf Γ Αλαθέξαηε αλ είλαη ζσζηέο ή ιάζνο νη παξαθάησ πξνηάζεηο θαη αηηηνινγείζηε ηελ απάληεζή ζαο κόλνλ γηα ηελ πξόηαζε 1 Αλ ε ζπλερήο f() έρεη ξίδα ζην (α,β), ηόηε ζα ηζρύεη f (α) f(β) < Αλ * f : είλαη ζπλερήο ζηo πεδίν νξηζκνύ ηεο θαη δελ έρεη ξίδεο, ηόηε ε f δηαηεξεί πξόζεκν Αλ lim ηόηε ην Αλ ε f είλαη αληηζηξέςηκε ζπλάξηεζε ηόηε ε f είλαη ππνρξεσηηθά 1-1 5 Τν ζύλνιν ηηκώλ κηαο ζπλερνύο θαη κε ζηαζεξήο ζπλάξηεζεο ζην (α,β), είλαη επίζεο αλνηθηό δηάζηεκα ΘΔΜΑ ο Μονάδες 5,5,5,5,5 Α Αλ f: θαη γηα θάζε, κε ηζρύεη όηη: f e e f e e ( ln 1) ( ln 1) θαη αλ g e e ( ) ln 1 η) Να απνδείμεηε όηη ε g έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην ηη) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε Αλ επηπιένλ f g e ( ( ) α) λα απνδείμεηε όηη f()=-1 β) λα ιπζεί ε εμίζσζε g[ f 17 ( ) 1] γ) λα βξεζεί ε αληίζηξνθε ηεο ζπλάξηεζεο h()= f 17 ( ) 1
ΘΔΜΑ o Μονάδες 1,15 Α Αλ f: ζπλερήο ζπλάξηεζε κε f()>-1, f()< 1 θαη f(), δείμηε όηη ε εμίζσζε f ( ) έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ιύζε ζην (,) 11 Β Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην θαη f () λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f αλ f 1 f ( 1) ΘΔΜΑ ο Μονάδες 5,5,5,1 A Γίλεηαη ζεκείν Α εθηόο επζείαο θαη Β ε πξνβνιή ηνπ Α ζηελ επζεία Σεκείν Γ θηλείηαη πάλσ ζηελ επζεία θαη πάληα δεμηά ηνπ B ην ΒΓ v) lim A Αλ AB =ζ θαη ΑΒ= λα ππνινγίζεηε ηα όξηα i) lim A ii) limb iii) lim( ) iv) Γείμηε όηη όηαλ ην ζεκείν Γ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία θαη είλαη πνιύ καθξηά από ην Β ηόηε ην ΑΓ είλαη πεξίπνπ ίζν κε B vi) lim B vii) lim( ) viii) lim A Β Γίλεηαη ε κε ζηαζεξή ζπλάξηεζε f ε νπνία νξίδεηαη θαη είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη ηζρύεη: f() f f () Να δείμεηε όηη ππάξρεη [, ] ώζηε: f ( ) f Βαγγέιεο Ρακαληάλεο
Λύζεις ΘΔΜΑ 1 ο λ,λ,λ,ζ,λ ΘΔΜΑ ο Μονάδες 5,5,5,5,5 Α Αλ f: θαη γηα θάζε, κε ηζρύεη όηη: f e e f e e ( ln 1) ( ln 1) θαη αλ g e e ( ) ln 1 η) Να απνδείμεηε όηη ε g έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην ηη) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη αληηζηξέςηκε Αλ επηπιένλ f g e ( ( )) α) λα απνδείμεηε όηη f()=-1 β) λα ιπζεί ε εμίζσζε g[ f 17 ( ) 1] γ) λα βξεζεί ε αληίζηξνθε ηεο ζπλάξηεζεο h()= f 17 ( ) 1 ΛΤΗ i) Αλ g( ) e lne 1 e 1κε Dg ηόηε γηα θάζε 1, κε 1 1 ζπλεπάγεηαη όηη, e e, 1 11 1 νπόηε κε πξόζζεζε θαηά κέιε πξνθύπηεη g( 1) g( ) άξα ε g είλαη γλεζίσο αύμνπζα Η g είλαη ζπλερήο σο πξάμεηο ζπλερώλ θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην ( lim g( ), lim g( )) =(, ) = ( lim g( ) lim ( e 1), lim ( ) lim ( 1) g e αθνύ lim ( 1) lim ( ) lim ( e ) ) ii) Η g είλαη γλεζίσο αύμνπζα άξα είλαη 1-1 Οπόηε γηα θάζε 1, Df κε 1,επεηδή ηα, g(a) ππάξρνπλ κνλαδηθά α, β αλήθνπλ ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο g (1-1) γηα ηα νπνία ζα 1 ηζρύεη g(α)= 1, g(β)= Τόηε 1 g(α) g(β) 1 1 f( g( )) f( g( )) f( ) f( ) άξα ε f είλαη 1-1 1 g ό iii) α) ( ( )) f g e f( g( )) e 11 f( g( )) g( ) 1 ζέηνληαο g()=σ κε ρ θαη σ (αθνύ πεδίν νξηζκνύ θαη ζύλνιν ηηκώλ ηεο g είλαη ην ) πξνθύπηεη f(σ)=σ-1 ή f(ρ)=ρ-1 ρ β) Η g είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην ζπλεπώο θαη 1-1, άξα
