lim β) Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια lim f (x) και lim f (x). εφ2x

Σχετικά έγγραφα
lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

1 x και y = - λx είναι κάθετες

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. e = 2. e, x ο. e f ( ln 2 ) = όταν : 4

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

. lim [2f (x) + 3g (x)] = 13

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο )

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Σάββατο 18 Νοεμβρίου 2017

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες)

x 1 δίνει υπόλοιπο 24

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

f '(x 0) lim lim x x x x

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα)

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 22 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο. σε ένα άλλο σηµείο M. α. 10cm β. 14cm γ. -14cm δ. 6cm Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Κυριακή 15 Νοεμβρίου 2015

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. f(x) lim με g(x ) 0 Γ. ΜΟΡΦΗ Ι. ΟΡΙΟ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. x α. x α.

Transcript:

Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) f () β) f () + - - γ) f () δ) f () + - - ε) f () στ) f () + ζ) f () 3 - y 4 3-3 -. ** ίνεται η συνάρτηση f () = α) Να βρείτε το D f. -. 4 - β) Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια f () και f (). 4 3. ** Να υπολογίσετε τα όρια: α) ν - β) - ν (- ) -. 4. ** Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια: α) + ηµ β) ηµ γ) + -- δ) ηµ5 ηµ7 ε) εφ ηµ 5

5. ** Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος ν σε καθεµιά από τις παρακάτω ισότητες: α) β) ηµ + ηµ +... + ηµν = 8 ηµ ηµ... ηµν = ν 6. ** ίνονται οι συναρτήσεις: f () = - 5 + 6 g () = - 4 h () = - 7 + φ () = - 6 + 8 α) Να βρείτε τα όρια f (), g (), h (), φ (). β) Να βρείτε τα όρια γ) Τι παρατηρείτε; f (), g () δ) Να γενικεύσετε το συµπέρασµά σας. h () φ (), g (), h () φ (). f () 7. ** Αν < και f () - 3, g () + 4, να βρείτε (αν υπάρχουν) τα όρια: α) (f () + g ()) β) (f () g ()) 8. ** Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια στο = : α) της f () = + 3, = β) της g () = -, =. - 9. ** ίνονται οι συναρτήσεις: f () = 3 + 4 ( -), g () = + ( -) h () = + 3 + 7, φ () = ( -) 5 + 6 ( -) α) Να βρείτε τα όρια f (), g (), h (), φ (). β) Να βρείτε τα όρια [f () - g ()], [h () - φ ()]. 5

γ) Τι παρατηρείτε; δ) Να γενικεύσετε το συµπέρασµά σας.. ** Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: - 3 < α) f () =, στο (, ) και στο [, ] 4 + β) f () = + 3-6 γ) f () = ηµ =. ** Έστω η συνάρτηση g συνεχής στο και ισχύουν g () = και f () g (), R. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο.. ** Έστω f συνεχής συνάρτηση στο, ώστε α) Να αποδείξετε ότι f ( + h) = f ( ). h β) Να αποδείξετε ότι f ( + h) =. γ) Να βρείτε το όριο h h f h ( + h) - f ( ). h f ( + h) =. ηµh 3. ** ίνονται οι συναρτήσεις f, g µε τύπους: 4-3, αν < -, f () = και g () =, αν, αν < αν α) Να αποδείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο σηµείο =. β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια στο = τις συναρτήσεις: f + g f - g f g 3f g f g (f) 3 f 5

4. ** ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R και f () - 5 + 6 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο = και στο σηµείο = 3. 5. ** Έστω η συνάρτηση f () = - συν,. Είναι δυνατόν να ορίσουµε την τιµή f () µε τέτοιο τρόπο, ώστε η f να είναι συνεχής στο R; 3, - 6. ** ίνεται η συνάρτηση f () =. 4 -, < 4 α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. β) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής. 7. ** Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: α) f () = + γ) f () = ηµ,, =,, = β) f () = συν,, = -, 8. ** Έστω η συνάρτηση f () =. - κ, > α) Να βρείτε το κ R, ώστε η f να είναι συνεχής στο. β) Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f. 53

9. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρείτε τα όρια: f (), + - f (), f (), f (). + y β) Τι συµπεραίνετε για το ; f () y. ** Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρείτε τα όρια: α) f () β) f () - γ) f () δ) f () ε) f () + y y. ** Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α) ( + - ) β) ( + - ) + γ) ( + - ) δ) ( + - ) +. ** Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α) (5-7 ) β) + γ) + 5 5 3-8 + 3 7 ε) { l n ( - ) - l n ( + )} + δ) + - 3 5 3 e - 3 5 3 - + + 7 54

3. ** Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α) ( ηµ + ) β) ( ηµ ) γ) ρ ( ηµ + ) µε ρ Ν * και ρ 4. ** Αν f () = κe κ + α) το πεδίο ορισµού της f µε κ >, να βρείτε: β) τα όρια f (), f (). + 5. ** Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ του δι- B πλανού σχήµατος έχει σταθερό µήκος C. Το σηµείο Γ κινείται αποµακρυνό- µενο από το Α επάνω στην (ε). Να αποδείξετε ότι τα µήκη των ΒΓ και ΑΓ τείνουν να γίνουν ίσα. C A Γ (ε) 6. ** Αν f () = 4 - και g () = l n 4 - α) να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να υπολογίσετε τα όρια: f (), f (), f (), f () 4 + 4 + β) να βρείτε το πεδίο ορισµού της g και να υπολογίσετε τα όρια: g (), g (). 4 55

7. ** Αν f () = - + µε πεδίο ορισµού το R \ {}: α) να βρείτε τα σηµεία τοµής της C f µε τον άξονα. β) να υπολογίσετε τα όρια f (), f (), f (). + 8. ** Έστω η συνάρτηση f () = ( - l n), >. Ποιο είναι το όριο + f (); 9. ** Αν f () = - e, να βρείτε τα όρια: f (), f (). + 3. ** ίνεται ένα τµήµα ΑΒ και στην προέκτασή του προς το Β παίρνουµε σηµείο Μ. Να βρείτε A B M AM το όριο του λόγου, καθώς το Μ αποµακρύνεται στο άπειρο. BM 3. ** Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το σηµείο Α (, ) και τέµνει τους θετικούς ηµιάξονες O και Oy στα Μ και Ν αντιστοίχως. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ ως συνάρτηση της τετµη- µένης κ του σηµείου Μ. β) Να βρείτε το όριο του εµβαδού όταν κ + και όταν κ. ε N y A(,) M ( κ,) 56

3. ** ίνεται η συνάρτηση f () = (α -) + - 4 β, α, β R. α) Για ποια τιµή του α η f έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο + την ευθεία µε εξίσωση y = ; β) Για την τιµή του α που βρήκατε και για β - 4, να αποδείξετε ότι η f έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία µε εξίσωση =. 33. ** Οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g και h φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. y y C f C g / (α) (β) y C h α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων. β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες (κατακόρυφες, οριζόντιες). (γ) 57

34. ** Η συνάρτηση f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το πρόσηµο της f. β) Να βρεθούν τα όρια: f (), + f (), + f (), + f () f (), f (), f (), 4 y / / γ) Με τη βοήθεια των παραπάνω να προσδιορίσετε τις οριακές τιµές της f στα σηµεία του ερωτήµατος (β). δ) Να βρείτε τον τύπο της f, αν ξέρετε ότι είναι ένας από τους παρακάτω: + f () =, f () = 6 + 5 +, f 3 () =, f 4 () = - ε) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση g () =. f () 35. ** Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ευθείας (ε) µε εξίσωση y = + και το σηµείο της Μ µε τετµηµένη. Η απόσταση από το σηµείο Ο δίνεται από τη συνάρτηση f () = (OM) για κάθε R. α) Για ποια τιµή του ισχύει f () = ; β) Για ποια τιµή του η απόσταση γίνεται ελάχιστη; y=+ f() M 58