g[ f 17 () 1] g() f 17 ( ) 1 f 17 ( ) 1 f ( ) 1 11 γ) h()= f 17 ( ) 1 = 17 ( 1) 1 17 ( 1) 1 κε ρ από ii ε f αληηζηξέςηκε Θέηνληαο ς=f(ρ) 17 ( 1) 1 (Γησλπκηθή πεξηηηνύ βαζκνύ άξα έρεη πάληα ιύζε) 17 1, 1 1 17 1, 1 17 1 f () 17 1 1, 1 1 1, 1 17 1 1, 1 1 17 1, 1 ΘΔΜΑ o Μονάδες 1,15 Α Αλ f: ζπλερήο ζπλάξηεζε κε f()>-1 (), f()< 1 () θαη f() (), δείμηε όηη ε εμίζσζε f ( ) έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ιύζε ζην (,) Β Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην θαη f 1 f ( 1) 18 1 f () λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f αλ ΛΤΗ f ( ) Α f ( ) f( ) ( ) ( ) Θέησ b( ) f( ) ( ) Η b ζπλερήο ζην [,] σο πξάμεηο ζπλερώλ κε b()=f()+> από () θαη b()=f()-< από () Σπλεπώο από ΘΒ ε b έρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ιύζε ζην (,) Ο παξνλνκαζηήο ηεο έρεη ξίδεο ηηο ρ= θαη ρ= Η ρ= αλήθεη ζην (,) νπόηε ζα πξέπεη λα δείμνπκε όηη ε ξίδα ηεο b δελ είλαη ην γηα λα είλαη θαη ιύζε ηεο εμίζσζεο Όκσο b()=f() Άξα ε εμίζσζε έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην (,) 11 Β f () f() f()= f ( ) Σπλεπώο ε f έρεη κνλαδηθή ξίδα ην (f()=) Άξα ζην (,) ε f είλαη ζπλερήο ρσξίο ξίδεο νπόηε δηαηεξεί πξόζεκν θαη επεηδή f(-1)>, ε f είλαη ζεηηθή ζην (,) άξα γηα ρ< ε f() Δπίζεο ζην (, ) ε f είλαη ζπλερήο ρσξίο ξίδεο νπόηε δηαηεξεί πξόζεκν θαη επεηδή f>, ε f είλαη ζεηηθή ζην (, ) άξα γηα ρ> ε f()
ΘΔΜΑ ο Μονάδες 5,5,5,1 A Γίλεηαη ζεκείν Α εθηόο επζείαο θαη Β ε πξνβνιή ηνπ Α ζηελ επζεία Σεκείν Γ θηλείηαη πάλσ ζηελ επζεία θαη πάληα δεμηά ηνπ B ην ΒΓ v) lim A Αλ AB =ζ θαη ΑΒ= λα ππνινγίζεηε ηα όξηα i) lim A ii) limb iii) lim( ) iv) Γείμηε όηη όηαλ ην ζεκείν Γ βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία θαη είλαη πνιύ καθξηά από ην Β ηόηε ην ΑΓ είλαη πεξίπνπ ίζν κε B vi) lim B vii) lim( ) viii) lim A Β Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f ε νπνία νξίδεηαη θαη είλαη ζπλερήο ζην [, ] θαη ηζρύεη: f() f f () Να δείμεηε όηη ππάξρεη [, ] ώζηε: f ( ) f ΛΤΗ Α εκζ= A AΓ=, εθζ= B B i) lim A = lim (α ηεηαξηεκόξην, εκρ>) ηη) ii) lim iii) B lim (α ηεηαξηεκόξην, εθρ>) lim( ) = lim ( ) = lim ( ) = ( 1) lim ( ) = ( 1)( 1) ( 1) lim( ) = lim ( ) = lim ( ) = ( 1) ( 1) ( 1) lim ( ) ( 1) iv) Όηαλ ην Γ είλαη πνιύ καθξηά από ην Β, ε γσλία ζ ηείλεη λα γίλεη, όκσο B lim lim 1 άξα ΒΓ πεξίπνπ ίζν κε ην ΑΓ A λ) i) lim A = lim vi) lim B lim lim =
vii) lim( B A) lim( ) lim( ) =- viii) B lim A lim Β f() f f () f() f f() f ζπλεπώο ( ) f () () f f ( ) f f f Η f σο ζπλερήο ζην [, ] από ΘΜΔΤ έρεη ειάρηζηε ηηκή m θαη κέγηζηε ηηκή Μ θαη από ΘΔΤ έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην [m,m] Σπλεπώο mf() M, mf M,m f() M, άξα m f() f f() M f() f f() m M Άξα ην f() f f() [m,m] άξα ππάξρεη [, ] ώζηε: f ( ) f