+ γ) Να βρείτε τα όρια: f (), f () και να εξηγήσετε τα αποτελέσµατα γεωµετρικά (στο σχήµα). δ) Να αποδείξετε ότι (f () - ( + )) =. + 36. ** Το ποσοστό της ανεργίας σε µια χώρα είναι % και εκτιµάται ότι σε 6 + 36 έτη από τώρα θα δίνεται από τον τύπο f () =. + 3 α) Να αποδείξετε ότι η f () = 8 + + 3. β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από το 8%. γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας; 37. ** Ένα κατάστηµα νοικιάζει βιντεοκασέτες µε τιµή 6 δρχ. για τις 4 πρώτες ηµέρες. Αν ο χρόνος είναι µεγαλύτερος από 4 ηµέρες, τότε ο πελάτης πληρώνει πρόστιµο δρχ. και 75 δρχ. επιπλέον για την καθεµιά ηµέρα που καθυστερεί να επιστρέψει την κασέτα. Αν το κόστος ενοικίασης της µιας κασέτας παρασταθεί µε f (), όπου είναι οι ηµέρες ενοικίασης: α) να εκφράσετε το κόστος ενοικίασης σαν συνάρτηση των ηµερών ενοικίασης. β) να εξετάσετε αν η παραπάνω συνάρτηση είναι συνεχής. 38. ** Έστω ότι σε µια χώρα 8. κάτοικοι έχουν τη δυνατότητα να αγοράσουν αυτοκίνητα αξίας εκατοµµυρίων και πάνω. Αν σε µήνες από τώρα ο αριθµός των κατοίκων, οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να αγοράσουν τέτοιου είδους αυτοκίνητο, είναι σε χιλιάδες f () = 3 3-4 + 8, να βρείτε: α) τον αριθµό αυτό των αγοραστών σε 6 µήνες από τώρα β) σε πόσους µήνες από τώρα ο αριθµός αυτός θα είναι πάλι 8. 59

γ) το f () - f 6-6 (6) 39. ** Το σταθερό εβδοµαδιαίο κόστος κάποιου προϊόντος είναι 9.. Επιπλέον από αυτό, για παραγωγή µέχρι τόννων, το κόστος είναι 4 δρχ. ανά τόννο. Μετά τους τόννους, κάθε επιπλέον τόννος στοιχίζει 8 δρχ. Αν το f () συµβολίζει το συνολικό εβδοµαδιαίο κόστος των τόννων την εβδοµάδα, τότε: α) να βρείτε τον τύπο της f () β) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f () για 4 (κάθε µονάδα στον άξονα να είναι 5 τόννοι και κάθε µονάδα στον y y να είναι 5. δρχ.) γ) να εξετάσετε την f () ως προς τη συνέχεια στο =. 4. ** Σε µια συνεχή βροχόπτωση διαπιστώθηκε ότι η ταχύτητα υ µιας σταγόνας της βροχής, ως συνάρτηση του χρόνου t, δίνεται από τη σχέση: υ (t) = κ ( - e -t ) όπου κ µια θετική σταθερά. α) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση υ όταν t. β) Να βρείτε το υ (t). t + γ) Να εξηγήσετε τι παριστάνει η σταθερά κ. 4. ** Ο αριθµός των βακτηριδίων σε µια καλλιέργεια t ώρες µετά την έναρξη ενός πειράµατος δίνεται, κατά προσέγγιση σε χιλιάδες από τη συνάρτηση: f (t) = - 5 e 3 t + e t + 9 5 e, 3, t 4 t > 4 (σηµειώνεται ότι 4 ώρες µετά την έναρξη του πειράµατος εισήχθη µια τοξική ουσία µέσα στην καλλιέργεια). α) Να βρείτε τον αριθµό των βακτηριδίων κατά την έναρξη του πειράµατος (θεωρήστε e,78). β) Να εξετάσετε αν µπορούµε να εκτιµήσουµε τον αριθµό των βακτηριδίων κατά τη χρονική στιγµή t = 4. γ) Πότε ο πληθυσµός των βακτηριδίων θα εξαφανιστεί; 6

δ) Να αποδείξετε ότι σε δύο χρονικές στιγµές του πειράµατος ο αριθµός των βακτηριδίων θα είναι 8.95. 4. ** Το ποσοστό των µαθητών που εκδηλώνουν τη νόσο λοιµώδη µονοπυρήνωση, ηµέρες µετά το πρώτο κρούσµα, δίνεται από τη συνάρτηση f () =. + 3 α) Πότε θα γίνει αυτό το ποσοστό µέγιστο; β) Τι συµβαίνει όταν ; Να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα. 43. ** Μετά από µια εκστρατεία κατά της ρύπανσης των ακτών από σκουπίδια επισκεπτών σ ένα νησί βρέθηκε ότι το επίπεδο της ρύπανσης ακολουθεί το µοντέλο Μ (t) = t + t + όπου Μ το επίπεδο της ρύπανσης µόλις πριν την έναρξη της εκστρατείας και t ο χρόνος σε µήνες από την έναρξη της εκστρατείας. Ο πρόεδρος της επιτροπής που έκανε την εκστρατεία εµφανίστηκε αισιόδοξος ότι αν διατηρηθούν αυτές οι συνθήκες τελικά θα εξαλειφθεί αυτή η ρύπανση των ακτών του νησιού. ικαιολογήστε (µε τα Μαθηµατικά) την αισιοδοξία του προέδρου. M 44. ** Για την πενθήµερη εκδροµή της Γ τάξης ενός Λυκείου, ένα πρακτορείο έκανε την εξής προσφορά: Για τους πρώτους 5 µαθητές, 75. ανά µαθητή. Για κάθε επόµενο µαθητή και µέχρι τους 7, µείωση κατά 5.. Αν η συµµετοχή ξεπεράσει τους 7 και µέχρι τους, 68. για κάθε µαθητή. α) Να βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εκδροµής, σύµφωνα µε την προσφορά, για έως και µαθητές. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. 6

γ) Έχει νόηµα να εξεταστεί η συνέχεια της συνάρτησης που θα βρείτε στο ερώτηµα (α); δ) Να βρείτε το κόστος για 69 µαθητές και για 7 µαθητές. 45. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ώστε οι συναρτήσεις f, g µε τύπους ln ( + ) + α, -< < e + 8, f () = και g () = - β, + α +, να έχουν όριο πραγµατικό αριθµό στο σηµείο =. < 46. ** Κατά τη διάρκεια ενός ποιοτικού ελέγχου σε µια µονάδα παραγωγής βρέθηκε ότι η ποσότητα των ελαττωµατικών προϊόντων που παράγονται από έναν εργάτη ή εργάτρια δίνεται από τον τύπο: Ε (t) = 3t + 7 t όπου t ο χρόνος που χρειάζεται ένας εργαζόµενος για να κάνει τη συγκεκριµένη δουλειά. Παρατηρήθηκε ακόµη ότι όταν οι εργάτες ή οι εργάτριες πιέζονται για την ελαχιστοποίηση του τυπικού µέσου χρόνου παραγωγής του προϊόντος, ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων αυξάνεται δραµατικά. Πώς το εξηγείται αυτό µε τα Μαθηµατικά; 47. ** Το µηνιαίο κέρδος µιας επιχείρησης σε χιλιάδες ΕΥΡΩ βρέθηκε ότι δίνεται από τον τύπο: t - 4 Κ (t) = t + όπου t ο χρόνος λειτουργίας της σε µήνες. Να αποδείξετε ότι, αν διατηρηθεί αυτός ο τύπος για µεγάλο χρονικό διάστηµα, το µηνιαίο κέρδος σταθεροποιείται σε µια τιµή την οποία και να υπολογίσετε. 6

48. ** Σε ένα σχολείο άρχισε να κυκλοφορεί µεταξύ των µαθητών µια φήµη για την πενθήµερη εκδροµή του σχολείου. Ο αριθµός Ν (t) των µαθητών που άκουσαν τη φήµη βρέθηκε ότι µεταβάλλεται σύµφωνα µε τον τύπο: Ν (t) = M ( - e -,5t ) όπου M ο συνολικός αριθµός των µαθητών του σχολείου και t ο χρόνος σε ηµέρες (από τη στιγµή που πρωτοακούστηκε η φήµη). Ένας µαθητής υποστήριξε τελικά ότι όλοι οι συµµαθητές του θα ακούσουν τη φήµη. Πώς το σκέφτηκε αυτό; 49. ** Τρεις κύλινδροι είναι τοποθετη- µένοι ο ένας πάνω στον άλλον σε ένα οριζόντιο επίπεδο p. Οι ακτίνες των βάσεων των κυλίνδρων είναι 3 m, m και m και το ύψος του καθενός είναι 5 m. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν της οριζόντιας τοµής του στερεού που σχηµατίζεται ως συνάρτηση της απόστασης της τοµής από το επίπεδο p. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και να εξετάσετε αν η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής. 5. ** Μια ράβδος ΑΒ αποτελείται από τρία οµοιογενή τµήµατα µε µήκη dm, dm, dm και βάρη kg, 3 kg, kg αντιστοίχως. Α dm dm dm Μ Β Να εκφράσετε το βάρος ενός τµήµατος ΑΜ της ράβδου ως συνάρτηση του µήκους του. Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση αυτή. 63

5. ** ίνονται τα διαγράµµατα: απόσταση από το σπίτι χρόνος ιάγραµµα Ι απόσταση από το σπίτι απόσταση από το σπίτι χρόνος ιάγραµµα ΙΙ απόσταση από το σπίτι απόσταση από το σπίτι ιάγραµµα ΙΙΙ χρόνος ιάγραµµα ΙV χρόνος χρόνος ιάγραµµα V και οι αφηγήσεις τριών µαθητών: 64

Μαθητής Α: Το πρωί ξεκίνησα στην αρχή µε αργό ρυθµό για το σχολείο, όταν όµως κατάλαβα ότι επρόκειτο να αργήσω επιτάχυνα. Μαθητής Β: Πήγαινα κανονικά µέχρι τη στιγµή που κλατάρισε ένα λάστιχο του ποδηλάτου µου. Το επισκεύασα επί τόπου και συνέχισα µε την ίδια ταχύτητα. Μαθητής Γ: εν είχα αποµακρυνθεί πολύ, όταν θυµήθηκα ότι είχα αφήσει στο σπίτι το τετράδιο των Μαθηµατικών. Αναγκάστηκα να γυρίσω πίσω να το πάρω και µετά ξεκίνησα πάλι για το σχολείο. α) Συµπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε αφήγηση το διάγραµµα που της ταιριάζει: Αφήγηση Α Β Γ ιάγραµµα β) Γράψτε από µια αφήγηση που να ταιριάζει στα υπόλοιπα διαγράµµατα. Μαθητής : ( ιάγραµµα ) Μαθητής Ε: ( ιάγραµµα ) 5. ** ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών των συναρτήσεων: 65

f () g () h () φ () σ () 3 3 3 33 33 4 7 5 3 9 3 6 3 7 3 6 4 9 3 9 7 4 5 33 33 33 3 3 και τα διαγράµµατα: ιάγραµµα I ι άγραµµα ΙI ιάγραµµα ΙIΙ 66

α) Να αντιστοιχίσετε σε κάθε διάγραµµα την κατάλληλη από τις παραπάνω συναρτήσεις συµπληρώνοντας τον πίνακα: ιάγραµµα Ι ΙΙ ΙΙΙ Συνάρτηση β) Να φτιάξετε ένα σχεδιάγραµµα για καθεµιά από τις υπόλοιπες συναρτήσεις. 53. ** Να βρείτε µια συνάρτηση f τέτοια ώστε f (- ) = -, f () =, f συνεχής στο διάστηµα ( -, ), αλλά να µην υπάρχει αριθµός γ µεταξύ του - και του µε f (γ) =. 67

68